Algorithmes et Structures de Données Chapitre 9 + Les arbres

Université de Corse - IUP NTIC2 2005/2006 – Algorithmes et Structures de Données
Algorithmes et
Structures de Données
Chapitre 9 – Les arbres
Capocchi Laurent
[e-mail]
http://spe.univ-corse.fr/capocchiweb
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Objectifs
 Objectifs du cours
Présentation et définition des arbres
Terminologie – Utilisation
Les arbres binaires
TAD, algorithmes de service
Implémentation
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Structure récursive non-linéaire
Les arbres ?
Arbre : ensemble de points : les nœuds, connectés par
un ensemble de lignes : les arcs
Arbre : Très utilisé en informatique quand l’information
possède une structure hiérarchique ou imbriquée
arcs
nœuds
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Structure récursive non-linéaire
Les arbres ?
Collection hiérarchique d'objets
Structure homogène dont chaque élément (noeud)
contient de l'information et plusieurs liens (pointeurs)
vers des éléments du même type

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Structure récursive non-linéaire
Racine
Nœud Nœud Nœud
Nœud
sous-arbre
arc
NœudNœud
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Structure récursive non-linéaire
On peut définir récursivement un arbre
Il existe un nœud distingué appelé « racine »
Les autres nœuds sont partitionnés en un nombre fini de
sous-ensembles disjoints constituant eux-mêmes des
arbres : sous-arbres
Un arbre est un ensemble de nœuds organisés de façon
hiérarchique à partir d'un nœud particulier appelé racine
Si en se déplaçant à partir d’un nœud père, vers son
père, etc. , et que l'on arrive à la racine de l’arbre:
l'arbre est dit connexe
Une liste est un cas particulier d’arbre :
arbre dégénéré
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Structure récursive non-linéaire
Il s’agit de hiérarchies strictes :
Il n’y a pas de boucles
Il n’y a pas de partage des descendants
a
bc
d
A
a
a e f
g
b c
B
a
a e
g
b c
C
e
g
g
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Les arbres: Implémentations
Représentation séquentielle : par tableaux
Représentation chaînée : par pointeurs 1
3 4
10
2
9
5 6 7 8
1
2. . .

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Les arbres
Une des structures les plus importantes et des plus
spécifiques de l’informatique
Organisation des fichiers dans les SE
Représentation des programmes traités par un
ordinateur
Représentation d’une table des matières
Représentation d’un dictionnaire
Représentation d’un arbre généalogique
…
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Utilisation des arbres
1/ Représentation et manipulation d’expressions
arithmétiques : Arbres Syntaxiques
Évaluation
Simplification
Dérivation
…
(a+b) / (c*(a+b) + (a*b))
/
a b
c + a b
a b
++
* *
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Utilisation des arbres
2/ Représentation d'un dictionnaire: Arbres
lexicographiques
Ensemble de mots représentés avec un minimum de
lettres
{alors, faire, fin, sinon}
Temps de calcul est proportionnel à la longueur du mot et
est indépendant de la taille du dictionnaire
alo r s
si n on
f
in
a i r e
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Utilisation des arbres
3/ Modélisaion des situtions liées à la généalogie

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Utilisation des arbres
4/ Classements
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Utilisation des arbres
5/ Grammaire
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Les arbres: Terminologie
Arbre : Une structure d'arbre d'un type de base T est :
soit la structure vide
soit un nœud de type T associé à un nombre fini de structures
d'arbre disjointes du type de base T appelées sous-arbres
Taille d’un arbre : nombre de ses nœuds
Un nœud est caractérisé par :
Une étiquette : valeur associée au nœud
Ses fils ou descendants immédiats
Son degré : nombre de ses fils. Le degré d'un arbre est le
plus grand degré de ses nœuds
Nœuds particuliers
Racine : n’est le fils d’aucun nœud
Feuille : ne possède pas de fils
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Les arbres: Terminologie
1
3 4
10
2
9
5 6 7 8
racine
nœud interne
feuille
branche
chemin
1 père de 2,3,4
2,3,4 enfants de 1
3,4 frères de 2
1,3 ancêtres de 7
9,10 descendants de 7

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Les arbres: Terminologie
Donnez le degré et la taille de ces arbres
Degré = 3
Taille = 16
Degré = 2
Taille = 10
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Les arbres: Terminologie
A arbre et x nœud de A
niveauA(x) = distance(nombre d’arcs) de x à la racine
niveauA(x) = 0 si x = racine(A)
1 + niveau (parent (x) ) sinon
1
3 4
10
2
9
5 6 7 8
0
1
2
3
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Les arbres: Terminologie
A arbre et x nœud de A
hA(x) = distance de x à son plus lointain descendant qui
est un nœud externe (feuille)
hA(x) = 0 si x nœud externe
1 + max { hA(e) | e enfant de x } sinon
h(A) = hA(racine(A))
hA (8) = 0
hA (7) = 1
hA (3) = 2
h(A) = hA (1) = 3
1
3 4
10
2
9
5 6 7 8
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Les arbres: Sous-arbres
A arbre et x nœud de A
ArbreA(x) = sous-arbre de A qui a racine x
hA(x) = h(ArbreA(x) )
A = ArbreA( racine(A) )
1
3 4
10
2
9
5 6 7 8
ArbreA (2)
ArbreA (7)
ArbreA (8)