algorithme de Kruskal

Algorithmique et Programmation
Projet : Arbres couvrants minimaux par l’algorithme de Kruskal
et application au probl`eme du voyageur de commerce
Ecole normale sup´erieure
D´epartement d’informatique
[email protected]
2011-2012
Dans un graphe non-orient´e pond´er´e G= (V, E, w), un arbre couvrant minimal Aest un ensemble
d’arˆetes de Gqui :
i) est un arbre (c’est-`a-dire connexe et acyclique)
ii) touche tous les sommets de G(c’est “couvrant”)
iii) est de poids minimal, c’est-`a-dire que X
{u,v}∈A
w(u, v) est minimal
1 Algorithme de Kruskal pour l’arbre couvrant minimal
L’algorithme de Kruskal (voir [1, §24.2]) est un algorithme glouton. Il construit une forˆet dont tous
les ´el´ements finissent par fusionner pour former un arbre couvrant. Pour cela, il maintient une partition
P⊆ P(S) des nœuds S. Voici le pseudo-code de l’algorithme de Kruskal :
1: function ACM-Kruskal(G)
2: A0← ∅
3: P← ∅
4: for each x∈Vdo MakeSet(P, x)
5: trier Epar ordre croissant de poids w
6: for all {s, t} ∈ E(dans l’ordre) do
7: if Find(P, s)6=Find(P, t)then
8: A0←A0∪ {{s, t}}
9: Union(P, s, t)
10: end if
11: end for
12: end function
13: return A
Je vous renvoie au Cormen pour une preuve de correction.
Union-Find. L’algorithme de Kruskal est efficacement impl´ement´e avec la structure de donn´ee Union-
Find (voir [1, §22.3]). Cette structure de donn´ee g`ere une collection d’ensemble disjoints contenant des
´el´ements d’un mˆeme univers. Elle supporte les trois op´erations suivantes :
i)MakeSet(P, x) : cr´e´ee dans Pun ensemble singleton contenant x.
ii)Union(P, x, y) : indique qu’en fait xet yappartiennent au mˆeme ensemble.
iii)Find(P, x) : renvoie le repr´esentant “canonique” de l’ensemble contenant x.
Si on utilise une telle structure, ainsi qu’un algorithme de tri en O(nlog n), l’algorithme de Kruskal est
en O(|E|log |E|).
Tri efficace. Pour trier la liste des arˆetes, on impl´ementera un tri rapide (a.k.a. “QuickSort”), mais
on utilisera un tri par insertion pour les appels r´ecursifs en de¸c`a d’une certaine taille (par exemple 100,
mais il faut ajuster exp´erimentalement). Pour choisir le pivot dans le QuickSort, on choisira 3 ´elements
du tableau et on prendra celui du milieu (c’est la technique dite “median of three”). Strictement parlant,
ce tri est en On2dans le pire des cas, mais en pratique il est bien plus rapide que le tri fusion ou que
les tri en O(nlog n).
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2 Application au probl`eme du voyageur de commerce
Une des applications classique des arbres couvrant minimaux est un algorithme de 2-approximation
pour le probl`eme du voyageur de commerce.
Soit G= (V, E, w) un graphe complet (E=S2), pond´er´e, non orient´e et qui v´erifie l’in´egalit´e
triangulaire : ∀s, t, u ∈V, w({s, u})≤w({s, t}) + w({t, u}). On cherche `a trouver un circuit, c’est `a dire
un chemin s1, . . . , sn∈Vpassant une et une seule fois par chaque sommet, de poids Pn
i=1 w({si, si+1})
minimal (avec la convention sn+1 =s1). On peut montrer (ce qu’on ne demande pas, voir [1, §37.2.1])
que le parcours pr´efixe d’un arbre couvrant minimal de Gest un circuit de poids au plus double du poids
minimal.
Vous ´ecrirez une fonction C qui prend en argument un graphe complet de taille arbitraire et calcule
un circuit grˆace `a cette heuristique. La sortie sur ´ecran sera la liste, dans l’ordre, des sommets `a visiter
suivie du poids du circuit. Les poids seront de type double.
Vous ´ecrirez ´egalement un programme de d´emonstration qui teste votre fonction sur des graphes
al´eatoires. Le programme prendra en argument en ligne de commande le nombre de sommets des graphes
`a g´en´erer. Les graphes seront g´en´er´es de la mani`ere suivante (afin de s’assurer que l’in´egalit´e triangulaire
est v´erifi´e) : pour chaque sommet si∈S, on choisit une position al´eatoire (xi, yi)∈R2dans le plan ;
chaque arˆete a alors pour poids la distance euclidienne entre ses extr´emit´es :
w({si, sj}) = q(xi−xj)2+ (yi−yj)2
3 Travail demand´e
Vous ´ecrirez une fonction C qui calcule un arbre couvrant minimal par l’algorithme de Kruskal.
L’argument de la fonction sera un graphe connexe de taille arbitraire sous forme de listes d’adjacence
(efficace pour repr´esenter les graphes peu denses). Les poids seront de type double. La sortie sur ´ecran sera
la liste des arˆetes qui forment l’arbre (dans un ordre quelconque) suivie du poids de l’arbre. Votre fonction
utilisera la structure de donn´ees Union-Find ainsi que l’algorithme de tri que vous devrez ´egalement
programmer.
Vous ´ecrirez ´egalement un programme de d´emonstration qui calcule des arbres couvrants minimaux
sur des graphes connexes g´en´er´es al´eatoirement. Le programme prendra en argument en ligne de com-
mande le nombre de sommets Vet le nombre d’arˆetes Edes graphes `a g´en´erer.
Enfin, vous ferez quelques exp´eriences en variant |E|et |V|pour v´erifier exp´erimentalement le coˆut
th´eorique (attention au coˆut de la g´en´eration du graphe et de la sortie sur ´ecran).
R´ef´erences
[1] Thomas H. Cormen, Clifford Stein, Ronald L. Rivest, and Charles E. Leiserson. Introduction `a
l’algorithmique. Dunod, 2nd edition, 2001.
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