Conducteurs en équilibre

Conducteurs en équilibre électrostatique
A. Définitions
Un conducteur est caractérisé par la présence de charges électriques mobiles. Ce sont par
exemple des électrons dans un métal. Comme dans tout matériau, en l’absence d’action
extérieure les charges mobiles ne sont soumises qu’à l’agitation thermique : leurs
mouvements sont désordonnés et en moyenne nuls. Par contre ces charges mobiles suivent un
mouvement d’ensemble sous l’effet du moindre champ électrostatique. Cela constitue la
définition d’un conducteur.
Un conducteur est dit en état d’équilibre électrostatique si les charges électriques mobiles
qu’il contient sont au "repos" (à l’agitation thermique près).
B. Conducteur en équilibre électrostatique
B.1. Conducteur plein
En tout point d’un conducteur en équilibre le champ électrique est nul. En présence d’un
champ électrostatique les charges libres se mettraient en mouvement sous l’effet de
l’interaction de Coulomb.
La charge d’un conducteur ne peut donc être que surfacique. En effet la loi de Poisson nous
permet de calculer la densité de charge volumique :
div ሬEԦ =
Donc :
ሬԦ = ሬԦ
E
0
⇒
ρ
ϵ0
ρ=0
Le volume du conducteur est un volume équipotentiel. En effet :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V = 0
ሬEԦ = −grad
⇒
V = cste
B.2. Cavité vide de charge
L’équilibre d’un conducteur n’est pas modifié par la présence de cavités vides de charge.
Considérons un conducteur en équilibre présentant une cavité vide de charge (Fig. 1). Le
champ électrostatique est nul dans le conducteur. Le volume du conducteur est donc encore
un volume équipotentiel. La surface de la cavité est donc une équipotentielle. Celle-ci étant
vide de charge il en est donc de même pour son volume et le champ électrostatique y est nul.
Les charges ne peuvent se trouver que sur les surfaces. Montrons que la paroi de la cavité ne
porte aucune charge. Considérons une surface fermée (S) à cheval sur cette paroi (fig. 1). Le
champ étant nul en tout point de cette surface le flux sortant est nul. La charge à l’intérieur de
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 1
cette surface est donc nulle. Ceci étant valable quelque soit le choix de la surface (S) il n’y a
donc aucune charge sur la paroi de la cavité.
(S)
Fig. 1 : Présence d’une cavité vide de charge dans un conducteur.
B.3. Champ électrique au voisinage d’un conducteur
Considérons un conducteur en équilibre électrostatique. Notons σ sa densité surfacique de
charge (non nécessairement uniforme). Nous voulons évaluer le champ électrique en un point
M très proche de la surface du conducteur. La surface du conducteur étant une équipotentielle
nous savons que ce champ est normal à la surface du conducteur.
Fig. 2 : Champ au voisinage d’un conducteur.
Soit ሬnԦ le vecteur unitaire normal à la surface du conducteur passant par M et dirigé vers
l’extérieur. Considérons un petit élément de surface dS centré sur M et perpendiculaire à ሬnԦ.
Définissons une surface (S) constituée à l’extérieur du conducteur de ce disque élémentaire
dS, du tube de champ s’appuyant sur dS et fermée par une surface quelconque dans le
conducteur (fig. 2). Le champ électrostatique étant nul dans le conducteur et tangent au tube
de champ, le flux sortant de (S) se limite à :
ሬԦ dS ሬnԦ = E dS
Φ=E
Calculons la charge contenue à l’intérieur de (S). Le point M étant très proche du conducteur
le tube de champ défini à sa surface une aire dS. La charge contenue est donc :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 2
dq = σ dS
Nous avons donc :
Φ = E dS =
σ dS
σ
⇒ E=
ε0
ε0
Ce qui nous donne pour le champ électrostatique à proximité d’un conducteur en équilibre :
ሬEԦ =
σ
ሬnԦ
ε0
Ce résultat constitue le théorème de Coulomb.
B.4. Pression électrostatique
Considérons un petit disque d’aire élémentaire dS défini sur la surface d’un conducteur. Soit
M un point à l’extérieur du conducteur très proche du disque pris sur l’axe de symétrie du
celui-ci. Nous avons calculé dans le chapitre précédent (§ B) le champ créé au point M par ce
disque :
σ
ሬԦ1 (M) =
E
ሬnԦ
2 ε0
où ሬnԦ représente le vecteur unitaire normal au disque et orienté du disque vers M (donc vers
l’extérieur du conducteur). Cela représente la moitié du résultat du paragraphe précédent. En
fait le champ en M résulte de la contribution de ce disque dS et du reste des charges du
système :
ሬԦ1 (M) + E
ሬԦ2 (M)
ሬԦ(M) = E
E
Fig. 3 : Contributions d’un élément de surface au champ à l’extérieur
et à l’intérieur du conducteur (pour σ > 0).
Nous pouvons calculer la contribution ሬEԦ2 (M) en considérant le champ électrostatique en un
point M′ symétrique de M par rapport au disque. En première approximation les charges
autres que celles du disque créent un champ identique en M et M′ :
ሬEԦ2 (M') = E
ሬԦ2 (M)
Par contre le disque crée en M′ un champ opposé à celui en M :
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IV - 3
ሬEԦ1 (M') = −E
ሬԦ1 (M)
En M′ le champ est nul donc :
ሬEԦ(M') = E
ሬԦ1 (M') + E
ሬԦ2 (M') = −E
ሬԦ1 (M) + E
ሬԦ2 (M) = ሬԦ
0
Soit :
ሬEԦ2 (M) =
⇒
ሬԦ2 (M) = E
ሬԦ1 (M)
E
σ
ሬnԦ
2 ε0
Et nous retrouvons le champ total en M.
Nous venons également de montrer que le disque dS baigne dans le champ électrostatique
créé par les autres charges. Il est donc soumis à une force :
dfԦ = dq ሬEԦ2 = σ dS
σ
ሬnԦ
2 ε0
Cette force est toujours dirigée vers l’extérieur :
dfԦ =
σ2
dS ሬnԦ
2 ε0
C’est la matière elle-même qui subit cette force électrostatique. Nous pouvons définir la
pression électrostatique :
df
σ2
p= =
dS 2 ε0
Celle-ci peut être mise en évidence en plaçant un confetti conducteur sur un conducteur
chargé.
B.5. Répartition de la charge en surface d’un conducteur en équilibre
Considérons un conducteur sphérique de rayon R porté au potentiel V. Nous pouvons calculer
la charge Q portée par cette sphère. Calculons en effet le potentiel créé par la charge
surfacique au centre de la sphère. Nous avons :
V=
Q
4 π ε0 R
Ce qui nous donne pour la charge en fonction du potentiel :
Q = 4 π ε0 R V
Si ce conducteur est seul dans l’espace, la symétrie de la situation étudiée nous permet de
supposer que la répartition de la charge est uniforme. La densité de charge surfacique est
alors :
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IV - 4
σ=
ε0 V
Q
=
R
4πR2
Le théorème de Coulomb nous donne le champ électrique au voisinage de la surface de la
sphère :
σ V
E=
=
ε0 R
Nous constatons que la densité de charge et le champ électrostatique sont d’autant plus
importants que le rayon de la sphère est faible.
Lorsqu’on étudie expérimentalement la répartition de la charge en surface des conducteurs en
équilibre on constate que la densité surfacique est :
- très grande sur les parties saillantes ;
- très faible sur les parties de faible courbure ;
- nulle dans les creux dès qu’on s’éloigne du bord des creux.
Le champ électrique est particulièrement intense au voisinage des pointes.
C. Système de conducteurs en équilibre électrostatique
C.1. Equilibre
Considérons un système de n conducteurs immobiles dans le vide. Nous nous intéressons au
champ électrique en dehors des conducteurs. On peut montrer (cf. annexe à la fin de ce
chapitre) que si on impose le potentiel ou la charge de chaque conducteur (conditions aux
limites) le potentiel est parfaitement déterminé. C’est-à-dire que l’équation de Laplace ∆V = 0
en tout point extérieur aux conducteurs avec les conditions aux limites sur les conducteurs
(potentiel ou charge) et à l’infini (V∞ = 0) admet une solution et une seule.
L’équation de Laplace, sans second membre, étant linéaire dans le vide nous pouvons
appliquer le théorème de superposition : la superposition de deux états d’équilibre est
également un état d’équilibre.
C.2. Théorème des éléments correspondants
Considérons un tube de champ reliant deux conducteurs en équilibre électrostatique. Ce tube
définit une surface sur chacun des conducteurs. Ces deux surfaces S et S′ constituent des
éléments correspondants. Chacun porte une charge que nous notons respectivement Q et Q′.
Fermons ce tube par deux surfaces situées à l’intérieur des conducteurs comme indiqué sur la
figure 4. Le champ étant tangent en tout point du tube et nul dans les conducteurs, le flux
sortant de cette surface fermée est nul. Il en est donc de même pour la charge qu’elle
renferme. Nous avons donc Q+Q′ = 0. Les éléments correspondants portent donc des charges
égales et opposées.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 5
Ce résultat est valable pour tout tube de champ, en particulier pour des tubes de section
élémentaires dS. Nous pouvons donc dire que des éléments correspondants portent des
densités surfaciques de signes opposés.
Nous pouvons résumer ce que nous savons a priori sur l’équilibre d’un système de
conducteurs :
- Les lignes de champ sont normales aux surfaces des conducteurs.
- Les lignes de champ vont des charges positives vers les charges négatives.
- Le potentiel décroît le long d’une ligne de champ.
- Une ligne de champ ne peut se refermer sur un même conducteur (sinon les deux points
aux extrémités de cette ligne de champ ne seraient pas au même potentiel). Une ligne
partant d’un conducteur rejoint donc un autre conducteur à un potentiel inférieur ou
part à l’infini (V∞ = 0).
S'
S
Q'
Q
tube de champ
Fig. 4 : Eléments correspondants.
D. Influence totale
Il y influence totale entre deux conducteurs si l’un entoure complètement l’autre.
D.1. Théorème de Faraday
Considérons deux conducteurs seuls A et B en influence totale (A à l’intérieur de B, fig. 5).
Nous notons QA la charge portée par A, Qi et QB les charges portées par les faces interne et
externe de B.
Considérons une surface fermée (S) complètement située à l’intérieur du conducteur B. Le
champ étant nul au niveau de cette surface le flux en sortant est également nul. Nous en
déduisons que :
Q i = −Q A
La surface externe de A et la surface interne de B sont des éléments correspondants.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 6
QB
Qi
QA
B
A
Fig. 5 : Influence totale.
D.3. Distribution des charges sur les deux conducteurs
Supposons B isolé et notons Q0 sa charge initiale, éventuellement nulle. Le conducteur B
étant isolé sa charge totale ne peut varier. Nous avons donc :
Qi + Q B = Q 0
Apportons des charges sur le conducteur A. La face interne de B porte alors une charge –QA
et la face externe :
Q B = Q0 − Qi = Q0 + Q A
Supposons A isolé portant une charge QA. Si nous modifions la charge totale du conducteur
B, en modifiant son potentiel, seule sa charge externe est modifiée. En particulier si nous
relions le conducteur B au sol (V = 0) alors sa charge externe est nulle. En l’absence d’autres
conducteurs aucune ligne de champ ne peut arriver ou partir.
Soient deux conducteurs A et B en influence totale, B entourant A. Notons respectivement QA
et QB les charges externes des deux conducteurs. Nous voulons déterminer comment les
charges se distribuent entre les trois faces.
Considérons tout d’abord l’état d’équilibre pour lequel A est neutre (non chargé). Nous
savons qu’alors la face interne de B n’est pas chargée. La distribution externe de B est donc la
même que si B était seul dans l’espace portant une charge QB.
Considérons maintenant l’état d’équilibre pour lequel A est chargé et B au potentiel nul (relié
au sol). La charge externe de B est alors nulle. Les distributions des charges sur A et la face
interne de B dépendent des géométries de la cavité et de A.
La superposition de ces deux états d’équilibre correspond à l’état d’équilibre que nous
voulons étudier. Donc :
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IV - 7
- La distribution sur A et sur la surface interne de B ne dépend pas de l’électrisation de B,
mais uniquement de la charge de A, des formes et de la position de A dans la cavité.
- La distribution sur la surface externe de B est indépendante de la position de A et de la
charge de B.
Le potentiel de B est le même que si B était seul dans l’espace portant la charge QB.
A titre d’exemple considérons un condensateur sphérique. Le conducteur A est une sphère de
rayon R1 et B est une sphère creuse de rayons interne R2 et externe R3. Les deux sphères ont
même centre. Nous supposons B isolé et initialement neutre, alors que le conducteur A porte
une charge Q. Nous voulons calculer des potentiels des deux conducteurs.
B
R1
Qi
QB
QA
O
R2
A
R3
Fig. 6 : Conducteurs sphériques en influence totale.
Nous pouvons déterminer les charges portées par les trois faces. Nous avons :
QA = Q et Q0 = 0 ⇒ Qi = −Q et QB = Q
Le potentiel de A est le potentiel induit au centre des sphères par trois couches concentriques
chargées. Nous avons donc :
Q  1
1
1 


VA =
−
+
4 π ε 0  R 1 R 2 R 3 
Le potentiel du conducteur B correspond à celui qu’il aurait s’il était seul portant sa charge
externe. Ce qui nous donne :
Q
VB =
4 π ε0 R 3
Si nous relions le conducteur B au sol que deviennent les potentiels de A et de B ? Le
potentiel de B est alors nul et il ne porte plus de charge externe :
VB = 0 ⇔ Q B = 0
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IV - 8
Par contre les charges de A et de la face interne de B restent inchangées. Le potentiel de A
correspond donc au potentiel induit au centre des sphères par deux couches concentriques
chargées. Soit :
Q  1
1 


VA =
−
4 π ε 0  R 1 R 2 
D.4. Ecrans électriques
On appelle écran électrique un conducteur creux maintenu à un potentiel fixe.
E
V
Fig. 7 : Ecran électrique.
Soit un ensemble de conducteurs dont certains sont placés à l’intérieur d’un écran E maintenu
à un potentiel V. Nous cherchons à étudier le champ électrostatique à l’intérieur et à
l’extérieur de l’écran.
Considérons un premier d’état d’équilibre obtenu lorsque tous les conducteurs à l’intérieur de
l’écran sont non chargés, que les autres à l’extérieur portent leur charge et que l’écran est au
potentiel V. Nous savons que dans cette situation le champ électrique est nul en tout point à
l’intérieur de la cavité de l’écran.
Considérons un second état d’équilibre obtenu en maintenant l’écran à un potentiel nul (relié
au sol), avec les conducteurs extérieurs tous déchargés et les conducteurs intérieurs portant
leur charge. Le champ électrostatique est alors nul à l’extérieur de l’écran.
L’état d’équilibre que nous voulons étudier correspond à la superposition de ces deux états
d’équilibre. Nous en concluons que le champ extérieur ne dépend que des conducteurs
extérieurs et du potentiel V, alors que le champ intérieur ne dépend que des conducteurs
intérieurs.
Un conducteur creux maintenu à un potentiel fixe sépare l’espace en deux régions
indépendantes du point de vue électrostatique.
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IV - 9
D.5. Images électriques
Considérons une distribution de charges définissant une surface équipotentielle fermée. Nous
pouvons assimiler cette surface à un conducteur maintenu à ce potentiel et vice-versa. Comme
les conditions aux limites pour ces deux systèmes sont identiques, le théorème d’unicité nous
dit que le champ et le potentiel en tout point à l’extérieur de l’équipotentielle ou du
conducteur sont alors identiques. Ces deux situations sont images électriques l’une de l’autre.
Pour illustrer ce concept d’image électrique étudions le problème suivant. Nous cherchons à
déterminer l’influence d’une charge ponctuelle sur un plan conducteur infini. Nous
considérons un conducteur plan infini maintenu à la masse (V = 0) en présence d’une charge q
située en un point M à une distance h du plan.
Nous ne savons pas résoudre directement ce problème. Par contre, considérons le dipôle
constitué par la charge q en M et une charge −q située en M′ symétrique de M par rapport au
plan, que nous notons (Π). Ce dipôle produit un potentiel nul dans son plan médiateur. Ainsi
dans le demi-espace limité par le plan (Π) et contenant la charge q, les deux situations
présentent les mêmes conditions aux limites :
- potentiel nul sur le plan et à l’infini ;
- charge q en M.
L’unicité de la solution de l’équation de Laplace nous garantit donc que potentiel et champ
électrostatique sont identiques dans le demi-espace considéré. Le dipôle constitue une image
électrique du problème à étudier.
Fig. 8 : Exemple d’image électrique
Dans le cas du dipôle nous pouvons calculer le champ électrostatique en tout point P du plan.
Utilisons les notations de la figure 8. L’axe Oz est défini par la position M de la charge et par
sa projection O sur (Π). Il est orienté de O vers M. L’axe Oz constitue un axe de symétrie, le
champ électrostatique ne dépend donc que de la distance r du point P au point O. Le champ
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IV - 10
électrique en P est normal au plan (distribution de charges antisymétrique par rapport à ce
plan). Le champ électrostatique est donc parallèle à l’axe Oz et a pour valeur algébrique :
1
q
cos α
4 π ε0 d2
E(r) = −2
où d représente les distances MP ou M′P et α l’angle formé par le segment MP et l’axe Oz.
Nous pouvons exprimer ces deux quantités en fonction des variables h et r :
d2 = r 2 + h2
et
cos α =
h
d
Ce qui nous donne pour la valeur algébrique du champ :
E(r) = −
q
h
2
2 π ε0 (r + h2 )ଷ/ଶ
Le théorème de Coulomb nous permet d’en déduire la densité surfacique de charges :
q
h
2 π (r 2 + h2 )ଷ/ଶ
σ(r) = ε0 E(r) = −
Calculons la charge totale Q portée par la face du conducteur en regard avec la charge q.
Commençons par exprimer la charge portée par une couronne de centre O, de rayon r et de
largeur dr :
dQ = σ dS = σ 2 π r dr
dQ(r) = −q h
(r 2
r dr
+ h2 )ଷ/ଶ
Pour calculer la charge totale il nous suffit d’intégrer sur r :
Q = −q h න
ାஶ
଴
(r 2
r dr
+ h2 )ଷ/ଶ
Avec un changement de variable u = r 2 + h2 il vient :
Q = −q h න
ାஶ
h2
uିଷ/ଶ
du
ାஶ
= q h ൣu-1/2 ൧h2 = −q
2
La charge totale induite par l’influence de la charge q est donc égale à –q.
E. Capacités et coefficients d’influence
E.1. Capacité propre d’un conducteur
Considérons un conducteur isolé seul dans l’espace. Nous savons que s’il est chargé il porte
une charge surfacique σ et nous avons pour la charge totale :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 11
Q=
∫∫
σ( M ) dS
(S )
L’intégrale porte sur toute la surface du conducteur. Soit P un point à l’intérieur du
conducteur. Nous pouvons calculer le potentiel absolu créé par cette distribution surfacique au
point P :
1
σ(M)
V(P) =
ඵ
dS
4 π ε0 (S) ฮMP
ሬሬሬሬሬሬԦฮ
Le conducteur étant un volume équipotentiel cette quantité représente aussi le potentiel V du
conducteur.
Nous pouvons remarquer que si nous multiplions par λ la densité surfacique il en est de même
pour Q et V. Il existe donc une relation de proportionnalité entre la charge et le potentiel d’un
conducteur seul et isolé :
Q = CV
Le coefficient de proportionnalité C est appelé capacité propre du conducteur. Celle-ci ne
dépend que de la forme du conducteur. L’unité dans le système international est le farad
(symbole : F). 1 F = 1 C V-1.
Calculons par exemple la capacité propre d’un conducteur sphérique de rayon R. Il suffit de
calculer le potentiel au centre de la sphère. Toute la charge Q se trouvant répartie à une
distance R de ce centre nous avons :
1 Q
V=
4 π ε0 R
Ce qui nous donne :
C = 4 π ε0 R
E.2. Ensemble de conducteurs
Considérons un ensemble de n conducteurs isolés seuls dans l’espace. Il existe une relation
linéaire entre les charges {Qi}i=1,…,n et les tensions {Vi}i=1,…,n de ces conducteurs que nous
pouvons écrire sous la forme :
n
Qi =
∑C
ij
Vj
j=1
Le terme Cii représente la capacité du conducteur i en présence des autres conducteurs. Le
terme Cij représente le coefficient d’influence du conducteur j sur le conducteur i en présence
des autres conducteurs.
Considérons par exemple deux conducteurs sphériques de rayons R1 et R2 dont les centres
sont séparés d’une distance d grande devant les deux rayons (d >> R1 et d >> R2).
Nous avons :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 12
 Q1 = C11 V1 + C12 V2

Q 2 = C 21 V1 + C 22 V2
Fig. 9 : Ensemble de deux conducteurs sphériques éloignés.
Calculons au centre O1 de la première sphère le potentiel créé par les deux distributions. Nous
avons :
Q1
Q2
V1 =
+
4 π ε0 R1 4 π ε0 d
De même nous avons pour le potentiel en O2 :
V2 =
Q2
Q1
+
4 π ε0 R 2 4 π ε0 d
Ce qui nous donne le système d’équations suivant :
 Q1 Q 2
 R + d = 4 π ε 0 V1
 1

 Q1 + Q 2 = 4 π ε V
0 2
 d R 2
Sa résolution nous donne :
Q1 = 4 π ε 0
R 1 R 2 d 2  V1 V2 


−
d 
d 2 − R 1 R 2  R 2
Q2 = 4 π ε0
R 1 R 2 d 2  V1 V2 


−
R 1 R 2 − d 2  d R 1 
Nous avons donc par identification :
C11 = 4 π ε 0
C 21 = 4 π ε 0
R1 d 2
d − R1 R 2
2
R1 R 2 d
R1 R 2 − d 2
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
et
C12 = 4 π ε 0
et
C 22 = 4 π ε 0
R1 R 2 d
R1 R 2 − d 2
R 2 d2
d 2 − R1 R 2
IV - 13
Remarquons que C12 = C21 < 0, C11 > 0 et C22 > 0.
Nous allons montrer que ce sont des propriétés générales. Tout d’abord imposons le potentiel
des n conducteurs en prenant par exemple :
Vi = 1 et
V j = 0 ∀j ≠ i
Nous avons alors pour les charges :
Q i = C ii
et Q j = C ji
Comme le conducteur i est à un potentiel positif toutes les lignes de champ partent de ce
conducteur pour rejoindre les autres conducteurs ou partir à l’infini. La densité de charge est
donc positive pour le conducteur i et négative pour les autres conducteurs. Nous avons donc :
C ii > 0 et C ji < 0 pour
j≠i
Les capacités sont positives et les coefficients d’influence sont négatifs. D’autre part comme
certaines lignes de champ peuvent fuir à l’infini nous avons :
Qi ≥
∑Q
⇔ C ii ≥ −
j
j≠i
∑C
ji
j≠ i
Soit :
n
∑ C ji ≥ 0
i =1
Considérons deux états d’équilibre différents du système de n conducteurs caractérisés par
{Qi, Vi}i=1,…,n et {Q′i, V′i}i=1,…,n. Nous avons :
n
Qi =
∑C
n
ij
et Q'i =
Vj
j=1
∑C
ij
V' j
j=1
Nous pouvons donc écrire :
n
n
n
i =1
j=1
∑ Q V' = ∑∑ C
i
i =1
i
n
ij
V j V 'i
et
n
n
i =1
j=1
∑ Q' V = ∑∑ C
i
i
i =1
ij
V ' j Vi
Ces deux quantités sont égales. Nous avons l’identité de Gauss :
n
n
∑ Q V ' = ∑ Q' V
i
i =1
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
i
i
i
i =1
IV - 14
Appliquons cette identité à deux états particuliers. Pour le premier nous choisissons tous les
potentiels à 0 sauf Vk = 1. Pour le second nous choisissons tous les potentiels à 0 sauf Vl = 1.
Nous avons alors :
n
∑ Q V'
i
n
i
= Q l = C lk
i =1
et
∑ Q' V = Q'
i
i
k
= C kl
i =1
Ce qui nous conduit à :
C kl = C lk
La matrice des capacités et coefficients d’influence est symétrique.
F. Capacité et charge d’un condensateur
F.1. Définitions
Un condensateur est constitué de deux conducteurs en influence totale.
Reprenons les conducteurs A et B de la figure 5 où B entoure A. Le conducteur A constitue
l’armature interne du condensateur et le conducteur B son armature externe.
Notons Q1 la charge totale du conducteur A et V1 son potentiel. De même Q2 et V2
représentent la charge totale et le potentiel de l’armature externe. Avec les notations de la
figure 5 nous avons :
Q1 = Q A

Q 2 = Q i + Q B
où QA est la charge de A, Qi et QB les charges internes et externes de B. D’autre part nous
savons que :
Q i = −Q A = −Q1
Les charges Q1 et Q2 peuvent s’exprimer en fonction des potentiels V1 et V2. Nous pouvons
également écrire :
 Q1 = C11 V1 + C12 V2

Q 2 = C 21 V1 + C 22 V2
Première situation particulière : V2 = 0. Si le condensateur est seul dans l’espace il ne porte
aucune charge externe. Nous avons donc :
Q1 = C11 V1
V2 = 0 ⇒ Q B = 0 ⇒ 
Q 2 = C 21 V1 = −Q1
Ce qui donne :
C 21 = −C11
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 15
Second cas particulier : V1 = V2 = V. Les deux armatures étant au même potentiel il ne peut y
avoir de charges sur A ni sur la face interne de B.
V1 = V2
⇒ Q1 = Q A = Q i = 0 ⇒ Q 2 = Q B
D’autre part si C2 est la capacité propre du conducteur B sa charge externe est donnée par :
QB = C2 V
Nous avons donc :
(C11 + C12 ) V = 0

(C 21 + C 22 ) V = C 2 V
Ce qui nous conduit à :
C12 = −C11 = C 21 et C 21 + C 22 = C 2
En reportant ces résultats nous avons donc dans tous les cas :
Q1 = C11 ( V1 − V2 )

Q 2 = −Q1 + C 2 V2
En général nous avons C2 << C11, ce qui permet de négliger la charge externe QB.
Par définition nous appelons charge Q d’un condensateur la charge de son armature interne et
nous appelons capacité C du condensateur la capacité C11 de l’armature interne en présence de
l’armature externe. La charge d’un condensateur est proportionnelle à la différence de
potentiel entre ses deux armatures :
Q = C (V1 − V2 )
Remarque : Si le condensateur n’est pas seul dans l’espace, ce qui a été dit pour la charge
externe n’est plus valable, mais sa charge et sa capacité sont inchangées.
Supposons le condensateur chargé avec une différence de potentiel V1-V2. Isolons ensuite les
armatures des sources externes puis relions ces armatures par un fil conducteur. Que
deviennent les charges ?
Si les deux conducteurs sont reliés ils sont au même potentiel. Nous avons donc :
V1 = V2
Q1 = 0
⇒ 
Q 2 = C 2 V2
Les charges de l’armature interne et de la face interne de B se sont déplacées au travers du fil
pour s’annuler. On dit que le condensateur s’est déchargé. Par contre il reste une charge
résiduelle sur la face externe du conducteur B.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 16
F.2. Condensateur sphérique
Un condensateur sphérique est un condensateur pour lequel l’armature interne et la surface
interne de l’armature externe sont des sphères concentriques.
Soient V1 et V2 les potentiels respectifs des armatures interne et externe de rayons R1 et R2.
Pour évaluer la capacité de ce condensateur nous devons calculer sa charge Q en fonction de
la différence des potentiels. Commençons par étudier le champ électrostatique entre les deux
armatures.
B
R1
Qi
QA
O
R2
A
Fig. 10 : Condensateur sphérique.
Nous sommes en présence de deux équipotentielles sphériques concentriques de centre O. Le
champ électrostatique entre celles-ci doit posséder cette symétrie sphérique. Dans ce cas nous
savons qu’il est radial et que son intensité ne dépend que de la coordonnée polaire r.
Appliquons le théorème de Gauss à une surface sphérique de centre O et de rayon r, telle que
indiquée en rouge sur la figure 10. Le flux sortant de cette sphère a pour expression :
Φ (r ) = 4 π r 2 E ( r )
Le théorème de Gauss donne :
Φ(r ) =
Q
ε0
⇒ E(r ) =
Q
4 π ε0 r 2
Calculons la circulation de ce champ le long d’un rayon entre un point M1 situé sur l’armature
interne et un point M2 sur la face interne de l’armature externe. Nous avons :
R2
ࣝ(M1 , M2 ) = න E(r) dr = V1 − V2
R1
Or :
∫
R2
E ( r ) dr =
R1
Q
4 π ε0
 1
1 


−
R
R
2 
 1
Ce qui nous donne :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 17
Q=
4 π ε0 R1 R 2
(V1 − V2 )
R 2 − R1
La capacité d’un condensateur sphérique a donc pour expression :
C=
4 π ε0 R1 R 2
R 2 − R1
Cette capacité est d’autant plus grande que les rayons R1 et R2 sont proches. Si nous
choisissons l’épaisseur e de l’intervalle entre les deux armatures très petite nous pouvons
écrire :
4 π ε0 R 2
R 2 − R 1 = e << R 1 ⇒ R 2 ≈ R 1 = R ⇒ C ≈
e
Au premier ordre nous avons donc :
C=
ε0 S
e
où S représente la surface des armatures en regard.
F.3. Condensateur cylindrique
Un condensateur cylindrique est un condensateur pour lequel l’armature interne et la surface
interne de l’armature externe sont des cylindres de révolution de même axe. L’influence totale
nécessite une longueur infinie.
Fig. 11 : Condensateur cylindrique.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 18
Soient V1 et V2 les potentiels respectifs des armatures interne et externe de rayons R1 et R2.
Pour évaluer la capacité de ce condensateur nous devons calculer sa charge Q en fonction de
la différence des potentiels. Le condensateur étant de longueur infinie il en est certainement
de même de sa charge. Pour éviter cette difficulté nous travaillons sur un tronçon de hauteur
h. Commençons par étudier le champ électrostatique entre les deux armatures.
Nous sommes en présence de deux équipotentielles cylindriques de révolution de même axe
∆. Le champ électrostatique entre celles-ci doit posséder la même symétrie. Il est donc radial
et son intensité en coordonnées cylindriques ne dépend que du rayon r. Appliquons le
théorème de Gauss à une surface cylindrique d’axe ∆, de rayon r et de hauteur h. Le flux
sortant de ce cylindre a pour expression :
Φ(r) = 2 π r h E(r)
Le théorème de Gauss donne :
Φ( r ) =
Q
ε0
⇒ E(r ) =
Q
2 π ε0 r h
Calculons la circulation de ce champ le long d’un rayon entre un point M1 situé sur l’armature
interne et un point M2 sur la face interne de l’armature externe. Nous avons :
R2
ࣝ(M1 , M2 ) = න E(r) dr = V1 − V2
R1
Or :
∫
R2
E (r ) dr =
R1
R
Q
ln  2
2 π ε0 h  R1



Ce qui nous donne :
Q=
2 π ε0 h
R
ln  2
 R1



(V1 − V2 )
La capacité d’un tronçon d’un condensateur cylindrique a donc pour expression :
C=
2 π ε0 h
R
ln  2
 R1



Encore une fois la capacité est d’autant plus grande que les rayons R1 et R2 sont proches. Si
nous choisissons l’épaisseur e de l’intervalle entre les deux armatures très petite nous pouvons
écrire :
R 
2 π ε0 R h
R +e e
⇒ C≈
R 2 − R 1 = e << R 1 = R ⇒ ln  2  = ln 
≈
e
 R  R
 R1 
Au premier ordre nous retrouvons donc :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 19
C=
ε0 S
e
où S représente la surface des armatures en regard.
F.4. Condensateur plan
Un condensateur plan est constitué par deux armatures limitées par des surfaces planes
parallèles en regard l’une de l’autre. L’influence totale nécessite des surfaces infinies.
Fig. 12 : Condensateur plan.
Commençons par déterminer le champ électrostatique dans l’intervalle séparant les deux
armatures. Celles-ci constituent deux équipotentielles planes. Nous savons que dans ce cas le
champ est uniforme. Pour calculer son intensité nous pouvons appliquer le théorème de Gauss
à une surface fermée constituée de deux faces identiques d’aire S parallèles au plan du
condensateur reliées par des parois perpendiculaires à ce plan. Nous choisissons une de ces
deux faces dans l’intervalle et l’autre dans l’armature interne. Le champ étant nul dans le
conducteur ou tangent à la face latérale le flux sortant de cette surface fermée correspond au
flux au travers de la face parallèle au plan du condensateur située dans l’intervalle. Nous
avons alors :
Φ = ES
où S représente l’aire de cette face. Le théorème de Gauss donne :
Φ=
Q σS
=
ε0 ε0
Q représente la charge de l’armature interne correspondant à la surface S et σ la densité
surfacique sur cette armature. Nous avons donc pour le champ :
ሬEԦ =
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
Q
σ
ሬnԦ = ሬnԦ
ε0 S
ε0
IV - 20
où ሬnԦ représente un vecteur unitaire normal au plan du condensateur et dirigé de l’armature
interne vers l’armature externe (de 1 vers 2).
Calculons la circulation de ce champ entre un point M1 situé sur l’armature interne et un point
M2 sur l’armature externe. Nous avons :
ࣝ(M1 , M2 ) = න
M2
M1
Or :
න
M2
M1
ሬԦ dM
ሬሬሬԦ = V1 − V2
E
ሬԦ dM
ሬሬሬԦ =
E
Q
e
ε0 S
où e représente l’épaisseur de l’intervalle entre les deux électrodes. Nous avons donc :
Q=
ε0 S
(V1 − V2 )
e
Ce qui nous donne pour la capacité d’une surface d’aire S (prise dans un condensateur infini,
sinon attention aux effets de bord) :
ε S
C= 0
e
F.5. Associations de condensateurs
Il existe deux façons d’associer des condensateurs. La première consiste à relier entre elles
d’une part les armatures internes et d’autre part les armatures externes. Les condensateurs
sont alors dits en parallèle ou associés en surface.
1
A
2
B
3
Fig. 13 : Condensateurs en parallèle.
Considérons n condensateurs associés comme indiqué sur la figure 13. Les armatures internes
ont pour potentiel VA et les armatures externes VB. Notons V la différence entre ces
potentiels :
V = VA − VB
Si nous notons Ci la capacité du condensateur i, nous avons pour la charge Qi de chaque
condensateur :
Qi = Ci V
La charge totale Q d’un ensemble de n condensateurs est donc :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 21
n
Q=
∑Q
n
∑C
=V
i
i =1
i
i =1
Un ensemble de n condensateurs en parallèle est donc équivalent à un condensateur dont la
capacité est égale à la somme des capacités :
n
C=
∑C
i
i =1
La seconde association consiste à relier l’armature externe condensateur à l’armature interne
d’un autre condensateur (fig. 14). Il s’agit d’une association en série ou en cascade.
A
1
2
3
B
Fig. 14 : Condensateurs en série.
Considérons le conducteur constitué par l’armature externe du condensateur i reliée à
l’armature interne du condensateur i+1. Ce conducteur est isolé. Si nous le supposons
initialement neutre sa charge totale est en permanence nulle. Si la charge de l’armature interne
du condensateur i porte une charge Q alors la face interne de son armature externe porte une
charge –Q. La face externe de cette armature et l’armature interne du condensateur porte alors
une charge Q. Nous avons vu que la charge portée par la face externe de l’armature externe
d’un condensateur est négligeable devant la charge du condensateur. Nous en déduisons que
si l’armature interne du condensateur i porte une charge Q il en est de même pour le
condensateur i+1. Les condensateurs en cascade portent donc tous la même charge Q.
Si nous notons Vi la différence entre les potentiels des armatures du condensateur i et V la
différence entre les potentiels de l’armature interne du premier condensateur et de l’armature
externe du dernier nous avons :
n
V=
∑V
i
i =1
Soit :
n
V=
∑
i =1
Q
=Q
Ci
n
∑C
i =1
1
i
Un ensemble de condensateurs en série est équivalent à un condensateur dont l’inverse de la
capacité est égal à la somme des inverses des capacités :
1
=
C
n
∑C
i =1
1
i
Ils portent tous la même charge et se "partagent" la différence de potentiel.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 22
Considérons un condensateur de forme quelconque dont les deux armatures ont des surfaces
parallèles situées à une distance e faible par rapport au rayon de courbure des faces.
Considérons un petit élément de surface dS, il a pour capacité élémentaire :
dC =
ε 0 dS
e
Nous pouvons considérer le condensateur comme un ensemble de tels condensateurs
élémentaires associés en parallèle. Nous en déduisons la capacité totale du condensateur :
C=
dS
ε0 S
e
e
Fig. 15 : Condensateur de forme quelconque.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 23
Annexe : Théorème d’unicité
Nous nous plaçons dans un volume (V ) délimité par une surface (S). Tout d’abord
démontrons l’identité de Green :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ U grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ dτ = ඾ U grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V dSሬԦ
ම ൫U ΔV+grad
(ࣰ)
(S)
pour tous champs scalaires U et V.
Nous savons que :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ U
ሬԦ൯ = U div A
ሬԦ + A
ሬԦ grad
div ൫U A
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V. Nous avons
Choisissons un champ vectoriel dérivant d’un potentiel scalaire : ሬAԦ = grad
alors :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ = U div ൫grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ + grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ U grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V
div ൫U grad
Soit :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ = U ΔV + ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V
div ൫U grad
grad U grad
Nous reconnaissons l’intégrant de l’intégrale triple. Nous avons donc :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ U grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ dτ = ම div ൫U ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ම ൫U ΔV+grad
grad V൯ dτ
(ࣰ)
(ࣰ)
Le théorème de Green-Ostrogradsky nous permet de transformer cette intégrale de volume en
une intégrale de flux sortant :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V dSሬԦ
ම div ൫U ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
grad V൯ dτ = ඾ U grad
(ࣰ)
(S)
Considérons une distribution de charges répartie dans le volume (V ). Supposons qu’il existe
deux solutions V1 et V2 à l’équation de Laplace dans ce volume. Considérons leur différence
V = V1 − V2 . Nous avons :
ΔV1 +
ρ
=0
ε0
et
ΔV2 +
ρ
=0
ε0
⇒
ΔV = 0
Utilisons l’identité de Green avec U = V, il vient :
ଶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ ቃ dτ = ඾ V ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ම ቂV ΔV+൫grad
grad V dSሬԦ
(ࣰ)
(S)
Soit sachant que ∆V = 0 :
ଶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ dτ = ඾ V ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ම ൫grad
grad V dSሬԦ
(ࣰ)
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
(S)
IV - 24
Si le potentiel ou le champ sont imposés en tout point de la limite du volume (V ), alors V ou
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
grad V sont nuls sur cette frontière (conditions aux limites identiques pour V1 et V2).
L’intégrale de flux sortant est donc nulle. Nous en déduisons qu’en tout point du volume :
ଶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V൯ = 0
൫grad
⇒
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
grad V = ሬԦ
0
Les deux potentiels diffèrent donc d’une constante. Si le potentiel est fixé en un point au
moins de la frontière cette constante est nécessairement nulle.
Lorsque le potentiel est fixé à la frontière du volume étudié on parle de condition de Dirichlet.
L’autre condition, correspondant en fait à :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
grad V dSሬԦ = 0
constitue la condition de Neumann. Elle demande de fixer la composante normale du champ
électrostatique à la frontière. Pour un conducteur cela revient à fixer la densité surfacique de
charges, donc la charge totale.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
IV - 25