Physique des ondes

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Physique des ondes
Dans une première partie, l’objectif de cette rapide synthèse consiste à souligner les
principales propriétés associées aux phénomènes de propagation : l’existence d’un couplage spatio-
temporel, les solutions dans certaines situations simples et la délicate étude des propriétés
énergétiques. Ceci sera illustré dans le cas des cordes vibrantes. Nous évoquerons ensuite quelques
autres situations : ondes sonores, ondes électromagnétiques et les ondes dans un câble coaxial.
Ensuite nous aborderons l’étude du phénomène de dispersion en en étudiant les causes : la
dispersion due au milieu et celle liée au guidage de l’onde, et les effets : étalement du paquet d’onde et
vitesse de groupe.
1. Etude de la corde vibrante.
1.1. Mise en équation.
Il s’agit dans ce paragraphe de bien souligner la suite d’hypothèses qui permet d’établir la
« célèbre » équation des ondes dans le cas de la corde vibrante.
Le fil est décrit comme une distribution linéique de masse de densité µ. Au repos, le fil est
confondu avec l’axe des x. On note xoo eTT
r
r= la tension au repos comme de suggère le dessin de la
figure 1, elle représente précisément l’action de la partie droite du fil sur la parti gauche.
figure 1
On néglige le poids de la corde devant la tension du fil.
La corde est sans raideur, c’est-à-dire qu’elle n’offre aucune résistance à la
courbure, la tension de la corde est donc toujours « tangente à la corde ».
Première mise en équation : cette démarche illustre parfaitement la méthode à suivre dans le
cas des milieux continus.
Etape 1 : Repérage d’un système fermé infinitésimal. On isole la portion de fil qui au repos est située
entre x et x+dx. On note )t,x(s
r
la position, à la date t, du point de la corde qui au repos se trouve en x
et )t,dxx(s +
r
celle qui se trouve en x + dx.
Etape 2 : Bilan des forces extérieures. On note
(
)
t,xT
r
l’action en x de la partie droite de la corde sur
la partie gauche, cet élément de corde est donc soumis aux forces :
(
)
t,dxxT +
r
et
()
t,xT
r
−. La
figure 2 représente les actions et le repérage de la corde.
x
xoo eTT
r
r
=
Hypothèse 1
Hypothèse 2

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figure 2
Etape 3 : Utilisation du théorème du centre de masse. On obtient successivement les deux équations
suivantes :
)t,x(T)t,dxx(T
t
s
dx 2
2rr
r
−+=
∂
∂
µ soit : x
)t,x(T
t
s
2
2
∂
∂
=
∂
∂
µ
r
r
[1]
1.2. Approximation des petites amplitudes : étude des vibrations transversales.
On formule trois nouvelles hypothèses :
Les vibrations se font dans un plan ( le plan xOy ) par exemple. On n’étudiera
pas ici les propriétés liées à la torsion de la corde par exemple. On peut donc
écrire yx e)t,x(ye)t,x(u)t,x(s
r
r
r
+
=. Le premier terme représente les
vibrations longitudinales et le second les vibrations transversales.
L’angle que fait la corde avec l’axe Ox est petit : 1)t,x( <<α ; ainsi
α≈
∂
∂
=α x
y
tan .
figure 3
On suppose enfin que l’on peut négliger l’élasticité de la corde et donc que la
tension de la corde est pratiquement constante : oo TT)t,x(T <<− r
r
.
Si l’on projette l’équation [1] suivant y, on obtient
(
)
x
)t,x(sinT
t
yo
2
2
∂
α∂
=
∂
∂
µ ce qui devient en
faisant l’hypothèse des petits angles : 2
2
o
2
2
x
y
T
t
y
∂
∂
=
∂
∂
µ [2].
Cette dernière équation est l’équation de propagation ou équation de d’Alembert à une
dimension. Elle assure le « couplage » entre les variables d’espace et de temps qui va permettre de
décrire efficacement le phénomène de propagation.
x
e
r
x x+dx
)t,x(
α
x
e
r
(
)
t,dxxT +
r
-
()
t,xT
r
x x+dx
)t,x(s
r
)t,dxx(s
+
r
Hypothèse 3
Hypothèse 4
Hypothèse 5

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1.3. L’équation de d’Alembert.
On pose
µ
=o
T
c, cette grandeur est homogène à une vitesse : c’est la célérité des ondes.
On montre que la solution de cette équation est du type : )ctx(g)ctx(f)t,x(y
+
+−
=
,
c’est-à-dire la somme d’une onde progressive dans le sens des x positifs pour le premier terme et des x
négatifs pour le second.
Ainsi une onde décrite par une structure du type : )ctx(f
−
se déplace sans déformation dans
le sens des x positifs. Un tel milieu est donc non dispersif…
On peut donc simuler la propagation d’une onde ainsi que le croisement de deux ondes
comme le suggère le programme de TS.
figure 4
On peut également trouver la solution à l’équation de propagation dans le cas d’une corde de
grande longueur que l’on déforme initialement sans vitesse initiale : )x(a)0,x(y
=
et 0)0,x(
t
y=
∂
∂.
On trouve dans ce cas : 2
)ctx(a
2
)ctx(a
)t,x(y
+
+
−
=, ce qui exprime l’idée de deux ondes
identiques qui partent dans deux sens opposés.
initialement deux ondes identiques
figure 5

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1.4. Corde de longueur L.
a. Corde fixée à ses deux extrémités.
On considère une corde de longueur L, fixée à ses deux extrémités x = 0 et x = L. Il faut donc
résoudre l’équation de d’Alembert avec pour conditions aux limites : 0)t,L(y)t,0(y == . Il faut,
pour résoudre le problème, préciser les conditions initiales. On peut traiter le cas de la corde de piano :
la corde frappée. Au départ la corde est horizontale, 0)0,x(y =
+, l’impact du marteau de largeur e et
placé en x = a confère à la corde une vitesse initiale )0,x(
t
y+
∂
∂
que l’on modélise par la courbe
suivante :
figure 6
Entre a et a+e la vitesse acquise par la corde sera notée u. On peut trouver dans ce cas une
solution analytique au problème :
∑
+∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
π
=
1n L
ctn
sin
L
xn
sin
L
an
sin
cn
ue2
)t,x(y .
On constate que le spectre du signal ( lié à celui du son émis ) contient l’harmonique n, de
fréquence L2
nc
fn= et d’amplitude ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
πL
an
sin
cn
ue2 . On peut donc modifier le timbre du son émis en
modifiant l’attaque de la corde.
Exemple du spectre obtenu pour le La 220 pour la corde de piano. Cette corde possède une
longueur L = 0,715 m, la largeur du marteau est de 1 cm, l’impact du marteau de fait à 7,7 cm d’une
extrémité de la corde. On peut noter que l’harmonique 9 ( dissonante (?) ) est ainsi éliminée car on
frappe la corde au neuvième de la corde. On a ici c = 314,5 m/s.
figure 7 : spectre simulé
)0,x(
t
y+
∂
∂
x
u
a a+e L

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On peut effectuer une acquisition sur Synchronie du signal réel et en faire l’analyse spectrale :
figure 8 : spectre expérimental
Pour terminer sur cette modélisation, on peut souligner la limite de ce type de modélisation en
utilisant un logiciel de simulation qui permet de visualiser la forme de la corde à une date t
quelconque. L’aspect de la corde n’est vraiment pas réaliste !
figure 9 : simulation : forme de la corde.
b. Corde de Melde.
Dans ce cas on impose un mouvement sinusoïdale de l’extrémité située en x = 0 :
)tcos(y)t,0(y oω= , l’autre restant fixe : 0)t,L(y
=
. L’étude en régime forcé conduit à
l’expression suivante de l’élongation transversale d’un point de la corde à une date t :