methodes d`optimisation combinatoire resume table des

METHODES D’OPTIMISATION COMBINATOIRE
IRENE CHARON, OLIVIER HUDRY, ANNE GERMA
RESUME
Cet ouvrage propose une introduction aux méthodes généralement utilisées
dans le domaine de l'optimisation combinatoire. Son objectif est double :
proposer un ensemble de modélisations classiques, à l'aide principalement de
la théorie des graphes et de la programmation linéaire ; décrire un ensemble de
méthodes exactes ou approchées pour résoudre les problèmes d'optimisation
ainsi modélisés Composé de trois parties (programmation linéaire, algorithmes
dans les graphes, méthodes d'optimisation combinatoire), l'ouvrage propose de
nombreux exercices, tous corrigés. Issu d'un cours de première et deuxièmes
années de l'Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications, il s'adresse
aux élèves des écoles d'ingénieurs, aux étudiants de deuxième cycle, ainsi
qu'à tous ceux (ingénieurs, chercheurs...) qui souhaitent se familiariser avec
les méthodes d'optimisation combinatoire le plus souvent utilisées.
TABLE DES MATIERES
Introduction 1
I. L'algorithme du simplexe 5
I.1.Introduction 5
I.2.L'algorithme du simplexe appliqué à un exemple 7
I.3.La dégénérescence et le cyclage 10
I.4.Recherche d'un dictionnaire réalisable 13
I.5.Annexe : la forme du pivot 15
I.6.Exercices 16
II. Forme matricielle de la méthode du simplexe 19
II.1 Généralités 19
II.2.Version matricielle d'une itération de la méthode du simplexe 21
II.2.1.Recherche d'une variable entrante 21
II.2.2.Recherche d'une variable sortante 22
II.2.3.Actualisation 22
II.2.4.Résumé 22
II.3.Un exemple d'application de la méthode 23
II.4.Application au problème de découpe 26
II.5.Exercice 31
III. Dualité 33
III.1.Définition du problème dual 33
III.2.Théorème de la dualité 34
III.3.Le théorème des écarts complémentaires : un certificat d'optimalité 37
III.4.La signification économique du dual 38
III.5.Problème dual-réalisable 40
III.6.Exercices 41
IV. Généralités sur les graphes. Arbre couvrant de poids minimum 43
IV.1.Introduction à la théorie des graphes et définitions 43
IV.2.Représentation des graphes en machine 44
IV.2.1.Matrice d'adjacence (sommets-sommets) 45
IV.2.2.Tableau de listes d'adjacence 45
IV.3.Complexité d'un algorithme 46
IV.4.Le problème de l'arbre couvrant de poids minimum 47
IV.4.1.Définition du problème 47
IVA.2.Une application en réseaux 47

IVA.2.Une application en réseaux 47
IV.4.3.Une application en traitement d'images 48
IV.4.4.Algorithme de Kruskal 48
IV.4.5.Algorithme de Prim 50
IV.5.Exercices 52
V. Problèmes de plus courts chemins 55
V.1.Définition des différents problèmes 55
V.1.1.Définitions nécessaires à ce chapitre 55
V.1.2.Problèmes 56
V.2.Plus courts chemins d'un sommet à tous les autres : cas des valuations positives 57
V.2.1.Motivation 57
V.2.2.Algorithme de Dijkstra 58
V.3.Plus courts chemins d'un sommet à tous les autres : cas des graphes sans circuit 60
V.3.1.Motivation 60
V.3.2.Algorithme de Bellman 60
V.4.Plus courts chemins d'un sommet à tous les autres : cas général 62
V.4.1.Motivation 62
V.4.2.Algorithme de Ford 62
V.4.3.Algorithme général de Ford-Dantzig 63
V.5.Plus courts chemins de tout sommet à tout sommet : cas général 64
V.6.Exercices 65
VI. Parcours de graphes 69
VI.1.Définition d'un algorithme de « parcours de graphe » 69
VI.1.1.Cas orienté 69
VI.1.2.Cas non orienté 72
VI.1.3.Complexité 72
VI.2.Les parcours « marquer-examiner » 73
VI.2.1.Généralités 73
VI.2.2.Résultat d'un parcours « marquer-examiner » selon une file le parcours en largeur 74
VI.2.3.Résultat d'un parcours « marquer-examiner » suivant une pile 74
VI.3.Les parcours en profondeur 74
VI.3.1.Le cas orienté 74
VI.3.2.Le cas non orienté 76
VI.4 Applications des parcours en profondeur 78
VI.4.1.Application à la détermination des composantes fortement connexes 78
VI.4.2.Application à la détermination des sommets d'articulation d'un graphe non orienté 80
VI.4.3.Application à la détermination des composantes 2‑connexes d'un graphenon orienté 82
VI.5 Exercices 84
VII. Flot maximum et coupe de capacité minimum 85
VII.I.Introduction, théorème du flot et de la coupe 85
VII.1.1.Introduction 85
VII.1.2.Définitions, notations et problèmes 86
VII.1.3.Résultats théoriques 86
VII.1.4.Lien avec la programmation linéaire 87
VII.2.Algorithme de Ford et Fulkerson 88
VII.2.1.Chaîne augmentante 88
VII.2.2.Description de l'algorithme de Ford et Fulkerson 89
VII.2.3.Un exemple 91
VII.2.4.Preuve, convergence et complexité de l'algorithme 92
VII.3.Compléments : algorithme de Dinic et algorithme de Busacker et Gowen 93
VII.3.1.Graphe d'écart 94
VII.3.2.Algorithme de Dinic 94
VII.3.3.Algorithme de Busacker et Gowen 95
VII.4.Exercice 96
VIII. Applications de la théorie des flots 97
VIII.1.Application à la détermination des connectivités d'un graphe 97
VIII.1.1.Forte arc-connectivité d'un graphe orienté 97
VIII.1.2.Détermination de l'arête connectivité d'un graphe non orienté 99
VIII.1.3.Forte connectivité d'un graphe orienté, connectivité d'un graphe non orienté 100
VIII.2.Couplage maximum dans un graphe biparti 101
VIII.2.1.Un exemple et quelques définitions 101
VIII.2.2.Modélisation d'un problème d'affectation et solution du problème des mariages 102
VIII.3.Exercice 103
IX. Le problème de transport 105
IX.1.Position du problème 105
IX.2.Arbres réalisables 107
IX.3.Recherche d'une solution optimale à partir d'une solution réalisable 108
IX.4.Recherche d'un arbre réalisable 112

IX.4.Recherche d'un arbre réalisable 112
IX.5.Modélisation et résolution à l'aide de la théorie des flots 113
IX.6.Exercices 114
X. Complexité d'un problème 117
X.1.Présentation et premières définitions 117
X.1.1.Problème du voyageur de commerce 117
X.1.2.Taille d'une instance 118
X.1.3.Machine de Turing et complexité d'un algorithme 118
X.1.4.Problème de reconnaissance 121
X.2.Classes P et NP ; problèmes NP-complets 123
X.2.1.La classe P 123
X.2.2.La classe NP 123
X.2.3.Problèmes NP‑complets 124
X.2.4.Problèmes NP‑difficiles 128
X.3.Exercices 129
XI. Méthodes par séparation et évaluation 131
XI.1.Introduction 131
XI.2.Problème du sac à dos : méthodes heuristiques 132
XI.2.1.Première heuristique 133
XI.2.2.Seconde heuristique 133
XI.3.Méthode par séparation et évaluation pour le problème du sac à dos 133
XI.3.1.Principe de séparation 134
XI.3.2.Principe d'évaluation et utilisation de la borne 135
XI.3.3.Stratégie de développement 136
XI.3.4.Application au problème de sac à dos 137
XI4.Application au problème du voyageur de commerce 138
XI.4.1.Forme linéaire en 0‑1 du problème du voyageur de commerce 138
XI.4.2.Définition d'une fonction d'évaluation 139
XI.4.3.Description d'une méthode par séparation et évaluation 139
XI.5.Exercices 140
XII. La programmation dynamique 141
XII.l.Les problèmes de la partition et du sac à dos 141
XII.1.1.Le problème de la partition 141
XII.1.2.Résolution du problème de la partition par la programmation dynamique 142
XII.1.3.Résolution du problème du sac à dos par la programmation dynamique 143
XII.2.Un problème d'entrepôt 144
XII.3.Le problème du voyageur de commerce 146
XII.4.Complexité de la méthode utilisée 148
XII.5.Exercices 149
XIII. Relaxation la grangienne 153
XIII.1.Position du problème 153
XIII.2.Résolution du problème dual 155
XIII.2.1.Principe de la méthode 155
XIII.2.2.Etude du problème de chemin de coût minimum à une contrainte 157
XIII.3.Maximum du minimum d'une famille de fonctions linéaires 161
XIII.4.Exercice 163
XIV. Méthodes approchées définies par un voisinage 165
XIV.1.Introduction 165
XIV.1.1.La fable des randonneurs 165
XIV.1.2.Formulation du problème 167
XIV.2.Principe des méthodes de descente (méthodes d'amélioration itérative) 167
XIV.2.1.Voisinage d'une solution 168
XIV.2.2.Quelques voisinages habituels 168
XIV.2.3.Exemple : le problème du voyageur de commerce 169
XIV.2.4. Schéma général d'une descente 170
XIV.2.5. Algorithmes gloutons 171
XIV.2.6. Méthodes par partitionnement 172
XIV.3. Le recuit simulé 173
XIV.3.1. Une analogie avec la thermodynamique 173
XIV.3.2. Schéma du recuit simulé 174
XIV.3.3. Interprétation de cette méthode, appliquée au problème du voyageur de commerce 176
XIV.3.4. Modèles de recuit 177
XIV.3.5. Exemple d'application : le problème du voyageur de commerce euclidien 180
XIV.4. La méthode Tabou 181
XIV.4.1. Principe de la méthode Tabou 181
XIV.4.2. Amélioration de la méthode Tabou 183
XIV.4.3. Un exemple d'application : le partitionnement de graphes 183
XIV.5. Exercices 185

XIV.5. Exercices 185
XV. Algorithmes génétiques 187
XV.1. Introduction : de la génétique à l'algorithmique 187
XV.2. Principe des algorithmes génétiques 188
XV.2.1. Le codage 189
XV.2.2. La sélection 190
XV.2.3. Le croisement 192
XV.2.4. La mutation 193
XV.2.5. Autres opérateurs 193
XV.3. La théorie des schémas 194
XV.4. Application à un problème d'antennes 195
XV.4.1. Codage 195
XV.4.2. Croisement 195
XV.4.3. Mutation 196
XV.4.4. Résultats 196
XV.5.Exercices 196
Corrigés des exercices 199
1.Chapitre I 199
2.Chapitre II 205
3.Chapitre III 206
4.Chapitre IV 216
5.Chapitre V 218
6.Chapitre VI 223
7.Chapitre VII 227
8.Chapitre VIII 229
9.Chapitre IX 230
10.Chapitre X 238
11.Chapitre XI 241
12.Chapitre XII 246
13.Chapitre XIII 250
14.Chapitre XIV 257
15.Chapitre XV 260
Bibliographie 263
Index 265
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