Physique des ondes

Physique des ondes
Dans une première partie, l’objectif de cette rapide synthèse consiste à souligner les
principales propriétés associées aux phénomènes de propagation : l’existence d’un couplage spatiotemporel, les solutions dans certaines situations simples et la délicate étude des propriétés
énergétiques. Ceci sera illustré dans le cas des cordes vibrantes. Nous évoquerons ensuite quelques
autres situations : ondes sonores, ondes électromagnétiques et les ondes dans un câble coaxial.
Ensuite nous aborderons l’étude du phénomène de dispersion en en étudiant les causes : la
dispersion due au milieu et celle liée au guidage de l’onde, et les effets : étalement du paquet d’onde et
vitesse de groupe.
1. Etude de la corde vibrante.
1.1. Mise en équation.
Il s’agit dans ce paragraphe de bien souligner la suite d’hypothèses qui permet d’établir la
« célèbre » équation des ondes dans le cas de la corde vibrante.
Le fil est décrit comme une distribution linéique de masse de densité µ. Au repos, le fil est
r
r
confondu avec l’axe des x. On note To = To e x la tension au repos comme de suggère le dessin de la
figure 1, elle représente précisément l’action de la partie droite du fil sur la parti gauche.
x
r
r
To = To e x
figure 1
Hypothèse 1
On néglige le poids de la corde devant la tension du fil.
Hypothèse 2
La corde est sans raideur, c’est-à-dire qu’elle n’offre aucune résistance à la
courbure, la tension de la corde est donc toujours « tangente à la corde ».
Première mise en équation : cette démarche illustre parfaitement la méthode à suivre dans le
cas des milieux continus.
Etape 1 : Repérage d’un système fermé infinitésimal. On isole la portion de fil qui au repos est située
r
entre x et x+dx. On note s ( x , t ) la position, à la date t, du point de la corde qui au repos se trouve en x
r
et s ( x + dx , t ) celle qui se trouve en x + dx.
r
Etape 2 : Bilan des forces extérieures. On note T (x , t ) l’action en x de la partie droite de la corde sur
r
r
la partie gauche, cet élément de corde est donc soumis aux forces : T(x + dx, t ) et − T(x , t ) . La
figure 2 représente les actions et le repérage de la corde.
Stage Ondes
page 1
D.Obert
r
T(x + dx, t )
r
- T(x , t )
r
s ( x + dx, t )
r
s (x, t )
r
ex
x+dx
x
figure 2
Etape 3 : Utilisation du théorème du centre de masse. On obtient successivement les deux équations
suivantes :
r
r
r
r
∂ 2 s ∂T( x , t )
∂2s r
µdx 2 = T( x + dx , t ) − T( x , t ) soit : µ 2 =
[1]
∂x
∂t
∂t
1.2. Approximation des petites amplitudes : étude des vibrations transversales.
On formule trois nouvelles hypothèses :
Hypothèse 3
Les vibrations se font dans un plan ( le plan xOy ) par exemple. On n’étudiera
pas ici les propriétés liées à la torsion de la corde par exemple. On peut donc
r
r
r
écrire s ( x , t ) = u ( x , t )e x + y( x , t )e y . Le premier terme représente les
vibrations longitudinales et le second les vibrations transversales.
L’angle que fait la corde avec l’axe Ox est petit : α( x , t ) << 1 ; ainsi
Hypothèse 4
tan α =
∂y
≈α.
∂x
α( x, t )
x
Hypothèse 5
r
ex
x+dx
figure 3
On suppose enfin que l’on peut négliger l’élasticité de la corde et donc que la
r
r
tension de la corde est pratiquement constante : T ( x , t ) − To << To .
Si l’on projette l’équation [1] suivant y, on obtient µ
faisant l’hypothèse des petits angles : µ
∂ 2 y ∂ (To sin α( x , t ) )
=
ce qui devient en
∂x
∂t 2
∂2y
∂2y
T
=
[2].
o
∂t 2
∂x 2
Cette dernière équation est l’équation de propagation ou équation de d’Alembert à une
dimension. Elle assure le « couplage » entre les variables d’espace et de temps qui va permettre de
décrire efficacement le phénomène de propagation.
Stage Ondes
page 2
D.Obert
1.3. L’équation de d’Alembert.
To
, cette grandeur est homogène à une vitesse : c’est la célérité des ondes.
µ
On montre que la solution de cette équation est du type : y( x , t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) ,
On pose c =
c’est-à-dire la somme d’une onde progressive dans le sens des x positifs pour le premier terme et des x
négatifs pour le second.
Ainsi une onde décrite par une structure du type : f ( x − ct ) se déplace sans déformation dans
le sens des x positifs. Un tel milieu est donc non dispersif…
On peut donc simuler la propagation d’une onde ainsi que le croisement de deux ondes
comme le suggère le programme de TS.
figure 4
On peut également trouver la solution à l’équation de propagation dans le cas d’une corde de
grande longueur que l’on déforme initialement sans vitesse initiale : y( x ,0) = a ( x ) et
On trouve dans ce cas : y( x , t ) =
∂y
( x,0) = 0 .
∂t
a ( x − ct ) a ( x + ct )
+
, ce qui exprime l’idée de deux ondes
2
2
identiques qui partent dans deux sens opposés.
deux ondes identiques
initialement
figure 5
Stage Ondes
page 3
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1.4. Corde de longueur L.
a. Corde fixée à ses deux extrémités.
On considère une corde de longueur L, fixée à ses deux extrémités x = 0 et x = L. Il faut donc
résoudre l’équation de d’Alembert avec pour conditions aux limites : y(0, t ) = y(L, t ) = 0 . Il faut,
pour résoudre le problème, préciser les conditions initiales. On peut traiter le cas de la corde de piano :
la corde frappée. Au départ la corde est horizontale, y( x ,0 + ) = 0 , l’impact du marteau de largeur e et
placé en x = a confère à la corde une vitesse initiale
∂y
( x,0 + ) que l’on modélise par la courbe
∂t
suivante :
∂y
( x ,0 + )
∂t
u
x
L
a a+e
figure 6
Entre a et a+e la vitesse acquise par la corde sera notée u. On peut trouver dans ce cas une
solution analytique au problème :
2ue ⎛ nπa ⎞ ⎛ nπx ⎞ ⎛ nπct ⎞
sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟.
⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
n =1 nπc
+∞
y( x , t ) = ∑
On constate que le spectre du signal ( lié à celui du son émis ) contient l’harmonique n, de
fréquence f n =
2ue
nc
⎛ nπa ⎞
sin ⎜
et d’amplitude
⎟ . On peut donc modifier le timbre du son émis en
nπc
2L
⎝ L ⎠
modifiant l’attaque de la corde.
Exemple du spectre obtenu pour le La 220 pour la corde de piano. Cette corde possède une
longueur L = 0,715 m, la largeur du marteau est de 1 cm, l’impact du marteau de fait à 7,7 cm d’une
extrémité de la corde. On peut noter que l’harmonique 9 ( dissonante (?) ) est ainsi éliminée car on
frappe la corde au neuvième de la corde. On a ici c = 314,5 m/s.
figure 7 : spectre simulé
Stage Ondes
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On peut effectuer une acquisition sur Synchronie du signal réel et en faire l’analyse spectrale :
figure 8 : spectre expérimental
Pour terminer sur cette modélisation, on peut souligner la limite de ce type de modélisation en
utilisant un logiciel de simulation qui permet de visualiser la forme de la corde à une date t
quelconque. L’aspect de la corde n’est vraiment pas réaliste !
figure 9 : simulation : forme de la corde.
b. Corde de Melde.
Dans ce cas on impose un mouvement sinusoïdale de l’extrémité située en x = 0 :
y(0, t ) = y o cos(ωt ) , l’autre restant fixe : y(L, t ) = 0 . L’étude en régime forcé conduit à
l’expression suivante de l’élongation transversale d’un point de la corde à une date t :
Stage Ondes
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⎞
⎛ω
sin ⎜ (L − x ) )⎟
⎠ cos(ωt ) . On note bien sur le phénomène de résonance bien connu
⎝c
y( x , t ) = y o
⎛ ωL ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ c ⎠
ωL
chaque fois que
= nπ où n est un entier. On remarque toutefois une divergence de
c
l’amplitude…ceci résulte de la simplicité du modèle utilisé. On peut améliorer le modèle en ajoutant
∂y
∂2y
∂2y
µ 2 = To 2 − h
, l’amplitude ne diverge plus au
∂t
∂t
∂x
un terme d’amortissement du type :
voisinage de la résonance. Il resterait alors à comprendre l’origine des phénomènes dissipatifs :
émission d’une onde sonore ? Dissipation d’énergie au sein de la corde ?
1.5. Etude énergétique.
Si l’on se réfère au programme de TS, on note : « On appelle onde mécanique le phénomène
de propagation d’une perturbation dans un milieu sans transport de matière » et plus loin : « Il y a
transfert d’énergie sans transport de matière ». mais de quelle énergie s’agit-il exactement ?
Considérons la portion de corde qui au repos se situait entre x et x + dx.
y(x+dx,t)
y( x , t )
r
ex
x+dx
x
figure 10
On peut lui associer deux formes d’énergie :
2
2
ƒ
1
1 ⎛ ∂y ⎞
⎛ ∂y ⎞
l’énergie cinétique : µdx ⎜ ⎟ de densité linéique : e c = µ⎜ ⎟ en J/m.
2
2 ⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂t ⎠
ƒ
l’énergie de « déformation » : qui traduit le fait que la corde s’est allongée un peu,
2
cet allongement est évalué par l’expression :
1 ⎛ ∂y ⎞
dx + dy − dx ≈ dx ⎜ ⎟ ,
2 ⎝ ∂x ⎠
2
2
2
1 ⎛ ∂y ⎞
on doit donc fournir un travail à la corde pour l’allonger égal à To dx ⎜
⎟ ,
2 ⎝ ∂x ⎠
on
peut
donc
définir
une
densité
linéique
d’énergie
de
position :
2
e p = To
ƒ
1 ⎛ ∂y ⎞
⎜ ⎟ .
2 ⎝ ∂x ⎠
En conclusion, la densité linéique d’énergie associée au mouvement d’une corde
2
2
1 ⎛ ∂y ⎞
1 ⎛ ∂y ⎞
est : e = µ⎜ ⎟ + To ⎜
⎟ .
2 ⎝ ∂t ⎠
2 ⎝ ∂x ⎠
Stage Ondes
page 6
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Bilan d’énergie : A la coordonnée x, la puissance fournie par la partie gauche de la corde à la
partie droite de la corde vaut : P( x ) = −To
∂y ∂y
(le produit scalaire de la force par la vitesse ! ),
∂x ∂t
cette grandeur s’exprime en watt. Pour effectuer un bilan, on isole le morceau de corde qui au repos
est situé entre x et x + dx et on peut explicitement vérifier que :
∂e
dx = P( x ) − P( x + dx ) .
∂t
Cela traduit physiquement que la variation de l’énergie, contenue dans la portion de corde de
longueur dx, pendant dt est égale à celle qui est échangée avec le reste de la corde.
Dans le cas d’une onde progressive, y( x , t ) = f ( x − ct ) , la puissance fournie en x par la
partie gauche de la corde à la partie droite de la corde vaut : P ( x) = cTo ( f ' ( x − ct ) ) ; elle est
positive, contient le couplage spatio-temporel en « x-ct », on a donc bien « l’idée » de la propagation
de l’énergie dans le sens de x positifs à la vitesse c.
2
1.6. Prise en compte de quelques défauts.
Il est nécessaire de définir le module d’Young E :
lo
F
dl
=E
S
lo
S
E : en N.m-2
dl
et le moment quadratique I :
y
x
I=
z
ƒ
∫∫ y dS
2
sec tion
Influence de la raideur :
∂3y
Pour imposer une courbure à la corde il faut exercer une force supplémentaire Ry = −EI 3 :
∂x
R(x+dx,t)
-R(x,t)
x
x+dx
figure 11
Stage Ondes
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D.Obert
L’équation différentielle de la corde vibrante s’écrit alors :
∂2y
∂4y
∂2y
µ 2 = −EI 4 + To 2
∂t
∂x
∂x
Ainsi pour une corde vibrante de longueur L et pour un mode d’onde stationnaire d’indice n :
2 2
~ t + ϕ )sin ⎛⎜ nπx ⎞⎟ avec : ω
~ = nπc 1 + EI n π .
y n ( x , t ) = a n sin (ω
n
n
n
L
To L2
⎝ L ⎠
On constate ainsi un décalage des partiels ( composantes spectrales) vers les aigus et
l’inharmonicité. Par exemple, pour la note la plus basse d’un piano (un la) : le 16è partiel est plus
aigu d’un demi-ton que l’harmonique correspondant !
figure 12 : Les instruments de l’orchestre ( Belin )
Stage Ondes
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ƒ
Influence de l’élasticité
On ne prend pas en compte la torsion de la corde, ni sa raideur mais on tient compte de son
r
r
r
élasticité, le déplacement général s’écrit : s ( x , t ) = u ( x , t )e x + y( x , t )e y
s(x+dx,t)
s(x,t)
x+dx
x
figure 13
Le groupe d’équations différentielles de la corde vibrante s’écrit :
1 ∂ 2y
∂2y
−
= 0
c 2t ∂ t 2
∂x 2
⎛ c 2t
⎞ 1 ∂ ⎛ ∂y ⎞
1 ∂ 2u
∂ 2u
⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟
−
=
⎜
⎟
2
2
2
c L ∂t
∂x
⎝ cL
⎠ 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠
2
ct =
To
µ
cL =
ES
µ
avec
S : section de la corde.
Pour une corde vibrante de longueur L et pour un mode d’onde stationnaire longitudinale
« d’indice n » :
nπc t
⎛ nπx ⎞
y n ( x , t ) = a n cos(ωn t ) sin ⎜
on a alors
⎟ avec ωn =
L
⎝ L ⎠
a 2n ω n
⎞
c 2t
⎛ 2 n πx ⎞⎛⎜
u(x, t) = −
sin ⎜
⎟⎜ 1 − 2 + cos( 2 ω n t ) ⎟⎟
16 c t
cL
⎝ L ⎠⎝
⎠
On note ainsi :
- un couplage entre les modes longitudinaux et les modes transversaux,
- des équations différentielles non linéaires, ce couplage génère la fréquence double
« à l’octave »,
- qu’une vibration transversale génère automatiquement une vibration longitudinale.
ƒ
Influence de l’amortissement
Pour décrire l’amortissement on introduit une force de frottement fluide qui peut modéliser
l’émission d’une onde sonore par exemple. L’équation différentielle devient :
µ
∂2y
∂2y
∂y
=
T
−h
o
2
2
∂t
∂x
∂t
Pour une corde vibrante de longueur L pour un mode d’onde stationnaire d’indice n :
yn (x, t) ≈ a n e
−
h
t
2µ
nπc t
⎛ nπx ⎞
sin(ωn t + ϕn ) sin⎜
.
⎟ avec : ωn =
L
⎝ L ⎠
En première approximation, il n’y a pas de modification du « timbre » du son mais il y a
modification du niveau d’intensité sonore.
Stage Ondes
page 9
D.Obert
2. Autres exemples.
2.1. Ondes sonores dans un fluide.
•
Grandeurs vibratoires :
r
r
La surpression acoustique p(x, t) et la vitesse d’ensemble v(x,t)= v(x, t) e x .
•
Equation de propagation :
∂ 2p 1 ∂ 2p
−
=0
∂x 2 c 2 ∂t 2
χS
•
c=
1
χSµo
: coefficient de compressibilité adiabatique et µ o la masse volumique du fluide.
Grandeurs énergétiques :
1
ec = µo v2 la densité volumique d’énergie cinétique et e p = 1 χ S p 2 la densité
2
2
-
volumique d’énergie « potentielle » ( J.m-3 ).
r
r
« propagation de l’énergie » : R = pv e x en W.m-2.
-
« Conservation de l’énergie » :
∂ (pv) ∂ (e p + e c )
+
=0
∂x
∂t
2.2. Les ondes de « courant » dans un câble coaxial.
i(z,t)
Λ dz
Λ dz
v(z,t)
Γ dz
i(z+dz,t)
v(z+dz,t)
•
figure 14
Grandeurs vibratoires :
Le courant et la tension: i ( z , t ) et v(z,t) .
•
Equation de propagation :
On introduite, Λ l’inductance par unité de longueur et Γ la capacité par unité de longueur.
On
a
cc=
•
∂ 2i 1 ∂ 2i
−
=0
∂ z 2 c c2 ∂ t 2
et
∂ 2v 1 ∂ 2v
−
=0
∂ z 2 c c2 ∂ t 2
avec
ΓΛ=εoεrµo
1 = c .
ΛΓ
εr
Grandeurs énergétiques :
-
e = 1 Λ i 2 + 1 Γ v 2 : énergie magnétique et électrique par unité de longueur ( J.m-1 ).
2
2
r
r
« propagation de l’énergie » : R = vie en ( W ).
-
« Conservation de l’énergie » :
-
Stage Ondes
z
∂ ( vi ) ∂ ( e )
+
=0
∂z
∂t
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2.3. Les ondes électromagnétiques à une dimension dans un domaine sans
charge ni courant.
•
Grandeurs vibratoires :
r
Les champs électrique et magnétique : E ( x , t ) et
•
Equation de propagation :
r
r
∂2E 1 ∂2E r
−
=0
∂x 2 c 2 ∂t 2
r
B (x, t)
r
r
∂2 B 1 ∂2 B r
−
=0
et
∂x 2 c2 ∂t 2
c : vitesse de la lumière dans le vide.
•
Grandeurs énergétiques :
1
B2
: densité volumique d’énergie électromagnétique ( J.m-3 ).
- w em = ε o E 2 +
2
2µ o
r
r
r E∧B
- « propagation de l’énergie » : R =
en W.m-2.
µo
-
« Conservation de l’énergie » :
∂(Rx ) ∂(wem)
+
=0
∂x
∂t
3. Propagation d’une onde dans un milieu dispersif.
Les notions que nous allons développer ici sont très générales, elles peuvent s’appliquer aux
domaines de l’acoustique, de l’électromagnétisme, des ondes dans les solides…Pour simplifier nous
n’étudions que des situations à une dimension, la grandeur vibratoire est notée par a(x,t) par exemple.
Les milieux sont supposés linéaires, c’est-à-dire qu’une onde harmonique écrite en
représentation complexe a ( x, t ) = a o e i ( kx −ωt ) est une solution possible du problème de la propagation
d’une onde de déformation dans le milieu étudié.
La « confrontation » de cette structure d’onde et des équations qui modélisent le milieu donne
la relation de dispersion qui relie k avec la pulsation ω de l’onde.
3.1. Notion de vitesse de phase.
La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase, ϕ( x , t ) = kx − ωt , d’une onde
harmonique « pure ». Elle est notée vφ et vaut naturellement v ϕ =
ω
[3] .
k
On peut dès à présent signaler qu’une onde purement harmonique n’est pas « physique », et
que pour décrire une onde physique, il faut effectuer une superposition de signaux harmoniques.
3.2. Le phénomène de dispersion.
Définition : un système est dispersif si la vitesse de phase vφ dépend de la pulsation de l’onde : vφ(ω).
Il y a donc dispersion des vitesses de phases.
Stage Ondes
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Causes de dispersion :
ƒ
Dispersion due au matériau : le phénomène de dispersion résulte d’une sensibilité du milieu
à de la fréquence de l’onde au niveau microscopique.
-
Exemple 1 : Onde électromagnétique dans un milieu transparent linéaire non
magnétique.
Le milieu est caractérisé par son indice défini par vϕ =
transparence
du
.Cauchy : n 2 = A +
milieu,
B
λ2
il
peut
être
bien
approché
c
Dans le domaine de
n
par
la
formule
de
, où λ est la longueur d’onde dans le vide.
On peut donner comme exemple la silice SiO2 principal constituant des fibres
optiques. Le document de la figure 16 donne l’indice en fonction de la longueur d’onde
pour la silice. Le modèle de l’électron élastiquement lié fournit un argument qui permet de
comprendre l’origine microscopique du phénomène de dispersion.
A : SiO2
B : SiO2 + GeO2
C : SiO2 + B2O3
( DUBOST chez MASSON )
figure 16
-
Exemple 2 : Dispersion des ondes dans un solide.
La figure 17 donne des résultats expérimentaux qui représentent la fréquence d’une
onde longitudinale de vibration dans un solide en fonction du nombre d’onde ( K =
2π
)
λ
où λ est la longueur d’onde dans le matériau, ici du diamant. La grandeur a représente la
distance inter atomique dans la direction étudiée.
Stage Ondes
page 12
D.Obert
-
( KITTEL chez DUNOD )
figure 17
Exemple 3 : Onde électromagnétique dans un plasma.
L’état plasma est parfois présenté comme le quatrième état de la matière : celui de la
matière ionisée. On va illustrer les phénomènes dans le cas d’un plasma naturel :
ω 2 − ω 2P
l’ionosphère. On peut établir la relation de dispersion liant k et ω : k =
c2
ne 2
avec ω 2P =
, n représente la densité volumique du plasma, et m et e
mε o
2
respectivement la masse et la charge d’un électron. ω P est appelée pulsation plasma,
elle correspond à la pulsation d’oscillation du plasma libre c’est-à-dire sans champ
électromagnétique extérieur excitateur. Cette grandeur est aussi nommée pulsation de
coupure du plasma.
ω 2 − ω 2P
.La vitesse vφ de
c2
Dans le cas où ω > ωP ,alors k est égal à k =
propagation de la phase vaut donc : v ϕ =
ω
=
k
c
ω 2P
1− 2
ω
.
Cette grandeur représente la vitesse de propagation de la phase dans le plasma.
Cette grandeur est ici plus grande que la vitesse de la lumière, ceci résulte du caractère
abstrait de l’onde progressive sinusoïdale. La vitesse de phase est fonction de la
fréquence f du signal avec ω = 2πf, le milieu est donc par définition dispersif.
On peut tracer l’allure de la vitesse de phase en fonction de la pulsation :
Stage Ondes
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vϕ
c
ω
ωP
figure 18 : tracé de la vitesse de phase
On peut noter qu’aux hautes fréquences, ( f >> fP = ωP/2π ) la vitesse de phase
tend vers c, on retrouve le cas de la propagation d’une onde plane progressive dans le
vide sans courant ni charge. En effet aux « hautes fréquences », l’onde
électromagnétique est insensible à la présence du plasma.
D’autre part, si on envoie une onde plane progressive sinusoïdale en incidence
normale sur un plasma à une fréquence inférieure à la fréquence fP, alors l’onde est
totalement réfléchie sur le milieu.
Revenons au cas de l’ionosphère, l’atmosphère terrestre de notre globe
terrestre est ionisée à partir d’une altitude d’environ égale à 60 km. L’ionosphère
correspond à la partie de l’atmosphère comprise entre 60 km et 1000 km environ. La
valeur moyenne de la densité du plasma est environ égale à 1011 m-3.
2
1 ne
Numériquement on trouve f P =
= 2,8 MHz , il s’agit donc du
2π. mε o
domaine des ondes radios. On peut tirer deux conséquences de cette étude. Pour des
fréquences inférieures à fP, les ondes électromagnétiques ne se propagent pas dans
l’ionosphère, elles sont donc réfléchies.
On peut également noter que pour les communications avec les satellites, il
faut se placer à des fréquences supérieures à fP. Ainsi par exemple pour la réception de
la télévision par satellite, les fréquences utilisées sont voisines de 11 GHz.
Notons que l’on peut accéder à la densité verticale de l’ionosphère en utilisant
des ionosondes qui étudient l’écho d’un signal radioélectrique bref réfléchi par
l’ionosphère. Enfin le système GPS émet sur deux fréquences légèrement différentes
(1,575 GHz et 1,228 GHz) pour pouvoir s’affranchir des problèmes de retard et de
réfraction des ondes lorsqu’elles traversent l’ionosphère.
ƒ
Dispersion due au guidage : ce cas de dispersion résulte de la nature ondulatoire de l’onde et
du désir de confiner l’onde dans un volume restreint de façon à imposer à l’onde une direction
de propagation.
- Exemple 1 : Ondes électromagnétique dans un guide d’onde rectangulaire.
Il s’agit d’une cavité rectangulaire de dimension a suivant x, b suivant y avec
une propagation souhaitée suivant la direction des z. Cette cavité est réalisée à l’aide
de métaux très conducteurs.
Stage Ondes
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D.Obert
y
b
x
a
figure 19
Dans certaines conditions, on montre que la relation de dispersion s’écrit
ω 2 − ω c2
k =
avec
c2
ω
c
vϕ = =
.
k
ωc2
1− 2
ω
2
ωc =
nπc
.
a
La
vitesse
de
On retrouve le phénomène de dispersion. La fréquence
phase
s’écrit
donc
c
est une fréquence
2a
de coupure qui vaut par exemple 10 GHz pour a = 1,5 cm. Le phénomène de
dispersion peut s’interpréter en soulignant que la propagation résulte de l’interférence
constructive entre les différentes ondes réfléchies par les parois, cette condition
d’interférence constructive est sensible à la fréquence.
-
Exemple 2 : Onde sonores dans un tuyau.
On peut facilement guider une onde acoustique à travers un tuyau de section
circulaire dans le domaine des ondes ultrasonores. Il est possible de procéder à une
étude quantitative, mais il nous faut pour cela introduire la notion de vitesse de groupe
que l’on introduira dans une dernière partie.
Dans un tuyau cylindrique de rayon R, la vitesse de phase des ondes sonores
est donnée par l’expression : v ϕ =
ω
=
k
c
⎛ uc ⎞
1− ⎜ i ⎟
⎝ 2πRf ⎠
2
, c représente cette fois la
vitesse du son, f sa fréquence et ui les zéros de fonctions « spéciales » définies à partir
des fonctions de Bessel.
ƒ
Exemple de synthèse : les ondes à la surface de l’eau.
C’est encore un cas d’onde dispersive, mais il n’est pas facile d’identifier simplement la cause
du phénomène de dispersion, mais ici encore les conditions aux limites jouent, sans aucun doute, un
rôle fondamental.
Nous allons nous placer d’emblée dans le cas général des ondes de gravitation avec tension
superficielle car la cuve à ondes, souvent utilisée pour illustrer le phénomène de propagation, relève
du cas le plus général !
Stage Ondes
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On considère une onde à la surface d’une liquide de profondeur h et on note δ( x , t ) , la
hauteur de la surface libre, en x et à la date par rapport au niveau moyen du liquide.
z
δ(x, t)
0
-h
x
figure 20
On suppose que δ ( x , t ) = δ o cos( kx − ω t ) et en utilisant les équations de la mécanique des
fluides et la relation à l’interface eau – air : P −Po =
A
où A est la constante de tension superficielle, R
R
rayon de courbure local ; on obtient la relation de dispersion suivante :
⎛
k2 ⎞
⎟ k th ( kh ) . Le système est donc dispersif.
ω 2 = ⎜⎜ g + A
µ ⎟⎠
⎝
Pour savoir si ce sont les ondes capillaires ou les ondes de gravitation qui dominent, il nous
faut introduire la longueur d’onde capillaire l c = 2π
A
, qui vaut environ 1,7 cm dans le cas de
µg
l’eau. On constate donc que dans le cas de la cuve à onde, on doit se placer dans la situation
intermédiaire la plus général si l’on veut effectuer une approche quantitative.
Les résultats de la figure 21 consignent des valeurs expérimentales et théoriques de vitesses de
phases mesurées à l’aide d’une cuve à onde.
vitesse de phase
0,300
0,250
vph(m/s)
0,200
vph
0,150
vphth
0,100
0,050
0,000
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
lam bda(m )
figure 21
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Pour des longueurs d’onde plus grandes, on peut ignorer les phénomènes de tension
superficielle, la relation de dispersion se simplifie alors en
ω2 = g k th(kh) . On peut distinguer à
nouveau deux cas :
g
=
ω
gλ
. On note que
2π
-
L’eau profonde : kh >> 1, le milieu est dispersif, v ϕ =
-
les « grandes longueurs d’onde » se propagent plus vite que les petites. Par
exemple pour λ = 150 m, vφ = 15,3 m/s. Ceci modélise bien les ondes de
gravitation en eau profonde.
L’eau peu profonde : kh << 1, v ϕ = gh , le milieu est alors non dispersif. Ceci
permet de décrire le comportement et de déferlement des vagues au voisinage de
la cote.
3.3. Propagation d’une onde dans un milieu dispersif.
ƒ
Notion de « paquet d’ondes ».
Un signal physique, d’énergie finie, se décompose comme une somme de signaux
harmoniques, on parle alors de « paquet d’ondes ». Ainsi on va pouvoir écrire :
a ( x, t ) =
1 +∞ ~
A(ω)e i ( kx −ω( k ) t ) dk .
∫
−
∞
2π
La figure ci-dessous représente, à t = 0, un « paquet » de trois ondes harmoniques de
pulsations voisines en fonction de x. On voit très simplement se dessiner une enveloppe.
figure 22
ƒ
Propagation d’une onde dans un milieu dispsersif.
Pour propager une onde dans un milieu dispersif, on commence par la décomposer en une
somme d’ondes harmoniques à la date t = 0, puis on propage chaque composante harmonique avec sa
propre vitesse de phase enfin on reconstruit l’onde en sommant ses composantes harmoniques à la date
t souhaitée.
On note en général, une déformation du « paquet d’ondes » car les composantes harmoniques
ne se somment pas de la même manière au cours du temps : cela se manifeste souvent par un
étalement spatial du « paquet d’ondes ».
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Pour décrire quantitativement cette propagation, on montre que si le spectre du signal
~
(directement lié à la fonction A(ω) ) est étroit et si le milieu n’est pas trop dispersif, alors on peut
introduire la vitesse de groupe vg qui représente la vitesse de propagation de l’enveloppe du « paquet
d’ondes ». On montre que l’expression de la vitesse de groupe est : v g =
dω
. La figure 23 illustre
dk
cette idée de propagation d’un paquet d’onde.
vg∆t
figure 23
On peut enfin noter que la vitesse de groupe est souvent égale à la vitesse de propagation de
l’énergie.
Si l’on considère à nouveau le cas du tuyau sonore du paragraphe 3.2. , on montre que la
2
dω
⎛ uc ⎞
= c 1− ⎜ i ⎟ .
vitesse de groupe s’écrit : v g =
dk
⎝ 2πRf ⎠
On note
• un mode fondamental non dispersif : c = 340 m/s,
• des modes dispersifs qui se propagent, pour les plus rapides, avec une vitesse de
groupe égale à (pour R = 1,7 cm et f = 40 kHz ) : 280 m/s , 217 m/s par exemple…
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