Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN CHAPITRE IV IV. MODELE ANALYTIQUE ELECTROTHERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.1. Introduction Les simulateurs numériques sont caractérisés par leurs grandes précisions potentielles dans la modélisation des composants à semi-conducteur. Cependant, le haut niveau de précision demandé lors de la simulation des dispositifs induit plusieurs inconvénients. Parmi eux, le coût de calcul important (approximativement une semaine pour l’exécution d’un processus sur une station SUN ultra-5 pour une simulation électrothermique transitoire typique). La simulation des phases de commutation dans les circuits de puissance complexes est donc critique. En effet, la convergence du modèle n’est pas toujours assurée à cause de la gestion du pas de temps bien plus simplifiée que dans des simulateurs de circuits modernes. Donc le développement de modèles précis analytiques des dispositifs qui peuvent être implantés facilement dans les simulateurs de circuits est particulièrement utile. De plus, ces modèles doivent être compatibles avec les simulateurs pour les concepteurs de système et de circuit. Pour obtenir des modèles précis des dispositifs à semi-conducteur, il est nécessaire de tenir compte des phénomènes électriques, de transport de charges et thermiques qui régissent le fonctionnement du composant. Dans nos simulations avec DESSIS nous avons rarement fait des simulations électrothermiques où le couplage électrothermique est important, comme exemple l’auto-échauffement. Dans notre travail de modélisation nous avons donc entamé une étude du couplage électrothermique à un niveau plus simplifié : celui des modèles THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -147- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN analytiques. Notre objectif a été d’étudier les contraintes qui peuvent s’appliquer à de telles modélisations. Une tradition et un savoir faire du CEGELY est l’utilisation du formalisme des graphes de liens (Bond graph en anglais) [Karnopp-75, Rosenberg-71] . De plus, ce dernier formalisme peut être avantageusement utilisé pour la modélisation des dispositifs à semi-conducteur dans le domaine de l'électronique de puissance avec le simulateur PACTE développé au CEGELY. En effet, les graphes de liens constituent un langage structuré et unifié pour tous les domaines d’énergies, facilitant la modélisation et la simulation des systèmes dynamiques multi-domaines. Par conséquent, pour les composants de puissance les phénomènes électriques, thermiques et de transport des charges peuvent être étudiés simultanément pour analyser l’effet des couplages notamment électrothermiques. La température du dispositif est un paramètre important dans la détermination du comportement électrique des dispositifs de puissance et qui va affecter le comportement électrique. Toutefois la modélisation de la diode PIN dans tous les régimes électrothermiques est très complexe. Par exemple, la modélisation du régime de forte injection avec des pertes réparties dans la zone de plasma est loin d’être simple. Nous avons donc choisi de partir d’études existantes sur la jonction PN [MOREL-95, MOREL-97]. Ce modèle a l’avantage d’être valable et validé sous des polarisations inverses et jusqu'à de faibles polarisations directes évitant le régime de fort niveau d’injection. Dans ce contexte le cas évident d’autoéchauffement important est celui de l’avalanche qui peut se déclencher dans le régime de commutation. La puissance dissipée dans les différentes régions du dispositif va être utilisée pour déterminer la distribution de la température à l'intérieur du dispositif. Dans la première partie de ce chapitre et en adoptant l’hypothèse implicite classique d’une distribution uniforme de température dans la structure du composant, nous allons développer un modèle analytique électro-thermique de la diode PIN en régime de faible niveau d’injection. Une étude comparative entre les résultats simulés par ce modèle et ceux obtenus par le simulateur numérique sera ensuite menée pour évaluer l’efficacité de ce dernier THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -148- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN modèle électro-thermique établi. Dans cette première partie nous étudierons donc une démarche simple qui consiste à coupler un modèle électrique basé sur une hypothèse de température uniforme avec un modèle thermique. Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous allons appliquer le formalisme des graphes de liens lors de la modélisation des phénomènes électriques, thermiques et de transport des charges dans la diode PIN de puissance. Nous pourrons ici réaliser des couplages plus précis des phénomènes électrothermiques. Par la suite, nous allons développer un modèle thermique de chaque région semi-conductrice à base de graphes des liens, reposant sur la résolution de l'équation de diffusion de la chaleur. Ainsi, il permettra de traduire, de façon économe, le processus de diffusion de la chaleur dans la structure géométrique du composant. Enfin, le couplage par graphes des liens des différents modèles thermiques, électriques et de transport de charges permet l'obtention d'un modèle électro-thermique complet. IV.2. MODELE ANALYTIQUE ELECTROTHERMIQUE DE LA DIODE PIN EN SUPPOSANT UNE DISTRIBUTION UNIFORME DE LA TEMPERATURE Pour pouvoir développer un modèle électro-thermique de la diode PIN en régime de faible niveau d'injection, il est utile de rappeler le modèle classique de la jonction P-N [SZE-81, Antognetti-88, Morel-97] encore appelé modèle SPICE (M=1/2). Nous allons toutefois le décrire dans un premier temps comme un modèle à variables d'état. IV.2.1. LE MODELE A VARIABLES D'ETATS CLASSIQUE DE LA JONCTION P-N La jonction P-N est à la base de chaque dispositif à semi-conducteur. Elle comprend la région P caractérisée par la concentration d'impureté NA où Γ est négative et la région N caractérisée par la concentration ND où Γ est positive. A la jonction, la zone de charge d'espace (ZCE) repousse les trous et les électrons libres à l'extérieur de la ZCE. La figure IV.1 montre les concentrations de dopage (ND, NA) de trous et d'électrons typiques dans une jonction P-N asymétrique. Les limites de la zone de charge d’espace (ZCE) sont xD et xe. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -149- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN log(n), log(p), log(Γ) N Amax Xjp p(x) ND n(x) W P+ x=0 N ZCR xD xe Figure IV.1: Dopage et profils des concentrations typiques d'une jonction PN La jonction P-N crée une région à fort champ électrique (figure IV.2). E 0 -EM x Figure IV.2: Le champ électrique typique dans la jonction PN Les deux régions latérales de la zone de charge d'espace sont des régions neutres ce qui signifie que la condition de neutralité de charge est satisfaite ρ(t,x) = q(Γ(x) + p(t,x)-n(t,x))= 0 (Eq.IV.1) Dans la zone de charge d'espace on peut supposer la condition de désertion ( n << Γ , p << Γ ). THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode (Eq.IV.2) -150- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Donc avec les équations de dérive-diffusion (chapitre I) les courants dans la région de charge d'espace sont constants. L'ajout des équations de continuité pour les électrons et les trous (chapitre I) conduit à l'équation de conservation de la charge totale (Eq.IV.3). ∂ρ ∂J + =0 ∂t ∂x (Eq.IV.3) La variation de la concentration des porteurs majoritaires au voisinage des limites de la région de charge d'espace, implique la variation du courant majoritaire à la même position. L'intégration de cette équation à partir de x=0 à x=xe et en utilisant le courant de minoritaires à la limite inD(x=0) et ipe(x=xe) (figure IV.3), on fournit l'équation de bilan de la charge de la région de charge d'espace. − dQ e = i − i nD − i pe dt (Eq.IV.4) Où la première variable d'état Qe, représentant la charge dans la région de charge d'espace xe ∫ est donnée par la relation suivante Q e = qAΓ( x )dx . 0 ip RCE in ipe inD xD xe 0 Figure IV.3: Les courants de trous et d'électrons à travers la région de charge d’espace Maintenant en prenant en considération la condition de déplétion et les conditions aux limites de la zone de charge d'espace supposant un champ électrique nul, il est possible d'intégrer l'équation de poisson pour obtenir la hauteur de barrière UB = -(Ψ(xD)-Ψ(xe)). Dans le cas de la jonction abrupte (ND<<NA) on obtient la relation quadratique classique. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -151- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN UB = Qe 2 (Eq.IV.5) 2qε N D A 2 Jusqu'à maintenant, les équations de diffusion-dérive ne sont pas impliquées. Pour cela, en polarisation inverse, les concentrations des porteurs n et p sont plus faibles que la concentration de dopage (Eq.IV.2). Mais les concentrations de porteurs sont suffisamment grandes pour fournir de forts courants de dérive (qµnnEA et qµppEA) qui doivent être presque complètement équilibrés par les courants de diffusion. Dans l'équation (Eq.I.10, chapitre I) on peut négliger la densité du courant Jn devant les deux autres termes. par conséquent en utilisant (Eq.I.4, chapitre I) on obtient ∂Ψ U T ∂n = ∂x n ∂x (Eq.IV.6) et en intégrant cette équation on obtient Ψ(x) − Ψ(x D ) ) UT (Eq.IV.7) Ψ(x e ) − Ψ(x) ) UT (Eq.IV.8) n ( x ) = n ( x D ) exp( et de même p( x ) = p( x e ) exp( En particulier, on obtient les relations de Boltzman avec les conditions de neutralité aux limites de la zone de charge d’espace n ( x D ) = n ( x e ) exp(− UB U ) = N D exp(− B ) UT UT (Eq.IV.9) p( x e ) = p( x D ) exp(− UB U ) = N A exp(− B ) UT UT (Eq.IV.10) L'équation (Eq.IV.10) montre qu’en polarisation directe (faible valeur de UB), beaucoup de porteurs minoritaires sont injectés dans la région neutre N, cependant pour une polarisation faible on peut supposer la condition de faible niveau d'injection (pour la région neutre de type N) p << n THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode (Eq.IV.11) -152- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Par conséquent n ≅ ND et U ≅ p − p0 où τp 2 n p 0 = i est la concentration de trous à l'équilibre. ND En négligeant le champ électrique, l’équation de continuité des porteurs minoritaires, (Eq.I.5) et (Eq.I.9) (chapitre I), peuvent être combinées pour donner l'équation de diffusion des minoritaires ∂p ∂ ⎛ ∂p ⎞ p − p0 = ⎜ µ pU T (Eq.IV.12) ⎟− ∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠ τp en supposant que µp et UT sont constantes. La relation de Boltzman (Eq.IV.10) donne la condition à la limite du côté gauche de la région de charge d’espace exprimée par la relation (Eq.IV.13) p( t , x e ) = p e = N A exp(− UB ) UT (Eq.IV.13) En plus, si on suppose que le dispositif est suffisamment large, essentiellement tous les porteurs minoritaires injectés se recombinnent avant qu'ils n’atteignent la fin du dispositif. la seconde condition limite est lim x(oo) p(t,x) = p0 (Eq.IV.14) L'approximation variationnelle la plus simple [Morel-95] du problème aux limites (Eq.IV.12) vérifiant exactement la solution stationnaire est : p(t,x) = p0 + (pe(t) – p0)exp(-x/LDP) (Eq.IV.15) Où L DP = µ p U T τ p est la longueur de diffusion des minoritaires. Maintenant en utilisant oo Q p = qA ∫ (p − p 0 )dx (Eq.IV.16) la charge des minoritaires en excès dans la région neutre xe Qp= iD τp= qALDP(pe-p0) N, on obtient ⇒ pe = p0 + Qp qAL DP = N A exp(− THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode uB ) UT (Eq.IV.17) (Eq.IV.18) -153- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN et en prenant en considération les différences de travaux de sortie des jonctions métal semiconducteur, la chute de tension à travers la jonction est VD = VBI − U B (Eq.IV.19) où VBI est une constante. La tension aux bornes de la diode est égale V=VD + Rs.i (Eq.IV.20) où Rs est la somme des résistances séries des régions neutres. * comme la hauteur de la barrière de potentiel à l'équilibre vaut U B VBI == U T log( N AND ) 2 ni = U T log( N AND ) 2 ni (Eq.IV.21) donc la combinaison des équations (Eq.IV.14), (Eq.IV.17) et (Eq.IV.19) produit i D = i s (exp( Où iS = VD ) − 1) UT qµ pU T Ani LDP N D (Eq.IV.22) 2 est le courant de saturation. Puis, l'équation d'état correspondant à l'approximation variationnelle (Eq.IV.15) peut être obtenue en intégrant (Eq.IV.12) dans la région neutre N. dQ p dt = i pe − i D (Eq.IV.23) Avec Qp : charge de trous dans la région neutre N (Eq.IV.16). (Eq.IV.23) et (Eq.IV.17) ⇒ dQ p dt = i pe − Qp τp (Eq.IV.24) De même en négligeant le courant minoritaire inD dans la région neutre P à partir de (Eq.V.10) on obtient dQ e = -i + ipe (Eq.IV.25) dt THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -154- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.2.2. SCHEMA ELECTRIQUE EQUIVALENT DE LA JONCTION P-N EN REGIME DE FAIBLE NIVEAU D’INJECTION En se basant sur les équations (Eq.IV.5), (Eq.IV.18), (Eq.IV.19), (Eq.IV.20), (Eq.IV.24) et (Eq.IV.25), le circuit électrique équivalent classique de la diode PIN en régime de faible niveau d’injection [Morel-97] est donné dans la figure suivante. i Rs 1 -dQ /dt e ipe dQp/dt Cj iD 2 Cd VD Figure IV.4: Circuit électrique équivalent classique de la diode PIN Pour obtenir ce circuit des analogies ont été faites. Les équations (Eq.IV.23) et (Eq.IV.25) peuvent être interprétées comme la loi des noeuds pour les nœuds {1} et {2} dans la figure 4 en définissant i D = Qp τp L'équation (Eq.IV.22), est représentée par une source de courant non linéaire dans la figureIV.4. La puissance dissipée dans la jonction P-N est donnée par la relation suivante Pdissipée = i DV D + Rs i 2 (Eq.IV.26). Ce circuit électrique équivalent pose deux problèmes par rapport aux mécanismes physiques. Premièrement, la nature des capacités est différente. En effet, la capacité Cj représente clairement le stockage d'énergie électrostatique. Donc, c'est une capacité électrique. Cependant, Cd représente le stockage de l'énergie hydraulique régit par le stockage du gaz de trous dans la région neutre N. Dans cette région, il n'y a aucun stockage d'énergie électrostatique. Le second problème est que les trous passent à travers la structure de la THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -155- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN jonction PN par le moyen de la région de zone de charge d'espace et la région neutre N tandis que les deux capacités Cj et Cd sont en parallèle dans la figure IV.4. Pour tenir compte des effets thermiques dans la modélisation électrothermique de la diode PIN, la dépendance de divers paramètres physiques du matériau silicium en fonction de la température et le réseau thermique doivent être considérées. IV.2.3. LA DEPENDANCE DES PARAMETRES PHYSIQUES DU MATERIAU SILICIUM EN FONCTION DE LA TEMPERATURE Les problèmes majeurs dans la modélisation des dispositifs à semi-conducteur est la dépendance de ces paramètres physiques des matériaux en fonction de la température. Les principaux paramètres du matériau silicium dépendant de la température sont les suivants: IV.2.3.1 LA CONCENTRATION INTRINSEQUE A partir de la théorie des bandes d'énergie des semi-conducteurs utilisant la distribution de probabilité de Fermi-Dirac, on obtient la relation bien connue pour la concentration intrinsèque suivante[SZE-81]: ⎛ Wg ⎞ ⎟⎟ ni (T ) = c n ni 0T 3 / 2 exp⎜⎜ − ⎝ 2 KT ⎠ Où (Eq.IV.27) T : température en Kelvin ni0 : Concentration des porteurs intrinsèques à T=300K cn : Constante unidimensionnelle(pour le silicium cn=2.569 109 Wg : gap d'énergie pour le matériau silicium THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -156- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.2.3.2 LES MOBILITES DES PORTEURS Les formules les plus simples [Lombardi-88] décrivant la dépendance des mobilités µn et µp en fonction de la température sont les suivantes : ⎛T µ n = µ n 0 ⎜⎜ ⎝ T0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ −b ⎛T µ p = µ p 0 ⎜⎜ ⎝ T0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ −b (Eq.IV.28) (Eq.IV.29) où T0 = 300K µn0: mobilité d'électrons à T=300K (1250 m2/Vs) µp0: mobilité des trous à T=300K (450 m2/Vs) b: constante variant de 1à 2,5. b diminue si la concentration en dopant augmente. IV.2.3.3 COEFFICIENT DE DIFFUSION Selon l'équation d'Einstein nous avons D KT = = uT µ q (Eq.IV.30) où uT: potentiel thermique D: coefficient de diffusion Puisque µ = µ(T) nous avons D(T ) = KT µ(T) q (Eq.IV.31) En utilisant Eq.IV.34, on obtient THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -157- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Kµ 0 D(T ) = q ⎛T ⎜⎜ ⎝ T0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1− b IV.2.3.4 DUREE DE VIE DES PORTEURS MINORITAIRES Pour un matériau non irradié qui est typique pour le silicium, nous avons la relation empirique suivante. ⎛ W ⎞ τ(T ) = c τ τ 0 exp⎜ − r ⎟ ⎝ KT ⎠ (Eq.IV.32) où cτ est une constante τ0 est la durée de vie des minoritaires à T=300K Wr est une énergie dans le domaine de [0.03eV, 0.12eV] Pour Wr = 0.08eV nous avons cτ = 22.102 IV.2.3.5 LONGUEUR DE DIFFUSION DES MINORITAIRES La longueur de diffusion des minoritaires est donnée par l'équation suivante: LDP (T ) = τ (T ) * D(T ) 2 En utilisant (Eq.IV.37)et (Eq.IV.38) on obtient LDP (T ) = cT (T ) 1− b 2 (T0 ) ou c T = −b 2 ⎛ W ⎞ exp ⎜ − r ⎟ ⎝ 2 KT ⎠ (Eq.IV.33) Kµ 0 c τ τ0 q Pour tenir compte du processus de diffusion de la chaleur à travers le composant, les réseaux des circuits thermiques sont considérés. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -158- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.2.4. CHOIX D'UN MODELE THERMIQUE DU COMPOSANT R T0 n0 T2 R n2 R T1 n1 Pint(t) C R T3 Ti ni n3 C C R Tn nn C Tin Figure IV.5: Réseau de circuit thermique équivalent obtenu par la méthode de différence finis R1 n0 C2 Pint(t) T2 n2 T1 n1 T0 C1 C2 2C1 R1 R1 R1 Tn T3 n3 C2 2C1 C2 2C1 Tin Figure IV.6: Réseau de circuit thermique équivalent obtenu par la méthode d'éléments finis La littérature propose quelques modèles thermiques utiles pour la modélisation électrothermique des composants de puissance [Kraus-92, Tounsi-93, Skibinski-91]. On distingue les méthodes de modélisation par différences finies et par éléments finis. Les modèles thermiques 1D développés à partir de la discrétisation de l'équation de la chaleur par différences finies [Hefner-94] [Strickland-59] et par éléments finis [Ammous-99] [Barnes77] [Dautray-90] [Hsu-96] sont présentés respectivement dans les figures IV.5 et IV.6. Ces circuits électriques équivalents décrivant les modèles thermiques sont couramment utilisés à cause de leur facilité d'implantation dans les simulateurs de circuits modernes (SABER, ELDO, SPECTRE, SMASH, PACTE..), où la plupart des modèles de composants à semi- THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -159- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN conducteur sont disponibles. Ceci permet un éventuel couplage entre les phénomènes électriques et thermiques. En particulier, vu les avantages de la deuxième méthode par rapport à la première notamment dans le cas d’impulsions brèves[Ammous-99], nous avons retenu la méthode d'éléments finis pour développer les modèles thermiques pour la simulation électrothermique de la diode PIN. En effet, la structure 1D de la diode PIN est géométriquement discrétisée en n segments uniformément répartis de longueur h où h = L . n Dans l'hypothèse où la conductivité thermique est supposée constante, le système thermique est gouverné par l'équation différentielle suivante. ∂ 2T ∂T κ 2 = ρsc ∂x ∂t (Eq.IV.34) Avec les conditions aux limites κA ∂T ]x =0 = − P(t ) ∂x (Eq.IV.35) T(t, x = L) = Ta (Eq.IV.36) En tenant compte des conditions limites à x = 0 et x = L représentées par (Eq.IV.35) et (Eq.IV.36), nous avons développé un circuit équivalent du modèle thermique 1D, traduisant le processus de diffusion de la chaleur à travers le composant. Ce circuit est présenté dans la figure V.7, où , C1 = ρ s cAh 2 , C2 = − THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode ρ s cAh 6 , et R1 = -160- h . κA Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN R1 C2 Pint(t) T2 n2 T1 n1 (x=0) T0 n0 C2 2C1 C1 R1 R1 R1 R1 C2 C2 C2 2C1 2C1 Tn nn (x=L) Ti ni T3 n3 2C1 C1 Figure IV.7: Circuit équivalent du modèle thermique développé en se basant sur la méthode d'éléments finis Nous notons que le modèle dans la figure IV.7 n'est qu'un modèle équivalent puisque la capacité C2 à une valeur négative non physique. Dans ce dernier modèle nous avons pris en considération l'hypothèse d'un flux de chaleur unidimensionnel puisque les chaleurs générées à l'intérieur du dispositif PIN évoluent essentiellement selon l'axe des x (perpendiculairement à la surface du silicium), due à la faible épaisseur, L, de la puce de silicium devant les autres dimensions de la structure (composant verticale). Area A Tin(t)=Ta Pin(t) n1 n2 ni nn-1 nn Puce silicium Abscisse x 0 L Figure IV.8: La représentation unidimensionnelle d'une puce à semi-conducteur pour la modélisation thermique. La puissance d'entrée P(t) crée dans les différentes régions internes du dispositif PIN est supposée uniformément répartie à la surface (x = 0). La surface correspondante à (x = L) est THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -161- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN considérée comme une limite géométrique où la température est supposée égale à la température ambiante Ta (Figure IV.8). Les phénomènes de convection et de radiation sont négligés. La résolution de l'équation de la chaleur avec les conditions aux limites permettant d'aboutir au modèle thermique par éléments finis est détaillé dans [Ammous-99]. Pour obtenir le modèle électrothermique de la jonction PN, le réseau du circuit thermique équivalent est couplé à son circuit électrique équivalent « SPICE ». En effet, la puissance dissipée par les composants du circuit électrique équivalent correspond aux pertes dans la diode. Malheureusement, ce circuit électrique équivalent comporte des composants qui ne sont pas localisés. En effet, nous ne pouvons pas identifier la région précise de la diode qui devait correspondre à la température des éléments Rs, iD, Cj, et Cd. Donc la puissance d'entrée Pin(t) appliquée au réseau du circuit thermique est égale à la somme de la puissance dissipée générée par la source du courant iD et la résistance Rs (Eq.IV.37) ⎛ ⎡V Pint (t ) = iSVD ⎜ exp ⎢ D ⎣U T ⎝ ⎤ ⎞ 2 ⎥ − 1⎟ + Rs i ⎦ ⎠ (Eq.IV.37) Le modèle électrothermique « SPICE » de la diode PIN est facile à implanter dans les simulateurs de circuits utilisant un langage de description. Dans ce paragraphe le réseau du circuit thermique est basé sur 15 nœuds et les paramètres K=1.54 Wcm-1K-1, ρc=1.63 Jcm-3 K-1, L=300 µm sont considérés. Concernant les paramètres du modèle électrique « SPICE » de la diode, ils sont choisis en accord avec les paramètres technologiques de la diode PIN de référence étudiée dans le deuxième chapitre (Chapitre II, paragraphe II.3). Après l'implantation du modèle électrothermique « SPICE » du composant dans le simulateur PACTE, nous avons comparé sa caractéristique statique I(V) simulée dans PACTE à celle simulée par DESSIS-ISE. A partir de la figure IV.9, nous notons qu'il y a un bon accord entre la tension de claquage VBR simulée extraite de deux modèles utilisés. Cependant, nous notons qu’il y a un désaccord entre la tension directe de la diode simulée par ces deux derniers. Ceci s’explique par le phénomène de fort niveau d’injection qui survient lors de la THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -162- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN conduction et dont il n’est pas pris en compte dans le modèle électrothermique « SPICE » de la diode PIN. 4 C o u rb e s im u lé e p a r P A C T E C o u rb e s im u lé e p a r D E S S IS -IS E 2 Idiode[A] 0 -2 -4 -6 -2 0 0 -1 8 0 -1 6 0 -1 4 0 -1 2 0 -1 0 0 -8 0 -6 0 -4 0 -2 0 0 20 V d io d e [V ] 2 Idiode[A] Courbe simulée par PACTE Courbe simulée par DESSIS-ISE 0 0 1 Vdiode[V] Fig. IV.9 : Les caractéristiques statiques I(V) simulées par un modèle électrothermique « SPICE » et un modèle d’éléments finis d’une diode PIN. Dans le chapitre II, nous avons analysé les effets d’auto-échauffement sur le comportement électrique et thermique de la diode PIN de référence, en disposant du simulateur numérique DESSIS-ISE. Pour évaluer l’efficacité du modèle électrothermique « SPICE » de la diode PIN vis-à-vis des conditions sévères d’autoéchauffement, nous l’avons testé dans les mêmes conditions de fonctionnement décrites dans le chapitre II. C’est-à-dire dans le même circuit de test (figure IV.10). La réponse de la température, T0 estimée par ce modèle au niveau de la surface supérieure de la diode PIN, T0(x=0), est donnée dans la figure IV.11 en la comparant à celle obtenue par le simulateur DESSIS-ISE (chapitre II). THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -163- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN D L 1v -300v E VR r Figure IV.10 : Circuit de test La figure IV.11 montre un écart important entre la réponse de la température, T0 estimée par le modèle électrothermique « SPICE » et simulée par DESSIS-ISE au niveau de la surface supérieure de la diode PIN (∆T0 = 55°K à t = 10 µs). Dans le modèle électrothermique "SPICE" de la diode PIN, nous avons supposé que la chaleur générée dans la diode est condensée dans une couche d’épaisseur mince qui est à la surface supérieure de la diode. Cette supposition n’est pas réaliste car la chaleur générée est dispersée dans différentes régions de la structure de la diode. Ceci explique l’écart important entre la réponse de la température, T0 simulée par le modèle électrothermique « SPICE » de la diode PIN et celui simulée par DESSIS-ISE. Dans les figures IV.12 et IV.13, un désaccord a été trouvé entre les formes d’ondes du courant et de la tension aux bornes de la diode, obtenues par le modèle électrothermique "SPICE" et celles simulées par DESSIS-ISE sous des conditions sévères d’autoéchauffement du composant (fonctionnement au voisinage de claquage). Ceci s’explique par l’augmentation de la tension de claquage qui est due à l’élévation de la température au voisinage de la jonction PN (Chapitre II). Ce phénomène n’est pas pris en compte dans le modèle électrothermique « SPICE » de la diode. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -164- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN 0 440 cas a 420 -50 -100 380 -150 cas b 360 -200 Tension E(V) Température[K] 400 340 cas c 320 -250 300 -300 0,0 5,0µ 10,0µ 15,0µ 20,0µ Temps[s] Fig. IV.11: Comparaison entre les réponses des températures T0 obtenues par le modèle électrothermique « SPICE » et simulée par DESSIS-ISE pour la diode PIN implantée dans le circuit de test de la figure IV.10 (r=10Ω, L=360nH). Cas a: Température, T0 estimée à la surface supérieure de la diode PIN (x=0µm) et obtenue par le modèle électrothermique « SPICE ». Cas b: Température, Tj estimée au voisinage de la jonction P+N (x=11.768µm) et simulée par DESSIS-ISE. Cas c: Température, T0 estimée à la surface supérieure de la diode PIN (x=0µm) et simulée par DESSIS-ISE. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -165- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN 20 0 Tension Anode-cathode(V) -20 -40 -60 -80 -100 Tension simulée par le modèle électrothermique "SPICE" -120 -140 -160 -180 -200 Tension simulée par DESSIS-ISE -220 -240 4,0µ 6,0µ 8,0µ 10,0µ Temps(s) Fig.IV.12 : Comparaison entre la tension aux bornes de la diode, sous l’effet d’autoéchauffement, simulée par DESSIS-ISE et obtenue par le modèle électrothermique « SPICE » Courant anode-cathode (A) 2 0 -2 -4 Courant simulé par DESSIS-ISE -6 Courant simulé par le modèle électrothermique "SPICE" -8 -10 -12 5,0µ 10,0µ Time(s) Fig.IV.13 : Comparaison entre le courant passant dans la diode, sous l’effet d’autoéchauffement, simulée par DESSIS-ISE et obtenue par le modèle électrothermique « SPICE » Les répartitions de la densité des trous et des électrons, du profil du champ électrique, de la densité du courant des trous et des électrons dans la structure de la diode PIN durant la phase d’auto-échauffement de la diode de référence sont données dans les figures IV.14, IV.15, IV.16. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -166- Chapitre IV: 1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105 104 103 102 101 1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105 104 103 102 101 Profil de dopage Densité des électrons(t=10µs) Densité des électrons(t=8µs) Densité des électrons(t=6µs) Densité des trous(10µs) Densité des trous(t=8µs) Densité des trous(t=6µs) 0 10 20 30 40 Densité des électrons Densité des trous MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN 50 profondeur de la diode[µm] Fig.IV.14 : Répartitions des densités des trous et des électrons dans la structure de la diode simulées par DESSIS-ISE pour divers instants lors de l’autoéchauffement du composant 1E20 Densité du courant des trous(6µs) Densité du courant des trous(8µs) 300 1E19 Densité du courant des trous(10µs) 250 1E18 Densité du courant des trous(6µs) Densité du courant des trous(8µs) 200 1E17 Densité du courant des trous(10µs) 150 1E16 100 Concentration de dopage Densité du courant des trous[A/cm2] 350 1E15 50 Profil de dopage de la diode 0 0 10 20 30 40 1E14 50 profondeur de la diode[µm] Fig.IV.15 : Répartitions des densités du courant des trous et des électrons dans la structure de la diode simulées par DESSIS-ISE pour divers instants lors de l’auto-échauffement du composant Suite à l’augmentation de la tension de claquage de la diode avec le temps sous les effets d’auto-échauffement (figure IV.12), le champ électrique au voisinage de la jonction PN subit une légère augmentation (figure IV.16) et la génération par avalanche des paires électron- THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -167- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN trou est réduite. Ceci explique la diminution de la densité du courant des trous et des électrons dans la structure de la diode PIN en fonction du temps et durant la phase de l’autoéchauffement. Ces derniers représentent la densité du courant de fuite dans le composant. 1E20 300000 Champ électrique[V/cm] 1E19 Profil de dopage de la diode 250000 1E18 200000 1E17 150000 1E16 100000 1E15 Champ électrique(t=6µs) Champ électrique(t=8µs) Champ électrique(t=10µs) 50000 1E14 1E13 0 0 10 20 30 40 50 profondeur de la diode[µm] Fig. IV.16 : Profil du champ électrique dans la structure de la diode simulés par DESSIS-ISE pour divers instants lors de l’auto-échauffement du composant IV.2.5. CONCLUSION Un modèle thermique couplé à un modèle électrique simple de la diode PIN n’est pas satisfaisant dans le cas d’un fort couplage électrothermique : fort autoéchauffement. Evidemment dans le modèle thermique, la chaleur est générée à la surface supérieure de la diode PIN. Cependant, au blocage de la diode PIN, la source principale de chaleur est générée au voisinage de la jonction P+N. Donc pour obtenir un accord meilleur entre les réponses des températures T0, les sources de chaleur dans chaque région de la structure de la diode PIN doivent être localement prises en considération spécifiquement. Mais pour atteindre cet objectif, il est nécessaire de pouvoir localiser chaque élément du modèle électrique ce qui n’est pas possible avec le modèle « SPICE ». THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -168- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.3. MODELE ELECTROTHERMIQUE A BASE DE GRAPHES DE LIENS DE LA DIODE PIN EN SUPPOSANT UNE DISTRIBUTION NON-UNIFORME DE LA TEMPERATURE IV.3.1. LES GRAPHES DE LIENS DE LA DIODE PIN IV.3.1.1. INTRODUCTION Pour tenir compte de la distribution non uniforme de la température dans la structure de la diode PIN et prendre en considération des sources de chaleur dans les régions où elles sont générées, lors de la modélisation électrothermique, nous avons adopté la technique de graphes de liens [Karnopp-75, Rosenberg-71]. Cette dernière constitue un langage unifié et structuré orienté vers la modélisation pour tous les domaines de la physique. La technique des graphes de liens est une représentation graphique de la dynamique des systèmes physiques. Elle est basée sur le flux d'énergie [Karnopp-75]. Ainsi la modélisation à base de graphes de liens des dispositifs à semi-conducteur comprend un couplage naturel des phénomènes dynamiques thermiques et électriques qui gouvernent le fonctionnement du dispositif. En effet, les graphes de liens permettent la décomposition du dispositif en diverses régions pour traduire les transferts d’énergie entre eux. La méthodologie de la modélisation par graphes de liens demande une analyse physique en terme de variations d'énergie: stockage, dissipation, transfert. Nous allons donc reprendre le modèle à variables d'état pour l'analyser en terme de graphes de liens. En particulier nous devrons définir les liens, les transferts d'énergie. Un lien est caractérisé par sa puissance qui est égale au produit d’une variable "flux" par une variable "effort". Plusieurs symboles graphiques qui sont utilisés ne sont pas présentés en détail dans ce chapitre. En effet, une présentation simplifiée de la théorie des graphes de liens est rédigée dans l'annexe 5. Toutefois, une demi-flèche indique le sens d'écoulement d'énergie: une puissance. Cette puissance est le produit d’une variable effort (comme la tension où la température) avec une variable flux (comme le courant ou le flux d'entropie). THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -169- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Dans ce paragraphe, le concept de modélisation par graphes de liens est appliqué à la diode PIN en tenant compte de différentes sources de chaleur générées localement dans les différentes régions du composant. IV.3.1.2. LES GRAPHES DE LIENS DE LA JONCTION PN Contrairement à ce que laisse croire le circuit équivalent (Figure IV.4) et la présence de l’élément capacitif Cd, le stockage des porteurs minoritaires ne signifie pas un stockage d'énergie électrostatique, car aucun champ électrique fort n'est présent dans la région neutre N. Une analyse avancée de ce phénomène physique peut se faire par la modélisation hydrodynamique [Thoma-91] [MOREL-94] du stockage des porteurs minoritaires dans le dispositif à semi-conducteur. Dans les modèles hydrodynamiques, les gaz de porteurs sont utilisés pour représenter le phénomène de transport. Des gaz idéaux peuvent être supposés, c'est à dire que la loi des gaz parfaits donne pour la pression des trous Pp= KBTpp (Eq.IV.38) Où Tp est la température des trous et p est la concentration des trous. Dans la majorité des applications électroniques, aucun phénomène des porteurs chauds n'apparaît. Ainsi, la température des trous reste égale à la température du silicium (température du réseau), donc Tp= T (Chapitre II, Paragraphe II.2.1.2). Par conséquent, un unique lien hydraulique peut représenter le flux d'énergie, où la pression Pp et le débit volumique, fp constituent respectivement les variables effort et flux. f p = Vp . A (Eq.IV.39) où Vp est la vitesse moyenne des trous En utilisant les équations Eq.IV.38 et Eq.IV.39, la relation entre le courant de trous et les variables du port hydraulique est donnée par UT ip = (KBT/q) qpVpA = fpPp (Eq.IV.40) Notons qu'aucune des variables du port hydraulique ne dépend de la valeur du potentiel électrique. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -170- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN L’équation Eq.IV.40 à la position (x=xe) est UT ipe = fe Pe (Eq.IV.41) Où fe et Pe sont les variables du port caractérisant le flux d'énergie hydraulique du gaz de trous à x = xe. Les équations Eq.IV.38 et Eq.IV.18 donnent la pression Pe Qp ⎤ ⎡ Pe = K B Tp e = K B T ⎢p 0 + ⎥ qAL DP ⎦ ⎣ (Eq.IV.42) En substituant Eq.IV.42 et Eq.IV.41 dans Eq.IV.24 on obtient dPe P K Tp f P =− e + B 0 + e e dt AL DP τp τp (Eq.IV.43) Comme le volume est constant, l'équation Eq.IV.43 représente l'équilibre d'énergie dans la région neutre N En divisant l'équation Eq.IV.43 par Pe, le second membre devient proportionnel à la variable flux hydraulique. f 1 dPe 1 K Tp =− + B 0 + e Pe τ p AL DP τp Pe dt (Eq.IV.44) L'équation Eq.IV.44 peut être facilement représentée par le graphe de liens suivant C:Cd fe Pe Pe 0 fg Pe sf:Ge fsg Tg fr Pe Rs:Rec Liens thermiques fsr Tr Figure IV.17: Graphe de liens équivalent à l'équilibre d'énergie dans la région neutre N THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -171- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Dans ce graphe de liens, la capacité hydraulique non linéaire, à une équation à variable d’état suivante. dx =f dt (Eq.IV.45) e = p0 K BTa exp( x ) ALDP (Eq.IV.46) où x est une variable d'état, f et e sont les variables du port et Ta=300K. L’énergie fournie par cet élément est de nature thermique, elle correspond à l’échauffement du réseau. cette énergie peut être représentée par un gaz de phonons. Dans la théorie de dérive-diffusion classique [SZE-81] l'échange d'énergie entre le gaz de phonons et le gaz d'électrons et de trous n'est pas modélisé dynamiquement. Dans notre modèle de graphe de liens, cet échange d'énergie a été modélisé par l'élément Sf:Gen pour le processus de génération et un élément entropique pour le processus de recombinaison. Sf:Gen est un élément à deux ports, thermique en entrée et hydraulique en sortie. Il représente la manière de génération des paires électrons trous (fg Pe = fsg Tg). son équation du flux est la suivante fg = ALDP p0 K BT eτ p (Eq.IV.47) L'élément entropique Rs:Rec représente la recombinaison des paires électron-trou. L'équation constitutive est la suivante fr = ALDP τp (Eq.IV.48) Puisque la valeur flux est constante, la causalité de cet élément impose toujours la valeur du flux. Cependant, le phénomène physique de recombinaison des porteurs minoritaires produit de la chaleur thermique qui dépend la puissance hydraulique dissipée [Antognetti-88]. Pe fr = fsr Tr (Eq.IV.49) THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -172- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Pour modéliser cette échange de puissance nous avons utilisé l'élément entropique Rs:rec à deux ports. On distingue un port hydraulique en entrée et un port thermique en sortie. les équations Eq.IV.25, Eq.IV.19 et Eq.IV.5 sont représentées par des graphes de liens dans la figure suivante fsp2 Rs:V BI2 Tp2 i i VD C:Cj -ipe 0 U B UB 1 Rs:VBI1 fsp1 Tp1 Figure IV.18.: Modélisation du stockage d'énergie électrostatique par graphe de liens Le stockage des charges est représenté par une capacité, Cj. Le modèle à variable d’état de l’élément d’énergie Cj est donné par les relations suivantes dx =f dt e= x2 2qεN D A 2 (Eq.IV.50) (Eq.IV.51) Dans cette représentation du stockage d'énergie électrostatique par graphes de liens les tensions VBI1 et VBI2 sont modélisées par des éléments entropiques et non par des sources de tension. En effet, durant la condition de polarisation directe, le courant est positif induisant ainsi la production de la chaleur. Cependant, durant la condition de polarisation en inverse le courant est négatif et équivalent à un courant de fuite très faible, mais lors de son ouverture le courant de la diode PIN peut atteindre de fortes valeurs négatives. Physiquement, ces tensions VBI1 et VBI2 représentent la chute de potentiel à travers les deux jonctions métal-semiconducteur du côté anode et cathode [Ghédira-98]. Bien que les THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -173- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN jonctions métal-semiconducteur soient des contacts ohmiques, ces contacts engendrent de la chaleur. C'est pour cela que les éléments entropiques ont un port électrique en entrée et un port thermique en sortie. Les relations qui existent entre les variables d'entrée et de sortie pour ces deux éléments entropiques sont les suivantes i * VBI1= fsp1 * Tp1 (Eq.IV.52) i * VBI2= fsp2 * Tp2 (Eq.IV.53) A l'équilibre thermodynamique, le niveau de Fermi implique qu'il n'y a aucune chute de tension entre la cathode (Métal) et l'anode (Métal). Par conséquent les expressions de VBI1 et VBI2 comme fonction des concentrations de dopage dans le silicium sont les suivantes. ⎛N ⎞ VBI 1 = U TP ln ⎜ A max ⎟ ⎜ n (T ) ⎟ ⎝ i p ⎠ (Eq.IV.54) ⎛ N Dmax ⎞ VBI 2 = U Tn log ⎜ ⎟ ⎝ ni (Tn ) ⎠ (Eq.IV.55) Où U TP = KTP q U Tn = KTn q Finalement, les représentations par graphes de liens dans les figures présentes doivent être connectées. Dans la condition de polarisation directe, les trous quittent la région P en traversant la région de charge d’espace. Il est évident que durant cette phase, le potentiel électrique est l'énergie la plus importante des trous. Mais dès que la région neutre N est atteinte le potentiel électrique ne varie plus. Par conséquent, le rôle de l'énergie cinétique des trous n'est pas négligeable par rapport au rôle du potentiel électrique. Le phénomène qui domine cette transformation est l'équilibre de dérive-diffusion dans la région de charge d’espace. Ce phénomène n'a pas d’effet mémoire signifiant et a un stockage d'énergie négligeable. Le phénomène de diffusion génère de la chaleur. Donc l'équilibre de diffusion-dérive doit être représenté par un élément entropique à trois ports THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -174- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN dont deux en entrée de type hydraulique et électrique et un port thermique en sortie (figure IV.19). La relation montrant le transfert de puissance électrique en thermique est la suivante. fSJ * TJ = UB * ipe + fe * Pe (Eq.IV.56) -ipe UB Rs::D fsJ fe Pe TJ Figure IV.19 : L'élément RS de dérive-diffusion Les équations constitutives de l’élément Rs::DD sont les suivantes Pe = K BTJ N A exp(− ip e = − UB ) U TJ (Eq.IV.57) Pe f e U TJ U TJ = (Eq.IV.58) où K BTJ q Notons que la représentation par graphes de liens dans la figure IV:20 correspond exactement au modèle à variable d'état de la diode PIN (Eq IV.5, Eq IV.18, Eq IV.19, Eq IV.24 et Eq IV.25) R:rs Rs:VBI2 i i 1 VD L C:Cj 1 0 UB C:Cd -ipe UB Rs::D TP1 Pe 0 fg Pe sf:Ge Rs:Rec Rs:VBI1 fsp1 fe P fsJ TJ fsr Tr Figure IV.20: modèle par graphes de liens de la diode PIN THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -175- fsg Tg fsp2 Tp2 Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Dans la condition de forte polarisation inverse, le phénomène de claquage interne risque de se déclencher. Puisque le processus d'ionisation est extrêmement rapide et produit de la chaleur, il peut être représenté par l’élément Rs:BV. C'est un élément entropique du domaine électrique. En terme de circuit électrique cela peut s'interpréter comme une résistance qui produit de la chaleur Côté électrique les variables sont: - Le courant i pour le flux - La tension U pour l'effort. Evidement l'avalanche est décrite par l'équation ⎛ U − BV f = I BV exp⎜⎜ B ⎝ U TI ⎞ ⎟⎟ ⎠ (Eq.IV.59) Où UTI = KB * TI/q, V0 = 67,3V, Tc=123K, α = 0.285 Avec l'expression empirique suivante : BV = V0 (α + TI ) (Eq.IV.60) Tc IBV et BV sont des paramètres caractérisant le point de claquage. Ce dernier élément a un port d'entrée électrique et un port de sortie thermique traduisant l'échange de la puissance électrique en chaleur selon (Eq.IV.61) (f UB = fsI TI) (Eq.IV.61) Et enfin nous avons ajouté une résistance R:rs et une inductance parasite de câblage L en série avec le modèle électrique pour tenir compte du câblage externe au boîtier. Le modèle complet par graphe de liens de la diode PIN est donné dans la figure IV.21. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -176- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN R:rs Rs:VBI2 i i 1 VD L 1 Rs:VBI1 fsp1 TP1 C:Cj -ipe 0 UB UB C:Cd Rs::D Rs:BV fsI TI fe P Pe 0 fg Pe sf:Ge fsg Tg Rs:Rec fsJ TJ fsp2 Tp2 fsr Tr Figure IV.21: Modèle complet par graphe de liens de la diode PIN (faible niveau d’injection) IV.3.1.3. CONCLUSION Grâce à la technique des graphes de liens, nous avons pu développé un modèle analytique de la diode PIN qui tient compte de la distribution de la température non-uniforme. En effet, la structure de la diode PIN est décomposée en régions semi-conductrices distinctes. Il est évident que ce modèle est superposable à la structure de la diode PIN, ce qui met en évidence l'apport de la méthode de modélisation à base de graphes de liens par rapport au circuit électrique équivalent classique. Cette fois nous pouvons localiser chaque élément de la figure IV.21 et lui attribuer une région et donc les pertes associées. Par conséquent, pour obtenir un modèle précis électrothermique de la diode PIN tenant compte de la distribution non-uniforme de la température dans la structure du composant, son modèle thermique à base de graphes de liens doit rassembler les chaleurs générées localement à travers chaque région semi-conductrice tout en tenant compte de la dépendance des paramètres physiques du matériau silicium en fonction de la température dans chaque région séparément. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -177- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.3.2. DEPENDANCE DES PARAMETRES PHYSIQUES DU MATERIAU EN FONCTION DE LA TEMPERATURE Pour tenir compte de la dépendance de la concentration intrinsèque, la mobilité des porteurs, du coefficient de diffusion, de la durée de vie et de la longueur de diffusion des porteurs minoritaires en fonction de la température locale dans chaque région, nous avons conservé leurs expressions empiriques présentées précédemment dans le paragraphe IV.2.3 IV.3.3. MODELE THERMIQUE DU COMPOSANT A BASE DE GRAPHES DE LIENS Dans ce paragraphe, en utilisant la méthode par éléments finis, la région semi-conductrice est géométriquement discrétisée en utilisant n segments uniformément répartis de longueur h où h = L . En prenant en considération la génération de la chaleur interne, le modèle n thermique 1-D à base de graphes de liens de la région à semi-conducteur est montré dans la figure IV. 22 [Hsu-96], Où les expressions de C1, C2 et R1 sont données dans la partie IV.2.4 et Pg est la chaleur thermique due aux principales sources de chaleur générées dans la région semi-conductrice. Dans ce modèle thermique à base de graphes de liens, la puissance d'entrée existe seulement au nœud initiale n1, est modélisé par une source de puissance Pin(t) (graphe de liens thermique). Pg/n Pg/2n Pint (t) 0 n2 1 0 n1 1 0 n0 0 0 2C1 2C1 R1 C2 Pout(t) 0 nn 1 0 2C1 C2 Pg/2n 0 ni 1 0 C1 R1 Pg/n Pg/n R1 C2 2C1 R1 C2 Fig. 22. Modèle thermique à base de graphe de liens de la région semi-conductrice obtenu par la méthode d'éléments finis THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -178- it»prir*/KMODÈLE ANALYTIQUE ÉLECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN Puisque les principales sources de chaleur générées dans la diode PIN sont principalement localisées dans la région de charge d’espace et les régions de contact métal semiconducteur, la diode peut être subdivisée en trois régions où les sources de chaleur sont rassemblées et appliquées aux régions correspondantes (figure.IV.23). La puissance sur le nœud final de chaque modèle de la région est l'entrée du modèle de la région voisine (figure IV. 23). L’assemblage de toutes les sources de chaleur générée dans la diode et l’application de la résultante à la surface supérieure de la puce du composant comme montré dans la figure IV.24 revient au modèle électrothermique « SPICE » de la diode établi dans le paragraphe précèdent. Finalement, pour évaluer l'efficacité du modèle électrothermique développé à base de graphes de liens de la diode PIN, le modèle correspondant au composant de référence sélectionné est testé dans le même circuit de test (figure IV.10), afin de comparer les résultats de simulation avec ceux obtenus par le simulateur DESSIS-ISE. En effet, le modèle à base de graphes de liens de la diode PIN présenté dans la figure V.23. est implanté dans le simulateur PACTE. Ce dernier modèle peut être implanté assez facilement dans d'autres simulateurs. Les valeurs des paramètres de ce modèle sont en accord avec les paramètres technologiques de la diode de référence étudiée dans le deuxième chapitre. Le circuit de test présenté dans la figure IV.10 est simulé par les deux simulateurs PACTE et DESSIS-ISE. Nous notons que les réponses de températures simulées par les deux modèles, T0 à la surface supérieure de la diode PIN(x=0) et Tj au voisinage de la jonction P+N (x=11,768µm) sont présentées comme cas (b) et (e) pour Tj et les cas (c) et (d) pour T0 dans la figure V.25. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -181- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN 0 440 -50 Cas a 420 -100 380 Cas b -150 360 -200 340 Cas c Cas d -250 Cas e 320 300 -300 0.0 5.0µ 10.0µ 15.0µ 20.0µ Temps[s] Fig. IV.25: Comparaison entre les températures T0 et Tj par le modèle électrothermique à base de graphes de liens et DESSIS-ISE pour la diode PIN testée dans le circuit de la figure IV.10 (r=10Ω, L=360nH). Cas a: Température T0 (x=0µm) obtenue par le modèle electrothermique « SPICE » (distribution de température uniforme). Case b: Température Tj (x=11.768µm) simulée par DESSIS-ISE. Cas c: Température T0 (x=0µm) simulée par DESSIS-ISE. Cas d: Température T0 (x=0µm) obtenue par le modèle electrothermique à base de graphe de liens (distribution de température non-uniforme). Case e: Température Tj (x=11.768µm) obtenue par le modèle electrothermique à base de graphe de liens (distribution de température non-uniforme). Les résultats de simulation concernant les températures Tj et T0 pour les deux modèles sont en bon accord. Le modèle analytique (graphe de liens) et le modèle numérique (DESSISISE) fournissent des résultats proches. Cependant leur coûts de simulation sont très différents, par exemple, plusieurs jours est approximativement demandée pour DESSIS-ISE, comparé à quelques minutes pour PACTE. L'écart prélevé sur les réponses des THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -182- Tension E(V) Température[K] 400 Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN températures quand on tient compte ou pas de la nature de distribution de la température a été discutée dans la figure IV.25. De plus, la tension de claquage et le courant inverse de la diode PIN sous l'effet d'autoéchauffement estimés par le modèle analytique à base de graphes de liens et le modèle numérique sont en bon accord (figure IV.26, figure IV.27). Courant anode-cathode (A) 2 0 Courant simulé par DESSIS-ISE Courant simulé par le modèle électrothermique à base de graphe de liens -2 -4 -6 -8 -10 -12 4.0µ 6.0µ 8.0µ 10.0µ Time(s) Fig. IV.26. Variation de la tension de claquage de la diode PIN sous l'effet d'autoechauffement simulée par DESSIS-ISE et obtenue par le modèle electrothermique à base de graphe de liens. 20 0 Tension Anode-cathode(V) -20 -40 -60 Courant simulé par DESSIS-ISE Courant simulé par le modèle électrothermique à base de graphe de liens -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 4.0µ 6.0µ 8.0µ 10.0µ Temps(s) Fig. IV.27. Variation du courant inverse de la diode PIN sous l'effet d'autoechauffement simulée par DESSIS-ISE et obtenue par le modèle electrothermique à base de graphe de liens. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -183- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN La figure IV.28 présente les températures T0 (x=0µm) et Tj (x=11.768µm) avec un effet d'autoéchauffement plus important que dans la figure V.13. Nous notons que le modèle numérique (DESSIS) et le modèle analytique à base de graphes de liens restent en bon accord, alors que l’hypothèse d'une température uniforme dans la structure du composant mène à une erreur plus importante, ∆T0, pour la température T0 (x=0µm) (∆T0=115K dans la figure IV.28 comparée à 55K dans la figure IV.25 à t=10µs) 600 580 560 Cas a 540 Température[K] 520 500 480 Cas b 460 440 ∆T0 420 400 Cas c 380 360 Cas d 340 Cas e 320 300 0.0 5.0µ 10.0µ 15.0µ 20.0µ Temps[s] Fig. IV.28: Comparaison entre les températures T0 et Tj par le modèle electrothermique à base de graphes de liens et DESSIS-ISE pour la diode PIN testée dans le circuit de la figure IV.10 (r=5Ω, L=360nH). Cas a: Température T0 (x=0µm) obtenue par le modèle electrothermique analytique (distribution de température uniforme). Case b: Température Tj (x=11.768µm) simulée par DESSIS-ISE. Cas c: Température T0 (x=0µm) simulée par DESSIS-ISE. Cas d: Température T0 (x=0µm) obtenue par le modèle electrothermique à base de graphe de liens (distribution de température non-uniforme). Case e: Température Tj (x=11.768µm) obtenue par le modèle electrothermique à base de graphe de liens (distribution de température non-uniforme). THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -184- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN IV.4. CONCLUSION Dans ce chapitre nous avons montré que l’hypothèse classique d’une distribution uniforme de la température introduit des erreurs importantes sur les estimations des températures dans le cas de forts auto-échauffements. D'une part des simulations électrothermiques précises des composants sont disponibles en utilisant des simulateurs numériques comme DESSIS-ISE, mais le coût de calcul est très important. Donc, des modèles analytiques sont nécessaires pour la conception des systèmes. Grâce à la localisation des éléments, la technique de graphes de liens permet la modélisation des couplages thermiques dans la diode PIN. Les résultats obtenus avec ce modèle sont en bon accord avec ceux obtenus par la simulation électrothermique basée sur la méthode par éléments finis. Ainsi le modèle à base de graphe de liens est beaucoup mieux adapté à la simulation électrothermique que le modèle du circuit équivalent. Notre étude a été limitée pour des raisons de simplification au cas de faible polarisation en directe et aux polarisations en inverse de la diode PIN. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -185- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN REFRENCES: [Karnopp-75]: D. Karnopp, R. Rosenberg,”System dynamics : A unified Approach”. New York: John-Wiley Interscience, 1975. [Rosenberg-71]: R. C. Rosenberg, ”State space Formulation for Bond-Graphs Models of Multiport Systems”. J. of Dynamics Syst. Meas. And Control. Mars 1971, pp. 35-40.. [Morel-95]: H. Morel, B.Allard, C.C. Lin, H.Hellali, " Semiconductor Device Modeling and simulation Using Bond graph. " SCS, Simulation series, Vol 27, N°1, 1995, pp269-274. [Morel-97]: H. Morel, B. allard, S. Ghedira and A. Ammous, " A bond graph Model of the PN junction " SCS, simulation series, Vol. 29, N°1, 1997, pp 325-330. [Sze-81] : M.S. Sze. "Physics of Semiconductor Devices”, 2nd ed. New-York: Wiley-and sons,1981, 868p. [Antognetti-88] : P. Antognetti, G. Massobrio, " Semiconductor Device Modeling with SPICE". New York : Mc Graw-Hill, 1988, 389p. [Lombardi-88] : C. Lombardi, S. Manzini, A.saporito, and M.Vanzi, "A physically based Mobility Model for Numerical simulation of Non planar Devices", IEEE Transaction on CAD, Vol.7, N°11, 1988, pp. 1164-71. [Kraus-92] : R. Kraus, P. Turkes and H.J. Mattausch, " Modeling the self-heating of power Devices " Proceeding of 1992 International Symposium on power semiconductor Devices & Ics, Tokyo, juin 1992, pp.124-129 [Tounsi-93] : P. Tounsi, J.M. Dorkel, Ph.Leturcq, "Thermal Modeling for Electrothermal simulation of power devices of circuits "EPE 93 Brighton, 13-16 September 1993, pp. 155160. [skibinski-91] : G.L. skibinski and W.A. Sethares, " Thermal Parameter Estimation Using Recursive Identification" IEEE Transactions on power Electronics, Vol 6, N°2, 1991, pp. 228239. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -186- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN [Hefner-94] : A.R.Hefner and D.L. Blakburn, " Thermal Component Models for Electrothermal Network simulation " IEEE Transcomp, Pack, Man Tech-Part A. vol17, N°3, 1994, pp. 413424. [Strickland-59]: P.R.Strickland, " The Thermal Equivalent Circuit of a transistor " IBM JOURNAL, 1959, pp.35-45. [Barnes-77]: J. J. Barnes and R. J. Lomax, " Finite element methods in semiconductor device simulation, " IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-34, 1977, pp. 1082-1088,. [Dautray-90]: R. Dautray and J. L. Lions, “Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology”. New York : Springer-Verlag, 1990. [Hsu-96] : Jia Tzer Hsu and Loc Vu-Quoc., "A Rational Formulation of thermal circuit Models for Electrothermal simulation-Part I : Finite Element Method "IEEE Transactions on circuits and systems-I: Fundamental Theory and Applications, Vol.43, N°9, 1996, pp 721-732. [Ammous-99]: A. Ammous, S. Ghedira, B. Allard, H. Morel and D. Renault, "Choosing a thermal Model for Electrothermal Simulation of power semiconductor devices" IEEE Transactions on power Electronics, Vol.14, N°2, 1999, pp.300-307 [Thoma-91]: R.Thoma, A. Emunds, B.Meinerzhagen, H Peifer, and W.L.Engl, "Hydrodynamic equations for semiconductors with non paraboloic band structure" IEEE Trans On Electron Devices, Vol 38, 1991, pp 1343-1353. [Morel-94]: H. Morel, "Modélisation et simulation des composants et des systèmes électroniques de puissance". Habilitation à diriger les recherches : INSA de Lyon, Laboratoire de composants de puissance, 1994, 105p. [Ghedira-98]: S. Ghédira, "Contribution à l’estimation des paramètres technologiques de la diode PIN de puissance à partir de mesures en commutation" Thèse Doct. : INSA de Lyon, 1998, 146p. THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -187- Chapitre IV: MODELE ANALYTIQUE ELECTRO-THERMIQUE DE LA DIODE PIN CHAPITRE IV .............................................................................................................. 147 IV. MODELE ANALYTIQUE ELECTROTHERMIQUE DE LA DIODE PIN..... 147 IV.1. Introduction............................................................................................................... 147 IV.2. Modèle analytique electrothermique de la diode pin en supposant une distribution uniforme de la température ................................................................................................ 149 IV.2.1. Le modèle à variables d'états classique de la jonction P-N................................ 149 IV.2.2. Schéma électrique équivalent de la jonction P-N en régime de faible niveau d’injection....................................................................................................................... 155 IV.2.3. La dépendance des paramètres physiques du matériau silicium en fonction de la température..................................................................................................................... 156 IV.2.3.1 La concentration intrinsèque........................................................................ 156 IV.2.3.2 Les mobilités des porteurs............................................................................ 157 IV.2.3.3 Coefficient de diffusion ............................................................................... 157 IV.2.3.4 Durée de vie des porteurs minoritaires ........................................................ 158 IV.2.3.5 Longueur de diffusion des minoritaires ....................................................... 158 IV.2.4. Choix d'un modèle thermique du composant..................................................... 159 IV.2.5. Conclusion ......................................................................................................... 168 IV.3. Modèle electrothermique a base de graphes de liens de la diode PIN en supposant une distribution non-uniforme de la température...................................................................... 169 IV.3.1. Les graphes de liens de la diode pin .................................................................. 169 IV.3.1.1. Introduction................................................................................................. 169 IV.3.1.2. Les graphes de liens de la jonction PN ....................................................... 170 IV.3.1.3. Conclusion .................................................................................................. 177 IV.3.2. Dépendance des paramètres physiques du matériau en fonction de la température ........................................................................................................................................ 178 IV.3.3. modèle thermique du composant a base de graphes de liens............................. 178 IV.4. Conclusion ................................................................................................................ 185 THESE - Hatem Garrab Contribution à la modélisation électro-thermique de la cellule de commutation MOS-Diode -188-