Enoncé - CPGE Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2014/2015
Physique des ondes
Modélisation : Étude d’un condensateur réel
Données :
ÐÐ→
● div (gradA) =
A
● Le module Numpy propose la méthode shape permettant d’obtenir le nombre de lignes a et de colonne b
d’un tableau V : a; b = V:shape
1
Mise en équations
1.1
Étude du condensateur infini
e
e
On étudie un condensateur plan infini constitué de deux plaques en x = − et x = portées aux potentiel respectifs
−U
U
et . On notera ± les densités surfaciques de charges au niveau des plaques.
2
2
2
2
Ð→
Q1 -Déterminer l’expression du champ E1 en tout point de l’espace crée par la présence de la seule plaque portant
e
la densité de charges en x =
2
Ð
→
Q2 -En déduire l’expression du champ E crée entre les plaques du condensateur étudié.
Q3 -Dans le cas d’un condensateur plan avec deux plaques de surfaces S et portant des charges ±Q, quelle sera
la condition pour pouvoir considérer l’expression précédente du champ valable entre les plaques ?
1.2
Étude du condensateur fini
Q4 -Quelle est l’équation différentielle vérifiée par V au sein du condensateur ?
Q5 -On considère le potentiel V (x; y; z ) = V (x; y ). Que devient alors l’équation précédente ?
2
Simulation de la carte de champs
x
La méthode numérique consiste à réaliser une discrétisation
du domaine D étudié défini par < x < a et < y < b : On va
étudier un maillage de point Mij (i:Æx ; j:Æy ) avec Æx et Æy les
échantillonnages selon chacune des directions.
On choisira pour cette étude Æx = Æy = Æ = m.
Les équations régissant le problème seront alors traitées numériquement en exploitant le développement de Taylor d’une
0
0
b
b
V
1
fonction f (x0 + h) = f (x0 ) + h: (
df
)
dx (x0 )
b
V
b
V
[i; j ]
b
V
[i; j + 1]
+ (h)
b
Le tableau V permettra correspondra aux valeurs des potentiels
V (Mij ) = V [i; j ]
Initialisation du problème
On propose ci-contre la première partie du programme écrit en Python.
1
b
V
y
2.0.1
[i; j − 1]
b
[i − 1; j ]
[i + 1; j ]
b
PC Dupuy de Lôme 2014/2015
Physique des ondes
Q6 -Quelle est la commande permettant d’utiliser
la fonction plot du sous-module pyplot de la bibliothèque matplotlib ?
1
Q7 -Quelle est la taille du domaine D ?, la distance
entre les deux plaques du condensateur ?
4
Q8 -On souhaite pouvoir utiliser les paramètres n
et nl dans l’ensemble des fonctions que l’on écrira
dans ce programme. Est-ce possible avec l’écriture
utilisée ? Proposer éventuellement une modification
de la fonction remplissage_initial(U).
6
2.1
2
3
5
7
8
9
10
11
# Chargement d e s modules n e c e s s a i r e s
import numpy a s np ## pour l e c a l c u l numerique
import m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l t ## pour l e s
traces
d e f r e m p l i s s a g e _ i n i t i a l (U) :
du probleme
nl , nc =160 ,120
V=np . z e r o s ( ( nl , nc ) )
f o r i in range ( 50 ,110) :
V[ i ,40]= −U/2
V[ i , 8 0 ] =U/2
return V
# Initialisation
Remplissage du tableau V
On doit remplir ce tableau sachant que le potentiel doit vérifier l’équation de Laplace
Q9 -En exploitant le développement de Taylor, écrire
Q10 - En déduire que
2 V (Mij )
x2
=
V (Mij )
V 2
x2
+
V 2
y 2
=
0
1
en fonction de V [i + ; j ], V [i; j ] et Æ .
x
1 : (V [i + 1; j ] + V [i − 1; j ] − 2:V [i; j ])
Æ2
1
1
1
1
Q11 -Traduire l’équation de Laplace par une relation entre V [i; j ], V [i + ; j ], V [i − ; j ], V [i; j − ] et V [i; j + ].
La matrice initialisée ne vérifie pas pour l’instant cette relation. Nous allons procéder par itération selon la méthode
suivante afin d’obtenir la matrice solution de notre problème
V (initialisée)
Itération
V (modifiée)
Itération
1
1
1
4 100 1
b
b
b
Itération
V (solution)
1
Itération : V [i; j ] ←Ð : (V [i + ; j ] + V [i − ; j ] + V [i; j + ] + V [i; j − ])
itérations.
On réalisera en tout N =
Q12 -Écrire une fonction iteration qui prend pour argument le tableau V à une étape quelconque du processus
d’itération et donne, en sortie, le tableau V modifié par une itération comme indiqué ci-dessus. Cette fonction
devra
● Ne pas modifier les valeurs des potentiels imposés au niveau des plaques du condensateur.
● imposer les conditions V =
0 aux frontières du domaine étudié
Q13 -Écrire une fonction solution qui prend pour argument le tableau initialisé et renvoie le tableau correspondant
aux solutions.
2.2
Tracé des lignes de champ
Q14 -Écrire une fonction hampe le qui prend comme argument le tableau V et renvoie une liste de deux tableaux
Ð
→
(Ei; Ej ), correspondant aux composantes de E suivant les axes Ox et Oy en chaque point du maillage.
1
Ei , Ej=champ_elec (V)
La commande plt.streamplot(X,Y,Ei,Ej) permet de 2 champ_max=(np . max( Ei ) ∗∗2+np . max( Ej ) ∗ ∗ 2 ) ∗ ∗ 0 . 5
tracer les lignes de champ à partir des composantes du 3 lw=1/champ_max∗ ( Ei∗∗2+ Ej ∗ ∗ 2 ) ∗ ∗ 0 . 5
4 p l t . s t r e a m p l o t ( np . l i n s p a c e ( 1 , nc −1 , nc ) , np .
champ électrique en tout point du maillage.
l i n s p a c e ( 0 , nl −1 , n l ) , Ei , Ej , l i n e w i d t h =20∗lw ,
d e n s i t y =2)
Q15 -Expliquer les différentes lignes du script ci-contre
2