Approximation polynomiale de la densité de probabilité

Approximation polynomiale de la densité de
probabilité
Applications en assurance
P.O. Goffard
Axa France - Institut de Mathématiques de Marseille I2M
Aix-Marseille Université
Soutenance de thèse de doctorat

Contenu de la thèse
Chap. 1: Motivations et applications des méthodes numériques en
assurance.
Chap. 2: Description de la méthode d’approximation polynomiale.
Chap. 3: Application de la méthode d’approximation polynomiale à
l’évaluation des probabilités de ruine ultime dans le modèle de
ruine de Poisson composé.
Chap. 4: Application de la méthode d’approximation polynomiale aux
modèles collectifs multivariés: Exemple d’application en
réassurance.
Chap. 5: Optimisation de l’agrégation des portefeuille de contrats
d’assurance vie individuel de type épargne.
,
29 Juin 2015, Marseille 2/48

Les engagements de l’assureur:
Le modèle collectif
Soit un portefeuille de contrats d’assurance non-vie.
ISur une période d’exercice donnée,
→Le nombre de sinistres est modélisé par une variable aléatoire de
comptage N,
→Les montants indemnisés forment une suite de variables aléatoires
positives, indépendantes et identiquement distribuées (Ui)i∈N.
ILes engagements de l’assureur sont modélisés par
X=
N
X
i=1
Ui,
→la suite {Ui}i∈Nest indépendante de N.
Xadmet une distribution de probabilité composée.
,
29 Juin 2015, Marseille 3/48

La dépendance des risques:
Le modèle collectif multivarié
Soit nportefeuilles de contrats d’assurance non vie,
ILes risques sont modélisés conjointement via
X1
.
.
.
Xn
= PN1
j=1U1j
.
.
.
PNn
j=1Unj
+
M
X
j=1
V1j
.
.
.
Vnj
,
→N= (N1,...,Nn)est un vecteur composé de variables aléatoire de
comptage,
→(U1j)j∈N,...,(Unj )j∈Nsont des suites de variables aléatoires
positives, et i.i.d..
→{Vi}i∈N={(V1i,...,Vni )}i∈Nest une suite de vecteur aléatoire
i.i.d.,
→Mest une variable aléatoire de comptage,
→{Vi}i∈N,N,Met (Uj1)j∈N,...,(Ujn)j∈N, sont indépendants.
,
29 Juin 2015, Marseille 4/48

La théorie de la ruine:
Une modèlisation dynamique
Soit un portefeuille de contrats d’assurance non-vie.
Isoit un instant t≥0,
→Le nombre de sinistres est modélisé par un processus
stochastique de comptage {Nt}t≥0,
→Les montants indemnisés forment une suite de variables aléatoires
positives, indépendantes et identiquement distribuées (Ui)i∈N.
ILes engagements de l’assureur à l’instant tsont égaux à
Xt=
Nt
X
i=1
Ui,
→la suite (Ui)i∈Nest indépendante du processus {Nt}t≥0.
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29 Juin 2015, Marseille 5/48