sujet Contrôle commun de physique 2014

La Prépa des INP
Session 2014
Epreuve commune de physique 1A
Durée : 3 heures
Remarques
•Les documents ne sont pas autorisés pour cette épreuve.
•L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
•Le sujet comporte trois parties distinctes qu’il conviendra de rédiger sur des copies diffé-
rentes.
•Chacune des parties aura un poids équivalent dans la notation.
•Il sera tenu compte de la rédaction des copies : il est en particulier recommandé d’encadrer
les résultats.

Première partie : Circuits électriques
C-I. Régime transitoire
Le circuit de la figure 1 est composé d’une source idéale de tension continue de force élec-
tromotrice E, de deux résistors de résistances Ret 2R, d’un condensateur de capacité Cet
d’un interrupteur K. On note i(t)l’intensité du courant délivré par la source de tension,
i1(t)l’intensité traversant la résistance 2R,i2(t)l’intensité traversant le condensateur C
et uS(t)la tension aux bornes du condensateur. L’interrupteur Kest ouvert depuis un
temps suffisamment long pour que le régime permanent continu soit établi.
Figure 1 Figure 2
C-I.1. Rappeler la relation qui relie l’intensité i2(t)à la tension aux bornes du condensateur
uS(t). En déduire la valeur de i2(t)puis celle de uS(t)en fonction de Een régime
permanent continu quand Kest ouvert.
C-I.2. A l’instant t= 0 pris comme origine des temps, l’interrupteur Kest fermé. Recopier
et compléter le tableau suivant sachant que l’instant t= 0−est l’instant précédant
la fermeture de Ket l’instant t= 0+est l’instant où Kvient juste d’être fermé. On
exprimera les résultats en fonction de Eet Ren les justifiant.
i1(t)i2(t)i(t)uS(t)
t= 0−
t= 0+
C-I.3. A l’aide du théorème de Thévenin, montrer que la partie du réseau située entre
Set Msans le condensateur Cet représentée sur la figure 2 est équivalente à un
générateur de tension de force électromotrice ESM et de résistance RSM que l’on
exprimera en fonction de Eet R.
C-I.4. Après avoir replacé le condensateur Caux bornes du générateur équivalent (ESM , RSM ),
déterminer l’équation différentielle qui régit les variations temporelles de uS(t)à
t>0.
C-I.5. Donner la solution uS(t)de cette équation différentielle en fonction de E,R,Cet t.
C-I.6. Tracer l’allure des variations de uS(t)au cours du temps.
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C-II. Régime sinusoïdal permanent
Le circuit de la figure 1 fonctionne en régime sinusoïdal forcé. L’interrupteur Kreste
fermé et la source idéale de tension continue est remplacée par une source idéale de
tension sinusoïdale de force électromotrice de valeur efficace E, de pulsation ωet de
phase à l’origine θe.
Toutes les grandeurs électriques sinusoïdales de valeur efficace X, de pulsation ω, de
phase à l’origine θxs’écrivent x(t) = X√2 cos (ωt +θx)en notation réelle et, en notation
complexe, x(t) = X√2 exp (jωt)avec X=Xexp(jθx)et j2=−1.
C-II.1. Montrer que la fonction de transfert complexe H(jω) = Us
Ea pour expression :
H(jω) = H0
1 + jω
ω0
Préciser les expressions de H0et ω0en fonction de Ret C.
C-II.2. Donner l’expression du module H(ω) = |H(jω)|et de l’argument ϕ(ω)de la fonction
de transfert.
C-II.3. Donner l’expression du gain du filtre en décibels GdB (ω) = 20 log10 H(ω)sous la
forme de la somme de deux termes.
C-II.4. Déterminer en fonction de Ret Cla fréquence de coupure du filtre fcà−3 dB.
C-II.5. Le diagramme de Bode pour le gain est représenté figure 3. Déterminer graphique-
ment la valeur de la fréquence de coupure en précisant la méthode utilisée.
C-II.6. En déduire la valeur de Rsachant que C= 9,55 nF.
C-II.7. Donner la nature du filtre en précisant sa bande passante et sa bande rejetée.
Figure 3
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Deuxième partie : Optique et Mécanique
Optique : Etude d’un viseur
O-I. Une lentille mince est utilisée dans l’approximation de Gauss.
O-I.1. Quelles sont les significations des deux termes mince et approximation de Gauss ?
O-I.2. Enoncer la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince de centre
Oet de distance focale image fidonnant la relation entre la position de l’image
pi=OAien fonction de celle de l’objet po=OAo.
O-I.3. Soit une lentille convergente de centre Oet de distance focale image fiqui forme d’un
objet réel AoBoune image AiBivirtuelle. Faire sur une figure claire la construction
de l’image de cet objet AoBoà l’aide de trois rayons lumineux.
O-II. Un viseur à frontale fixe est formé (figure 4) :
•d’un objectif constitué d’une lentille mince convergente (L1)de centre O1et de distance
focale image fi1= 5 cm,
•d’un réticule formé par un fil très fin situé à la distance D= 10 cm de l’objectif et qui
permet de faire une visée,
•d’un oculaire assimilé à une lentille mince (L2)convergente de centre O2et de distance
focale image fi2= 2 cm, situé à la distance ddu réticule.
Figure 4
O-II.1. Un œil normal situé derrière l’oculaire voit sans accommoder à l’infini. En déduire
la distance dpour que l’ œil puisse voir le réticule sans accommoder.
O-II.2. Où faut-il placer l’objet AB devant l’objectif pour que l’œil puisse voir à la fois le
réticule et l’image nette de l’objet AB ? Calculer O1A.
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Mécanique : Mise en jeu d’une bille de flipper
On étudie la mise en jeu de la bille de flipper dans le référentiel galiléen R(O, xyz). Le
plan (xOy)forme le plateau du flipper. L’axe Ox est incliné d’un angle αavec l’horizontal. La
bille en acier de centre d’inertie GB, de rayon aet de masse mBse déplace selon l’axe Ox et
tourne autour de l’axe GBylors de la mise en jeu. A l’instant initial t= 0, le lance bille d’un
flipper communique à la bille une vitesse initiale v0−→ exet, à cet instant, la vitesse angulaire de
la bille est −→ Ω0=−→ 0. Le contact de la bille avec le plateau se fait au point Iavec un coefficient
de frottement fidentique pendant la phase de glissement et pendant la phase de roulement qui
lui succède.
Figure 5
Le moment d’inertie de la bille par rapport à son axe de rotation Oy est JGB=2
5mBa2. La
réaction du plateau sur la bille au point Iest notée : −→ R=T−→ ex+N−→ ezavec T < 0.
M-1. Expliciter la vitesse du point de contact IBappartenant à la bille −→ vIBen fonction de a,
de la vitesse angulaire de la bille −→ Ω = Ω−→ eyet de la vitesse −−→ vGBde son centre d’inertie.
En déduire la vitesse de glissement −→ vg=−→ vIB−−→ vIde la bille par rapport au plateau du
flipper à t= 0.
M-2. Dans la phase de glissement, préciser la relation qui lie les composantes tangentielle et
normale de la réaction −→ R.
M-3. Par application du théorème du centre d’inertie (théorème de la résultante dynamique) ,
établir l’expression de :
•Nen fonction de mB,get α
•l’accélération de GBen fonction de g,fet α
M-4. Par application du théorème du moment cinétique par rapport à l’axe GBy, déterminer
l’expression de l’accélération angulaire dΩ
dten fonction de a,g,fet α
M-5. Déduire des questions M-1., M-3. et M-4., l’instant tfpour lequel la bille s’arrête de
glisser.
M-6. Exprimer dans la phase de roulement sans glissement, l’énergie cinétique de la bille en
fonction de mBet vGB.
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