Exercices Ch7.mcw

Analyse d’Algorithmes 2000 EXERCICES SUR LA TECHNIQUE DIVISER POUR RÉGNER 1
EXERCICES SUR LA TECHNIQUE DIVISER POUR RÉGNER
Chapitre 7
ÉNONCÉS
Exercice 1
(a) Présentez l’approche Diviser pour régner.
(b) Donnez deux conditions fort souhaitables pour que l’approche Diviser pour régner soit efficace.
(c) Donnez deux domaines d’application de l’approche Diviser pour régner.
Exercice 2
Vous décidez d’utiliser la technique diviser pour régner pour résoudre un certain type de problème.
Pour n ≥4, vous savez que vous pouvez obtenir la solution à un exemplaire de taille n en résolvant a
sous-exemplaires de taille n/4. Le temps requis pour la décomposition de l’exemplaire original en a
sous-exemplaires est dans Θ(n2
logn) et le temps requis pour la recombinaison des sous-solutions est
dans Θ(n2). Supposez pour simplifier que n est une puissance de 4.
a) Donnez l’équation de récurrence asymptotique exprimant le temps d’exécution t(n) de cet
algorithme en fonction de la taille n de l’exemplaire.
b) Donnez l’ordre exact de t(n), sous la forme la plus simple possible, (i) lorsque a = 8; (ii) lorsque
a = 16; (iii) lorsque a = 32. Aucune preuve n’est requise. Prière de ne pas réinventer la roue!
c) Les réponses obtenues en b) s’appliquent-elles toujours si n n’est pas une puissance de 4?
Justifiez brièvement votre réponse.
Exercice 3
Un algorithme A est conçu en appliquant le principe général de la technique “diviser pour régner”.
Pour résoudre de petits exemplaires de taille n ≤ n0, il utilise un algorithme Adhoc qui est dans O(n3).
Autrement, il décompose l’exemplaire de taille n en k sous-exemplaires de taille n
k, et les étapes de
décomposition en sous-exemplaires et de combinaison des solutions intermédiaires demandent un
temps dans O(n). Analysez cet algorithme et donnez son efficacité en notation O, de façon aussi
simple que possible. Explicitez vos calculs (vous pouvez supposer que n = km et que n0 = km0).
Exercice 4
Soit un tableau T [1..n] de n entiers distincts, décrivez de manière précise un algorithme retournant
l’indice du minimum des éléments de T, basé sur la technique “diviser pour régner”.

2 EXERCICES SUR LA TECHNIQUE DIVISER POUR RÉGNER R. Lelouche ©2000
Exercice 5 (ancien problème 4.11.3)
Soit T[1..n] un tableau de n éléments. Il est facile de déterminer le plus grand élément de T en
faisant exactement n–1 comparaisons entre éléments:
Max ← T[1] ; Ind ← 1
POUR i ← 2 JUSQU'À n faire
SI Max < T[i] ALORS Max ← T[i] ; Ind ← i FINSI
FIN POUR.
Seules les comparaisons entre éléments sont comptées ici, ce qui exclut les comparaisons implicites
dans le contrôle de la boucle POUR. On pourrait subséquemment déterminer le plus petit élément de T
en n–2 comparaisons supplémentaires:
T[Ind] ← T[1] {T[Ind] est le maximum, donc peut être remplacé par T[1]}
Min ← T[2]
POUR i ← 3 JUSQU'À n faire
SI Min > T[i] ALORS Min ← T[i] FINSI
FIN POUR.
Cela donne au total 2n–3 comparaisons.
1º Trouvez un algorithme A basé sur la technique DPR capable de déterminer le plus petit et le
plus grand éléments d'un tableau de n éléments en faisant moins de 2n–3 comparaisons entre
éléments. Vous pouvez supposer que n est une puissance de deux (cependant votre algorithme doit
fonctionner pour tout n ≥ 1). Quel est le nombre exact de comparaisons que votre algorithme requiert?
2º Dans votre algorithme A, beaucoup de temps est perdu dans la gestion des appels récursifs.
Pouvez-vous imaginer un algorithme itératif B faisant le même nombre de comparaisons?
Exercice 6 (problème 7.12 p.252)
Soit T[1..n] un tableau d’entiers distincts triés par valeurs croissantes; certains peuvent être négatifs.
1º Donnez un algorithme qui retourne un indice i de T tel que T[i] = i, en supposant qu’un tel indice
existe. Votre algorithme devrait mettre en pire cas un temps dans O(logn).
2º Justifiez très brièvement le temps mis par votre algorithme (quelques lignes).
Exercice 7
L’algorithme linéaire pour trouver la médiane (section 7.5) permet de faire fonctionner le tri de Hoare
(quicksort) en un temps dans O (n logn) en pire cas.
a) La phrase précédente est-elle vraie ou fausse ? Justifiez brièvement. Vous pouvez supposer, pour
simplifier, que tous les éléments du tableau sont distincts.
b) Est-ce une bonne idée ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

Analyse d’Algorithmes 2000 EXERCICES SUR LA TECHNIQUE DIVISER POUR RÉGNER 3
Exercice 8
Cet exercice vise à déterminer le seuil n0 à partir duquel le tri par fusion (section 4.4) devrait cesser de
s’appeler récursivement. Notez que les chiffres ci-dessous sont fictifs et qu’ils ont été choisis dans le
but de faciliter les calculs (pas de fraction, etc.).
Considérez l’algorithme suivant:
PROCEDURE TriFusion (T[1..n])
SI n ≤ n0 ALORS
TriQuad (T)
SINON
U ← les n/2 premiers éléments de T
V ← les n/2 autres éléments de T
TriFusion (U); TriFusion (V)
Fusion (T, U, V)
FIN TriFusion.
où :
• TriQuad (T) est un tri quadratique prenant un temps moyen an2 + bn + c pour trier n éléments,
• Fusion (T, U, V) fusionne deux séquences triées dont la somme des longueurs est n en un temps
moyen dn + e.
Pour simplifier, on suppose que les temps moyens pris par TriQuad et Fusion dépendent uniquement
de n et ne dépendent pas de l’ordre relatif des éléments dans les tableaux. Grâce à votre horloge (dont
la précision est supposée parfaite !), vous avez déterminé que TriQuad prend en moyenne 25, 109 et
469 microsecondes pour trier 4, 8 et 16 éléments respectivement. De même, la partie non récursive de
TriFusion (c'est-à-dire tout sauf les appels récursifs, lorsque n > n0) prend en moyenne 131 et 251
microsecondes pour traiter 8 et 16 éléments respectivement.
a) Déterminez un seuil n0 à peu près optimal (minimisant approximativement le temps moyen) pour
cette implantation du tri par fusion. Pour simplifier, approximez n/2 et n/2 par n/2.
b) Sachant que la solution générale de l’équation de récurrence
T (n) ∈ { t(n) si n ≤ n0
T(n
2) + T(n 2) + βn + γ si n > n0
est
T(n) = βn lgn
n0 + t(n0) + γ
n0 n – γ pour n ≥ n0 lorsque n
n0 est une puissance de 2
lequel des trois paramètres suivants a le plus d’influence sur le temps requis par le tri par fusion
lorsque le nombre d’éléments à trier est très très grand:
- le seuil bien choisi,
- l’efficacité de l’algorithme ad hoc (TriQuad), ou
- l’efficacité de la partie non récursive de l’algorithme ?
Justifiez votre réponse.

4 EXERCICES SUR LA TECHNIQUE DIVISER POUR RÉGNER R. Lelouche ©2000
Exercice 9
Un polynôme de degré n, tel que an xn + an–1 xn–1 + ... + a1 x + a0, est représenté par le tableau
P[0..n] de ses coefficients, c’est-à-dire que P[i] = ai. Supposez que vous disposiez déjà d’un
algorithme capable de multiplier symboliquement deux polynômes de degré au plus m en un temps
dans O(m logm). Soient x1, x2, ..., xn des entiers quelconques. Esquissez un algorithme efficace,
basé sur la technique diviser pour régner, capable de calculer les coefficients du polynôme produit
(x – x1) (x – x2) ... (x – xn). Par exemple, si n = 3, x1 = 2, x2 = –1, et x3 = 1, il faut retourner
le tableau [2, –1, –2, 1] correspondant au polynôme (x – 2) (x + 1) (x – 1) = x3 – 2x2 – x + 2.
En fonction de n, exprimez le temps pris par votre algorithme sous la forme d’une équation de récur-
rence asymptotique. Résolvez cette récurrence en notation O lorsque n est une puissance de 2.
Exercice 10
Supposons que vous ayez un problème à résoudre et que vous décidiez d’utiliser une méthode diviser
pour régner telle que la solution d’un problème de taille 3n demande la solution de 9 sous-problèmes
du même type, mais de taille n. Supposons de plus que le temps requis pour la séparation du
problème original en sous-problèmes et pour la combinaison des sous-solutions ainsi obtenues soit de
Θ(n2) opérations. Supposez pour simplifier que cet algorithme ne sera utilisé que sur des problèmes
dont la taille est une puissance exacte de 3.
i) Donnez l’équation de récurrence exprimant le temps d’exécution de cet algorithme en fonction de la
taille du problème à traiter.
ii) Exprimez en notation Θ le temps requis par cet algorithme sur un problème de taille n. (Preuves
non requises. Ne ré-inventez pas la roue!)
iii) Quelle aurait été la réponse à (ii) s’il avait fallu résoudre 10 sous-problèmes plutôt que 9 ?
iv) Idem avec 8 sous-problèmes.
Exercice 11 (ancien problème 4.8.5)
Démontrez que h(A) = lgA + le nombre de “1” dans la représentation binaire de A.
Exercice 12
Considérez la matrice F = ()
01
11 . Soient i et j deux entiers quelconques. Que vaut le produit du
vecteur (i j) par la matrice F? Que se passe-t-il si i et j sont deux termes consécutifs de la suite de
Fibonacci ? En utilisant la matrice F, donnez une équation pour le ne terme de la suite de Fibonacci.
Déduisez-en un algorithme de type diviser pour régner pour calculer ce ne terme. Donnez l’ordre exact
du temps d’exécution de votre algorithme, sans tenir compte de la taille des opérandes (vous pouvez
supposer, par exemple, que tous les calculs se font modulo 1000).

Analyse d’Algorithmes 2000 EXERCICES SUR LA TECHNIQUE DIVISER POUR RÉGNER 5
Exercice 13
Concevoir un algorithme basé sur la technique diviser pour régner pour résoudre le problème suivant:
Soit T[1 .. n] un vecteur d’entiers non nécessairement distincts. Retourner la liste
{ (u, nu) | u est un élément de T,
nu désigne le nombre d’occurrences de u dans T,
les couples (u, nu) sont ordonnés en ordre croissant de u }.
Exemple: soit T[1 .. 6] = [12, 3, 12, 4, 3, 12]. La liste solution est alors
{ (3, 2), (4, 1), (12, 3) }
signifiant: “3” apparaît 2 fois, “4” apparaît 1 fois, et “12” apparaît 3 fois.
Note: L’entête de la fonction vous est donné:
Fonction DPR(T[1 .. n]): ensemble;
Exercice 14 (élément majoritaire, ancien problème 4.11.5)
Soit T[1 .. n] un tableau de n éléments. Un élément x est dit majoritaire dans T si le nombre
d’éléments égaux à x dans T est supérieur à n/2. Le tableau T est dit majoritaire s’il contient un (et
donc un seul) élément majoritaire. Donnez un algorithme capable de déterminer si un tableau T[1.. n]
est majoritaire et d’en déterminer l’élément majoritaire, s’il y a lieu, en un temps linéaire.
Exercice 15
Considérons le problème de la multiplication par lui-même d’un entier de n chiffres, où n peut être
arbitrairement élevé. Décrivez un algorithme efficace pour résoudre ce problème à l’aide de la
technique diviser pour régner. En supposant pour simplifier que n est une puissance de 2, exprimez
sous forme d’équation de récurrence la complexité de cet algorithme.
Note. - Nous avons vu en classe un algorithme basé sur la technique diviser pour régner pour
multiplier deux entiers quelconques de n chiffres en un temps dans O(nlg3). Vous pouvez supposer
que cet algorithme est disponible si vous devez multiplier deux entiers différents.