Régimes stationnaires

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CHAPITRE E2
CHAPITRE E2
RÉGIMES STATIONNAIRES
Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre des régimes stationnaires, c’est-à-dire
indépendants du temps. Aucune des grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute
dérivée du type ∂
∂t est donc identiquement nulle.
En particulier les distributions de charges seront telles que ∂ρ
∂t = 0. En ce qui concerne l’étude du
champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes
statiques associés à des charges immobiles dans le référentiel d’étude. Il est cependant plus large
puisqu’on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut :
imaginons par exemple le cas d’un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à
son axe à vitesse constante.
1. LOI DE CONSERVATION DE LA CHARGE
1.1. Loi des nœuds
L’équation de conservation de la charge implique qu’en régime stationnaire, une distribution de
courants est nécessairement telle que
!
divj
!
=0
.
En régime stationnaire,
!
j
est à flux conservatif.
Ceci revient à dire que le flux de
!
j
est le même à travers toute section d’un tube de courant : en
régime stationnaire, pour des circuits filiformes, l’intensité est la même en tout point du circuit.
Elle est de plus évidemment indépendante du temps (on parle souvent de courant continu).
La loi des noeuds est une autre conséquence de div
!
j
= 0. Sur la figure ci-dessous, un courant I se
répartit dans deux branches en I1 et I2. Si l’on écrit que le flux de
!
j
est nul à travers la surface fermée
Σ, on obtient, compte tenu des changements d’orientation de surface au passage
surface ouverte - surface fermée :
!
j dS =0=j dS
S
"" +
#
"" j dS
S1
"" +j dS
S2
"" =$I+I1+I2
dont on déduit la loi des nœuds : I = I1+I2.

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I1
I2
€
n
€
n
€
n
S2
S1
1.2. Courant dans les conducteurs ohmiques - Loi d’Ohm
intégrale – Résistance électrique – Loi de Joule
1.2.1. Loi d’Ohm intégrale – Résistance.
Le modèle de conduction des conducteurs dits ohmiques nous a permis dans le chapitre précédent
de relier la densité volumique de courant électrique
!
j
au champ électrique
!
E
créant ce courant par la
loi d’Ohm locale :
!
j
= γ
!
E
. Nous allons montrer que cette relation de proportionnalité va entraîner
celle de l’intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique avec la différence de
potentiel que l’on applique à ses bornes.
Si le champ électrique est permanent, on peut écrire :
!
E="gradV
ou encore
!
dV ="E.dl
.
Considérons alors une portion de circuit limitée par deux surfaces équipotentielles S1 et S2
respectivement aux potentiels V1 et V2. L'intensité I du courant est donnée par le flux de
!
j
à travers
S1 (ou S2).
!
I=dI
"=j .dS
S
""
De même, en faisant circuler le champ de
1 à 2, on obtient :
!
V
1"V2=E.dr
1
2
#
En outre, en utilisant la relation
!
j
= γ
!
E
,
on remarque que si on multiplie par un réel
quelconque λ le champ en tout point, on
multiplie par le même réel I et la différence
de potentiel ...
S1
S2
!
dS
V1
V1
V2
!
dl
!
j
!
E
Il existe donc une relation de proportionnalité entre ces deux grandeurs, et l'on peut écrire :

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!
V
1"V2
I=
E.dr
1
2
#
j
S
## .dS =R
La grandeur R est une caractéristique de la portion du conducteur considérée, dépendant de sa
constitution et de sa géométrie. Ce terme est appelé résistance de la portion considérée.
Rq. La résistance s'exprime en ohms (Ω), la conductivité en Ω-1.m-1 et on pose souvent ρ = 1
γ
résistivité en Ω.m.
Comme nous l'avons précédemment remarqué, il n'existe ni conducteurs parfaits ( γ infinie), ni
isolants parfaits (γ nulle). La conductivité est une des grandeurs physiques qui a le plus grand
domaine de variation. Elle peut varier, par exemple, de 6.107 Ω-1.m-1 pour un bon conducteur
comme le cuivre , à 10--22 Ω-1.m-1 pour un bon isolant.
Finalement la forme intégrale de la loi d'Ohm est :
V1 - V2 = RI
le sens algébrique positif du courant étant pris de 1 vers 2. On retrouve là une relation bien connue.
1.2.2. Résistance d’un conducteur filiforme
Pour un conducteur filiforme de section constante S et de longueur L, j est uniforme et I = jS. En
outre, E est également uniforme (puisque
!
j
= γ
!
E
) et V1 - V2 = EL. D’où :
V1 - V2 = j
γ L = I
γS L = RI
R = L
γS
1.2.3. Loi de Joule intégrale
Si l'on prend l'exemple simple d'un conducteur filiforme, assimilé à un tube de courant de section
s, entre deux sections aux potentiels V1 et V2, la puissance totale dissipée est :
P = ∫∫∫τ I2
γ s2 dτ = I2 ∫ 1
γ dl
s = RI2
On retrouve l'expression classique
P = RI2

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2. CHAMP ELECTRIQUE STATIONNAIRE
2.1. Rappel des propriétés intégrales
2.1.1. Champ et potentiel créés par une distribution de charges
Considérons une distribution volumique de charges ρ(P) à l’intérieur d’un volume τ. Le champ
!
E
stationnaire créé en tout point M de l’espace est donné par :
!
E(M) =1
4"#0
$(P)u
r2
P% &
''' d&
Cette expression est applicable pour toute
distribution, même d'extension infinie. Elle est
connue sous le nom de loi de Coulomb.
Pour des distributions d’extension finie, le
potentiel V associé est calculable par :
V(M) = ∫∫∫τ 1
4πε0 ρ(P) r dτ
!
u
!
d"
M
r
P
Rq.1 Ces expressions s'étendent aux distributions limites surfaciques, linéiques et ponctuelles en
remplaçant l'intégrale volumique en intégrale surfacique, curviligne ou simple somme.
Rq.2 L’expression du potentiel montre notamment qu’il tend vers 0 quand on s'éloigne à l'infini
de la distribution. C'est un choix qui rend unique la solution prise pour le potentiel.
2.1.2. Flux : théorème de Gauss
Le champ électrique stationnaire possède des propriétés remarquables qui s’expriment sous forme
d’intégrales portant sur un domaine quelconque de l’espace. Ainsi le flux de
!
E
à travers toute surface
fermée s’écrit :
le flux de
!
E
à travers toute surface fermée est égal au quotient par ε0 de la charge
totale contenue dans le volume délimité par cette surface :
!
E.dS =Qint
"0
S
##

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A ce stade, l’intérêt du théorème de Gauss est surtout pratique : il permet en effet, par un choix de
surfaces judicieux, de calculer
!
E
plus facilement que par la loi de Coulomb, dans des problèmes à
forte symétrie où la direction du champ est connue à priori.
Ainsi, pour des distributions à symétrie sphérique, le champ à l’extérieur de la distribution
est le même que si la charge était rassemblée en son centre.
2.1.3. Circulation et potentiel
En outre, tout champ électrique stationnaire est à circulation conservative : sa circulation le long
d'un contour fermé est toujours nulle.
C
!
!
E
.
!
dl
= 0 : tout champ
!
E
stationnaire est à circulation conservative
C’est d’ailleurs cette propriété importante qui permet d’associer un potentiel scalaire V au champ
!
E
.
Nous allons à présent traduire localement ces propriétés intégrales, comme nous l’avions fait pour
l’équation de conservation de la charge.
2.2. Équations locales
2.2.1. Flux et divergence
Revenons au théorème de Gauss :
S
!!
!
E
.
!
dS
= Qint
ε0 = ∫∫∫τ
ρ
ε0 dτ
Par application du théorème d'Ostrogradski, nous pouvons écrire :
S
!!
!
E
.
!
dS
= ∫∫∫τ div
!
E
dτ
D’où :
∫∫∫τ ρ
ε0 dτ = ∫∫∫τ div
!
E
dτ ∀τ
Nous pouvons en déduire l’égalité des fonctions sous le signe intégrale :
div
!
E
= ρ
ε0
Cette équation, connue sous le nom de Maxwell-Gauss, représente la forme locale du théorème de
Gauss : elle montre notamment que le champ électrique diverge à partir des charges qui sont ses
sources.
2.2.2. Circulation et rotationnel
L’intégration de la circulation d’un champ
!
A
sur un contour fermé fini est reliée, par le théorème
de Stokes, au flux de son rotationnel à travers la surface délimitée par le contour :