Algorithme de Bellman-Ford et Problèmes Routage

logo
Algorithme de Bellman-Ford Am´eliorations Construction du chemin Protocole de Routage
Probl`eme de plus court chemin
Probl`eme de plus court chemin
Entr´ee : un graphe G= (V,E),des longueurs l(u,v) pour tout
(u,v)∈E,deux sommets s,t∈V.
Sortie : δ(s,t) la longueur du plus court chemin entre set t.
Plusieurs cas
Arcs de longueurs positives : l’algorithme de Dijkstra r´esout le
probl`eme en |E|log |V|.
Arcs de longueurs quelconques :
Cycle de longueur n´egative : pas de plus court chemin
Pas de cycle de longueur n´egative : on peut r´esoudre le probl`eme
en utilisant la programmation dynamique :
algorithme de Bellman-Ford

logo
Algorithme de Bellman-Ford Am´eliorations Construction du chemin Protocole de Routage
Id´ee de base
Id´ee de base
Si le graphe Gne contient aucun cycle de longueur n´egative, alors il
existe un plus court chemin ´el´ementaire entre set t.
t
s
Notation
OPT (i,v) la longueur minimale d’un chemin de v`a tcontenant au
maximum iarcs (objectif : calculer OPT (n−1,s)).

logo
Algorithme de Bellman-Ford Am´eliorations Construction du chemin Protocole de Routage
Id´ee de base
Id´ee de base
Si le graphe Gne contient aucun cycle de longueur n´egative, alors il
existe un plus court chemin ´el´ementaire entre set t.
t
s
Notation
OPT (i,v) la longueur minimale d’un chemin de v`a tcontenant au
maximum iarcs (objectif : calculer OPT (n−1,s)).

logo
Algorithme de Bellman-Ford Am´eliorations Construction du chemin Protocole de Routage
Id´ee de base
Id´ee de base
Si le graphe Gne contient aucun cycle de longueur n´egative, alors il
existe un plus court chemin ´el´ementaire entre set t.
t
s
≤n−1arcs
Notation
OPT (i,v) la longueur minimale d’un chemin de v`a tcontenant au
maximum iarcs (objectif : calculer OPT (n−1,s)).

logo
Algorithme de Bellman-Ford Am´eliorations Construction du chemin Protocole de Routage
Formule de r´ecurrence
Soit Pun chemin optimal pour le sous-probl`eme OPT (i,v)
v
w
t
l(v,w)
OPT (i−1,w)
OPT (i,v)
P
Formule de r´ecurrence
Deux cas :
si Putilise au plus i−1 arcs, OPT (i,v) = OPT (i−1,v) ;
si Putilise exactement iarcs, OPT (i,v) = l(v,w) + OPT (i−1,w)
On d´eduit la formule de r´ecurrence suivante, pour tout i>0,v∈V− {t},
OPT (i,v) = min(OPT (i−1,v),min
w∈V(l(v,w) + OPT (i−1,w))).(1)