TD-06 · Réflexion et transmission d`ondes à une interface

Chapitre 06: Réflexion et transmission d'ondes à une interface
TD
TD-06 · Réflexion et transmission d'ondes à une interface
Révisions de cours :
Cas des ondes sonores :
Expliciter les conditions aux limites à une interface
Définir et établir les expressions des coefficiens de transmission et de réflexion en amplitude de
surpression, en amplitude de vitesse dan sle cas d'une incidence normale sur une interface plane
Définir et établir les expressions des coefficients de transmission et de réflexion des puissances
sonores
Vérifier la conservation de l'énergie à partir des coefficients de réflexion et transmission
Expliquer ce qu'est l'adaptation d'impédance et la relier au transfert maximum de puissance
Décrire la mise en œuvre des ondes ultra-sonores pour l'échographie médicale
Cas des ondes électromagnétiques :
Définir et interpréter le vecteur densité de courant surfacique
Savoir utiliser les relations de passage fournies
En exploitant la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, justifier l'existence
d'une onde réfléchie dans le cas d'une onde en incidence normale
Déterminer l'expression complète de l'onde réfléchie dazns le cas où il s'agit d'une OPPH
Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi
Déterminer l'expression du courant surfacique dans le conducteur
Calculer le coefficient de réflexion en puissance
Extraits de sujets de concours proposés dans l'énoncé de TD :
-
Polytechnique-PC-2008, Echographie :réflexion et transmission d'une qnde sonore (page 2)
e3a-PSl-2011, Tuyau sonore : influences des fluides et d'un raccordement (page 4)
Mines-Pont-PC-2009, Pression de radiation (réflexion en incidence oblique sur un métal) (page 8)
CCP-MP-2010, Résonnateur électromagnétique (page 11)
Centrale-Supélec-TSl-2011, L'atmosphère : une cavité électrfomagnétique naturelle-Ondes de Schumman
(page 13)
\
/
Partie 1
Propagation des ondes acoustiques
it uri fluide de masse volumique po et de pression Po à l'équilibre. On s'intéresse à
situatio hors équilibre unidimensionnelles, la masse volumique étant p = po+ µ(x, t), la
P =Po+
, t) et la distribution de vitesses = v(x, t)ë'x.
v
1.1 Écrire la relat1
v en supposant
de conservation de la masse. La linéariser par rappo
Iµ
1.2 On suppose négligeable es effets de viscosité et de pcsanteu
crire l'équation d'Euler à
« une dimension ». La liné ·ser par rapport à la vitesse et à la « pression acoustique »
7r en supposant 17r(x, t)I «Po.
1.3
1.4 Obtenir l'équation aux dérivées p ielles satisfaite ar 7r(x, t) et préciser la célérité c (ou
vitesse de propagation) des o s de pression en foncti des données.
1.5 Quelle est l'équation de
pagation pour la vitesse v(x, t)
1.6 Donner sans démon
préter.
1. 7 On considèr 'air comme un gaz parfait. Déterminer l'expression de Xs n fonction des
données
alculer alors la vitesse des ondes acoustiques dans l'air à la te érature de
sachant que 'Y= 1,40.
l'aide des données numériques, calculer la vitesse des ondes acoustiques dans l'eau à
20°c.
X-1( ... t,oo~
Partie II
Réflexion et transmission d'une onde sonore
11.1 Soit une onde progressive de la forme v(x, t) = f(x - et) se propageant dans un milieu
de masse volumique p0 . Déterminer la pression acoustique 7r(x, t) correspondante. Exprimer le
rapport Z = :'.:. que l'on appelle « impédance acoustique » du milieu.
V
11.2 On étudie maintenant la propagation d'une onde sonore dans un tuyau. Ce tuyau est
rempli dans la région des x négatifs par un fluide (1) et dans la région des x positifs par un
autre fluide (2); ces fluides sont séparés en x = 0 par une membrane de grande souplesse et de
masse négligeable; ils possèdent la même pression d'équilibre Po. Les impédances acoustiques et
les célérités des deux fluides prennent respectivement les valeurs Z1, ci et Z2, c2 (figure 1).
Dans le domaine x < 0, une onde progressive se propage dans le sens des x croissants, soit
vi(x, t) = vi(x - c1t). On constate qu'en général il existe une onde réfléchie vr(x, t) et une onde
transmise Vt(x, t) à l'interface, comme représentées sur la figure 1.
2
.Justifier la continuité des vitesses des particules du fluide de part et d'autre de l'interface.
Pourquoi y a-t-il également continuité de la surpression?
Vt
0
Figure 1
11.3 On définit les coefficients de réflexion et de transmission de l'énergie acoustique de l'onde
= lvr~O, tj 1
2
incidente à l'interface comme R
Vi Ü,
et T
t
=1-
R. Exprimer R et T en fonction de Z1
et Z2.
11.4 On reprend l'étude précédente, mais avec une interface constituée d'une paroi rigide,
mobile sans frottement, de section S égale à celle du tube et de masse M, dont on négligera
l'épaisseur pour simplifier l'écriture (figure 2). Quelle relation de continuité obtenue en 11.2 est
conservée? Comment est modifiée l'autre relation?
0
M
s
Vi
4IE
Vt
)li
Vr
.
0
Figure 2
11.5 On considère une onde incidente de la forme vi(x, t) =Aï exp[i(wt - kix)], Ai étant son
amplitude complexe. Préciser l'expression de l'onde réfléchie Vr (x, t) et celle de l'onde transmise
Vt(x, t); on désignera leurs amplitudes complexes respectivement par Ar et At.
Déterminer le coefficient de réflexion en amplitude r
= AA:
et en intensité
R= lrl
2
.
Montrer
que l'expression de Rest formellement identique à celle obtenue en 11.3 en remplaçant Z2 par
une impédance Z~ que l'on déterminera. Comment évoluent R et T avec w? Quelle est l'influence
de la masse sur le coefficient de réflexion? Commenter le résultat.
3
5
Exprimer la puissance moyenne (9' transportée à travers une conduite de sectio
stante $ 0 , en fonction de Pm et de l'impédance acoustique de la conduite Z8 •
L'onde s
re de fréquence 1 kHz se propage dans l'air d'impédanc aractéristique
Zair . Le tablea
uivant donne, au seuil de perception et au seuil
ouleur, les ordres
écibels, l'intensité sonore résultant de la superposition
Quelle est,
sonore
ises par deux sources indépendantes d'intensité 60 dB ?
e : log 2 ~ 0, 3 .
e.1°' -
Zol l .. 'P.Si
DEUXIEME PARTIE
REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE
DI TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D'UN RACCORDEMENT
Une conduite est constituée de deux tubes cylindriques de sections respectives S1 et S2,
de même axe x'x et séparés par le plan x =o. Deux fluides non miscibles se répartissent de
part et d'autre de ce plan (figure 2).
x < 0 : le fluide 1 est de masse volumique /.-'1 ; le son s'y propage à la célérité C1 ;
x > 0 : le fluide 2 est de masse volumique µ 2 ; le son s'y propage à la célérité C2.
)ï;i)ï;i-
Za2
Figure 2
Les impédances acoustiques Z81 et Z82 des tubes de sections respectives
liées aux impédances caractéristiques Z 1 et Z2 des milieux par les relations:
Il
Z81
= µ 1 C1 = 21
S1
S1
pour x < 0
Il
Z 82
= µ 2 C2 = 22 pour x > 0
S2
S2
avec a
S1
et
= 281
S2
sont
.
Za2
Une onde de pression plane progressive harmonique incidente p1 (x, t) se propage dans
le milieu 1 selon le sens des x croissants. La discontinuité de l'impédance au niveau du
raccordement donne naissance en x =O à :
)ï;i)ï;i-
une onde de pression transmise dans le milieu 2, p1 (0, t) dont la puissance est.~,
une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, p, (0, t) dont la puissance est gz:.
Tnurn,.'7 IA
©
ngae S.V.P.
6
Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s'expriment par:
Pt (x, t) =Pim cos[
w( t - ~2
Pr (x, t) =P,m cos[
)]
w( t + ~1
)]
La puissance moyenne (?f) est associée à l'onde incidente. Les coefficients de
réflexion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs absolues des
rapports des puissances moyennes transportées:
~)
E-)
(.~)
R= (..Jf)
D1.
(.:Jl/)
et
T = (..J<f).
M.:
S
.. :;r(
- "· •
,
ck'pfo..~~'"\. dco toue.\~
d.i ~ f"•de. .
Montrer que le déplacement incident, correspondant à p1 (x, t), s'écrit sous la forme :
l
u, (X. l)=U1m cos[ ro(t- ~J-%
D2.
O(
~ "•
Exprimer U1m en fonction de f1m, ro, C1 et µ 1 .
Donner les puissances moyennes transportées
(.;li/), (...;t;)
et (...JI/) en fonction de Pim,
Prm , P1m et des impédances acoustiques des tubes, notées Za 1 et Za 2 •
D3.
Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l'onde à l'interface des deux
fluides. En déduire deux équations reliant P1m, Prm , P1m et a.
D4.
Déterminer, en fonction de a, les coefficients de réflexion et de transmission en
amplitude de pression : rp
= Pr {O, t) et tp = Pt (O, t) .
P1 (0, t)
D5.
P1 (0, t)
Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à travers
l'interface en fonction du seul coefficient a.
Quelle relation existe-t-il entre R et T ? Que traduit-elle ?
Influence des deux milieux pour une conduite de section constante : S1
= S2 =So
La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de
nature entre les deux fluides.
D6.
Le milieu 2 est l'air, d'impédance caractéristique Za 1r2 et le milieu 1 l'intérieur du corps
humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique
Zcorps 1 » Za 1r2 . Evaluer rp et tp , puis T et R. Commenter.
Calculer l'atténuation en décibel Tda = 10 log(T), correspondant au coefficient de
transmission T = 1, 7 .10- 3 . Pourquoi le médecin utilise-t-il un stéthoscope pour écouter
les battements cardiaques ou les murmures respiratoires ? Donnée : log 17 1, 2.
Rj
Influence du raccordement des deux conduites pour un fluide unique: a= S2/S1
Un fluide de masse volumique au repos µ 0 dans lequel le son se propage à la célérité C
occupe la conduite constituée des deux tubes de sections différentes S1 et S2. La discontinuité
de l'impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de section.
D7.
Tracer l'allure de la fonction R(a). Pour quelle valeur de a, y a-t-il adaptation de
l'impédance ? Commenter les cas limites : S2 « S1 et S 2 » S1 •
E / PAVILLON EXPONENTIEL ET ADAPTATION DE L'IMPÉDANCE
Un pavillon acoustique rigide de longueur L, d'axe de révolution Ox et de section
circulaire S(x) (figure 3) contient un fluide au repos de pression Po, de masse volumique µo et
de coefficient de compressibilité isentropique Xs constant. Les effets de pesanteur sont
négligés.
7
___
L
·-----------------------------------·
S(x)l
lS(x+d.;.xl..),_.......-
t
S(L)
air
S(O) +
:o·----1
X
XI
Figure 3
·-·
' '
u(x,t)
L'équilibre est perturbé par une onde sonore de faible amplitude qui se propage dans le
pavillon suivant Ox. Elle est caractérisée par le déplacement longitudinal u(x, t) du fluide situé
au repos à l'abscisse x, par la pression acoustique p(x, t) et par la vitesse acoustique
v(x, t) = au~~,t)
ëx
dont la composante radiale est négligée. L'équation d'Euler les relie par
l'équation différentielle : àp(x, t) = - µ 0 àv(x, t) .
ax
at
Le champ de pression dans le fluide dépend du temps et de l'espace par la relation :
P(x,t)
= P0 + p(x,t)
1p(x,t)1 << Po
E1.
Exprimer l'accroissement relatif ô du volume S(x)dx de la tranche de fluide entre l'état de
repos et l'état de mouvement. En déduire la surpression correspondante p(x, t) en
.
au
dlnS(x)
fonction de x.s , u, ôx et
dx .
E2.
Démontrer l'expression de l'équation d'onde à laquelle obéit p(x, t) dans le pavillon :
1 82p(x, t)
C2
at2
-
82p(x, t) dlnS(x) àp(x, t)
ôx2 = dx
ôx
La section circulaire du pavillon varie selon la loi : S(x) = S(O) exia, avec
E3.
a > 0.
Sachant que l'onde sonore se propage à la célérité C, écrire l'équation de propagation
précédente en fonction de C, a et de dérivées spatiales et temporelles de p(x, t).
L'onde sonore est considérée plane progressive harmonique, de la forme :
f2(X,t)= Pmexp[j(wt-kx)].
Le nombre d'onde 15. est,
E4.
a priori, complexe : fi.
Mettre en évidence dans l'expression de
= k' -
E(x, t)
j k", k' et k" étant réels.
les termes d'amortissement et de
propagation.
E5.
Etablir la relation de dispersion reliant _!s, ro, a et C.
E6.
Montrer que le pavillon se comporte comme un filtre passe-haut ; préciser sa pulsation
de coupure roc en fonction de a et C.
E7.
Exprimer la fréquence de coupure fc en fonction de C, L, S(O) et S(L).
•!• La fréquence de coupure du pavillon acoustique est fc
= 150 Hz .
ES.
L'onde sonore progressive se propage suivant x > O. Déterminer le réel k' en fonction
de C, roc et ro, ainsi que le réel k" en fonction uniquement de a.
E9.
Déterminer la puissance moyenne transférée par l'onde sonore à travers la surface S(x)
perpendiculaire à sa direction de propagation, en fonction de Pm, µo, C, S(O), ro et roc.
Commenter.
(!)
Tournez la page S.V.P.
8
Le pavillon acoustique est intercalé dans le raccordement de deux conduites de
sections S(O) et S(L) comme l'indique la figure 4 ci-dessous :
L
---....
X
Figure 4
E1 O.
i
Déterminer, pour ro > 10 roc , le coefficient de transmission Tpav = rranstérée
·9fncldente
relatif aux
puissances acoustiques incidente à l'entrée et transférée à la sortie du pavillon de
longueur L. Que peut-on dire du rapport des intensités sonores transférée et incidente
1 transférée ? Commenter.
1Incidente
E11.
Comparer Îpav au coefficient de transmission en puissance T de la conduite en
l'absence de pavillon (situation considérée aux questions 05. et 07.) en exprimant le
î~v
rapport
en fonction de a. Préciser la valeur numérique de ce rapport pour a= 9.
Commenter en précisant le gain en décibel obtenu par le pavillon intercalé.
Donnée: log36 ~ 1,56.
TROISIEME PARTIE
ODELE SIMPLIFIE D'UN SILENCIEUX D'ECHAPPEMEN
Le tu u d'échappement d'une automobile est assimilé à une co uite cylindrique
supposée infinie e section S1 occupée par un gaz d'échappement de m se volumique µo au
repos. L'expulsion
ce gaz de combustion engendre des ondes sa res désagréables pour
l'oreille humaine, il fa
n diminuer l'intensité.
Un filtre acoustique
de longueur L,
d'échappement.
lindrique, ou silencieux d'échap_
dans la conduite (fi
ment, de section S2 (S 2 > S1 ) et
e 5 . Il est traversé par le gaz
expulsion du gaz :
naissance de l'onde
sonore
échappement
Il
x'
X
~-r~~~~~•~~~~-
Figure 5
Le
L
0
n se propage à la célérité C =460 m.s-1 dans /'
re de 250°C.
semble du dispositif à une
ruit à assourdir est modélisé par une onde sonore incidente plane p
de fréquence f caractérisée par la pression acoustique:
ressive harmonique
e;(x, t) = Rm exp[j
t-kx)].
Physique /, année 2009 - filière PC
ne s'intéresse qu'aux cas où la sonde est
dan ce plan. La vitesse de la sonde dans f.l' est
suppo e toujours assez faible pour que la force
d'inertie e Coriolis soit négligée. On note m
la masse de sonde, r la distance Terre-Soleil,
rr = TM la
tance sonde-Terre, rs = SM la
distance sonde-S eil, et êr le vecteur un,Îtaire
qui pointe du Soleil rs la sonde
·
y
-+
w
®
!Jl'
(sonde)
M
ê,
····::::·;_---
z
·····
~S)""'-'-'-'~~---,r,---~~~~T'--~~~~'-----x
(Soleil)
(Terre)
'on du mouvement de la sonde dans f.l' s'écri
où Ep est une énergie potentielle dont on
n fonction de m, m, Ms, Mr, rs et rr.
Les positions d'équilibre de la sonde dans
orrespon nt aux extrema de Ep, on montre qu'il en
existe cinq, toutes contenues dans le plan (S, êx, . C positions sont appelées points de Lagrange.
U 19 - Montrer qu'il existe trois points de Lag
e sur l'axe (S,êx)· Puis, à l'aide d'arguments
énergétiques, préciser si ces points d'équilibre ont s bles ou instables vis-à-vis de perturbations
dans la direction ê.x.
On s'intéresse au point de Lagrange Lz itué sur l'axe (S,êx dans le cône d'ombre à l'opposé du
Soleil par rapport à la Terre (voir figu 4). On note fla distance tre le centre de la Terre et Lz.
U 20 - Donner, sans la résoudr , l'équation algébrique vérifiée p f. En faisant l'hypothèse que
f « r, trouver une expression li rale approximative de f, et en déduire valeur numérique. Vérifier
a posteriori l'hypothèse sur
Il est possible de montre que Lz est stable vis-à-vis de perturbations dans les 'rections êy et êz. On
considèrera donc, po simplifier, que tout se passe comme si la sonde était as 'nte à se déplacer
uniquement sur l'a (S,êx). sans frottement.
U 21 - La so e étant placée en Lz, on envisage une petite perturbation de sa positio e la forme
~ (t) = e(t)"''x· Écrire l'équation différentielle vérifiée par e(t). Linéariser cette équation en pposant
qu'à cha e instant ton puisse écrire r » f, » e(t). On fera apparaître dans l'équation liné · ée un
temps
actéristique t' dont on donnera l'expression littérale en fonction der, C.1 et Ms. En dé ire
un o re de grandeur numérique de l'intervalle de temps séparant deux repositionnements consécutl
d a sonde Planck.
FIN DE LA PARTIE III
IV. - Pression de radiation
t1in~ -'Po"~
/ioo ~ /PC
Le but de cette partie est de justifier l'expression de l'équation d'état du rayonnement utilisée dans
la partie II.B. Le rayonnement cosmologique peut être considéré comme une superposition d'ondes
électromagnétiques planes progressives monochromatiques de fréquences et de directions de propagation différentes. On note u l'énergie du rayonnement par unité de volume, moyennée en temps
et en espace et p la pression de radiation, c'est-à-dire la force par unité de surface, moyennée en
temps, qu'exercerait le rayonnement sur les parois parfaitement réfléchissantes d'une enceinte qui le
contiendrait. Avec ces notations, on veut établir l'équation d'état du rayonnement: p = u/3. Pour cela,
on commence par étudier la réflexion d'une onde électromagnétique monochromatique en incidence
oblique sur un miroir métallique parfaitement conducteur.
@
LE RAYONNEMENT FOSSILE
L'espace est rapporté au repère orthonormé direct ( 0, !!fi) avec
!!fi= (êx,êy,êz). Le demi-espace x < 0 est le vide et le demiespace x ~ 0 est rempli par un métal de conductivité électrique
infinie. L'onde incidente est une onde plane progressive monochromatique de pulsation w, de longueur d'onde Â, polarisée rectilignement dans la direction êz et se propageant dans la direction
donnée par le vecteur d'onde k i = kcos( 0) êx + ksin( 0) êy où
k = 27r/Â.
-
Figure 6
En un point M de coordonnées (x,y,z) dans /!fi, à l'instant t et en représentation complexe, le champ
électrique de cette onde incidente s'écrit :
-
0 22 - Déterminer la représentation complexe des composantes du champ magnétique l1 i de l'onde
incidente dans /!fi.
Cette onde provient des x < O. Elle rencontre en x = 0 le miroir métallique parfaitement conducteur
et donne naissance ~une onde plane réfléchie, caractérisé~ar sa pulsation w,, ses champs électrique
l_ r et magnétique l1,, ainsi que par son vecteur d'onde k ,. La représentation complexe du champ
électrique associé à cette onde s'écrit:
0 23 - Justifier que le champ électrique est toujours nul dans le métal. En traduisant les conditions
-
aux limites sur le champ électrique en x = 0, montrer que la pulsation de l'onde réfléchie est la même
que celle de l'onde incidente, puis déterminer les composantes de k r dans !!fi en fonction de k et o.
Que constatez-vous?
-
-
0 24-Montrerque E or= -Eoiêz. Donner alors l'expression dans !!fi de la représentation complexe
du champ Er de l'onde réfléchie. En déduire, toujours dans !!fi celle de l1, dans.
0 25 - En utilisant les résultats obtenus précedemment, déterminer les expressions réelles du champ
électrique E et du champ magnétique B résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie
dans le demi-espace x <O. On exprimera les résultats dans /!fi.
0 26-Déterminer l'expression de u, définie comme la moyenne temporelle et spatiale de la densité
volumique d'énergie de l'onde résultante. Cette expression fait-elle intervenir 0 ?
0 27-0n note j s l'expression réelle de la densité de courant surfacique qui prend naissance sur la
-
-
-
surface x = 0 du miroir. A l'aide des conditions aux limites relatives au champ magnétique en x
déterminer les composantes de j s dans /!fi.
= 0,
Un élément d'aire dS de la surface x = 0 du miroir est soumis à la force élémentaire
dS. Préciser ce que représente cette force et justifier la présence du facteur 21 dans
l'expression. Calculer la valeur moyenne temporelle Pe de la quantité
0 28 -
d -F = 21j-s /\ -B
-
d F .-
'Ire= dS .ex
Cette quantité Pe = (ne) 1 est appelée pression de radiation d'une onde sous l'incidence O.
Physique/, année 2009 - filière PC
0 29 - L'onde incidente peut arriver de la région x < 0 sur <le miroir dans toutes les directions
possibles (en trois dimensions). En supposant que toutes les directions sont équiprobables, donner
l'expression de la pression de radiation p, qui est définie comme la moyenne sur toutes les directions
de PB· En déduire l'équation d'état du rayonnement.
0 30 - L'équation d'état du rayonnement a été établie pour un rayonnement monochromatique.
Justifier qu'elle reste valable pour un rayonnement polychromatique.
Remarque : l'étude de cette partie a traité uniquement le cas où l'onde incidente était polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Cependant, le même résultat final serait obtenu pour une onde
dont la direction de polarisation est contenue dans le plan d'incidence.
FIN DE LA PARTIE IV
FIN DE L'ÉPREUVE
Notations et valeurs numériques
- masse du Soleil: Ms~ 1, 99 x 1030 kg;
- masse de la Terre: Mr ~ 5, 97 x 1024 kg;
- distance Terre-Soleil : r c::::: 1, 49 x 10 11 m ;
- constante de gravitation universelle : C§ ~ 6, 67 x 10- 11 kg- 1.m3 .s- 2 ;
- célérité de la lumière dans le vide: c ~ 3,00 x 108 m,s- 1 ;
- constante de Planck : h ~ 6, 62 x 10- 34 J.s ;
- constante de Boltzmann: k8 ~ 1,38 x 10- 23J.K- 1 ;
- permittivité électrique du vide ; EQ ~ 8, 85 X 10- 12 F.m- l ;
- perméabilité magnétique du vide : µa = 41t' x 1o-7 H.m- 1 .
• Rè1·••1'h1ir é'ft,{101'11~..~rve
CCP - tlf-1"'"
2.
·
Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.
Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Oxyz, on définit la base (ex, ey, ez).
On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan JOzet d'équations x= 0 et x= a. Dans
l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde
électromagnétique sinusoïdale de pulsation w et polarisée rectilignement suivant Oy. Suivant le
sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de «résonateur
électromagnétique» (figure 2) ou de «guide d'ondes »(figure 3).
X
:::::::::::::::::::::::::::~ë~~~~i~~r:: ::::::::::::::::::.:::··
...' ::...............................
...
..............................................................'·.....:-
-
vide
.::::::::~~:::::::::::::::: ~~~~~~~~~:::::::::::::::::::::::::..
..................................
................................................................ . .
•_.:
--
z
figure 2
X
. -. -...-.. -...-..-...-. -...-. -. -...-. -...-.. -...-. -...-..-...-..-...-..-.. -...-.. -....:-:-· - -
.,..
.. ::::::::::::::::::::::::::::::~~qu~~eµr::::::::::::::::::::::: ··
...................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' .............. .
vide
:::::::~~::::::::::::::::: ~~~~ç~~::::::::::::::::::::::::::..
z
figure 3
2.1. Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous avons:
E = 0 , B =0 , j =0 , p =0 (champ électrique, champ magnétique, densité volumique de
courant et densité volumique de charges).
2.2. Compléter les quatre relations de passage ci-après concernant les champs E et Bau niveau de
la surface d'équation x = 0 entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide (milieu 2). Les
composantes de E et B seront indicées T (tangentielles) et N (normales) et nous poserons
0'5 et J5 respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur surfacique de courant.
Relations: (1) Er.2 -Er.=
; (2) EN2 -E., = ; (3) B~2 -Br.=
; (4) BNl -B., =
1
l
1
/Yt
IYJ
2.3. Montage en « résonateur électromagnétique » (figure 2)
L'onde électromagnétique incidente @, J1i), polarisée rectilignement et parallèlement à Oy,
se propage vets le métal dans le sens du vecteur d'onde k = -k.ex. En notation complexe, le
champ électriqu-e incident est donné par: E, = Eo ei<œt+kxleY.
2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le champ
magnétique incident B1.
'>"Or\
rr-
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2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ électrique,
détenniner le champ E,(O, t) de l'onde réfléchie sur le plan conducteur d'équation
x= 0, et en déduire les champs électrique E, et magnétique B, de l'onde réfléchie
en tout point de l'espace.
2.3.3. Exprimer le champ électrique total J1(x, t) et le champ magnétique total ~x, t) à
l'instant t en un point M(x, y, z) de la cavité. En déduire le rapport des modules des
champs complexes
!
en fonction de c, k et x.
2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que des
valeurs discrètes fr. exprimées à l'aide de l'entier N
Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur
pour une distance a = 3 cm entre les plans métalliques.
Les résultats des quatre questions suivantes seront exprimés en fonction
de e0 , c, E0 , a et pour N =1 .
2.3.5. Détenniner le vecteur de Poynting R(x, t) de l'onde résultante et en déduire sa
moyenne temporelle <R(x, t)> 1. Commenter le résultat.
2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique u(x, t) puis sa moyenne
temporelle <u(x, t)> 1 en fonction de e0 et E-O.
2.3. 7. Détenniner le vecteur densité surfacique de courant j/.... t) qui parcourt à l'instant t la
plaque métallique, à l'interface métal-vide, en x= O.
2.3.8. En déduire, en fonction de e0 et
temporelle < p >1= (
df)
dS
E-0,
la pression électromagnétique moyenne
exercée par l'onde sur cette plaque, sachant que
1
df = j 5 (t)dSx B(O, t) est la force de Laplace exercée sur l'élément de surface dS
2
du plan métallique d'équation x= O.
Application numérique: On donne la valeur E-0 = 100 V.m- 1 ; calculer <u(x, t)>1 et
<p>t.
2.4.
tage en« guide d'ondes» (figure 3, page 9)
idère une onde électromagnétique (E1, B1), progressive, monochromati
propagean
ns le vide entre deux plans conducteurs distants de a, suivant lad'
ion de Oz
et telle que le c
p électrique reste parallèle aux deux plans. On impo
e la fonne de E1
est : E 1 (x, z, t) =Bi ( iClllt-.\zl e •
1
2.4.1.
y et en déduire que lJi est de la fonne :
sachant que l'on exclut de B1 toute
onctions F(x) et G(x). Justifier l'attribution du
éduire l'équation différentielle
xprimer l'équation de Maxwell-Ampère et e
vérifiée par l'amplitude E1(x) du champ électrique. Le hamps /11 et l1i vérifient-ils
les deux autres équations de Maxwell ? Justifier votre répo e.
@
u(t)
On définiL le décrément logarithmique comme étant la quantité dm = ln (
u t+m
T) où T = 27r /w et m st
un ntier strictement positif. Exprimer dm en fonction de met de Q.
n réalise un montage expérimental où le circuit RLC est excité par un générateur BF. Comm t faut -il
d}
choisir signal délivré par le générateur pour observer les oscillations libres du circuit? La tensio ux bornes
du conden ateur est enregistrée grâce à un logiciel d'acquisition. Le signal obtenu est représentés la figure 2.
u (V)
4
~
3
2
1
0
,,
' 20
60
'
-1
t (µs)
80
240
300
-2
'
"
-3
-4
Figure 2
Oscillations libres du circ "t RLC
Estimer le facteur e qualité Q du circuit.
I.A.4)
On ppose Q » 1 : la dissipation d'énergie par effet Joule est tr "tée comme une perturbation p ar
rapport au c du circuit non dissipatif (R = 0).
de l'énergie électromagnéa)
Da le cas où R = 0, établir l'expression de la valeur moyenne temporelle
tique
ckée dans le circuit.
b} Dans le cas où R =!= 0, montrer qu'au premier ordre en 1/Q, l'énergie WJ dissipe par effet Joule dans le
· cuit RLC, pendanL une période, vérifie la relation :
(.tl\.\,Cl lt -TSi -
2o"
''L' ~
..
WJ =
~ (&)
ft\O~el,'rt: VII~'"":~: &-(U~OM~t":h""' tl~~11rctli
h
I.B - Ondes de Schumann
(J
l
La surface terrestre et l'ionosphère, couche supérieure conductrice de l'atmosphère, forment les deux parois,
supposées parfaitement conductrices dans un premier temps, d'une cavité sphérique. Afin de simplifier la géométrie du problème, on « déplie » la cavité étudiée de façon à assimiler localement la surface terrestre à son
plan tangent (Oxy). On utilisera la base (O; ë,,, ~' ëz) des coordonnées cartésiennes, conformément au schéma
de la figure 3. L'intérieur de la cavité (0 :::;;; z : :; ; h) est supposé vide de charges et de courants, ses propriétés
électromagnétiques sont identiques à celles du vide.
I.B.1)
Justifier qua.litativement l'approximation d'une ca.vité « dépliée».
I.B.2)
Expérimentalement, on observe que le bruit de fond électromagnétique atmosphérique, dû aux orages,
présente des résonances pour les valeurs suivantes (à 0,5 Hz près) de la fréquence, appelées fréquences propres
par la suite : 8, 14, 20, 26 Hz ...
On envisage la propagation, dans l'atmosphère, d'une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique. La longueur d'onde Àn, la pulsation Wn, la fréquence fn et le module du vecteur d'onde kn de cette
onde sont indexés par l'entier n strictement positif. Le champ magnétique de cette onde se met sous la forme :
~(+)
~
Bn
(x, t) = Bon cos(wnt - k,,x )ey.
Définir chacun des termes : « onde électromagnétique », « plane », « progressive » et « monochromatique ».
IW.::.~a.
@
a:sxl.&
z
h
Intérieur de la cavité
X
Oy
Figure 3
Schéma de la cavité atmosphérique
I.B.3)
On note Ë~+)(x, t) le champ électrique de l'onde étudiée. Écrire les équations de Maxwell vérifiées
par jj~+) (x, t) et Ë~+) (x, t) à l'intérieur de la cavité et établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par
jj~+) (x, t). En déduire la relation liant Wn, kn et c = 1/ ,Jeoµ, 0 .
I.B.4)
L'approximation d'une cavité « dépliée » exige aussi que la circonférence terrestre soit égale à un
multiple entier de la longeur d'onde Àn : 27!" Rr = nÀn· Interpréter cette relation. Calculer numériquement
les fréquences propres pour les trois premières valeurs de n et les comparer aux fréquences propres mesurées
expérimentalement.
I.B.5)
Déterminer l'expression du champ électrique Ë~+)(x, t) de l'onde étudiée pour 0:::;; z:::;; h.
I.B.6)
opposé.
En réalité, l'onde peut se propager dans la cavité dans le sens des x croissants comme dans le sens
a) Donner l'expression du champ magnétique jJ~-)(x,t) en tout point identique à jj~+)(x,t) mais se propageant dans le sens opposé.
b}
On considère désormais que l'onde dans la cavité résulte de la superposition des deux ondes précédentes
qui se propagent dans des sens opposés. En déduire les expressions suivantes du champ magnétique résultant
Bn(x, t) et du champ électrique résultant Ën(x, t) :
Bn(X, t)
Ën(x, t)
2Bon cos(wnt) cos(knx)ë'y
-2cBon sin(wnt) sin(knx)ëz
Caractériser aussi précisément que possible l'onde résultante.
I.B. 7)
Ra eler les relations de assa e pour le champ électromagnétique aux deux interfaces en z = 0
et en z = h. En déduir l'existence de courants et de charges électriques à la surface terrestre et à la surface
de l'ionosphère. Établir les expressions des densités surfaciques de courant correspondantes f.m(x, z = 0, t) et
P°"' ''".; .. r·'
.fsn(x, z = h, t).
~ l\C.
(Of.UC' : ~t--1\dtc.
~.
C.0\Jl'"l
I. C - Facteur de qualité de la cavité atmosphérique
Comme la Terre et l'ionosphère ne sont pas des conducteurs parfaits, l'énergie des ondes électromagnétiques présentes dans l'atmosphère est dissipée par effet Joule dans les parois de la cavité atmosphérique. L'amortissement
correspondant peut être caractérisé par un facteur de qualité, que l'on propose d'évaluer de la même manière
que pour le circuit RLC dans la partie I.A.
On définit une tranche de la cavité atmosphérique comme étant le volume compris entre x = 0 et x = Àn, entre
z = 0 et z = h et entre y = 0 et y = b.
I.C.1)
En utilisant les résultats de la questions I.B.6, établir l'expression de la valeur moyenne temporelle
f..-
J-
"'u t4't d..;
(&n) de l'énergie électromagnétique de l'onde ( Bn(x, t), Ën(x, t)), stockée dans la tranche considérée.
I.C.2)
Les conductivités électriques respectives de la Terre et de l'ionosphère sont notées 'Yt et 'Yi· Pour calculer
l'énergie dissipée par effet Joule, on modélise les courants circulant dans la Terre par une densité volumique de
courant l;.(x, z, t) énergétiquement équivalente et circulant seulement sur une épaisseur Ôtn, appelée «épaisseur
de peau », à la surface de la Terre :
fn(x, z, t)
X,(x, z, t)
=
.fsn(x,z=O,t)/ôtn
0
pour
pour
-Ôtn:::;; Z:::;; 0
Z :::;; -Ôtn
avec Ôtn = J2/(J.Lo'YtWn) et où .fsn(x, z = 0, t) est la densité surfacique de courant déterminée à la question 1.B. 7.
a) Contrôler que Ôtn est bien homogène à une longueur.
b}
Rappeler l'expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule en fonction de 11111 et de 'Y dans
un conducteur ohmique de conductivité 'Y parcouru par des courants électriques de densité volu:ique J
([fJ
c)
En déduire l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans la Terre, pendant une période 27!" /wn,
entre x = 0 et x = Àn, y= 0 et y= b. Exprimer le résultat en fonction de Bon, J.Lo, b, 8tn et Àn·
d}
Sans calculs supplément.aires, donner l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans l'ionosphère,
pendant une période 27r /wn, entre x = 0 et x = Àn, y = 0 et y = b. On fera intervenir la profondeur de peau
dans l'ionosphère 8in = J2/(J.Lo'YiWn).
e) Exprimer l'énergie totale WJn dissipée par effet Joule, pendant une période, dans les parois de la. tranche
considérée.
I.C.3)
Définir le facteur de qualité Qn de la cavité atmosphérique pour l'onde étudiée par une relation
similaire à celle établie à la question I.A.4. Exprimer Qn en fonction de h, 8tn et 8in· Donner la valeur numérique de Qn pour les deux premières valeurs de n. Que pensez-vous de la précision de la méthode perturbative
utilisée?
I.C.4)
Déduire de la valeur de Qn une estimation numérique de la durée caractéristique Tn d'amortissement
de l'onde pour n = 1. La comparer à la durée moyenne entre deux impacts de foudre sur la Terre, qui est de
l'ordre de 10- 2 s.
Quelques aspects thermodynamiques de l'atmosphère
nsité de l'air atmosphérique décroît fortement avec l'altitude, ce qui fait que l'essentiel de la masse de
l'atmo hère est concentrée dans la troposphère. Dans les questions suivantes, nous étudierons uni ement
cette ré ·on qui s'étend jusqu'à une dizaine de kilomètres d'altitude. Le champ de pesanteur terr tre y est
supposé u "forme : g = -gêz où le vecteur unitaire êz est orienté selon la verticale ascendante. L' itude z = 0
correspond à; a surface des mers et océans. L'étude est menée dans le référentiel terrestre, sup sé galiléen.
Données:
Rayon terrest : Rr = 6,40 x 103 km
Accélération de a pesanteur : g = 9,81 m · s- 2
Constante des ga arfaits : R = 8,31 J. K- 1 · mo1- 1
Masse molaire du d zote : MN 2 = 28,0 g · mo1- 1
Masse molaire du dio gène: Mo 2 = 32,0 g · mo1- 1
Masse molaire de l'air : a = 28,8 g · mo1- 1
Rapport des capacités the iques massiques de l'air : 'Y= cp = 1,40
cv
Enthalpie massique de vapori tion de l'eau (supposée indépendant e la température) :
fvap = 2,25 X 10 6 J · kg-l
L'air et la vapeur d'eau sont assimilé
la capacité thermique massique de l'air à
pression constante.
II.A - Équilibre isotherme de l'atm
On s'intéresse à l'équilibre hydrostatique de
température et la pression seront prises en z =
11.A.1)
a)
t de l'air, justifier la valeur de Ma.
Montrer que l'équation d'état des gaz parfaits ' crit = µRaT, où Pet T sont la pression et la température
absolue du gaz et Ra est une constante qui d' end du ga . Calculer cette constante en unités SI.
b) Écrire l'équilibre d'un volume infinit' 1mal d'atmosph e situé entre les altitudes z et z + dz. En déduire
que le gradient vertical de pression vaut P/dz = -µg.
11.A.2) Le modèle le plus simple d' mosphère (atmosphère is herme) consiste à supposer que la température
est constante et égale à T0 . En déd re P(z). Définir une longueur aractéristique des variations de la pression
et la calculer à 300 K. Donner a si l'expression de 1;,(z).
On propose maintenant d'' udier la stabilité de l'atmosphère isotherme vi à-vis des mouvements verticaux de
l'air. On considère une arcelle d'air en équilibre mécanique et thermique œ l'altitude zo. Cette parcelle d'air
constitue un système ermé. Sa masse, son volume, sa pression, sa températ e et sa masse volumique sont
notées respectiveme t m 1 , V1 , P 1 , T1 et 1;, 1 . On envisage un mouvement vertical
cette parcelle d'air qui la fait
passer de l'altitu zo à l'altitude zo + ê(t), avec \ê(t)\ « z0 • On fait l'hypothèse e la pression de la parcelle
d'air reste égal à la pression environnante à toute altitude et que, vu la faible cond tivité thermique de l'air,
l'évolution c sidérée est adiabatique et réversible. Tous les calculs seront limités au p mier ordre en ê(t).
appeler, pour un gaz parfait, les capacités thermiques molaires à volume cons nt Cvm et à pression
Cpm, en fonction de leur rapport 'Y et de R. En déduire l'expression de la capacité
consta
de l' · Cp à pression constante en fonction de 'Y et Ra· Faire l'application numérique.
II .2)
Traduire l'hypothèse d'équilibre thermique et mécanique de la parcelle d'air à 1 titude zo, en
nsidérant ses paramètres intensifs.
I&
®