Distribution - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2016/2017
ARQS
Les points du cours à connaître
mardi 31 janvier 2017
I-
Lois générales de l'électromagnétisme
1. Conservation de la charge
Densités volumiques de charge et de courant déduites des caractéristiques des porteurs de
charge (dénition)
Equation locale de conservation de la charge (dénition)
2. Équations de Maxwell
Equations de Maxwell (dénition)
3. Energie électromagnétique
Densité volumique d'énergie électromagnétique (dénition)
Vecteur de Poynting (dénition)
Bilan énergétique en électromagnétisme (dénition)
4. Cas des régimes lentement variables
Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (dénition)
5. Conducteurs dans l'ARQS
Conducteur dans l'ARQS (dénition)
II-
Rappels sur l'induction
1. Induction dans un circuit électrique
Loi de Faraday (dénition)
Loi de Lenz (dénition)
2. Circuits couplés
Inductance mutuelle (dénition)
Inductance propre (dénition)
spé PC
page n
◦
1
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2016/2017
3. Bobines
4. Transformateur
Transformateur idéal (dénition)
spé PC
page n
◦
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année scolaire 2016/2017
Techniques à maîtriser
jeudi 2 février 2017
I-
Les capacités exigibles
1. Généralités sur l'électromagnétisme
ce qu'il faut savoir faire capacités
Exprimer
ρ
et
~j
en fonction de la vitesse moyenne des porteurs de charge, de leur charge et de leur
densité volumique.
Établir l'équation traduisant la conservation de la charge dans le seul cas d'un problème unidimensionnel
en géométrie cartésienne. Citer et utiliser une généralisation (admise) en géométrie quelconque utilisant
l'opérateur divergence, son expression étant fournie.
Exploiter le caractère conservatif du vecteur
~j
en régime stationnaire. Relier ces propriétés aux lois
usuelles de l'électrocinétique.
Utiliser les équations de Maxwell sous forme locale ou intégrale. Faire le lien entre l'équation de MaxwellFaraday et la loi de Faraday utilisée en PCSI.
Utiliser les grandeurs énergétiques pour faire des bilans d'énergie électromagnétique. Associer le vecteur
de Poynting et l'intensité utilisée en optique.
Discuter la légitimité du régime quasi-stationnaire. Simplier les équations de Maxwell et l'équation de
conservation de la charge et utiliser les formes simpliées. Étendre le domaine de validité des expressions
des champs magnétiques obtenues en régime stationnaire.
2. Induction électromagnétique
ce qu'il faut savoir faire capacités
Évaluer le ux d un champ magnétique uniforme à travers une surface s'appuyant sur un contour fermé
orienté plan.
Utiliser la loi de Lenz pour prédire ou interpréter les phénomènes physiques observés.
Utiliser la loi de Faraday en précisant les conditions d'algébrisation.
Évaluer et connaître l'ordre de grandeur de l'inductance propre d'une bobine de grande longueur, le
champ magnétique créé par une bobine innie étant donné.
Conduire un bilan de puissance et d'énergie dans un système siège d'un phénomène d'auto-induction en
s'appuyant sur un schéma électrique équivalent.
Déterminer l'inductance mutuelle entre deux bobines de même axe de grande longueur en inuence
totale , le champ magnétique créé par une bobine innie étant donné.
II-
Méthodes
1. Généralités sur l'électromagnétisme
A) Simplication des équations dans l'ARQS méthode
•
Conservation de la charge :
•
Maxwell Flux :
•
Maxwell Gauss
spé PC
div~j = − ∂ρ
∂t ≈ 0
~ = 0,
div B
~ = ρ ≈0
: div E
ε0
dans l'ARQS,
dans l'ARQS,
page n
◦
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•
Maxwell Faraday :
•
Maxwell Ampère :
−→ ~ ~
rot E = − ∂∂tB ,
−→ ~ ~
rot B = µ0 .~j + µ0 .ε0 . ∂∂tE ≈ µ0 .~j
dans l'ARQS.
2. Induction électromagnétique
B) Induction dans un l électrique méthode
La force électromotrice ("fém") d'induction qui correspond à ce circuit liforme, orientée dans le sens
de
C
est :
eem = −
~
B
est le ux du champ magnétique
ZZ
∂φ
∂t
φ=
où
à travers la surface
S
−−→
~ d2 S
B.
qui s'appuie sur le contour fermé orienté
C
et
qui est orientée par lui.
Attention de ne pas oublier de multiplier par le nombre de spires du contour.
III-
Exercices
1. Généralités sur l'électromagnétisme
1.1) Noyau radioactif
β−
On considère une source (très petite, en
O,
centre d'un repère sphérique), de césium 137 radioactif
137
55 Cs
β−
:
∗
→0−1 e− +137
56 Ba
A = 0, 185M Bq .
O ? Application numérique.
volumique de courant ~
j . Que vaut numériquement
Son activité (nombre de désintégration par seconde) est
1)
2)
Quelle est l'intensité
I
qui traverse une sphère de centre
Exprimer dans le repère sphérique la densité
r = 10cm
1)
2)
~ j à
de la source ?
I = −3, 0.10−14
A.
r = 10cm ⇒ ~j = 2, 4.10−13 A.m−2 .
1.2) Feuille d'aluminium chargée
Soit une feuille d'aluminium de format
1)
Quelle est la charge surfacique
1)
σ
A4 (21cm
sur
29, 7cm)
à laquelle on a arraché
1000
électrons.
portée par la feuille d'aluminium ? Application numérique.
σ = +2, 6.10−15 C.m−2 .
1.3) Fil électrique
Soit un l électrique en cuivre, cylindrique, de rayon
homogène d'intensité
1)
I = 10A,
vers les
z
R0 = 3, 0mm
Exprimer dans ce repère la densité volumique de courant
1)
spé PC
dans lequel circule un courant électrique
négatifs dans le repère cylindrique associé au l.
~j .
Que vaut numériquement
~ j ?
~ j = 3, 5.106 A.m−2 .
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1.4) Conduction électrique dans un ruban d'aluminium
L0 = 1, 0cm (suivant la direction y d'un repère
I = 10mA vers les x positifs. surfacique de courant ~
js . Que vaut numériquement ~js ?
Soit un ruban de papier d'aluminium de largeur
cartésien)
dans lequel circule un courant électrique homogène d'intensité
1)
Exprimer dans ce repère la densité
1)
~ js = 0, 10A.m−1 .
1.5) Vitesse des électrons dans le cuivre
M = 63, 54g.mol−1 , et pour masse volumique µ = 8, 9.kg/L.
−1
−19
nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.10 mol
et la charge fondamentale : e = 1, 6.10
C.
1) Calculer la densité volumique n des atomes de cuivre.
Le cuivre a pour masse molaire
On donne le
23
2)
En admettant que chaque atome de cuivre libère un électron assurant la conduction, calculer la vitesse
moyenne
de rayon
1)
2)
hvi de ces électrons libres correspondant à un courant I = 0, 50A circulant dans un l de section droite
a = 1, 0cm.
n = 8, 4.1028 m−3 .
hvi = 1, 2.10−5 m.s−1 .
1.6) Courant évanescent
Supposons que dans un demi-espace
où
h
la densité volumique de courants soit donnée par
~j = j0 .e− hz .~ex ,
est une constante.
1)
des
z > 0,
x
2)
Intensité élémentaire :
1.a)
dI (z1 , z2 ) qui traverse la surface élémentaire orientée dans le sens
y ∈ [0; dy] et z ∈ [z1 ; z2 ] ?
Calculer dI (0, z)
En déduire dI (0, ∞).
Pour quelle valeur z0 de z a-t-on dI (0, z0 ) = 0, 90.dI (0, ∞) ? Commenter ce résultat.
Quelle est l'intensité élémentaire
croissants, pour
1.b)
1.c)
1.d)
Densité surfacique de courant :
2.a)
2.b)
Dans quelle limite est on confronté à une densité surfacique de courant
Exprimer
alors ~
js .
Limite de la densité surfacique de courants :
h → 0 ⇔ ~js = j0 .h.~ex .
~js ?
NB : alors
j0 → ∞.
1.7) Distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène
Dans la théorie quantique, l'électron de l'atome d'hydrogène n'est pas localisé : il s'agit d'un nuage électronique. Ainsi, si l'on exclu le proton (en
O,
centre de l'atome), la distribution volumique de charge dans l'atome
d'hydrogène est à symétrie sphérique et ne dépend que de la distance
r
à
O
: peut
2.r
ρ (r) = C.e− a0
où
a0 = 52, 9pm
1)
2)
3)
4)
est le rayon de Bohr.
Quelle est la probabilité
Quelle est la probabilité
A quelle distance
p1 (r, θ, ϕ) de trouver l'électron en M (r, θ, ϕ) ?
p2 (r) de trouver l'électron à une distance r de O ?
rmax a-t-on le plus de chance de
C . Application numérique
trouver l'électron ?
Calculer la constante
− 2.r
1)
p1 (r, θ, ϕ) =
2)
3)
4)
p2 (r) = 4.π.C.r−e.e 0 .
rRmax = a0 .
∞
p(r).dr = −3, 4.1012 C.m−3 .
r=0
spé PC
C.e a0
.
−e
2
− 2.r
a
page n
◦
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1.8) Détermination du bilan d'énergie locale à partir des équation de Maxwell
1) Vérier que le bilan énergétique local pour le champ électromagnétique est donné par les équations de
Maxwell.
On retrouve bien
~ ~
− ∂e∂tem = −ε0 ∂∂tE E
−
~
~ ∂B
B
µ0 ∂t .
1.9) Des "charges" magnétiques
1) Par analogie avec l'équation de Maxwell Gauss,
1.a) dénir une densité de "charge" magnétique ρm ;
1.b) montrer que ρm = 0.
~ = 0 ⇒ ρm = 0.
div B
1.10) Un champ électrique orthoradial
1) Est-ce qu'un champ orthoradial (Cθ~eθ
1.a) en régime permanent ?
1.b) en régime non permanent ?
en cylindrique) peut être un champ électrique
~
E
:
Le champ électrique peut être orthoradial a priori.
1.11) Courants électriques et courants de déplacement
On se place dans un milieu ohmique de conductivitéγ (~
j
ν.
1)
2)
Montrer que
~ ~ j > jd pour peu que
ν < νmax .
~ ),
= γ.E
Exprimer
νmax
en régime sinusoïdal forcé de fréquence
en fonction de
ε0 = 8, 8.10−12 SI
et
γ.
Application numérique :
2.a)
2.b)
1)
2)
= 5, 8.107 S.m−1 ) ;
−9
(γ = 1, 0.10
S.m−1 ).
dans le cas du cuivre (γ
dans le cas de l'eau
γ
2.π.ε0 .
Application numérique :
νmax =
2.a)
2.b)
νmax = 1, 0.1018 Hz ;
l'eau νmax = 18Hz .
dans le cas du cuivre
dans le cas de de
2. Induction électromagnétique
2.12) Cadre xe dans un champ magnétique homogène et variable
~ = B0 cos (ω.t) .~uz .
B
On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD dans le plan (xOy).
sont a suivant AD et BC et b suivant AB et CD .
Soit un champ magnétique homogène et variable
1)
Les longueurs de ses côtés
Calculer la f.e.m. induite dans le cadre.
1)
e = ω.B0 .a.b. sin (ω.t).
2.13) Bobine plongée dans un champ magnétique variable inhomogène
On se place dans un repère cylindrique d'axe
Une bobine constituée de
variable inhomogène
spé PC
N
Oz .
spires circulaires, de rayon
R, d'axe Oz , est plongée dans un champ magnétique
~ = B0 . cos π.r . cos (ω.t) ~ez
B
2.R
page n
◦
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1)
2)
année scolaire 2016/2017
Calculer le ux du champ magnétique
En déduire la f.e.m
1)
2)
Φ(t) =
e(t) =
e(t)
Φ(t)
à travers la bobine.
induite.
8.( π
2 −1)
R2 .N.B0 . cos (ω.t).
π
π
8.( 2 −1) 2
R .N.ω.B0 . sin (ω.t).
π
2.14) Cadre tournant dans un champ magnétique homogène et permanent
~ = B0 .~uz .
B
On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD . Les longueurs de ses côtés sont a suivant AD
et BC et b suivant AB et CD . Ce cadre tourne autour de l'axe AD = (Ox). On repère sa rotation par l'angle
θ = (~uz , AB).
Soit un champ magnétique homogène et permanent
1)
Calculer la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant :
1.a)
1.b)
1)
la loi de Faraday ;
la circulation du champ électromoteur.
e = − dθ
dt B0 .a.b. cos θ .
2.15) Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs parallèles
(O, ~ux , ~uy , ~uz ), avec ~uz vers le haut.
AB et A0 B 0 sont placées parallèlement (AB//A0 B 0 //(Ox)) dans un plan horizontal ;
0
elles sont distantes de AA = 15cm.
0
On déplace une barre conductrice CC qui reste parallèle à (Oy) à la vitesse ~
v = v0 .~ux , avec v0 = 50cm.s−1 .
~ = Ba .~uz , avec Ba = 0, 10T .
Le tout est plongé dans un champ magnétique vertical, uniforme et constant B
1) Quelle est la f.e.m e qui apparaît entre A et A0 ?
0
Entre A et A se trouve un conducteur ohmique, de résistance R = 1, 0kΩ (la résistance des tiges étant
On se place dans un repère cartésien orthogonal direct
Deux tiges conductrices
négligeable).
2)
Quelle est la puissance
1)
2)
P
dissipée par ce résistor ?
|e| = 7, 5mV .
P = 56nW .
2.16) Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs concourants
(O, ~ux , ~uy , ~uz ), avec ~uz vers le haut.
0
OA
et OA sont placées dans un plan horizontal ; elles ont pour médiatrice
~ ~ux = ~ux , OA
~ 0 avec lui.
α = OA,
On se place dans un repère cartésien orthogonal direct
Deux tiges conductrices
(Ox)
et font un angle
(Oy) à la vitesse ~v = v0 .~ux , avec v0 > 0. Cette barre
OA0 ) en B (respectivement en B 0 ). A t = 0, B = B 0 = O.
de α et v0 :
On déplace une barre conductrice parallèlement à
en contact avec la tige
1)
OA
la circonférence
l'aire
S(t)
est
(respectivement
Exprimer, à l'instant
1.a)
1.b)
l'axe
t, en fonction
C(t) du circuit ;
du circuit.
Rl . Le
~ = Ba .~uz , avec Ba > 0.
B
Exprimer, en fonction de Ba , v0 , Rl et de α :
2.a) la valeur absolue de la f.e.m |e(t)| qui apparaît dans le circuit ;
2.b) la valeur absolue de l'intensité |i(t)| qui circule dans le circuit.
Les conducteurs composant le circuit ont une résistance linéïque
tout est plongé dans un champ
magnétique vertical, uniforme et constant
2)
|i(t)| =
spé PC
v0 .Ba sin α
Rl 1+sin α .
page n
◦
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année scolaire 2016/2017
2.17) Un aimant qui s'approche d'une bobine
`, d'axe Oz qu'on assimilera à un solénoïde quasi
−−
→
2
2
inni. On oriente la bobine de telle sorte que d S = +d S.~
uz . Un aimant (de moment dipolaire m
~ = +m.~uz )
crée un champ magnétique principalement suivant ~
uz (Bz > 0). On approche cet aimant de la bobine.
1) Montrer que le courant i qui circule dans la bobine est négatif.
On s'intéresse à une bobine formée de
2)
N
spires, de longueur
Montrer que le ux du champ magnétique induit tend (en partie) à contrarier ce qui lui a donné naissance
(à savoir l'augmentation du ux du champ magnétique de l'aimant).
Le ux du champ magnétique induit tend (en partie) à contrarier ce qui lui a donné naissance (à savoir
l'augmentation du ux du champ magnétique de l'aimant).
2.18) Auto-induction dans un solénoïde
On considère un solénoïde cylindrique, d'axe
comportant
N
On suppose que circule un courant
1)
2)
3)
Oz ,
de longueur
l
(mais supposé quasi-inni), de rayon
R,
tours de l.
i(t)
variable dans la bobine.
i
Quel est le champ magnétique créé par le courant
à travers la bobine ?
Utilisation du ux :
2.a)
2.b)
Quel est le ux
Φ
En déduire la self
du champ magnétique à travers la bobine ?
L
de la bobine.
Utilisation de l'énergie :
3.a)
3.b)
Quel est l'énergie magnétique
En déduire la self
L = π.R2 .µ0 . Nl
2
L
Em
dans la bobine ?
de la bobine.
.
2.19) Inductance propre d'un tore à section circulaire
On se place dans un repère cylindrique d'axe
On considère un tore d'axe
1)
2)
(Oz),
de rayon
(Oz).
R,
composé de
~ dans le tore
B
En déduire l'inductance propre L de ce tore
2.a) grâce au calcul du ux Φ ;
Calculer le champ magnétique
2.b)
L=
grâce au calcul de l'énergie magnétique
N
spires de section circulaire, de rayon
si y circule un courant
a R.
I.
Em .
µ0 .N 2 .a2
.
2.R
2.20) Inductance propre d'une ligne bilaire
On se place dans un repère cartésien
(Oxyz).
f
et
f0
sont deux cylindres de rayon
a,
d'axes parallèles à
Un l électrique habituel est constitué de deux ls
dans lesquels circulent des courants opposés : c'est
une "ligne bilaire".
Supposons que
distants de
D>a
f
et
f0
D
uz ;
2 circule +I dans la direction de ~
D
0
• dans f , d'abscisse x = − 2 circule −I dans la direction de ~uz .
~ ∈ − D + a; D − a , y
Quel est le champ magnétique B(x
2
2
entre les deux ls ?
•
dans
f,
d'abscisse
situés dans le plan
(xOz)
et
x=
1)
2)
(Oz),
:
Calculer le ux
= 0, z)
en un point du plan
(xOz)
compris
Φ de ce champ à travers la surface rectangulaire du plan (xOz) dénie par deux tronçons
de ls de longueur l0 .
3)
spé PC
En déduire l'inductance propre linéïque
Ll
de la ligne bilaire.
page n
◦
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Ll =
µ0
π
ln
D−a
.
a
2.21) Caractéristiques électrocinétiques d'un transformateur
1) Montrer que la tension aux bornes du primaire est
u1 = R1 .i1 + L1 .
où
M
2)
est l'inductance mutuelle entre
C1
et
di1
di2
+ M.
dt
dt
C2 .
De même, montrer que la tension aux bornes du secondaire est
u2 = R2 .i2 + L2 .
di2
di1
+ M.
dt
dt
di1
2
u2 = R2 .i2 + L2 . di
dt + M. dt .
2.22) Caractéristiques d'un transformateur idéal
On s'intéresse à un transformateur idéal.
1)
2)
3)
4)
5)
En supposant que le secondaire est à vide, montrer que
L2
M
De même, montrer que
En déduire que
Montrer que
k = 1.
N2
=N
1
u2
u1
Montrer aussi que
i2
i1
=
L1
M
=
N2
N1 .
N1
N2 .
.
=
N1
N2 .
Il y a conservation de la puissance.
2.23) Transformateur abaisseur de tension
On s'intéresse à un transformateur supposé parfait qui comporte
N1
spires au primaire, et
N2
spires au
secondaire.
Au primaire, on impose une tension sinusoïdale de valeur ecace
sinusoïdale d'amplitude
U1 = 25, 0kV ,
et on récupère une tension
U2 = 3, 32kV .
1)
En déduire le rapport du nombre de spires
2)
Quelle est la tension ecace
N1
N2 du transformateur.
On met à la sortie de ce transformateur un transformateur identique.
1)
2)
spé PC
N1
N2
U3
U3
à la sortie de cette association ?
= 10, 7.
= 220V .
page n
◦
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2016/2017
Travaux dirigés
vendredi 3 février 2017
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Les haut-parleurs électrodynamiques
Extraits de l'article wikipédia "haut-parleur"
disponible à l'adresse
https: // fr. wikipedia. org/ wiki/ Haut-parleur
un convertisseur électro-mécanique
Un haut-parleur, ou hautparleur, est un transducteur électroacoustique destiné à produire des sons à partir d'un signal électrique. Il est
en cela l'inverse du microphone. Par extension, on emploie parfois ce
terme pour désigner un appareil complet destiné à la reproduction
sonore (voir Enceinte).
Trois types de haut-parleurs, électrodynamique, électrostatique et
piézoélectrique, représentent les technologies actuelles les plus courantes. Le haut-parleur électrodynamique couvre environ 99 % du
marché. Il fonctionne selon le principe suivant :
Un moteur transforme l'énergie électrique en énergie mécanique ;
ce moteur transmet cette énergie mécanique à la membrane ;
la membrane transmet l'énergie mécanique à l'air ambiant - d'où le
son.
Le moteur est constitué comme suit :
Un ensemble générant un champ magnétique permanent (invariable
dans le temps) dans un espace donné appelé entrefer. La source de
champ magnétique est généralement un aimant permanent.
Une bobine de l est plongée dans cet entrefer.
Lorsqu'un courant parcourt cette bobine, du fait de la tension que l'on
xe à ses bornes, une force tend à faire sortir la bobine du champ B de l'entrefer (Force de Laplace).
Enoncé
L'étude mécanique du haut-parleur sera conduite en utilisant un système de coordonnées cylindriques dont
la base orthonormée directe sera notée
(e~r , e~θ , e~z ).
Ce haut-parleur peut-être modélisé en utilisant certaines hypothèses simplicatrices :
•
On considère que l'ensemble membrane et bobine mobile se comporte comme un solide rigide de masse
qui se déplace d'un seul bloc le long de l'axe
(z 0 z)
et on note
z
m
l'élongation de l'équipage mobile par rapport
à sa position d'équilibre.
•
Le spider et la suspension périphérique seront considérés comme des ressorts linéaires de constante de raideur
totale
•
k.
La force de frottement uide
F~f
exercée par l'air sur la membrane sera du type
F~f = −h dz
dt e~z
avec
h
un
coecient de frottement supposé constant.
Le circuit de l'enroulement est équivalent à une inductance propre
force électromotrice (fem)
eem
eem = `
spé PC
L
en série avec une résistance
R
et une
telle que :
page n
dz
B
dt
◦
10
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physique
année scolaire 2016/2017
Devoir non surveillé
vendredi 3 février 2017
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
Les plaques électriques
Cédric Ray et Jean-Claude Poizat
La physique par les objets quotidiens
c
Belin - Pour la Science.
Les diérentes façons de faire chauer une casserole avec de l'électricité
La cuisson est un processus qui a pour but de rendre les aliments assimilables par notre organisme et de
leur donner du goût, grâce à la modication de leurs constituants dans des réactions chimiques complexes. Ces
mécanismes de cuisson font parfois appel à un acide, comme dans un carpaccio au citron par exemple, mais ils
sont le plus souvent réalisés par chauage.
Les cuisinières électriques qui nous intéressent ici reposent toutes sur le même principe fondamental : un
matériau conducteur est chaué par un courant électrique et transfère de la chaleur aux aliments. L'invention
est à peine centenaire : si les premiers modèles datent de la n du XIXe siècle, il faudra attendre le début du
suivant pour voir apparaître des cuisinières destinées au grand public.
Qu'est-ce que le courant électrique ?
Avant de comprendre comment il est possible de chauer un matériau grâce au courant électrique, revenons
aux bases de l'électricité et plus particulièrement à la dénition du courant électrique. Rappelons que la matière
est constituée d'atomes, eux-mêmes composés d'un noyau massif et d'électrons en mouvement autour de lui.
Dans un solide, les atomes occupent des positions précises (contrairement aux liquides ou aux gaz) et ne peuvent
guère bouger. Ils vibrent cependant autour d'une position moyenne et la température du solide est une mesure
de l'amplitude de ces mouvements de vibration. Dans les matériaux conducteurs, les électrons de la bande de
conduction peuvent se déplacer d'atome en atome dans le solide. C'est ce ux d'électrons (chacun portant une
charge élémentaire négative) à l'intérieur de la matière que l'on appelle le courant électrique, dont l'intensité
s'exprime en ampères. Par exemple, c'est la diérence de potentiel (ou tension) imposée par une pile qui crée
un courant électrique dans un circuit fermé contenant une ampoule et une plaque métallique. Notons que la pile
fournit autant d'électrons (par des réactions chimiques internes) à une borne qu'elle n'en reçoit à l'autre borne.
La plaque de métal reste donc globalement neutre.
Se chauer par eet Joule
Lorsqu'ils se déplacent dans un matériau conducteur, les électrons entrent en collision avec les atomes, dont
l'amplitude de vibration augmente en conséquence. Or dans un solide, les atomes sont liés à leurs voisins (un peu
comme par des élastiques) : les collisions accroissent les amplitudes de vibration de l'ensemble des atomes du
solide, et donc sa température (qui est une mesure de cette agitation). L'échauement d'un conducteur lors du
passage du courant électrique s'appelle l'eet Joule. La fréquence des collisions caractérise la résistance électrique
du matériau : à une résistance élevée correspond une production de chaleur importante dans le matériau.
En conclusion, le matériau qui constitue les plaques électriques doit posséder une résistance importante
tout en restant conducteur. Si au contraire on souhaite faire circuler un courant électrique en minimisant
l'échauement, un conducteur de très faible résistance s'impose, comme le cuivre dont la résistance est neuf
fois plus faible que celle du fer. Notons que pour transporter de très fortes puissances en réduisant les pertes
d'énergie par eet Joule, il est préférable d'abaisser l'intensité du courant circulant dans les lignes électriques et
pour cela, d'augmenter la tension imposée aux conducteurs. C'est pourquoi le transport de l'électricité depuis
le site de production vers le consommateur fait appel à des lignes à haute tension.
Voyons maintenant quels sont les diérents types de plaques électriques en service.
Les plaques en fonte
Les plaques en fonte comptent parmi les plus anciens modèles. Les éléments chauants (par eet Joule) sont
répartis dans le corps en fonte de la plaque et transmettent leur chaleur par conduction thermique à la plaque
entière. La fonte, alliage de fer et de quelques pourcents de carbone et de silicium, sert à répartir la chaleur
de manière homogène vers la casserole. Les tables de cuisson possèdent un thermostat individuel qui contrôle
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la température de chaque feu indépendamment. Le transfert de chaleur s'eectue ensuite principalement par
conduction de la plaque vers le fond de la casserole.
Les plaques vitrocéramiques
Les plaques en fonte sont en passe d'être progressivement remplacées par des modèles dits à table de cuisson vitrocéramique. En réalité, seul
le plan de cuisson est en verre vitrocéramique, et
le nom peut prêter à confusion avec d'autres systèmes. Il s'agit d'un verre particulier qui se rapproche des céramiques par bien des propriétés, en
particulier solidité et faible coecient de dilatation thermique (donc bonne résistance aux hautes
températures). La présence d'un revêtement en
verre vitrocéramique, et donc d'une surface totalement plane et lisse, facilite grandement l'entretien au quotidien, d'autant que les boutons de
contrôle sont souvent des dispositifs tactiles intégrés dans la table. Dans ce type de table de cuisson,
les éléments chauants sont situés en dessous de
la plaque vitrocéramique. Bien que cette dernière
puisse atteindre localement des températures de
l'ordre de 600
◦
C (elle est contrôlée par un ther-
mostat de manière à ne pas dépasser 750
◦
C en
surface), le transfert de chaleur se fait majoritairement par rayonnement infrarouge. Le verre vitrocéramique est d'ailleurs choisi pour sa grande
résistance aux hautes températures, sa solidité et
sa transparence aux infrarouges. Il existe plusieurs
types de foyers pour produire la chaleur : le foyer
radiant et le foyer halogène. Les tables de cuisson
intègrent d'ailleurs souvent les deux types (gure
6).
Les foyers radiants
Les foyers radiants sont constitués d'éléments chauants en forme de spirale. Le transfert de chaleur se
fait en partie par conduction, c'est-à-dire que le foyer radiant chaue la plaque vitrocéramique, qui à son tour
chaue la casserole. Toutefois, la chaleur est essentiellement transmise par émission de rayonnement infrarouge.
En eet, un métal chaué jusqu'à l'incandescence émet certes une petite quantité de lumière visible qui lui
donne sa couleur rouge, mais produit principalement du rayonnement infrarouge invisible.
Les foyers halogènes
La plus grande partie de l'énergie électrique consommée par une ampoule halogène est transformée en
rayonnement infrarouge (ce qui explique le mauvais rendement énergétique de ces ampoules). Les foyers dits halogènes emploient justement une ampoule halogène pour chauer la casserole par rayonnement. Ce mode
de propagation de la chaleur étant rapide et le rayonnement important, l'augmentation de température de la
casserole est très rapide. Ces foyers halogènes sont en particulier très utiles pour saisir les aliments. Enn,
précisons que le rendement énergétique des foyers halogènes est meilleur que celui des foyers radiants car, dans
ces derniers, une partie de la chaleur est transférée par conduction, entraînant davantage de pertes. En eet, lors
du chauage de la table de cuisson, une partie de la chaleur est transférée à l'air environnant, et donc perdue.
Les plaques à induction
Bien qu'exploitant toujours l'eet Joule pour créer de la chaleur, les plaques à induction sont fondées sur
un système de chauage innovant puisqu'elles chauent directement la casserole grâce aux courants qui y sont
créés (induits). Si un conducteur massif, comme le fond d'une casserole, est soumis à un champ magnétique
variable, il constitue une innité de circuits fermés dans lesquels des courants induits circulent : ces derniers
portent le nom de courants de Foucault, en référence au physicien français Léon Foucault (1819-1868) ayant
étudié le phénomène (on lui doit également une éclatante mise en évidence du mouvement de rotation de la
Terre, grâce à l'installation d'un pendule géant à l'intérieur du Panthéon, à Paris).
Dans une plaque à induction, les courants de Foucault sont donc induits directement dans le fond de la
casserole par un champ magnétique variable. L'intensité de ces courants - et donc le chauage par eet Joule
qui en résulte - dépendent fortement des propriétés magnétiques du matériau employé. Les matériaux ferroma-
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gnétiques sont particulièrement adaptés. Les fabricants essayent constamment d'améliorer ces matériaux an
d'optimiser les courants créés et la diusion de la chaleur dans le fond du récipient.
Les éléments de la plaque à induction
Pour induire des courants de Foucault dans le fond des casseroles, il faut produire un champ magnétique
rapidement variable. C'est le rôle des bobines dites inductrices (gure 11), parcourues par un courant alternatif
de haute fréquence : environ 25 kHz, soit 25 000 changements de sens par seconde.
La table de cuisson qui sépare les bobines et les casseroles est constituée d'une plaque en verre vitrocéramique.
Notons que la plaque de vitrocéramique n'est pas chauée directement puisque les courants induits chauent
directement le fond de la casserole. Ce système de chauage direct réduit les pertes d'environ 20% par rapport
aux plaques en fonte.
Enoncé
1)
Neutralité des conducteurs :
Démontrer que, dans le cas d'une "diérence de potentiel (ou tension) imposée par une pile qui crée un
courant électrique dans un circuit fermé contenant une ampoule et une plaque métallique [...] la plaque de métal
reste globalement neutre."
2)
Eet Joule dans une résistance cylindrique
On considère un conducteur ohmique de conductivité
dont la section est un disque de rayon
a).
γ,
Ce conducteur, qui est parcouru par un courant
i
(Oz), de longueur L,
(~ur , ~uθ , ~uz ) d'axe (Oz).
une tension u à ses bornes (en
immobile, cylindrique (d'axe
On se place dans le repère cylindrique
(vers les
z
croissants) subit
convention récepteur).
Dans toute cette partie, on suppose que la densité volumique de courant y est homogène et permanente :
~j = jz .~uz .
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On donnera les réponses en fonction de
i, γ , L
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et
a.
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2.a)
2.b)
2.c)
2.d)
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Déterminer la résistance d'un conducteur.
Ee et du champ magnétique Em dans le conducteur.
~π dans le conducteur en fonction de i, L, a et γ .
En déduire la puissance rayonnée Pr à travers la surface fermée qui délimite le conducteur ohmique
puis la puissance dissipée Pd par eet Joule dans le conducteur ohmique. Comparer ces puissance à la puissance
Exprimer les énergies du champ électrique
Exprimer le vecteur de Poynting
électrique échangée par le conducteur ohmique.
3)
Transport de l'électricité
3.a)
Supposons que EDF distribue l'électricité simplement, depuis la centrale électrique jusqu'à l'utili-
sateur (simulé par une résistance
Ru )
avec des ls électriques (pris en compte par une résistance
Rf ≈ Ru ).
Quels seraient les inconvénients d'une telle distribution ?
3.b)
En fait, EDF élève la tension grâce à plusieurs transformateurs élévateurs (le schéma ci-dessous
pour plus de clarté n'en présente qu'un) avant d'acheminer sur ses lignes (Rf ) la puissance électrique, puis
distribue au consommateur après une diminution de la tension grâce à des transformateurs abaisseurs.
Montrer que les précédents inconvénients ont disparu.
4)
Chauage par induction
Dans une plaque à induction d'axe
4.a)
4.b)
~ = B0 cos (ω t).
Oz , on suppose que le champ magnétique est homogène : B
ω . Est-on dans le cadre de l'ARQS ?
Donner un ordre de grandeur de
Pourquoi des courants orthoradiaux naissent dans la casserole ? Pourquoi la casserole chaue-t-elle ?
Devoir surveillé
samedi 4 février 2017
Un DS commun aura lieu samedi 4 février 2017 de 8h à 12h, il portera sur Electromagnétisme et magnétostatique.
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