Enoncé - CPGE Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2014/2015 Physique des ondes
Modélisation : Étude d’un condensateur réel
Données :
●→ =
●Le module Numpy propose la méthode shape permettant d’obtenir le nombre de lignes et de colonne
d’un tableau : =
1 Mise en équations
1.1 Étude du condensateur infini
On étudie un condensateur plan infini constitué de deux plaques en =−et =portées aux potentiel respectifs
−et . On notera ±les densités surfaciques de charges au niveau des plaques.
Q1 -Déterminer l’expression du champ → en tout point de l’espace crée par la présence de la seule plaque portant
la densité de charges en =
Q2 -En déduire l’expression du champ → crée entre les plaques du condensateur étudié.
Q3 -Dans le cas d’un condensateur plan avec deux plaques de surfaces et portant des charges ±, quelle sera
la condition pour pouvoir considérer l’expression précédente du champ valable entre les plaques ?
1.2 Étude du condensateur fini
Q4 -Quelle est l’équation différentielle vérifiée par au sein du condensateur ?
Q5 -On considère le potentiel ( ) =( ). Que devient alors l’équation précédente ?
2 Simulation de la carte de champs
La méthode numérique consiste à réaliser une discrétisation
du domaine Détudié défini par < < et < < : On va
étudier un maillage de point ( ) avec et les
échantillonnages selon chacune des directions.
On choisira pour cette étude = = = .
Les équations régissant le problème seront alors traitées nu-
mériquement en exploitant le développement de Taylor d’une
fonction ( + ) =( )+  ()+( )
Le tableau permettra correspondra aux valeurs des potentiels
 =[ ]
[−]
[−] [ ] [ +]
[+]
2.0.1 Initialisation du problème
On propose ci-contre la première partie du programme écrit en Python.
1

PC Dupuy de Lôme 2014/2015 Physique des ondes
Q6 -Quelle est la commande permettant d’utiliser
la fonction plot du sous-module pyplot de la biblio-
thèque matplotlib ?
Q7 -Quelle est la taille du domaine D?, la distance
entre les deux plaques du condensateur ?
Q8 -On souhaite pouvoir utiliser les paramètres
et dans l’ensemble des fonctions que l’on écrira
dans ce programme. Est-ce possible avec l’écriture
utilisée ? Proposer éventuellement une modification
de la fonction remplissage_initial(U).
1# Chargement des modules n e c e s s a i r e s
2import numpy a s np ## pour l e c a l c u l numerique
3import m a t p l o t l i b . py pl ot a s p l t ## pour l e s
t r a c e s
4
5def r e m p l i s s a g e _ i n i t ia l (U) : # I n i t i a l i s a t i o n
du probleme
6nl , nc =160 ,120
7V=np . z e r o s ( ( nl , nc ) )
8f o r ii n r an ge ( 5 0 , 1 1 0 ) :
9V[ i ,40]= −U/2
10 V[ i , 80]=U/2
11 re t u r n V
2.1 Remplissage du tableau
On doit remplir ce tableau sachant que le potentiel doit vérifier l’équation de Laplace +=
Q9 -En exploitant le développement de Taylor, écrire   en fonction de [+],[ ] et .
Q10 - En déduire que   =( [ +]+[−]−[ ])
Q11 -Traduire l’équation de Laplace par une relation entre [ ],[+],[−],[−]et [+].
La matrice initialisée ne vérifie pas pour l’instant cette relation. Nous allons procéder par itération selon la méthode
suivante afin d’obtenir la matrice solution de notre problème
(initialisée) Itération (modifiée) Itération Itération (solution)
Itération : [ ] ← ( [ +]+[−]+[+]+[−])
On réalisera en tout =itérations.
Q12 -Écrire une fonction iteration qui prend pour argument le tableau à une étape quelconque du processus
d’itération et donne, en sortie, le tableau modifié par une itération comme indiqué ci-dessus. Cette fonction
devra
●Ne pas modifier les valeurs des potentiels imposés au niveau des plaques du condensateur.
●imposer les conditions =aux frontières du domaine étudié
Q13 -Écrire une fonction solution qui prend pour argument le tableau initialisé et renvoie le tableau correspondant
aux solutions.
2.2 Tracé des lignes de champ
Q14 -Écrire une fonction qui prend comme argument le tableau et renvoie une liste de deux tableaux
(), correspondant aux composantes de → suivant les axes et en chaque point du maillage.
La commande plt.streamplot(X,Y,Ei,Ej) permet de
tracer les lignes de champ à partir des composantes du
champ électrique en tout point du maillage.
Q15 -Expliquer les différentes lignes du script ci-contre
1Ei , Ej=champ_elec (V)
2champ_max=(np . max( Ei ) ∗∗2+np . max( Ej ) ∗∗ 2) ∗ ∗ 0. 5
3lw=1/champ_max∗( Ei∗∗2+Ej ∗∗2) ∗ ∗0.5
4p l t . s tr eamp lo t ( np . l i n s p a c e ( 1 , nc −1 , nc ) ,np .
l i n s p a c e ( 0 , nl −1 , n l ) , Ei , Ej , l i n e w i dt h =20∗lw ,
d e n s i t y =2)
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