Conducteurs en équilibre

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme IV - 1
Conducteurs en équilibre électrostatique
A. Définitions
Un conducteur est caractérisé par la présence de charges électriques mobiles. Ce sont par
exemple des électrons dans un métal. Comme dans tout matériau, en l’absence d’action
extérieure les charges mobiles ne sont soumises qu’à l’agitation thermique : leurs
mouvements sont désordonnés et en moyenne nuls. Par contre ces charges mobiles suivent un
mouvement d’ensemble sous l’effet du moindre champ électrostatique. Cela constitue la
définition d’un conducteur.
Un conducteur est dit en état d’équilibre électrostatique si les charges électriques mobiles
qu’il contient sont au "repos" (à l’agitation thermique près).
B. Conducteur en équilibre électrostatique
B.1. Conducteur plein
En tout point d’un conducteur en équilibre le champ électrique est nul. En présence d’un
champ électrostatique les charges libres se mettraient en mouvement sous l’effet de
l’interaction de Coulomb.
La charge d’un conducteur ne peut donc être que surfacique. En effet la loi de Poisson nous
permet de calculer la densité de charge volumique :
div E
ሬ
ሬ
Ԧ
=ρ
ϵ
0
Donc : E
ሬ
ሬ
Ԧ
= 0
ሬ
Ԧ
⇒ ρ = 0
Le volume du conducteur est un volume équipotentiel. En effet :
E
ሬ
ሬ
Ԧ
= −grad
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
V = 0 ⇒ V = cste
B.2. Cavité vide de charge
L’équilibre d’un conducteur n’est pas modifié par la présence de cavités vides de charge.
Considérons un conducteur en équilibre présentant une cavité vide de charge (Fig. 1). Le
champ électrostatique est nul dans le conducteur. Le volume du conducteur est donc encore
un volume équipotentiel. La surface de la cavité est donc une équipotentielle. Celle-ci étant
vide de charge il en est donc de même pour son volume et le champ électrostatique y est nul.
Les charges ne peuvent se trouver que sur les surfaces. Montrons que la paroi de la cavité ne
porte aucune charge. Considérons une surface fermée (S) à cheval sur cette paroi (fig. 1). Le
champ étant nul en tout point de cette surface le flux sortant est nul. La charge à l’intérieur de

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme IV - 2
cette surface est donc nulle. Ceci étant valable quelque soit le choix de la surface (S) il n’y a
donc aucune charge sur la paroi de la cavité.
(S)
Fig. 1 : Présence d’une cavité vide de charge dans un conducteur.
B.3. Champ électrique au voisinage d’un conducteur
Considérons un conducteur en équilibre électrostatique. Notons σ sa densité surfacique de
charge (non nécessairement uniforme). Nous voulons évaluer le champ électrique en un point
M très proche de la surface du conducteur. La surface du conducteur étant une équipotentielle
nous savons que ce champ est normal à la surface du conducteur.
Fig. 2 : Champ au voisinage d’un conducteur.
Soit nሬ
Ԧ
le vecteur unitaire normal à la surface du conducteur passant par M et dirigé vers
l’extérieur. Considérons un petit élément de surface dS centré sur M et perpendiculaire à nሬ
Ԧ
.
Définissons une surface (S) constituée à l’extérieur du conducteur de ce disque élémentaire
dS, du tube de champ s’appuyant sur dS et fermée par une surface quelconque dans le
conducteur (fig. 2). Le champ électrostatique étant nul dans le conducteur et tangent au tube
de champ, le flux sortant de (S) se limite à :
Φ = E
ሬ
ሬ
Ԧ
dS nሬ
Ԧ
= E dS
Calculons la charge contenue à l’intérieur de (S). Le point M étant très proche du conducteur
le tube de champ défini à sa surface une aire dS. La charge contenue est donc :

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme IV - 3
dSdq
σ
=
Nous avons donc :
00
E
dS
dSE ε
σ
=⇒
ε
σ
==Φ
Ce qui nous donne pour le champ électrostatique à proximité d’un conducteur en équilibre :
E
ሬ
ሬ
Ԧ
=σ
ε
0
nሬ
Ԧ
Ce résultat constitue le théorème de Coulomb.
B.4. Pression électrostatique
Considérons un petit disque d’aire élémentaire dS défini sur la surface d’un conducteur. Soit
M un point à l’extérieur du conducteur très proche du disque pris sur l’axe de symétrie du
celui-ci. Nous avons calculé dans le chapitre précédent (§ B) le champ créé au point M par ce
disque : E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M) = σ
2 ε
0
nሬ
Ԧ
où nሬ
Ԧ
représente le vecteur unitaire normal au disque et orienté du disque vers M (donc vers
l’extérieur du conducteur). Cela représente la moitié du résultat du paragraphe précédent. En
fait le champ en M résulte de la contribution de ce disque dS et du reste des charges du
système : E
ሬ
ሬ
Ԧ
(M)= E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M)+E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M)
Fig. 3 : Contributions d’un élément de surface au champ à l’extérieur
et à l’intérieur du conducteur (pour σ > 0).
Nous pouvons calculer la contribution E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M) en considérant le champ électrostatique en un
point M′ symétrique de M par rapport au disque. En première approximation les charges
autres que celles du disque créent un champ identique en M et M′ :
E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M')= E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M)
Par contre le disque crée en M′ un champ opposé à celui en M :

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E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M')= −E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M)
En M′ le champ est nul donc :
E
ሬ
ሬ
Ԧ
(M')= E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M')+E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M')= −E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M)+E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M)= 0
ሬ
Ԧ
⇒ E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M)= E
ሬ
ሬ
Ԧ
1
(M)
Soit : E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
(M) = σ
2 ε
0
nሬ
Ԧ
Et nous retrouvons le champ total en M.
Nous venons également de montrer que le disque dS baigne dans le champ électrostatique
créé par les autres charges. Il est donc soumis à une force :
df
Ԧ= dq E
ሬ
ሬ
Ԧ
2
= σ dS σ
2 ε
0
nሬ
Ԧ
Cette force est toujours dirigée vers l’extérieur :
df
Ԧ=σ
2
2 ε
0
dS nሬ
Ԧ
C’est la matière elle-même qui subit cette force électrostatique. Nous pouvons définir la
pression électrostatique :
p=df
dS =σ
2
2 ε
0
Celle-ci peut être mise en évidence en plaçant un confetti conducteur sur un conducteur
chargé.
B.5. Répartition de la charge en surface d’un conducteur en équilibre
Considérons un conducteur sphérique de rayon R porté au potentiel V. Nous pouvons calculer
la charge Q portée par cette sphère. Calculons en effet le potentiel créé par la charge
surfacique au centre de la sphère. Nous avons :
R4 Q
V
0
επ
=
Ce qui nous donne pour la charge en fonction du potentiel :
VR4Q
0
επ=
Si ce conducteur est seul dans l’espace, la symétrie de la situation étudiée nous permet de
supposer que la répartition de la charge est uniforme. La densité de charge surfacique est
alors :

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RV
R4
Q
0
2
ε
=
π
=σ
Le théorème de Coulomb nous donne le champ électrique au voisinage de la surface de la
sphère :
R
V
E
0
=
ε
σ
=
Nous constatons que la densité de charge et le champ électrostatique sont d’autant plus
importants que le rayon de la sphère est faible.
Lorsqu’on étudie expérimentalement la répartition de la charge en surface des conducteurs en
équilibre on constate que la densité surfacique est :
- très grande sur les parties saillantes ;
- très faible sur les parties de faible courbure ;
- nulle dans les creux dès qu’on s’éloigne du bord des creux.
Le champ électrique est particulièrement intense au voisinage des pointes.
C. Système de conducteurs en équilibre électrostatique
C.1. Equilibre
Considérons un système de n conducteurs immobiles dans le vide. Nous nous intéressons au
champ électrique en dehors des conducteurs. On peut montrer (cf. annexe à la fin de ce
chapitre) que si on impose le potentiel ou la charge de chaque conducteur (conditions aux
limites) le potentiel est parfaitement déterminé. C’est-à-dire que l’équation de Laplace ∆V = 0
en tout point extérieur aux conducteurs avec les conditions aux limites sur les conducteurs
(potentiel ou charge) et à l’infini (V
∞
= 0) admet une solution et une seule.
L’équation de Laplace, sans second membre, étant linéaire dans le vide nous pouvons
appliquer le théorème de superposition : la superposition de deux états d’équilibre est
également un état d’équilibre.
C.2. Théorème des éléments correspondants
Considérons un tube de champ reliant deux conducteurs en équilibre électrostatique. Ce tube
définit une surface sur chacun des conducteurs. Ces deux surfaces S et S′ constituent des
éléments correspondants. Chacun porte une charge que nous notons respectivement Q et Q′.
Fermons ce tube par deux surfaces situées à l’intérieur des conducteurs comme indiqué sur la
figure 4. Le champ étant tangent en tout point du tube et nul dans les conducteurs, le flux
sortant de cette surface fermée est nul. Il en est donc de même pour la charge qu’elle
renferme. Nous avons donc Q+Q′ = 0. Les éléments correspondants portent donc des charges
égales et opposées.