Transmission d`un pathogène dans un système aquacole Cet

Transmission d’un pathogène dans un système aquacole
Cet exemple est tiré de l’article suivant :
Salama N., Murray A., 2011. Farm size as a factor in hydrodynamic transmission of
pathogens in aquaculture fish production. Aquacult Environ Interact 2: 61–74.
Les auteurs utilisent un modèle pour évaluer la distance nécessaire entre deux fermes
d’élevage pour éviter le risque d’une transmission d’un agent pathogène de l’une vers l’autre.
Ce modèle s’appuie sur une description classique de la contamination (cf. le site WIKIPEDIA
ci-dessous), complété par une équation de transport de pathogènes faisant intervenir la vitesse
des courants marins et la distance entre les fermes. Le modèle est testé pour différents
exemples d’agents pathogènes et de taille de ferme aquacole. La taille, ou plutôt la biomasse
de poissons, est un facteur influençant l’émission des pathogènes dans l’environnement.
Le principe du modèle initial est bien expliqué dans le site WIKIPEDIA consacré aux
modèles en épidémiologie :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Modèles_compartimentaux_en_épidémiologie
Certains éléments de ce site sont repris dans la description ci-dessous (les notations ont été
adaptées).
« Une population est divisée en individus susceptibles de contracter la maladie (compartiment
S), et en individus infectieux (compartiment I). Des règles spécifient la proportion des
individus passant d'une classe à une autre. Ainsi, dans un cas à deux compartiments, il existe
une proportion p(S → I) d'individus sains devenant infectés et, selon les maladies, il peut
aussi exister une proportion p(I → S) d'individus infectieux étant guéris.
Le compartiment S est nécessaire, puisqu'il doit initialement exister des individus n'ayant pas
encore été infectés. Lorsqu'un individu du compartiment S est exposé à la maladie, il ne
devient pas nécessairement capable de la transmettre immédiatement, selon l'échelle de temps
considérée dans le modèle. Par exemple, si la maladie nécessite deux semaines pour rendre
l'individu infectieux (ce qui est appelé une période de latence de deux semaines) et que le
modèle représente l'évolution journalière de la population, alors l'individu ne va pas
directement dans le compartiment I (infectieux) mais doit passer par un compartiment
intermédiaire. Un tel compartiment est dénoté E, pour les individus exposés.
Après qu'un individu ait été infecté, il peut décéder, auquel cas il relève d’un compartiment D.
Alternativement, la maladie peut se terminer d'elle-même et conférer à l'individu une
immunisation contre la réinfection, et il est assigné à un compartiment R.
Les modèles compartimentaux permettent d'estimer comment le nombre d'individus dans
chaque compartiment varie au cours du temps. Par abus de notation, la lettre utilisée pour
représenter un compartiment est également employée pour représenter le nombre d'individus
ou la biomasse (comme dans l’article de Salama) dans le compartiment. Par exemple, S est
utilisé dans une équation pour représenter le nombre d'individus sains. Une formulation plus
rigoureuse, et parfois employée, consiste à utiliser S(t) à la place de S, ce qui explicite qu'il
s'agit d'une fonction et que le nombre dépend du temps t. Pour savoir comment le nombre
d'individus dans un compartiment varie au cours du temps, il est nécessaire de savoir
comment déduire le nombre d'individus d'une étape à une autre, c'est-à-dire du temps t au
temps t+1. Cette différence dans le nombre d'individus est donnée par la dérivée. Ainsi, dS/dt
correspond à la variation instantanée (positive ou négative) du nombre d'individus du
compartiment S. La dérivée dI/dt porte le nom d’incidence car elle représente le nombre
d'infections de la maladie. Dans le cas d'un modèle SIR, un individu commence sain, peut
devenir infecté puis se remettre de sa maladie avec une immunisation. Si le taux d'infection
est dénoté par , alors dS/dt = - .S.I. Ceci exprime qu'un individu infectieux infecte en
moyenne  individus sains. Ces individus nouvellement infectés sont supprimés du

compartiment S, et on les retrouvera dans le compartiment I. Si la proportion d'individus
infectieux retirés de la population est , alors dI/dt = .S.I – .I : le nombre d'individus
infectieux augmente avec ceux nouvellement infectés et diminue avec ceux retirés. Enfin, tous
les individus guéris sont d'anciens individus infectieux, d'où dR/dt = .I.
En additionnant les trois équations différentielles, il apparaît que dS/dt + dI/dt + dR/dt = 0, ce
qui signifie que le nombre d'individus dans la population est toujours le même. Ce modèle
considère donc une population stable, c'est-à-dire dans laquelle il n'y a ni naissance, ni
émigration ou immigration, ce qui est justifié lorsque l'épidémie se déroule sur une petite
échelle de temps suffisamment petite pour que les effets démographiques soient négligeables.
Dans le cadre d'un modèle avec un état intermédiaire comme SEIR, les équations pour dS/dt
et dR/dt sont les mêmes. En dénotant par  le taux d'individu exposés qui deviennent
infectieux, alors dE/dt = .S.I – .E, dI/dt = .E – .I. »
Le modèle Salama reprend cette compartimentalisation en 4 classes : SEIR, et les équations
sont résumées par le schéma suivant du modèle appliqué à deux fermes :
Un compartiment W est ajouté : il représente la concentration de pathogènes dans la colonne
d’eau. Ces pathogènes sont issus des poissons infectés dans la première ferme avec un facteur
de proportionnalité . Ils sont transportés par les courants (ce que l’on ne voit pas dans le
schéma précédent, mais est décrit en détail dans l’article) et soumis à une mortalité naturelle
liée à leur durée de vie dans l’environnement marin. Ensuite, ils peuvent infecter les individus
sains de la deuxième ferme si leur concentration est suffisamment élevée.
Le modèle de Salama ne mentionne pas de mortalité des poissons. Ce terme a été rajouté dans
le modèle sous STELLA, de manière à évaluer l’effet de la distance entre les fermes et l’effet
des courants directement sur la mortalité cumulée au cours du temps de la deuxième ferme.
Cette mortalité est proportionnelle aux nombres de poissons infectés.
L’effet des courants est complexe : les courants peuvent varier au cours du temps sous l’effet
de la marée, et le transport des pathogènes sera donc également variable en intensité et en
direction. S’ajoute à cette variabilité un effet de dilution : la ferme représente une source
ponctuelle et les agents pathogènes vont se répandre dans plusieurs directions et voir leur
concentration diminuer au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la ferme source. Dans le
modèle sous STELLA, cet effet est considérablement simplifié par rapport à l’article : le
courant est uniforme, c’est à dire qu’il ne varie pas dans le temps ni en intensité ni en
direction. Il va de la ferme 1 à la ferme 2, et la dilution est représentée par une concentration
fonction inverse de la distance.
D’autres différences par rapport à l’article sont listées ci-dessous :

L’exploitation du modèle par Salama est assez complète, puisqu’il étudie de nombreux
scénarios combinant la taille de la ferme, la distance entre les deux fermes, le niveau
d’infection, le type d’agent pathogène, etc. Dans le modèle STELLA, nous ne
proposons qu’une application limitée à l’analyse de l’effet du courant et de la distance
Salama représente le système sous formes d’équations dites ‘discrètes’ : l’évolution
des compartiments S, E, I, R est représentée sous forme de valeurs à l’instant t+1 en
fonction des valeurs à l’instant t. Dans le modèle sous STELLA, nous reprenons les
équations différentielles du modèle SEIR, mais les deux formulations sont
complètement équivalentes.
Nous proposons de regarder l’évolution des compartiments S, E, I, R au cours du
temps de manière à bien comprendre la dynamique de la contamination.