TD-06 · Réflexion et transmission d`ondes à une interface

Chapitre 06: Réflexion et transmission d'ondes à une interface
TD
TD-06 · Réflexion et transmission d'ondes à une interface
Révisions de cours :
Cas des ondes sonores :
Expliciter les conditions aux limites à une interface
Définir et établir les expressions des coefficiens de transmission et de réflexion en amplitude de
surpression, en amplitude de vitesse dan sle cas d'une incidence normale sur une interface plane
Définir et établir les expressions des coefficients de transmission et de réflexion des puissances
sonores
Vérifier la conservation de l'énergie à partir des coefficients de réflexion et transmission
Expliquer ce qu'est l'adaptation d'impédance et la relier au transfert maximum de puissance
Décrire la mise en œuvre des ondes ultra-sonores pour l'échographie médicale
Cas des ondes électromagnétiques :
Définir et interpréter le vecteur densité de courant surfacique
Savoir utiliser les relations de passage fournies
En exploitant la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, justifier l'existence
d'une onde réfléchie dans le cas d'une onde en incidence normale
Déterminer l'expression complète de l'onde réfléchie dazns le cas où il s'agit d'une OPPH
Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi
Déterminer l'expression du courant surfacique dans le conducteur
Calculer le coefficient de réflexion en puissance
Extraits de sujets de concours proposés dans l'énoncé de TD :
-Polytechnique-PC-2008, Echographie :réflexion et transmission d'une qnde sonore (page 2)
-e3a-PSl-2011, Tuyau sonore : influences des fluides et d'un raccordement (page 4)
-Mines-Pont-PC-2009, Pression de radiation (réflexion en incidence oblique sur un métal) (page 8)
-CCP-MP-2010, Résonnateur électromagnétique (page 11)
-Centrale-Supélec-TSl-2011, L'atmosphère : une cavité électrfomagnétique naturelle-Ondes de Schumman
(page 13)

/
Partie 1
Propagation des ondes acoustiques
it uri fluide de masse volumique po et de pression Po à l'équilibre. On s'intéresse à
situatio hors équilibre unidimensionnelles, la masse volumique étant p = po+ µ(x, t), la
P =Po+ , t) et la distribution de vitesses v = v(x, t)ë'x.
1.1 Écrire la relat1 de conservation de la masse. La linéariser par rappo
v en supposant Iµ
1.2 On suppose négligeable es effets de viscosité et de pcsanteu crire l'équation d'Euler à
« une dimension ». La liné ·ser par rapport à la vitesse et à la « pression acoustique »
7r en supposant 17r(x, t)I «Po.
1.3
1.4 Obtenir l'équation aux dérivées p ielles satisfaite ar 7r(x, t) et préciser la célérité c (ou
vitesse de propagation) des o s de pression en foncti des données.
1.5 Quelle est l'équation de pagation pour la vitesse v(x, t)
1.6 Donner sans démon
préter.
1. 7 On considèr 'air comme un gaz parfait. Déterminer l'expression de Xs n fonction des
données alculer alors la vitesse des ondes acoustiques dans l'air à la
te érature de
sachant que
'Y= 1,40.
l'aide des données numériques, calculer la vitesse des ondes acoustiques dans l'eau à
20°c.
X-1( ... t,oo~
Partie II
Réflexion et transmission d'une onde sonore
11.1 Soit une onde progressive de la forme v(x, t) = f(x - et) se propageant dans un milieu
de masse volumique p0. Déterminer la pression acoustique
7r(x, t) correspondante. Exprimer le
rapport Z = :'.:. que l'on appelle « impédance acoustique » du milieu.
V
11.2 On étudie maintenant la propagation d'une onde sonore dans un tuyau. Ce tuyau est
rempli dans la région des x négatifs
par un fluide (1) et dans la région des x positifs par un
autre fluide (2); ces fluides sont séparés en x = 0
par une membrane de grande souplesse et de
masse négligeable; ils possèdent la même pression d'équilibre
Po. Les impédances acoustiques et
les célérités des deux fluides prennent respectivement les valeurs Z1, ci et Z2, c2 (figure 1).
Dans le domaine x < 0, une onde progressive se propage dans le sens des x croissants, soit
vi(x, t) = vi(x -c1t). On constate qu'en général il existe une onde réfléchie vr(x, t) et une onde
transmise Vt(x, t) à l'interface, comme représentées sur la figure
1.
2
\

.Justifier la continuité des vitesses des particules du fluide de part et d'autre de l'interface.
Pourquoi y a-t-il également continuité de la surpression?
Vt
0
Figure 1
11.3 On définit les coefficients de réflexion et de transmission de l'énergie acoustique de l'onde
incidente à l'interface comme R =
lvr~O, tj 1
2
et T = 1 - R. Exprimer R et T en fonction de Z1
Vi Ü, t
et Z2.
11.4 On reprend l'étude précédente, mais avec une interface constituée d'une paroi rigide,
mobile sans frottement, de section S égale à celle du
tube et de masse M, dont on négligera
l'épaisseur pour simplifier l'écriture (figure 2). Quelle relation de continuité obtenue en 11.2 est
conservée? Comment est modifiée l'autre relation?
M 0
s
Vi
Vt
)li
..
4IE
Vr
0
Figure 2
11.5 On considère une onde incidente de la forme vi(x, t) =Aï exp[i(wt -kix)], Ai étant son
amplitude complexe. Préciser l'expression de l'onde réfléchie Vr (x, t) et celle de l'onde transmise
Vt(x, t); on désignera leurs amplitudes complexes respectivement par Ar et At.
A
Déterminer le coefficient de réflexion en amplitude r = A: et en intensité R = lrl
2. Montrer
que l'expression de
Rest formellement identique à celle obtenue en 11.3 en remplaçant Z2 par
une impédance
Z~ que l'on déterminera. Comment évoluent R et T avec w? Quelle est l'influence
de
la masse sur le coefficient de réflexion? Commenter le résultat.
3

5
Exprimer la puissance moyenne (9' transportée à travers une conduite de sectio
stante $0,
en fonction de Pm et de l'impédance acoustique de la conduite Z8 •
L'onde s re de fréquence 1 kHz se propage dans l'air d'impédanc aractéristique
Zair . Le tablea uivant donne, au seuil de perception et au seuil ouleur, les ordres
Quelle
est, écibels, l'intensité sonore résultant de la superposition
sonore ises par deux sources indépendantes d'intensité
60 dB ?
e : log 2 ~ 0, 3 .
e.1°' - Zol l .. 'P.Si
DEUXIEME PARTIE
REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE
DI TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D'UN RACCORDEMENT
Une conduite est constituée de deux tubes cylindriques de sections respectives S1 et S2,
de même axe x'x et séparés par le plan x =o. Deux fluides non miscibles se répartissent de
part et d'autre de ce plan (figure 2).
)ï;i- x < 0 : le fluide 1 est de masse volumique /.-'1 ; le son s'y propage à la célérité C1 ;
)ï;i- x > 0 : le fluide 2 est de masse volumique µ2 ; le son s'y propage à la célérité C2.
Za2
Figure 2
Les impédances acoustiques Z
81
et Z
82
des tubes de sections respectives S1 et S2 sont
liées aux impédances caractéristiques Z1 et Z2 des milieux par les relations:
Il
Z
81
= µ1 C1 =
21
pour x < 0 Il Z
82
= µ2 C2 =
22
pour x > 0 avec a =
281
.
S1 S1 S2
S2 Za2
Une onde de pression plane progressive harmonique incidente p1 (x, t) se propage dans
le milieu 1 selon le sens des x croissants. La discontinuité de l'impédance au niveau du
raccordement donne naissance en x = O à :
)ï;i- une onde de pression transmise dans le milieu 2, p1 (0, t) dont la puissance est.~,
)ï;i- une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, p, (0, t) dont la puissance est gz:.
©
Tnurn,.'7 IA ngae S.V.P.

6
Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s'expriment par:
Pt (x, t) = Pim cos[ w( t - ~
2
) ]
Pr (x, t) = P,m cos[ w( t + ~
1
) ]
La puissance moyenne (?f) est associée à l'onde incidente. Les coefficients de
réflexion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs absolues des
rapports des puissances moyennes transportées:
O( ~) .. :;r( E-) S
(.~) (.:Jl/) ~ "• - "· • ,
R= ( . .Jf) et T = ( . .J<f). M.: ck'pfo..~~'"\. dco toue.\~
d.i ~ f"•de. .
D1. Montrer que le déplacement incident, correspondant à p1 (x, t), s'écrit sous la forme :
u, (X. l)=U
1
m cos[ ro(t- ~J-% l Exprimer U1 m en fonction de f1m, ro, C1 et µ1.
D2. Donner les puissances moyennes transportées (.;li/), ( . ..;t;) et ( . ..JI/) en fonction de Pim,
Prm , P1m et des impédances acoustiques des tubes, notées Za
1 et
Za
2 •
D3. Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l'onde à l'interface des deux
fluides.
En déduire deux équations reliant P1 m , Prm , P1 m et a.
D4. Déterminer, en fonction de a, les coefficients de réflexion et de transmission en
amplitude de pression : rp = Pr {O, t) et tp = Pt (O, t) .
P1 (0, t) P1 (0, t)
D5. Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à travers
l'interface en fonction du seul coefficient a.
Quelle relation existe-t-il entre R et T ? Que traduit-elle ?
Influence des deux milieux pour une conduite de section constante : S1 = S2 = So
La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de
nature entre les deux fluides.
D6. Le milieu 2 est l'air, d'impédance caractéristique Za
1
r2 et le milieu 1 l'intérieur du corps
humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique
Zcorps
1 »
Za
1
r2 . Evaluer rp et tp , puis T et R. Commenter.
Calculer l'atténuation en décibel
Tda = 10 log(T), correspondant au coefficient de
transmission T =
1, 7 .10-3 . Pourquoi le médecin utilise-t-il un stéthoscope pour écouter
les battements cardiaques
ou les murmures respiratoires ? Donnée : log 17 Rj 1, 2.
Influence du raccordement des deux conduites pour un fluide unique: a= S2/S1
Un fluide de masse volumique au repos µ0 dans lequel le son se propage à la célérité C
occupe la conduite constituée des deux tubes de sections différentes S1 et S2. La discontinuité
de l'impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de section.
D7. Tracer l'allure de la fonction R(a). Pour quelle valeur de a, y a-t-il adaptation de
l'impédance ? Commenter les cas limites : S2 « S1 et S2 » S1 •
E / PAVILLON EXPONENTIEL ET ADAPTATION DE L'IMPÉDANCE
Un pavillon acoustique rigide de longueur L, d'axe de révolution Ox et de section
circulaire S(x) (figure
3) contient un fluide au repos de pression Po, de masse volumique µo et
de coefficient de compressibilité isentropique Xs constant. Les effets de pesanteur sont
négligés.