Physique des ondes

$1(& 14*  & 4"6%3"*4
1IZTJRVF EFT POEFT **  0OEFT TPOPSFT EBOT MFT ýVJEFT
0OEF TPOPSF
Une onde sonore — ou onde acoustique — est une onde longitudinale de pression, se propageant dans un
milieu matériel.
!Une onde sonore ne peut se propager dans le vide.
!Une onde sonore peut être décrite comme une onde de déplacement. Les mouvements des particules ont
une très faible amplitude (micrométrique).
!Le milieu de propagation peut être solide ou fluide.
"QQSPYJNBUJPO BDPVTUJRVF
On utilise le formalisme eulérien :
champ eulérien pression vitesse masse volumique
en l’absence d’onde P0
#»
0µ0
en présence d’onde P(M,t)=P0+p1(M,t)#» v(M,t)=#» v1(M,t)µ(M,t)=µ0+µ1(M,t)
!Le champ p1(M,t), algébrique, est appelé surpression, ou pression acoustique.
!Le champ µ1(M,t) est algébrique.
L’approximation acoustique portent sur les champs caractérisant l’onde acoustique, portant l’indice 1 :
"ce sont des infiniment petits du même ordre, ainsi que leurs dérivées spatiale et temporelle ;
"leur moyenne temporelle est nulle : 〈p1(M,t)〉=0;〈µ1(M,t)〉=0 et 〈#» v1(M,t)〉=
#»
0.
Le fluide est supposé idéal, subissant une évolution adiabatique réversible, et la pesanteur est négligée.
²RVBUJPOT EF MBDPVTUJRVF MJOÏBJSF
Les expressions sont linéarisées, en se restreignant au premier ordre vis-à-vis des grandeurs d’indice 1 et de leurs
dérivées.
Les champs eulériens de vitesse #» v1, de surpression p1et de variation de masse volumique µ1vérifient, dans
le cadre de l’approximation acoustique, les équations linéaires suivantes :
Équation d’Euler µ0∂#»
v1(M,t)
∂t=−
# »
gradp1(M,t)
Conservation de la masse ∂µ1(M,t)
∂t+µ0div #»
v1(M,t)=0
Adiabaticité µ1(M,t)=µ0χSp1(M,t)
!L’écoulement associé à une onde acoustique est compressible : div #» v1$=0.
!L’écoulement associé à une onde acoustique est irrotationnel : # » rot #» v1=
#»
0.
!Le coefficient de compressibilité adiabatique du fluide est défini par :
χS=−1
V!∂V ∂P"S
=1
µ!∂µ ∂P"S
²RVBUJPO EPOEF
La surpression vérifie l’équation de d’Alembert
∂2p1(M,t)
∂t2−c2∆p1(M,t)=0 avec c2=1 µ0χS
!La célérité cne dépend que des caractéristiques du milieu de propagation ; elle ne dépend pas de l’onde.
!Les champs #» v1(M,t) et µ1(M,t) vérifient la même équation de d’Alembert.
!L’évolution du fluide étant adiabatique réversible, la loi de Laplace permet d’établir l’expression de la cé-
lérité des ondes sonores dans un gaz parfait de masse molaire M:
c=#γRT0
M
0OEFT QMBOFT QSPHSFTTJWFT IBSNPOJRVFT 011)
/PUBUJPO DPNQMFYF
La linéarité des équations permet d’utiliser la notation complexe.
À la surpression p1(M,t)=p10 cos(ωt−
#»
k·#» r+ϕ) on associe la grandeur complexe
p1(M,t)=p10 ei(ωt−
#»
k·#» r)avec p10 =p10 eiϕ.
On en déduit les équations complexes de l’acoustique linéaire :
Équation d’Euler µ0ω#» v1(M,t)=p1(M,t)#» k
Conservation de la masse ωµ1(M,t)=µ0
#»
k·#» v1(M,t)
Adiabaticité µ1(M,t)=µ0χSp1(M,t)
$BSBDUÒSF MPOHJUVEJOBM
On déduit de l’équation d’Euler :
Les ondes sonores dans les fluides sont longitudinales : la vitesse des particules de fluides due à l’onde est
parallèle à la direction de propagation de l’onde.
!Cette propriété reste vraie pour les ondes planes progressives quelconques : p1(M,t)=f(x−ct).
*NQÏEBODF BDPVTUJRVF
La surpression et la vitesse sont en phase en tout point, à chaque instant.
L’impédance acoustique d’un fluide de masse volumique µ0et de coefficient de compressibilité adiabatique
χSest définie, pour une onde plane progressive harmonique, par
Za=p1(M,t)
v1(M,t)=µ0c=$µ0 χS
!L’impédance acoustique ne dépend que des caractéristiques du milieu de propagation.
!L’impédance acoustique relative à une OPPH se propageant dans le sens opposé est Za=−µ0c.
!Cette expression de l’impédance acoustique se généralise aux ondes planes progressives de forme quel-
conque 1.
1. Ondes planes progressives non harmoniques.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
2

!Pour une onde non plane ou non progressive, la surpression et la vitesse ne sont a priori pas en phase.
!Dans le cas d’une onde sonore se propageant dans un tuyau de section S, on définit parfois l’impédance
acoustique par Za=p1
Sv1.
²OFSHJF EVOF POEF TPOPSF
%FOTJUÏ WPMVNJRVF EÏOFSHJF TPOPSF
La présence d’une onde sonore est associée à la présence d’une énergie mécanique portée par les particules de
fluide. La propagation de l’onde sonore se traduit par la propagation de cette énergie mécanique.
En présence d’une onde sonore, un volume dτcontient une énergie dE=e(M,t)dτoù la densité volumique
d’énergie sonore e(M,t) est donnée par
e(M,t)=1
2µ0
#»
v2
1(M,t)+1
2χSp2
1(M,t)
!Le terme 1
2µ0
#»
v2
1représente la densité volumique d’énergie cinétique du fluide en présence de l’onde so-
nore.
!Le terme 1
2χSp2
1représente la densité volumique d’énergie potentielle emmagasinée par le fluide sous
l’effet des forces de pression en présence de l’onde sonore.
7FDUFVS EFOTJUÏ EF DPVSBOU ÏOFSHÏUJRVF
La puissance dP(t) transmise à travers une surface orientée d#» Sest donnée par le flux du vecteur densité de
courant énergétique #» Π(M,t):
dP(t)=
#»
Π(M,t)·d#» Savec #» Π(M,t)=p1(M,t)·#» v1(M,t)
!La norme %
#»
Π(M,t)%du vecteur densité de courant énergétique s’exprime en W·m−2.
!Le bilan local d’énergie sonore s’écrit
∂e(M,t)
∂t+div #»
Π(M,t)=0
$BT EF MPOEF QMBOF QSPHSFTTJWF IBSNPOJRVF
Pour une OPPH se propageant selon le vecteur unitaire #» u:
e(M,t)=µ0v2
1(M,t)=χSp2 1(M,t) et #»
Π(M,t)=µ0cv2
1(M,t)#»
u=p2
1(M,t)
µ0c
#»
u
!L’énergie d’une onde sonore progressive harmonique est également répartie entre l’énergie potentielle et
l’énergie cinétique : ec(M,t)=ep(M,t)=e(M,t)/2.
*OUFOTJUÏ FU OJWFBVY TPOPSFT
L’intensité sonore d’une onde acoustique est le flux surfacique moyen en temps du vecteur densité de cou-
rant énergétique :
I=〈%
#»
Π(M,t)%〉.
!L’intensité sonore représente la puissance moyenne transporté par l’onde par unité de surface.
!Elle s’exprime en W·m−2.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
3
Le niveau sonore d’une onde acoustique dans l’air est défini par :
IdB =10log I
I0
où l’intensité de référence est I0=10−12 W·m−2.
!Le niveau sonore s’exprime en décibels (dB).
3ÏýFYJPO FU USBOTNJTTJPO EVOF POEF TPOPSF FOUSF EFVY NJMJFVY
On considère deux milieux semi-infinis séparées par une interface
plane en x=0, appelée dioptre acoustique, donc les caractéris-
tiques sont :
x<0(milieu 1) : µ10,c1, impédance acoustique Z1;
x>0(milieu 2) : µ20,c2, impédance acoustique Z2.
0x
milieu (1) milieu (2)
onde incidente
onde réfléchie
onde transmise
onde incidente : pi(x,t)=f(t−x/c1) et vi(x,t)=f(t−x/c1)/Z1;
onde réfléchie : pr(x,t)=g(t+x/c1) et vr(x,t)=−g(t+x/c1)/Z1;
onde transmise : pt(x,t)=h(t−x/c2) et vt(x,t)=h(t−x/c2)/Z2.
La vitesse et de la pression sont continues à l’interface : vi(0,t)+vr(0,t)=vt(0, t) et pi(0,t)+pr(0,t)=pt(0, t).
$PFGåDJFOUT EF SÏýFYJPO FO BNQMJUVEF
On définit rv=vr(0,t)
vi(0,t)et rp=pr(0,t) pi(0,t). On établit rv=Z1−Z2 Z1+Z2et rp=Z2−Z1 Z1+Z2.
$PFGåDJFOUT EF USBOTNJTTJPO FO BNQMJUVEF
On définit tv=vt(0, t)
vi(0,t)et tp=pt(0,t) pi(0,t). On établit tv=2Z1 Z1+Z2et rp=2Z2 Z1+Z2.
!La transmission se fait sans déphasage : tv>0 et tp>0.
!La réflexion se fait avec un changement de signe (déphasage π) pour la surpression ou la vitesse selon le
signe de Z1−Z2.
!Dans le milieu (2), on observe une onde progressive.
!Dans le milieu (1), l’onde est a priori ni stationnaire ni progressive. Cas particuliers :
"On observe une onde progressive si Z1=Z2. Il n’y a pas d’onde réfléchie ; on dit que les impédances
acoustiques des deux milieux sont adaptées.
"Si l’onde incidente est harmonique, on observe une onde stationnaire si Z2=0(P(x,t)=P0pour
x>0 ; cas d’un tuyau ouvert) ou si Z2→∞(obstacle rigide en x=0 ; cas d’un tuyau fermé).
$PFGåDJFOUT EF SÏýFYJPO FU EF USBOTNJTTJPO QPVS MFT QVJTTBODFT TPOPSFT
On définit R=Ir(0,t)
Ii(0,t)et T=It(0,t) Ii(0,t). On établit R=!Z2−Z1 Z2+Z1"2
et T=4Z1Z2
(Z1+Z2)2.
!La relation R+T=1 traduit la conservation de l’énergie sonore à l’interface.
!Si Z1=Z2(impédances des deux milieux adaptées), on a R=0 et T=1. Le coefficient Tdiminue rapide-
ment quand l’écart entre Z1et Z2augmente.
Une interface ne transmet correctement les ondes acoustiques que si les impédances des deux milieux
sont proches..
14* +BDBN  & 4BVESBJT
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