Complexité

Complexité
Cours 3
Résolution de problèmes difficiles
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Résolution de problèmes difficiles
I. Introduction
II. Algorithmes d’approximation
III. Problèmes de satisfaction de contraintes
(CSP)

I. Introduction
Rappel cours 2 :
les problèmes que l’on considère se
répartissent principalement en deux classes :
P (pbs «faciles») et NPC (pbs «difficiles).
les pbs NP-complets, sont les plus difficiles de
la classe NP.
on ne connaît pas d’algorithme polynomial
pour ces algorithmes
Face à un pb NP-complet, on peut :
Proposer un algorithme polynomial donnant
une solution approchée (ex: alg. gloutons)
Proposer un algorithme exact, exponentiel
dans le pire des cas mais efficace dans 99% des
cas.
I. Introduction

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Résolution de problèmes difficiles
I. Introduction
II. Algorithmes d’approximation
1.Définition
2. Exemple de Vertex Cover
III. Problèmes de satisfaction de contraintes (CSP)
II. Algorithmes d’approximation
Idée :
face à un pb d’optimisation combinatoire difficile,
proposer un algorithme
qui donne une solution faisable
en temps polynomial
mais dont la valeur peut-être sous-optimale
pour certaines instances (en contrepartie)

II.1 Définitions
un algorithme d’approximation pour un pb est un alg. de
compx polyn. qui étant donné une instance I renvoie une
solution faisable pour I, mais pas nécessairement une
solution optimale
Un algorithme d’approx° A a un facteur d’approximation
!(n), si pour toute instance de taille n, le résultat R donné
par A à une valeur qui est à un facteur !(n) d’une solution
optimales R*, c-a-d :
1 ! Max (R/R*, R*/R) ! "(n)
Minimization
problem
Maximization
problem
II. Algorithmes d’approximation
Rmq :
pour de nombreux pbs NP-complets, un
algorithme glouton simple constitue un algorithme
d’approximation à facteur constant
Exemples : vertex cover, 3-hitting set, clique, ...
Approche peut valable en pratique pour un pb
pour lequel on ne trouve que des alg. d’approx° à
facteur n

Enoncé du pb (VC) :
étant donné un graphe G=(V,E), trouver le
plus petit V’ ! V t.q. si (u,v) " E, alors u " V#
et/ou v " V#
Le pb de décision est NP-Complet
(3SAT !p VC ou bien Clique !p VC)
Le pb d’optimisation est au moins aussi
difficile (cf cours 2)
II.2 Exemple de Vertex Cover
II.2 Exemple de Vertex Cover
Algorithme glouton d’approximation à facteur 2
APPROX-VERTEX-COVER (G=(V,E))
1: R $ Ø ;
2: E# $ E
3: tant que E# " Ø; faire
4: ## soit (u, v) une arête arbitraire de E’
5: ## R $ R % {(u, v)}
6: ## supprimer de E’ toutes les arêtes incidentes à u ou v
7: fin tant que
8. renvoyer R