Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol
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Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol TABLE DES MATIÈRES 1. INTRODUCTION _______________________________________________________ 80 2. TECHNIQUES NUMERIQUES ____________________________________________ 81 2.1 Conversion analogique numérique ____________________________________________ 81 2.1.1 Echantillonnage __________________________________________________________________ 81 2.1.1.1 Définition ___________________________________________________________________ 81 2.1.1.2 Théorème d’échantillonnage_____________________________________________________ 82 2.1.1.3 Signaux à durée limitée_________________________________________________________ 82 2.1.1.4 Echantillonnage d’une impulsion _________________________________________________ 83 2.1.2 Précision et Quantification__________________________________________________________ 83 2.2 Techniques numériques pour l’estimation du temps de vol ________________________ 84 2.2.1 Régression ______________________________________________________________________ 84 2.2.1.1 Régression linéaire ____________________________________________________________ 84 2.2.1.2 Régression non-linéaire ________________________________________________________ 87 2.2.2 Filtrage adapté, mesure de retard par corrélation ________________________________________ 87 2.2.2.1 Principe_____________________________________________________________________ 88 2.2.2.2 Précision de la mesure, application aux signaux télémétriques___________________________ 89 2.2.3 Filtrage adaptatif, techniques adaptatives ______________________________________________ 90 2.2.3.1 Principe_____________________________________________________________________ 91 2.2.3.2 Application à la mesure d’un retard _______________________________________________ 92 2.3 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux _______________________ 95 2.3.1 Statistiques d’ordre supérieur (SOS) __________________________________________________ 95 2.3.1.1 Définitions __________________________________________________________________ 95 2.3.1.2 Propriétés ___________________________________________________________________ 97 2.3.1.3 Multicorrélation ______________________________________________________________ 97 2.3.1.4 Applications _________________________________________________________________ 97 2.3.1.4.1 Cumulant d’ordre 4________________________________________________________ 97 2.3.1.4.2 Multicorrélation __________________________________________________________ 98 2.3.2 Transformée en ondelettes __________________________________________________________ 99 2.3.2.1 Transformée en ondelettes continues (TOC) ________________________________________ 99 2.3.2.1.1 Définition ______________________________________________________________ 100 2.3.2.1.2 Quelques propriétés ______________________________________________________ 101 2.3.2.1.3 Première approche de la transformation discrète : la transformée dyadique____________ 101 2.3.2.2 Transformée en ondelettes Discrètes (TOD) _______________________________________ 101 2.3.2.3 Applications aux signaux impulsionnels ___________________________________________ 102 2.3.2.3.1 Applications de la TOC____________________________________________________ 102 2.3.2.3.2 Applications de la TOD ___________________________________________________ 105 2.4 Choix des techniques et évaluation ___________________________________________ 109 2.4.1 Techniques numériques pour la mesure précise de distance _______________________________ 110 2.4.1.1 Influence de la largeur de la fenêtre de calcul_______________________________________ 110 78 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2.4.1.2 Etude le la variation de l’écart-type en fonction du Rapport signal sur bruit _______________ 112 2.4.1.3 Influence de la fréquence d’échantillonnage, régression non-linéaire_____________________ 113 2.4.2 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux_______________________________ 114 3. TECHNIQUES OPTIQUES ______________________________________________ 115 3.1 Principe de l’amplification optique ___________________________________________ 116 3.2 Principe de l’amplification paramétrique optique (OPA)_________________________ 117 3.3 Amplificateur optique classique _____________________________________________ 118 3.4 Amplification par diode laser _______________________________________________ 119 3.5 Amplification par fibre optique dopée en terres rares____________________________ 119 3.6 Amplificateur paramétrique optique _________________________________________ 120 3.7 Détection directe avec une fibre optique amplificatrice___________________________ 120 3.7.1 Signal reçu _____________________________________________________________________ 121 3.7.2 Sources de bruit _________________________________________________________________ 121 3.7.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit __________________________ 122 3.7.4 Comparaison des performances : application numérique__________________________________ 123 3.7.4.1 Photodiode PIN _____________________________________________________________ 123 3.7.4.2 Photodiode à avalanche _______________________________________________________ 124 3.7.4.3 Fibre optique amplificatrice ____________________________________________________ 125 3.7.4.4 Comparaison________________________________________________________________ 127 4. CONCLUSION _________________________________________________________ 127 79 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 1. INTRODUCTION La rapidité des phénomènes en télémétrie laser impulsionnelle (largeur des impulsions de l’ordre de la ns) a jusqu'alors limité la mesure de temps de vol à un traitement analogique tel que nous l’avons décrit dans la Partie II. La détection est effectuée par l’interception du signal par un seuil qui déclenche et stoppe la mesure du temps de vol. La mesure de temps est effectuée par un système de chronométrie. Le seuil joue donc un double rôle de détection du signal et mesure du temps de vol, il est alors difficile d’optimiser simultanément les deux performances. Dans certaines applications lidars les impulsions sont généralement plus longues et les phénomènes à étudier beaucoup moins rapides. C’est pourquoi depuis quelques années déjà, après échantillonnage des signaux, certains auteurs utilisent des techniques de traitement du signal numérique comme par exemple des techniques de déconvolution [LLG93] afin d’étudier la structure spatiale fine de l’atmosphère. Nous avons assisté depuis à l’apparition de convertisseurs analogiques numériques atteignants des taux d’échantillonnage de plus en plus élevés, jusqu'à 33 Giga échantillons par seconde [LLNL98]. La nécessité de telles cadences se trouve dans l’analyse de transitoires extrêmement brefs comme le test des nouveaux processeurs à plus de 500 MHz voire 1 GHz, l’étude d’impulsions optiques picoseconde, la fluorescence résolue en temps... C’est pourquoi, à partir du constat suivant : l’ajout d’informations sur les impulsions détectées en télémétrie permet d’accroître les performances en terme de précision (Partie II, double seuil) sans détériorer la portée, et profitant de l’avancée technologique dans le domaine de l’échantillonnage rapide, nous avons voulu faire bénéficier la mesure de temps de vol en télémétrie laser impulsionnelle de ce nouvel outil. Nous avons donc recherché dans la littérature les différentes méthodes de traitement numérique du signal pouvant s’appliquer à : • la mesure précise d’un retard entre deux signaux de même nature. • la détection d’un signal fortement bruité. En général, ces méthodes sont issues des domaines des radars et sonars. Après avoir introduit quelques éléments de la théorie de la conversion analogique numérique, nous présenterons quelques méthodes de mesure précise de temps de vol et de détection d’impulsion fortement bruitée. Nous simulerons ensuite les performances des méthodes retenues en utilisant les caractéristiques de télémètres. Pour finir, nous mentionnerons d’autres techniques, optiques, citée dans la littérature pour l’amélioration des performances des télémètres. 80 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2. TECHNIQUES NUMERIQUES 2.1 Conversion analogique numérique Nous supposons que la grandeur à mesurer est une tension. Le convertisseur analogique numérique (CAN) effectue une conversion de cette tension en signaux numériques. Il existe plusieurs procédés de conversion analogique numérique : les convertisseurs parallèles (flash), les convertisseurs à approximation successives, les convertisseurs à comptage d’impulsions [TTL92]... Dans le cas de la capture de signaux de la durée de la nanoseconde se sont les convertisseurs parallèles qui donnent les meilleurs résultats : c’est ce type de CAN qui est implanté dans les oscilloscope numériques rapides actuels. Un CAN effectue deux principales opérations : l’échantillonnage et la quantification, nous allons étudier dans ce paragraphe ces deux processus. 2.1.1 Echantillonnage 2.1.1.1 Définition L’échantillonnage d’un signal sC(t) est l’opération qui transforme ce signal analogique ou à temps continu en une suite discrète, sD(n), en prélevant une suite de valeurs sD(n) prises à des instants tn : sD ( n) = sC (tn ) (2.1) Les instants tn peuvent être choisi de différentes manières et diverses techniques d’échantillonnage ont été proposées. La technique la plus utilisée, nous nous limiterons à celle ci, est l’échantillonnage régulier dans lequel les instants tn sont régulièrement répartis dans le temps : tn = n ⋅ TE (2.2) L’échantillonnage régulier est caractérisé par la période d’échantillonnage TE qui est l’écart de temps séparant deux échantillons. Pour réaliser un échantillonnage régulier, nous devons disposer d’une « horloge » fixant les instants d’échantillonnage. Dans certaines situations, nous devrons tenir compte des erreurs introduites par l’horloge. Les instants d ‘échantillonnage sont : tn = n ⋅ TE + ∆Tn (2.3) ∆Tn est une variable aléatoire centrée qui décrit les fluctuations de l’horloge. Dans la suite de ce paragraphe nous allons supposer que, ∆Tn est suffisamment petit devant la période d’échantillonnage, et que nous avons un échantillonnage régulier parfait. 81 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2.1.1.2 Théorème d’échantillonnage On peut reconstruire un signal à temps continu sC(t) à partir du signal échantillonné sD(t) avec un pas de TE si : Le signal à temps continu est à bande passante limitée : TF sC ( t ) = SC ( f ) = 0 pour f > f MAX (2.4) et si la période d’échantillonnage vérifie : TE < 1 2 ⋅ f MAX (2.5) La condition ci-dessus imposée à la période d’échantillonnage est dénommée condition de Shannon [CES48]. La formule de reconstruction de Shannon est donnée par : sC (t ) = ∑ t − nTE sD ( n ) ⋅ sinc π TE +∞ -∞ (2.6) Cette relation montre comment on peut retrouver toutes les valeurs du signal analogique à partir du signal échantillonné. 2.1.1.3 Signaux à durée limitée En télémétrie, les signaux à traiter sont impulsionnels, donc à durée D limitée. Au sens strict du terme ils sont à bande passante infinie et le théorème d’échantillonnage ne peut pas s’appliquer. C’est aussi le cas de tous les signaux réels. En pratique, la durée et la bande passante d’un signal sont définies comme la durée et la bande contenant une fraction de l’énergie du signal. Pour le signal sC(t) d’énergie : EsC = ∫ +∞ −∞ 2 sC (t ) dt = ∫ +∞ −∞ 2 SC ( f ) df (2.7) la durée D sera la longueur du support temporel telle que : 2 ∫ D sC (t ) dt = EsC ⋅ (1 − ε D ) (2.8) et la bande passante B la fréquence telle que : ∫ +B −B 2 SC ( f ) df = EsC ⋅ (1 − ε B ) (2.9) La fraction d’énergie résiduelle εD, εB est fixée en fonction de la précision souhaitée du traitement. Ayant ainsi défini une bande passante pour le signal sC(t), il est possible de lui appliquer le théorème 82 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol d’échantillonnage. Comme le signal considéré a une durée limitée, le nombre d’échantillons significatif sera : M= D ≥ 2 BD TE (2.10) Le terme 2BD représente le nombre minimum d’échantillons permettant de décrire le signal à la précision ε. 2.1.1.4 Echantillonnage d’une impulsion Nous avons effectué ce calcul pour un signal impulsionnel de forme gaussienne. A titre d’exemple, nous avons choisi εD = εB = 1%. Nous avons obtenu un nombre minimum de deux échantillons : 2BD = 2. La courbe bleue ci-dessous, obtenue avec la formule de reconstruction de Shannon, illustre ce résultat : 1 amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -15 -10 -5 0 temps 5 10 15 Figure 2-1 : Impulsion et signal reconstruit à partir de deux échantillons Pour une impulsion, telle que nous l’avons obtenue expérimentalement, de largeur à mi-hauteur 2,5 ns, la période d’échantillonnage maximale obtenue est d’environ 3 ns, soit une fréquence d’échantillonnage minimale de 330 Méga échantillons par seconde. Le but de l’échantillonnage, pour notre application de télémétrie temps de vol, n’est pas de reconstruire une impulsion uniquement en utilisant un critère sur son énergie, en effet, il faut pouvoir « visualiser » la forme du signal au mieux pour déterminer précisément la position du maximum de l’impulsion. De façon générale, pour « visualiser » un signal correctement, J. Max préconise de sur-échantillonner d’un facteur allant de 5 à 10 [JM96]. Dans le cas de l’exemple précédant, la fréquence d’échantillonnage minimale est alors comprise entre 1,6 et 3,3 Giga échantillons par seconde. 2.1.2 Précision et Quantification Le signal, après avoir été échantillonné, subit une opération de quantification. Cette opération fait correspondre à une tension analogique un code numérique. Pour un convertisseur analogique numérique (CAN) rapide, avec une fréquence d’échantillonnage supérieure à 1 GE/s, la tension est au 83 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol mieux codée sur n = 8 bits. L’erreur de la conversion, sur une plage de tension Vplage, est alors définie par l’écart-type : 1 V plage σ CAN , q = ⋅ n 2 2 (2.11) Par exemple, pour une plage de tension de 160 mV (celle dont nous disposions en pratique), cet écarttype a pour valeur 312 µV. En réalité d’autre sources de bruit viennent se superposer [TTL92], l’erreur totale sur la conversion analogique numérique est alors : σ CAN ,total = ∑ i 2 σ CAN ,i (2.12) On donne parfois, pour un convertisseur, son nombre effectif de bits. Par exemple, nous avons mesuré l’écart-type du bruit de l’oscilloscope numérique rapide utilisé lors des expérimentations, sa valeur est d’environ 600 µV, cela correspond à un nombre effectif de bits de 7,05 au lieu des 8 prévus initialement. A cet écart-type du au CAN, vient bien sur s’ajouter, de la même façon que l’équation cidessus, l’écart-type du au bruit analogique du capteur. Dans le cas de notre télémètre cet écart-type a été évalué théoriquement et il est trois fois plus important : l’écart-type total reste quasiment inchangé. 2.2 Techniques numériques pour l’estimation du temps de vol 2.2.1 Régression 2.2.1.1 Régression linéaire La méthode de régression linéaire apparaît souvent dans de nombreuses applications et parfois sous diverses appellations : approximation au sens des moindres carrés, optimisation linéaire, lissage de données, ajustement de courbes... L’idée originale est due à Gauss (1794) qui l’utilisa dans des problèmes de géodésie et d’astronomie, mais c’est Legendre qui publia les premiers résultats sur cette méthode (1806). Sous sa forme la plus simple, elle permet de résoudre le problème suivant. Nous disposons d’une série de N valeurs expérimentales y1..yN d’une grandeur physique y pour N valeurs de son argument x1..xN. Supposons que notre fonction y = y(x) dépende aussi de k paramètres a1..ak. Dans le cas général, c’est un problème plus complexe. Ici, nous ferons l’hypothèse supplémentaire que y est une fonction linéaire de ses paramètres a qui s’écrit : y = y (a1 ..ak ; x) = ∑ i =1 ai ⋅ f i k (2.13) où les fonction fi sont connues. Il peut s’agir, par exemple de polynômes. Une approche assez générale pour choisir ou ajuster les paramètres est d’affirmer que les meilleurs paramètres a sont tels qu’ils minimisent la sommes des carrés : 84 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol S ( a1 ..ak ) = ∑ i =1[ y ( a1 ..ak ; x) − yi ] 2 N (2.14) Les coefficients a sont ensuite déterminés en résolvant un système d’équations linéaires. Nous ne détaillerons pas dans ce paragraphe les étapes successives permettant d’obtenir les résultats, le lecteur pourra consulter les références suivantes : [EW99][KP99][WHP92]. Nous nous intéressons directement à l’application de cette méthode en télémétrie. Nous avons utilisé, dans la partie précédente, une fonction gaussienne pour décrire l ‘impulsion détectée par la cellule de réception du télémètre. Après numérisation du signal, nous avons donc à notre disposition les points expérimentaux, entachés d’erreurs dues au bruit, caractérisant l’impulsion : 0.05 Amplitude HVL 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 20 40 60 80 temps HechL 100 120 Figure 2-2 : Impulsion bruitée Nous souhaitons alors déterminer la position τ du sommet de chaque impulsion afin d’évaluer le temps de vol. La fonction modélisant l’impulsion s’écrit : t − τ 2 s(t ) = A ⋅ exp − ω (2.15) En prenant le logarithme népérien de cette fonction nous obtenons un polynôme du second degré en t : ln [ s(t ) ] = − t 2 2tτ τ 2 + − + ln [ A] ω2 ω2 ω2 (2.16) La méthode de régression linéaire nous permet alors de déterminer les coefficients du polynôme approximant l’équation précédente à partir du logarithme des valeurs (absolues) expérimentales numérisées. 85 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol -4 Amplitude -6 -8 - 10 - 12 0 20 40 60 80 temps ech 100 120 Figure 2-3 : Logarithme népérien de l’impulsion bruitée Ecrivons le polynôme dont les coefficients a, b, et c sont recherchés : ax 2 + bx + c (2.17) Les paramètres de l’impulsion, par identification, sont alors donnés par : A = exp c − b2 4a ω = − 1 a τ = − b 2a (2.18) Nous remarquons, sur la figure 2-4, que seule la partie supérieure de l’impulsion est exploitable. En effet, le bruit est en quelque sorte amplifié par l’utilisation de la fonction logarithme. La régression s ‘effectue alors sur une fenêtre localisée autour de la valeur maximale de l’impulsion qui peut être déterminée au préalable : -3 Amplitude HVL - 3.2 - 3.4 - 3.6 - 3.8 -4 -4 -2 0 temps HechL 2 4 Figure 2-4 : Sommet de l’impulsion et courbe (parabole) de régréssion Il faut également ajouter que cette technique de mesure de temps de vol est particulièrement rapide. 86 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2.2.1.2 Régression non-linéaire La méthode de régression non-linéaire utilise le même principe que la régression linéaire (minimisation du critère des moindres carrés) mais de façon itérative. Cette fois ci, les paramètres de l’impulsion gaussienne sont directement déterminés à partir du signal numérique obtenu. L’algorithme de Levenberg-Marquardt est le plus utilisé, il nécessite les dérivées partielles de la fonction s(t) par rapport aux différents paramètres afin de contrôler le sens de l’itération. Celle-ci est stoppée lorsque les valeurs des paramètres convergent vers la précision souhaitée. Cette méthode est décrite plus en détails dans la référence [WHP92], un algorithme en C est également proposé. La figure 2-5 illustre cette méthode avec une fonction gaussienne comme modèle. D’autres modèles de fonctions plus complexes peuvent être utilisés. 0.05 Amplitude HVL 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 20 40 60 80 temps HechL 100 120 Figure 2-5 : Impulsion et courbe de régression (gaussienne) L’avantage de cette méthode, même si elle peut être légèrement moins rapide, par rapport à une régression linéaire, est que la fenêtre de calcul est plus importante : la totalité de l’impulsion est prise en compte et l’estimation de ses paramètres est plus précise. 2.2.2 Filtrage adapté, mesure de retard par corrélation Le signal qui revient vers un radar, un sonar ou un télémètre, après réflexion sur une cible, est détérioré par du bruit dont l’analyse a été détaillée dans le cas du télémètre laser. L’effet de ce bruit doit être minimisé vis à vis du signal utile. Historiquement, dans le domaine des radars, cette fonction est dévolue au filtre qui est adapté au signal pour en assurer une restitution aussi fidèle que possible. Nous ne reviendrons pas dans cette partie sur la mise en évidence théorique du filtre adapté dans le cas général [GP97][JM91], nous nous intéresserons au cas où le bruit en présence est considéré comme blanc : la réponse impulsionnelle du filtre est alors la copie conjuguée, renversée et retardée du signal utile. Le récepteur optimal fait alors la corrélation entre le signal observé et la conjuguée d’une copie du signal émis. O 87 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2.2.2.1 Principe Considérons deux signaux identiques, dans leur version continue, à un retard près et à un facteur de proportionnalité 0 < γ < 1 près : s1(t) et s2 (t ) = γ ⋅ s1 (t − τ 0 ) + b(t ) (2.19) remarque : Comme nous l’avons vu précédemment, l’amplitude du signal reçu γ peut être sujette à des variations parasites, autour de sa valeur moyenne, d’une mesure à une autre. Les calculs qui suivent sont effectués pour une mesure donnée et ne prennent pas en compte, dans un premier temps, les effets de ces variations. Nous verrons par la suite les éventuels effets du bruit multiplicatif précédemment introduit. Nous envisageons ici le cas fréquent où le signal de référence s1(t) n’est pas bruité et est à la disposition de l’observateur. Le bruit b(t), d’écart type σ, vient perturber l’observation du signal s2(t). Nous désirons déterminer le retard τ0 entre s1 et s2. Considérons la fonction d’intercorrélation : Cs2 s1 (τ ) = ∫ +∞ −∞ s2 (t ) ⋅ s1 (t − τ ) ⋅ dt (2.20) Après décorrélation des différents signaux nous obtenons : Cs2 s1 (τ ) = γ ⋅ Cs1s1 (τ − τ 0 ) (2.21) Cette dernière relation donne le principe de la méthode de mesure de τ0. En effet, l’autocorrélation de s1(t) donnée par Cs1s1 (τ ) est maximale pour le retard nul soit pour τ = 0, l’intercorrélation Cs2 s1 (τ ) est donc maximale pour τ = τ0. Le retard est alors donné par la date du maximum de l’intercorrélation du signal observé et du signal de référence. τ0 est déterminé en résolvant l’équation : ∂Cs2 s1 (τ ) ∂τ =0 (2.22) Les figures ci-dessous illustrent cette technique dans le cas d’un signal impulsionnel, de profil gaussien, fortement bruité (σ = 1 mV). 0.006 0.00015 0.000125 Corrélation Amplitude (V) 0.004 0.002 0 0.0001 0.000075 0.00005 0.000025 0 - 0.002 0 20 40 60 80 100 0 120 20 40 60 80 100 temps (ech) temps (ech) Figure 2-6 : impulsion gaussienne bruitée γ = 5 mV Figure 2-7 : fonction d’intercorrélation estimée 88 120 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 0.00006 0.002 0.001 Corrélation Amplitude (V) 0.00005 0 0.00004 0.00003 0.00002 0.00001 - 0.001 0 - 0.002 - 0.00001 0 20 40 60 80 100 0 120 20 40 60 80 100 120 temps (ech) temps (ech) Figure 2-8 : impulsion gaussienne bruitée γ = 2,5 mV Figure 2-9 : fonction d’intercorrélation estimée note : L’impulsion est de demi largeur à e-1 1 ns, elle est échantillonnée avec un taux de 5 giga échantillons par seconde sur une fenêtre de 128 points. 2.2.2.2 Précision de la mesure, application aux signaux télémétriques Il est facile de montrer que pour un bruit additif b(t), non corrélé avec le signal utile, de moyenne nulle, la mesure du retard τ0 n’est pas biaisé. De plus, l’écart-type sur la mesure du retard est donné par la formule de Woodward issue de la théorie des radars [GP97] : 1 γ σ τ0 = avec RSB = 2 2 4π ⋅ < ∆ν s1 > ⋅RSB σ 2 (2.23) où < ∆ν s21 > est l’épanouissement fréquentiel du signal s1 [JM96]. Dans le cas d’un signal impulsionnel gaussien de la forme : t 2 s1 (t ) = Exp − ω (2.24) l’épanouissement fréquentiel est donné par : < ∆ν s21 >= 1 4π ⋅ ω 2 2 (2.25) Dans ce cas, l’écart-type théorique sur la mesure du retard est simplement donné par : σ τ0 = ω c ω et σ z = 2 RSB RSB (2.26) remarque : Le rapport signal sur bruit RSB dépend de l’amplitude du signal reçu γ. Si celle ci, pour une cible donnée, varie autour de sa valeur moyenne d’une faible quantité, les effets seront répercutés sur RSB et l’écart type sur la mesure de retard sera sur ou sous estimé d’une mesure à l’autre. En moyenne, sur plusieurs mesures, ces effets s’annulent et la formule ci-dessus reste valable même dans le cas de variations parasites de l’amplitude. 89 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol O 20 20 15 15 σ z mm σ z mm En comparant cette dernière estimation théorique avec celle calculée dans le cas d’une détection analogique classique (voir Partie II, paragraphe 4.3), nous remarquons immédiatement que l’erreur moyenne sur la mesure du temps de vol ne dépend plus d’un seuil (figure 2-10 : courbe noire), elle est directement proportionnelle à la largeur de l’impulsion et inversement proportionnelle à la racine carrée du rapport signal sur bruit. Les graphes ci-dessous comparent la variation de l’écart type sur une mesure de distance dans les cas d’une technique classique de seuillage (courbes de couleur) et du filtrage adapté (courbe noire). La figure 2-10 montre les variations de σz en fonction de α pour la technique de seuillage, la ligne noire correspond à l’erreur calculée dans le cas du filtrage adapté. La figure 2-11 compare les deux techniques en fonction de l’amplitude de l’impulsion, de demi largeur 1 ns à e-1, détectée (σa = 1 mV). 10 10 5 5 3 mm 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 A α Figure 2-11 : α = 0.3 et σm varie de 0 à 5 mV Figure 2-10 : A = 50 mV et σm varie de 0 à 5 mV Reprenons l’exemple cité à la Partie II rappelé sur la figure 2-10 : nous avions obtenu un écart type de 1 cm sur la mesure de distance. Pour les mêmes conditions, l’écart type obtenu dans le cas du filtrage adapté est d’environ 3 mm. L’erreur moyenne sur la mesure de distance est ainsi diminuée d’un facteur 3,3 pour un rapport signal sur bruit identique. 2.2.3 Filtrage adaptatif, techniques adaptatives Un filtre adaptatif est un filtre numérique qui adapte ses coefficients au cours du temps en fonction de l’évolution des caractéristiques non stationnaires du signal d’entrée. L’exemple le plus connu est le filtre à réponse impulsionnelle finie, optimale au sens des moindres carrés : filtre de Widrow [BW75]. Il existe deux manières d’aborder le filtrage adaptatif : le filtre égaliseur (approche déterministe) et l’extracteur de signal à partir d’une mesure bruitée (approche stochastique) [YT92]. Nous nous intéresserons ici à la deuxième approche et en particulier à l’application de cette technique, souvent utilisée dans le domaine des sonars, à la mesure d’un retard entre deux signaux de même nature. O 90 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2.2.3.1 Principe Le signal discret s sous forme vectorielle, dégradé par un bruit additif b, x = s + b est appliqué à l’entrée du filtre à M coefficients. Après filtrage le signal y(n) est obtenu : y ( n) = f T ⋅ x ( n) (2.27) avec : xn f0 x f1 f = x = n −1 et ( n) fM x x(n) = s(n) + b(n) n−M y(n) f (2.28) - e(n) + s(n) Figure 2-12 : schéma de principe du filtrage adaptatif Il s’agit de déterminer la fonction de transfert ou la réponse impulsionnelle, représenté par le vecteur f de taille M, en minimisant le critère des moindres carrés : 2 J (f ) = E ( s(n) − y(n)) 2 J (f ) = E ( s (n) − f T x( n) ) (2.29) Afin de minimiser le critère, le gradient de J(f) est calculé : ∇J (f ) = 2 E ( s( n) − f T x( n) ) x(n) Les coefficients de f sont déterminés en résolvant l’équation : ∇J(f ) = 0 (2.31) R ⋅ f = Csx (2.32) soit en résolvant [YT92] : 91 (2.30) Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol où R est la matrice de Toepliz* et Csx est la matrice d’intercorrélation entre les signaux s et x. Finalement, pour disposer des coefficients du filtre adaptatif de réponse impulsionnelle finie f il faut inverser l’équation ci dessus. Widrow [BW75] propose d’utiliser une méthode itérative de gradient pour la minimisation du critère de performance J(f). Cela permet de s’affranchir d’un calcul fastidieux d’inversion et multiplication de matrices. De plus, il introduit un autre critère de performance constitué de l’erreur quadratique instantanée e(n) afin d’éviter les calculs de R et Csx : J (f ) = ( s ( n) − f T x( n) ) = e2 ( n) 2 (2.33) l’algorithme d’autoadaptation s’écrit alors, respectivement sous forme vectorielle et pour la ième composante de f : f k +1 = f k − µ ⋅ e( k ) ⋅ x(k ) (2.34) f i k +1 = f i k − µ ⋅ e( k ) ⋅ x(k − i ) où k est l’indice d’itération et µ est un paramètre fixant le pas d’itération. Si µ est faible la convergence est lente, si µ est grand il y a un risque de divergence. Il existe en fait une borne supérieur pour le choix de ce paramètre, en effet, µ doit être inférieur à deux fois l’inverse de la plus grande valeur propre de la matrice R [YT92]. Pour de plus amples informations sur le filtrage adaptatif en général et sur les techniques d’optimisation de différents critères le lecteur pourra consulter les ouvrages suivants [SMK93] [FM92]. 2.2.3.2 Application à la mesure d’un retard Le filtrage adaptatif trouve une application toute naturelle dans l’estimation d’un retard. De nombreuses études sur ce problème sont disponibles dans la littérature, essentiellement dans des applications de détection acoustique comme les sonars [YTC78][YTC80][FAR81][CYW84]. Contrairement à la télémétrie laser où le retard mesuré est directement proportionnel à la distance du télémètre à la cible, les systèmes sonar passifs mesurent un intervalle de temps d’arrivée, entre deux capteurs géométriquement séparés, d’un signal acoustique provenant de l’objet à détecter. Cette estimation du retard donne une indication sur l’angle d’arrivée du signal, autrement dit sur la direction de l’objet par rapport au sonar. Un modèle mathématique simple, à deux capteurs, pour l’estimation d’un retard peut être exprimé en supposant que le taux d’échantillonnage soit suffisant pour satisfaire à la condition de Shannon, dans sa version discrète par : x( n) = s( n) + b1 (n) (2.35) y ( n) = γ ⋅ s( n − τ ) + b2 ( n) * [ La matrice d’autocorrélation dite de Toepliz est définie ici par R = E x ⋅ x T 92 ] Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Le signal x(n) est en fait le signal de référence que l’on désire détecter sur le deuxième capteur et y(n) est le signal d’observation. b1 et b2 sont les termes de bruits. γ est un facteur d’atténuation. Si le retard τ est un entier multiple de la période d’échantillonnage, une autre façon d’exprimer y(n) est donnée ciaprès : y ( n) = ∑ M i=0 f i ⋅ ( x( n − i) − b1 (n − i ) ) + b2 ( n) (2.36) En théorie, le paramètre fi est nul pour tout i différent de τ et est égal à γ pour i égal à τ. En pratique le retard τ n’a pas de raisons particulières d’être entier, il est noté τ = r + ε où r est entier et 0 ≤ ε < 1 . Il est alors montré dans [YTC80] : y ( n) = ∑ +∞ i =−∞ e( n) = b2 ( n) − f i ⋅ x ( n − i ) + e( n ) ∑ (2.37) +∞ i =−∞ f i ⋅ b1 ( n − i ) où : f i = γ ⋅ Sinc(i + r + ε ) (2.38) et e(n) est le terme d’erreur dû aux bruits b1 et b2 que l’on désire minimiser et que l’on peut écrire : e( n) = y ( n) − ∑ +∞ i =−∞ f i ⋅ x( n − i ) (2.39) Comme nous l’avons vu précédemment, la détermination des coefficients fi est alors effectuée par la minimisation du gradient du critère au sens des moindres carrés et l’algorithme récursif suivant est utilisé : f i k +1 = f i k − µ ⋅ e(k ) ⋅ x (k − i ) (2.40) L’estimation du retard est alors donnée par le temps qui maximise la fonction : h( t ) = ∑ M i= 0 f i ⋅ Sinc( t − i ) (2.41) remarque : la taille du filtre M doit être supérieure au retard maximum à estimer. Par exemple, pour deux signaux d’une largeur de 20 échantillons chacun, espacés de 500 échantillons, le nombre de coefficients fi doit être supérieur à 500. Wuu et al. dressent un bilan comparatif intéressant de cette méthode par rapport à la méthode de corrélation [CYW84]. Dans des cas simples et pratiques de détection, le filtrage adaptatif et la corrélation sont de performances équivalentes pour la mesure d’un retard. De plus, la variance théorique de l’estimateur du retard, calculée en général pour le cas idéal où le vecteur observation et le filtre sont de tailles infinies, n’est pas un index de performance au vues de leurs simulations. Par contre, lorsque la fonction de transfert du milieu traversé est inconnue, le filtrage adaptatif s’avère plus efficace, la technique de corrélation introduisant un biais sur la mesure. Cependant, cette méthode est adaptée à la 93 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol mesure d’un faible retard entre deux signaux et il n’est pas avantageux de la mettre en oeuvre dans le cas de signaux télémétriques, les retards à mesurer étant, en général, importants par rapport à la taille des signaux. Eller et Stearns proposent une estimation adaptative directe du retard entre des signaux échantillonnés s(n) et s(n - τ) [DME81] dans le but de s’affranchir de la maximisation de la fonction h(t) définie auparavant. Ils définissent le signal d’erreur : e( n) = s( n − τ ) − s( n − r ) (2.42) s(n) s(n - r) r s(n - - e(n) + τ) Figure 2-13 : schéma de principe de l’estimation adaptative du retard Afin d’estimer le retard τ, ils retardent adaptativement le signal de référence s(n), jusqu'à obtenir la valeur de r qui minimise le critère E[e2(n)] : e 2 ( n) = s 2 ( n − τ ) − 2 s ( n − r ) s ( n − τ ) + s 2 ( n − r ) E[ e2 ( n)] = 2 ⋅ Css (0) − 2 ⋅ Css (τ − r ) (2.43) Une méthode de gradient similaire à celle décrite auparavant est utilisée pour l’optimisation. Afin d’obtenir une résolution inférieure au pas d’échantillonnage, une variable r continue est utilisée dans l’itération suivante (l’entier le plus proche est noté r) : rn +1 = rn − µ∇ n (2.44) où ∇ n est la dérivée de e(n) par rapport à r . Ils utilisent alors une version simplifiée du gradient ∇ n : ∇ n ≈ − e(n) ⋅ ( s(n − r − 1) − s(n − r + 1)) (2.45) Cette méthode, dans l’esprit du filtrage adaptatif, permet donc de déterminer directement (sans passer par la détermination de la position du sommet d’une fonction de corrélation par exemple) la valeur du retard entre deux signaux. Elle peut être adaptée à nos signaux télémétriques après détection de ceuxci : il est nécessaire de positionner, dans un premier temps approximativement, une impulsion. Dans un deuxième temps, la méthode proposée ici ajuste finement la valeur du retard estimé au delà du pas d’échantillonnage. Il est possible de plus d’utiliser les connaissances sur la forme du signal impulsionnel afin d’établir un gradient plus approprié aux signaux. O 94 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Le filtrage adaptatif est difficilement applicable à notre problème de télémétrie, en effet la taille du filtre doit être au moins supérieure au retard maximum à mesurer, ce qui induirait un temps de calcul trop important.Les méthodes adaptatives d’estimation de paramètres peuvent être utilisées dans le but d’estimer directement le retard entre les deux impulsions après leur détection. Cette technique permet d’effectuer le calcul au fur et à mesure que les données sont disponibles à la sortie du convertisseur analogique numérique. Cependant, dans notre cas, il est possible d’enregistrer le signal complet (les deux impulsions) et d’effectuer à posteriori le traitement : en effet le temps entre deux impulsions successives émises par le laser est suffisant. Nous n’utiliserons donc pas ces techniques. 2.3 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux Dans la partie précédente, nous avons décrit quelques méthodes d’estimation précises du retard entre deux signaux provenant de la même source. Dans cette partie nous allons introduire différentes techniques de débruitage des signaux afin d’améliorer la détection. O 2.3.1 Statistiques d’ordre supérieur (SOS) Le terme de statistique d’ordre supérieur fait référence aux moments et aux cumulants d’ordres strictement supérieurs à 2. Les SOS permettent de résoudre des problèmes difficiles à résoudre voir insolubles à l’aide des statistiques classiques (ordre 2), ou peuvent être utiles, en complément, à l’amélioration des performances de résolution dans certaines applications [JLL97]. Depuis quelques années ces statistiques ont connu un gain d’intérêt croissant dans le monde du traitement du signal, en partie grâce à l’évolution croissante de la puissance des outils et machines numériques. En effet l’inconvénient majeur des SOS est la lourdeur des calculs mis en œuvre. Dans cette partie, après avoir défini les moments et cumulants pour une variable aléatoire réelle scalaire x, nous allons donner leur propriétés applicables à la détection de signaux bruités. O 2.3.1.1 Définitions Les moments généralisés de x sont définis pour toute application réelle g par : E[ g(x)] = +∞ ∫ g(u) ⋅ p (u) ⋅ du −∞ (2.46) x où px(u) est la densité de probabilité de x, et où g(u) est en général une fonction polynomiale conduisant aux moments « classique » de différents ordres, tels que la moyenne ou le moment d’ordre 2. En utilisant des fonctions exponentielles, on associe aux variables aléatoires des fonctions caractéristiques. La première fonction caractéristique de x est donnée par : [ ] Φ x (v ) = E e jvu 95 (2.47) Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol où j est le nombre complexe imaginaire pur. Lorsque la variable aléatoire x admet une densité de probabilité px(u), la première fonction caractéristique se formule alors comme la transformée de Fourier de cette densité : Fx [v ] = +∞ ∫e jvu ⋅ px(u) ⋅ du (2.48) −∞ La densité de probabilité peut se retrouver à partir de la première fonction caractéristique par transformée de Fourier inverse. La deuxième fonction caractéristique est définie comme le logarithme népérien de la première : Ψx (v ) = ln(Φ x (v )) (2.49) Les moments d’ordre r de x sont définis par : [ ] mr′ ( x ) = E x r (2.50) et les moments centrés par : [ mr ( x ) = E ( x − m1′ ) r ] (2.51) En développant en série l’exponentielle complexe autour de l’origine les moments successifs de x apparaissent : d r Φ x ( v) mr′ ( x ) = ( − j ) r r dv v =0 (2.52) Les dérivées de la seconde fonction caractéristique autour de l’origine définissent les cumulants : d r Ψx (v ) Cumr ( x ) = ( − j ) r r dv v=0 (2.53) Dans le cas centré on obtient [JLL97] : Cum1 ( x ) = 0 Cum2 ( x ) = E[ x 2 ] Cum3 ( x ) = E[ x 3 ] (2.54) Cum4 ( x ) = E[ x 4 ] − 3E [ x 2 ] 2 Dans le cas d’une variable aléatoire centrée seuls les moments d’ordre pairs sont non nuls, de plus tous leur cumulants d’ordre supérieur à 2 sont nuls. Notons que le cumulant d’ordre 2 représente la variance de x, ce qui représente la puissance de x. On trouve dans la littérature des grandeurs normalisées des cumulants d’ordre 3 et 4 dénommées respectivement skewness (facteur d’asymétrie) et kurtosis (facteur d’aplatissement) définis par : 96 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol κ 3 = Cum3 ( x / m2 ) κ 4 = Cum4 ( x / m2 ) (2.55) Un moyen simple d’estimer les cumulants est d’utiliser les formules les reliant aux moments et d’estimer ces derniers. En général ces estimateurs sont biaisés, toutefois le biais tend vers 0 lorsque le nombre d’échantillons N tend vers l’infini. 2.3.1.2 Propriétés Les propriétés des cumulants sont les suivantes : • multilinéarité et invariance par translation • nullité dans le cas où les variables sont indépendantes • additivité Ainsi, si l’on considère un signal noyé dans un bruit gaussien indépendant du signal, alors les cumulants d’ordre supérieur à 2 se réduisent au seul cumulant du signal. 2.3.1.3 Multicorrélation Jusqu'à présent nous avons défini les moments et cumulants d’une variable aléatoire, de la même façon il est possible de définir la multicorrélation d’ordre supérieur à 2 : [ C p (τ 1 , ..., τ p −1 ) = Cum x (t ), x (t − τ 1 ),... , x (t − τ p −1 ) ] (2.56) 2.3.1.4 Applications 2.3.1.4.1 Cumulant d’ordre 4 Persson et Sangfelt ont comparé quatre détecteurs utilisant respectivement les moments d’ordre 2, 3 et 4 et le cumulant d’ordre 4. Ils concluent que les estimateurs d’ordre 4 donnent en général de meilleurs résultats. Amblard et al. ont proposé d’estimer les cumulants sans passer explicitement par l’intermédiaire des moments, mais en utilisant une version récursive [POA95] : 4 2 2 Cum 4 ( n ) = Cum4 ( n − 1) + µ ( x n − 3 x n x n −1 − Cum4 ( n − 1)) (2.57) Ils utilisent dans [POA93] cette implantation récursive dans le but de détecter un transitoire noyé dans du bruit : leur simulation montre que dans le cas d’un rapport signal sur bruit relativement élevé (-1dB : le signal est visible) qu’un détecteur d’énergie classique parvient à sortir le signal du bruit et que l’utilisation de cumulants augmente le contraste. Dans le cas d’un rapport signal sur bruit faible (10dB : le signal n’est plus visible) le détecteur d’énergie est complètement inefficace et ne parvient pas à détecter le transitoire. Dans ce dernier cas, en augmentant la « mémoire » µ de leur estimateur, ce qui correspondrait à augmenter la taille de la fenêtre glissante de calcul du cumulant, ils parviennent à dégager le signal. L’utilisation de ces techniques ne demande pas à priori de connaissance sur le signal à détecter. 97 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 0.006 0 0.004 - 0.5 Cum 4 Amplitude (V) A titre d’exemple, nous avons implémenté cet algorithme récursif, avec µ = 0,8 et µ = 0,1, sur un signal impulsionnel gaussien (§ 2.2.2). Les figures 2-15 et 2-17 montrent clairement la présence de l’impulsion à la position 50 environ. L’analyse du signal est ici qualitative, c’est l’écart à la gaussianité qui est mesuré : le cumulant du bruit gaussien tend vers zéro, alors que celui du signal déterministe est différent de zéro. Le rapport signal sur bruit des signaux obtenus est comparable à celui obtenu par une corrélation voire meilleur. 0.002 0 - 1 - 1.5 - 0.002 - 2 0 20 40 60 80 100 0 120 20 40 60 100 120 Figure 2-15 : cumulant d’ordre 4, µ = 0,8 Figure 2-14 : impulsion gaussienne bruitée γ = 5 mV 0.002 0.002 0.001 0 Cum 4 Amplitude (V) 80 temps (ech) temps (ech) 0 - 0.002 - 0.001 - 0.004 - 0.002 - 0.006 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 temps (ech) 60 80 100 120 temps (ech) Figure 2-16 : impulsion gaussienne bruitée γ = 2,5 mV Figure 2-17 : cumulant d’ordre 4, µ = 0,1 2.3.1.4.2 Multicorrélation Rappelons qu’un modèle mathématique simple, à deux capteurs, pour l’estimation d’un retard peut être exprimé, dans sa version discrète par : x (n) = s(n) + b1 (n) y (n) = s(n − r ) + b2 (n) (2.58) Ce modèle peut également être exprimé à l’aide d’un modèle autorégressif : y ( n) = ∑ a x ( n − i ) + b( n) i i (2.59) où b(n) est une combinaison des bruits b1 et b2. En théorie, le paramètre ai est nul pour tout i différent de r et est égal à un pour i égal à r. Dans le cas où les bruits sont corrélés ou dans le cas où le signal est corrélé avec le bruit, il devient difficile d’estimer le paramètre r à l’aide de corrélations ou à l’aide du 98 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol filtrage adaptatif. En effet, des pics non représentatifs du retard peuvent apparaître. Chiang et Nikias [HHC90] proposent d’utiliser les SOS en multipliant chaque membre de l’équation ci-dessus par x(n+k) x(n+l) et en en prenant l’espérance. Le modèle devient alors : CYXX ( k , l ) = ∑a C i XXX (i + k , i + l ) (2.60) i où CYXX est une bicorrélation et où CXXX représente le cumulant d’ordre 3 de x. Ainsi, si b1 et b2 sont des processus gaussien, alors les multicorrélations d’ordre supérieur à 2 seront identiquement nulles. L’algorithme utilisant le gradient du critère développé par Chiang et Nikias a été modifié par Lin et Mao dans le cas de signaux impulsionnels [PL93], et peut s’adapter aux problèmes de détection de signaux radars ou sonars. Leur simulation avec un RSB de -5dB pour B1 et B2 corrélés montre la supériorité manifeste de cette technique par rapport à une technique classique d’ordre 2. Cette méthode est utilisable, comme dans le cas du filtrage adaptatif, pour l’estimation d’un retard faible. O La multicorrélation, appliquée à la mesure d’un retard faible, est un outil intéressant dans le cas où la simple corrélation ne suffit plus. Cependant, comme dans le cas du filtrage adaptatif, cette technique est difficilement applicable à la télémétrie laser. Par contre l’utilisation du cumulant d’ordre 4 peut s’avérer efficace pour la détection d’un signal quelconque, et en particulier télémétrique, noyé dans du bruit. 2.3.2 Transformée en ondelettes La transformée de Fourier propose une analyse globale du signal : aucune notion de localisation temporelle n’intervient lors de son calcul. Pour remédier à cette lacune, dans le cas de signaux transitoires (de durée finie) ou dans le cas où la fréquence du signal varie dans le temps par exemple, la transformée de Fourier à fenêtre glissante dans le temps, plus connu sous le nom de spectrogramme, est introduite par Denis Gabor afin d’obtenir une représentation temps-fréquence du signal. Cependant d’après le principe d’incertitude d’Heisenberg, plus la largeur de la fenêtre augmente plus la précision en fréquence est accrue et moins bonne est la localisation temporelle : les résolutions temporelle et fréquentielle du spectrogramme varient en sens opposé. Un compromis dans le choix de la largeur de la fenêtre est nécessaire. En 1985 Morlet et Grossmann [AG85] introduisent la première version de la transformée en ondelettes : elle permet l’adaptation de la largeur de la fenêtre en fonction des irrégularités du signal. La transformée en ondelettes discrète, dans le cadre mathématique de l’analyse multi-résolution, est introduite par Yves Meyer puis Stéphane Mallat à la fin des années 80 [FT98][AG95] . O 2.3.2.1 Transformée en ondelettes continues (TOC) Après avoir succinctement défini la transformée en ondelettes continue, nous décrirons les applications qui en découlent dans le domaine de la localisation de signaux radars. 99 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2.3.2.1.1 Définition L’idée, afin d’analyser un signal x(t) dans les domaines temporel et fréquentiel, est de le décomposer à l’aide de fonctions concentrées à la fois en temps et en fréquence. La définition de ces fonctions nécessite l’introduction d'une fonction φ(t) appelée « ondelette mère » telle que : φ(t)± L2(R)1 et ∫ +∞ −∞ φ (t )dt = 0 (2.61) Cette condition impose à l’ondelette dite « mère » d’être de moyenne nulle. Ainsi, son amplitude passe forcément par zéro et présente donc quelques oscillations d’où son nom. La famille d’ondelettes est alors définie de la façon suivante : φa ,b (t ) = t −b φ a a 1 (2.62) a et b varient continûment et sont respectivement nommés paramètre d’échelle ou de dilatation et paramètre de translation. b représente la position de l’ondelette dans le temps, le facteur 1 / a normalise l’ondelette de telle sorte que son énergie reste constante pour tous les paramètres d’échelle. Grossmann et Morlet ont montré que dans le cas où φ(t) est à valeurs réelles, cette famille peut être utilisée de la même façon qu’une base orthonormée. Cela signifie que tout signal x(t) d’énergie finie peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’ondelettes φa,b(t) et que les coefficients de cette combinaison sont, à un facteur de normalisation près, les produits scalaires : C ( a, b) = x(t ),φa ,b (t ) (2.63) La transformée en ondelettes continues est alors définie par : TOC x (t ) [ a, b] = C ( a, b) = 1 ∫ a +∞ −∞ t −b x(t )φ dt a (2.64) En général, cette transformation est représentée par une image 2D en couleur ou en niveaux de gris. On notera que la transformée en ondelettes continue convertit une fonction à une variable en une fonction à deux variables (a et b) : dans le cas où la famille engendrée par l’ondelette n’est pas orthogonale la représentation d’une fonction par sa TOC est redondante. La transformation inverse n’est donc pas toujours unique. Si l’ondelette φ(t) satisfait à la condition d’admissibilité : +∞ Φ (ν ) −∞ ν CΦ = ∫ 2 dν < ∞ (2.65) où Φ(ν) est la transformée de Fourier de l’ondelette, alors la transformée en ondelettes continue admet un inverse : 1 L2(R) est l’espace des fonctions continues d’une variable réelle et de carré intégrable. 100 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol x(t ) = 1 CΦ ∫∫ TOC ∞ x (t ) [a, b] ⋅ φa ,b (t ) dadb a2 (2.66) 2.3.2.1.2 Quelques propriétés La transformée en ondelette est un opérateur linéaire, invariant par translation et par dilatation : TOC x ( t ) + y ( t ) [a , b] = TOC x ( t ) [a , b] + TOC y ( t ) [a , b] (2.67) TOCx ( t −τ ) [a , b] = TOCx ( t ) [a , b − τ ] (2.68) TOCx ( α ⋅t ) [a , b] = TOCx ( t ) [α ⋅ a , α ⋅ b] (2.69) 2.3.2.1.3 Première approche de la transformation discrète : la transformée dyadique Pour des applications d’analyse du signal, on choisit de restreindre les valeurs des paramètres a et b à une grille discrète. Dans ce cas on fixe un pas de dilatation a0 > 1 et un pas de translation b0 0. La famille d’ondelettes qui nous intéresse est alors donnée par : φm , n (t ) = a0 2 φ ( a0− m t − nb0 ) −m (2.70) Cela correspond aux choix : a = a0m , b = nb0a0− m (2.71) Dans beaucoup d’applications, il est préférable de réduire au maximum la redondance de cette représentation. Dans ce cas, on choisit des valeurs de a0 et b0, typiquement : a0 = 2 et b0 = 1 : φm , n (t ) = 2 2 φ ( 2− m t − n ) (2.72) −m La transformée associée est alors nommée transformée dyadique. Pour certains choix de φ, la famille φm,n constitue une base orthonormale, la transformée en ondelettes inverse s’écrit alors : x(t ) = ∑∑ cm , nφm ,n m (2.73) n où les coefficients définis par le produit scalaire : cm , n = ∫ +∞ −∞ x(t )φm ,n (t )dt (2.74) sont les coefficients d’ondelettes. 2.3.2.2 Transformée en ondelettes Discrètes (TOD) En pratique, le signal continu x(t) n’est pas directement disponible, seule une représentation discrète x du signal est utilisable, ici sous la forme d’un vecteur de taille 2n, où n est un entier naturel: 101 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol [ x = x0 , x1 ,..., x2n −1 ] T (2.75) La transformée en ondelettes d’un signal discret peut être représenté comme une transformation par une matrice orthonormale « filtre » C : c = C⋅x (2.76) où c est un vecteur contenant les coefficients cm,n de la transformée en ondelettes. Chaque ligne de la matrice C représente en fait un vecteur de la base orthonormale d’ondelettes choisi sur l’ensemble des vecteurs possibles sur cette base. Ces vecteurs, pour une fonction ondelette donnée, sont calculés en dilatant et translatant l’ondelette « mère » [BV91] [WHP92]. Dans le cas d’une matrice C orthonormale, le signal x peut simplement être reconstruit en utilisant la transposée de C : x = CT ⋅ c (2.77) Comme pour la transformée rapide de Fourier, il existe un algorithme pour la décomposition et la reconstruction rapide du signal dans le cas de bases orthonormales d’ondelettes : c’est l’algorithme pyramidal de Mallat [SM98]. S’il n’est pas aisé de créer ses propres bases d’ondelettes orthonormales, de nombreuses bases sont disponibles dans la littérature : ondelettes de Harr, bases Splines, ondelettes à support compact de Daubechies, etc. ... et rendent possible à un « non initié » l’utilisation d’un tel outil dans diverses applications allant de la chimie analytique [CRM96] au traitement du signal et des images. Un inconvénient par rapport à la transformée en ondelettes continues est que la propriété d’invariance en translation n’est, pour ces bases, plus valide. Pour une description plus complète et rigoureuse de la transformée en ondelette discrète et de l’analyse multi-résolution le lecteur pourra consulter les références suivantes [SM98] [FT98]. 2.3.2.3 Applications aux signaux impulsionnels 2.3.2.3.1 Applications de la TOC Dai et al. [YD98] proposent d’utiliser la transformée en ondelettes continue pour l’extraction d’un signal impulsionnel rectangulaire x(t), provenant d’un télémètre laser, noyé dans le bruit : 1, - T ≤ t ≤ + T2 x (t ) = 2 0, ailleurs (2.78) Dans le cas du filtrage adapté la réponse impulsionnelle est l’image (dans un miroir) du signal rectangulaire. Le spectre de l’impulsion rectangulaire est donné par la fonction sinc(ω) où lorsque ω = 0 le spectre est maximum. Dans ce cas le filtre adapté peut être considéré comme un filtre passe bas. En règle générale le signal est traité sur une durée finie, statistiquement il est possible que la moyenne du bruit sur la durée d’observation soit différente de zéro. Ainsi, la composante continue du bruit à l’entrée du filtre sera restituée à sa sortie. Cela a pour effet de réduire le rapport signal sur bruit et par la même occasion la précision de la mesure. Dans la définition des ondelettes continues nous avons établi qu’une fonction φ(t) ne possède pas de composante continue : son spectre pour ω = 0 est nul. Si une telle fonction est choisie comme réponse impulsionnelle d’un filtre, alors la composante continue 102 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol du bruit sera filtrée et le rapport signal sur bruit meilleur. Dai choisit l’ondelette « chapeau mexicain » comme réponse impulsionnelle du filtre : φ (t ) = (1 − t ) ⋅ e 2 − t2 2 (2.79) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -6 -4 -2 2 4 6 - 0.2 - 0.4 Figure 2-18 : ondelette chapeau mexicain (mexican hat) qui est en fait la dérivée seconde d’une fonction gaussienne. Le filtrage adapté devient alors la transformée en ondelettes continues : TOCx ( t ) [a , b] = [1 − ( ) ] ⋅ Exp[− a ∫ 1 + T2 − T2 t −b 2 a 1 2 ( t −ab )2 ]dt (2.80) Le résultat analytique de cette intégrale s’obtient facilement, reste à donner les paramètres a et b qui le maximisent : a = T2 1 et TOCmax=( 2e ) 4 T b = 0 (2.81) En utilisant les propriétés de la transformée en ondelettes, lorsque a est fixé à sa valeur optimale pour un signal rectangulaire de largeur donnée T, la sortie du filtre est à son maximum lorsque le paramètre b est égal au retard du signal τ. Afin d’évaluer et de comparer les performances d’un filtre adapté classique et d’un filtre par ondelettes, l’auteur utilise un signal rectangulaire test ajouté à des bruits d’écart type identiques et de moyennes différentes : si la moyenne du bruit est nulle, le filtre adapté donne un meilleur résultat, par contre plus la moyenne du bruit augmente, plus les performances du filtre par ondelettes dépassent celle du filtre adapté. Aucune précision sur la comparaison du rapport signal sur bruit, dans les deux cas, en fonction de l’écart type d’un bruit centré n’est fournie. Dans la pratique le signal reçu n’est bien évidemment pas rectangulaire. Ehara et al. [NE95] proposent d’utiliser une technique similaire dans le cas, plus réaliste, de signaux gaussiens de la forme : x (t ) = e − t 2 103 (2.82) Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol La forme de la transformation en ondelettes continues d’une impulsion gaussienne en utilisant l’ondelette « chapeau mexicain » est illustrée ci-dessous sous la forme d’une image 2D : 50 40 30 b 20 10 0 0 10 20 30 a 40 Figure 2-19 : transformée en ondelettes continues d’une impulsion gaussienne 0.012 0.005 0.01 0.004 Amplitude HVL TOC Ha,50L On note, de la même façon que précédemment, que la transformée possède un maximum. Avec la méthode précédente, la position du signal est déterminée par le paramètre b avec un paramètre a optimum calculé une fois pour toutes (figure 2-20). Après avoir simulé cette méthode en comparaison au filtre adapté, ils concluent sur la supériorité de ce dernier pour un signal additionné à un bruit blanc gaussien centré. Cependant, lorsque le bruit n’est pas centré c’est la transformation en ondelette qui est la plus performante. La deuxième méthode proposée ici est d’effectuer plusieurs transformations dyadiques en parallèle avec pour chacune un paramètre a différent autour du paramètre optimum et d’accumuler les résultats. Leur simulation montre une amélioration significative par rapport à la première méthode, principalement lorsque le rapport signal sur bruit est faible, au détriment de la précision sur la localisation du paramètre b, autrement dit au détriment de la précision sur la mesure de distance. Reprenons l’exemple cité au paragraphe 2.2.2. Nous avons calculé la paramètre a optimum (environ 8), illustré sur la figure 2-20. L’ondelette adapté utilisée comme filtre est donnée sur la figure 2-21. 0.008 0.006 0.004 0.002 0.003 0.002 0.001 0 - 0.001 0 - 0.002 0 10 20 30 40 50 0 a 104 20 40 60 80 temps HechL 100 120 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Figure 2-20 : transformée en ondelettes continues d’une Figure 2-21 : impulsion gaussienne (points) et ondelette impulsion gaussienne pour b = 50 adaptée Après application de la transformée en ondelette continue (échantillonnée en b), le signal obtenu est donné par les figures 2-23 et 2-25. Par rapport à une simple corrélation, les signaux obtenus présentent des oscillations parasites dues aux parties négatives de l’ondelette. Dans cet exemple la moyenne du bruit est nulle, conformément aux résultats de Ehara et al., le rapport signal sur bruit après transformation est inférieur à celui obtenu avec une simple corrélation. 0.006 0.01 TOC(8,b) Amplitude (V) 0.004 0.002 0.005 0 0 - 0.005 - 0.002 0 20 40 60 80 100 0 120 20 40 Figure 2-22 : impulsion gaussienne bruitée γ = 5 mV 80 100 120 Figure 2-23 : TOC avec l’ondelette adaptée 0.002 0.004 0.001 TOC(8,b) Amplitude (V) 60 échelle (ech) temps (ech) 0 0.002 0 - 0.001 - 0.002 - 0.002 0 20 40 60 80 100 0 120 20 40 60 80 100 120 échelle (ech) temps (ech) Figure 2-24 : impulsion gaussienne bruitée γ = 2,5 mV Figure 2-25 : TOC avec l’ondelette adaptée 2.3.2.3.2 Applications de la TOD Donoho propose une méthode simple de débruitage d’un signal x = s + b, où b est un bruit d’écart-type σ, en utilisant la transformée en ondelettes discrète : c = C⋅x (2.83) où x peut être reconstruit à l’aide de la transformation inverse : x = CT ⋅ c = CT ⋅ c s + CT ⋅ cb (2.84) Cette méthode consiste, après avoir obtenu les coefficients en ondelettes c, d’appliquer un seuil à ceuxci [DLD95] . Tous les coefficients inférieurs au seuil sont alors considérés comme du bruit, les 105 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol coefficients supérieurs au seuil sont considérés comme le signal utile. On distingue deux types de seuillage : • le seuillage dur (hard-thresholding) qui met à zéro les coefficients en dessous du seuil et ne modifie pas les autres. Pour un seuil η choisi, les coefficients cm,n du vecteur c obtenu s’écrivent : cm,n pour cm,n > η (2.85) cm,n = 0 pour cm,n < η • le seuillage doux (soft-thresholding) conduit à mettre à zéro les valeurs de coefficients qui sont plus petites que le seuil η et à modifier les coefficients restant de la façon suivante : cm,n − η ⋅ sign(cm,n ) pour cm,n > η (2.86) cm,n = 0 pour cm,n < η Le problème est bien entendu le choix de la valeur du seuil, Donoho a proposé une valeur de seuil globale : η = σ 2 log n (2.87) où σ est l’écart-type des n échantillons du signal. L’idée est de supprimer tous les coefficients en ondelettes qui sont de valeur inférieure à l’écart-type d’un bruit Gaussien sur une séquence de taille n. Après avoir éliminé les coefficients dus au bruit, on applique la transformée inverse et on obtient ainsi une estimation du signal : s = CT ⋅ c (2.88) Mittermayr et al. comparent les performances des techniques de débruitage par seuillage des coefficients de la transformée en ondelettes discrète avec des techniques plus classiques, comme de simples filtres numériques passe-bas, sur des impulsions gaussiennes [CRM96]. Les performances sont comparées en terme de reconstruction optimale, de détection limite (rapport signal sur bruit) ou encore de préservation de l’énergie du signal. Plusieurs bases d’ondelettes de résolutions différentes sont testés : Symmlets, Daubechies, Coiflets. Leur investigation montre que les bases Symmlets et Daubechies limitées à l’ordre 6 sont mieux adaptées lorsque l’impulsion est étroite, alors que pour des impulsions plus larges se sont les bases Coiflets et Symmlets limitées à l’ordre 8 qui donnent de meilleurs résultats. En général, le débruitage par ondelettes donne des résultats supérieurs pour des impulsions étroites d’un rapport signal sur bruit relativement élevé. Dans les autres cas, les performances sont du même ordre de grandeur, bien que le débruitage par ondelettes améliore sensiblement plus le rapport signal sur bruit. Cependant, les résultats montrent qu’une forte augmentation du rapport signal sur bruit implique une distorsion importante de l’impulsion et limite l’analyse ultérieure à une analyse qualitative. Cette importante distorsion est due à la suppression de coefficients d’ondelettes du signal sans bruit. 106 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Ching et al. se sont penchés sur le problème de l’estimation d’un retard entre deux signaux radars d’enveloppe, respectivement a(t) et α a(t-τ) et de porteuse de fréquence ω0, chacun dégradés par un bruit additif gaussien [PCC99]. Leur technique consiste à préfiltrer leurs signaux, en utilisant la technique de débruitage par ondelettes, et de déterminer la position du maximum de l’estimation de la fonction de corrélation des signaux ainsi obtenus. Dans un premier temps, ils utilisent le seuillage global de Donoho, les résultats sur la variance du retard estimé sont en fait moins bons que pour une simple corrélation, ceci peut s’expliquer par la suppression de certains coefficients de la transformée en ondelettes relatifs aux signaux et non aux bruits. Le seuillage global étant inefficace, ils proposent un choix différent du seuil η faisant intervenir le critère de Neyman-Pearson utilisé en détection et une connaissance préalable de la variance du bruit additionné au signal. Leur simulation à l’aide de signaux d’enveloppe rectangulaire et de porteuse ω0 montre l’efficacité de cette nouvelle technique par rapport aux techniques classiques de corrélation dans ce cas. Nous reprenons l’exemple du paragraphe 2.2.2 où le signal à débruiter est une impulsion gaussienne. Dans un premier temps nous utilisons la base Symmlets 12. Les figures 2-26 et 2-27 représentent les coefficients de la transformée en ondelettes discrète d’une impulsion gaussienne sans bruit (points noirs) et les coefficients représentatifs du signal bruité (en bleu). 0.003 0.002 0.002 Coefficients Coefficients 0.004 0 - 0.002 - 0.004 0.001 0 - 0.001 - 0.002 - 0.006 - 0.003 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 Figure 2-26 : coefficients de la transformée en ondelette Figure 2-27 : coefficients de la transformée en ondelette discrète (Symmlets 12) γ = 5 mV discrète (Symmlets 12) γ = 2,5 mV Nous appliquons ici la méthode de seuillage dur (hardthreshold), tous les coefficients inférieur à 0,003 (2-26) et 0,001 (2-27) sont mis à zéro. Après transformation inverse, les signaux obtenus sont illustré sur la figure 2-29. Lorsque l’amplitude de l’impulsion est du même ordre de grandeur que l’écart type du bruit il est difficile de supprimer uniquement les coefficients de la transformée dus au bruits, cette méthode ne parvient pas à localiser le signal utile dans ce cas. 107 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 0.005 0.006 0.004 Amplitude (V) Amplitude (V) 0.004 0.002 0 0.003 0.002 0.001 0 - 0.002 0 20 40 60 80 100 0 120 20 40 Figure 2-28 : impulsion gaussienne bruitée γ = 5 mV 80 100 120 Figure 2-29 : seuillage dur, Symmlets 12 0.002 0.002 0.001 Amplitude (V) Amplitude (V) 60 temps (ech) temps (ech) 0 - 0.001 0.001 0 - 0.001 - 0.002 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 temps (ech) 60 80 100 120 temps (ech) Figure 2-30 : impulsion gaussienne bruitée γ = 2,5 mV Figure 2-31 : seuillage dur, Symmlets 12 De la même façon, nous utilisons la base d’ondelettes Coiflets 4 pour la transformation en ondelettes discrète du signal de la figure 2-28 : 0.0075 Coefficients 0.005 0.0025 0 - 0.0025 - 0.005 - 0.0075 0 20 40 60 80 100 120 Figure 2-32 : coefficients de la transformée en ondelette discrète (Coiflets 4) A titre indicatif nous donnons le signal obtenu avec une impulsion de 5 mV d’amplitude. Nous appliquons un seuil de 0,002 et obtenons le signal de la figure 2-34, nous remarquons que cette dernière base d’ondelette choisi semble beaucoup moins adaptée à la détection d’impulsion gaussienne. 108 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 0.007 0.006 0.006 Amplitude HVL Amplitude (V) 0.004 0.002 0 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 - 0.002 0 20 40 60 80 100 120 0 temps (ech) Figure 2-33 : impulsion gaussienne dans le bruit 20 40 60 80 temps HechL 100 120 Figure 2-34 : seuillage dur, Coiflets 4 O Pour résumer, l’utilisation de la TOC n’apporte pas d’amélioration par rapport au filtrage adapté dans le cas où le bruit est centré. La technique de débruitage par seuillage des coefficients de la transformée en ondelettes est de mise en oeuvre simple, cependant le choix des bases orthogonales d’ondelettes est délicat : l’ondelette doit être adaptée au signal que l’on désire analyser. Dans le cas qui nous intéresse où le rapport signal sur bruit est très faible, les performances de cette technique semblent limitées. 2.4 Choix des techniques et évaluation Les principales méthodes de traitement numérique du signal pouvant être appliquées à la mesure précise du temps de vol et à la détection des signaux télémétriques après conversion analogique digitale ont été introduites. Le filtrage adapté (corrélation des impulsions) et les méthodes de régression laissent présager de bien meilleurs résultats par rapport à la méthode analogique classique. Des techniques plus récentes, comme la transformée en ondelettes discrète par exemple, ont été succinctement évaluées pour le débruitage des signaux. Dans notre cas relativement simple où le signal à détecter est une impulsion gaussienne, ces techniques n’apportent peu ou pas d’amélioration majeure par rapport à la technique classique de filtrage adapté. La technique de cumulant d’ordre 4 (SOS) donne toutefois des premiers résultats intéressants mais déforme le signal détecté. Dans ce paragraphe, nous allons simuler les signaux télémétriques numériques par des impulsions gaussiennes bruitées (bruit gaussien), dans le but d’évaluer les traitements retenus : régressions linéaire et non-linéaire, filtrage adapté et cumulant d’ordre 4. Les signaux simulés sont générés par un programme sous Lab Windows™ où il est possible de faire varier les paramètres suivant : • amplitude des impulsions • écart-type du bruit • fréquence d’échantillonnage • largeur des impulsions Ces signaux seront ensuite traités à l’aide des différents algorithmes que nous avons retenus et implémentés en C : 109 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol • régression linéaire (polynôme d’ordre 2) • régression non linéaire (impulsion gaussienne) • corrélation (avec détermination de son maximum par interpolation) • cumulant d’ordre 4 • filtrage numérique passe bas Il est possible dans ces algorithmes de choisir une taille pour la fenêtre de traitement, c’est à dire le nombre de points utiles au traitement (par exemple le nombre de points autour du sommet de l’impulsion pour effectuer une régression non-linéaire). 2.4.1 Techniques numériques pour la mesure précise de distance 2.4.1.1 Influence de la largeur de la fenêtre de calcul Nous nous intéressons ici à la localisation précise des sommets des impulsions START et STOP pour la mesure de distance. Nous avons simulé des impulsions d’une largeur à mi-hauteur de 2,5 ns et d’amplitude (pour l’impulsion STOP) égale à 5 mV, 60 mV et 120 mV. L’amplitude de l’impulsion START est fixée à 120 mV. L’écart-type du bruit choisi est égal à 0,6 mV. Le signal est échantillonné à une fréquence de 5 GE/s. Ces ordres de grandeur sont ceux obtenus lors de l’utilisation expérimentale de notre télémètre. La distance simulée est fixée arbitrairement à 10 m1. Nous allons étudier l’influence de la taille de la fenêtre de traitements, pour les différents traitements envisagés, sur l’écart-type de la mesure de distance. L’écart-type est évalué sur une base de mesure de distance effectué à partir de 100 signaux. Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques des signaux étudiés : Amplitude START (mV) 120 Amplitude STOP (mV) 5 - 60 -120 Ecart-type du bruit (mV) 0,6 Largeur des impulsions (ns) 2,5 Largeur de la fenêtre (échantillons) - Fréquence d’échantillonnage (GE/s) 5 Intervalle entre les impulsions (m) 10 Nombre de signaux par point 100 Les courbes ci-dessous donnent les résultats obtenus pour l’écart-type en mètres : 1 L’intervalle de temps entre les deux impulsions n’influe pas sur l’écart-type de la mesure de distance. 110 écart-type (m) Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 0.1 0.1 0.05 0.05 5 mV 0.02 0.02 0.01 0.01 0.005 0.005 60 mV 0.002 0.002 0.001 0.001 120 mV 5 10 15 20 25 largeur fenêtre 30 35 40 Figure 2-35 : Régression linéaire, écart-type (m) 0.05 0.05 0.02 0.02 0.01 0.01 0.005 0.005 60 mV 0.002 0.001 0.002 0.001 120 mV 5 10 largeur fenêtre 20 Figure 2-36 : Régression non-linéaire, écart-type (m) 0.01 écart-type (m) écart-type (m) 5 mV 0.008 0.006 0.004 120 mV 0.002 10 20 30 largeur fenêtre 40 Figure 2-37 : Corrélation, écart-type (m) 111 50 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Il apparaît, pour la régression linéaire (figure 2-35), comme nous l’avions prédit précédemment, qu’il existe un nombre de points optimum pour la fenêtre de traitement : lorsque la fenêtre est étroite la précision est inférieure et lorsque la fenêtre est large, des points fortement entachés de bruit viennent perturber la mesure. La fenêtre de taille optimum obtenue dans cette configuration, et quelque soit l’amplitude de l’impulsion STOP, est de l’ordre d’un quinzaine de points. Pour la régression non-linéaire, l’augmentation de la taille de la fenêtre réduit l’écart-type sur la mesure de distance, cependant au delà de 25 points, l’amélioration est infime. Pour la méthode de corrélation les résultats obtenus sont moins clairs : il apparaît tout de même une taille de fenêtre optimum entre 20 et 30 points. Il faut noter que, pour cette méthode de traitement, l’augmentation de la taille de la fenêtre augmente le temps de calcul de façon plus importante que pour les deux autres méthodes. Le tableaux ci-dessous résume les résultats obtenus sur le nombre de points optimum pour la fenêtre de traitement : Méthode : Régression linéaire Régression non-linéaire Corrélation Points par fenêtre 15 25 30 2.4.1.2 Etude le la variation de l’écart-type en fonction du Rapport signal sur bruit Avant d’étudier les performances des traitements en matière de précision, nous avons évalué leur vitesse sur un ordinateur de type PC à 100 Mhz. La mesure de la position du sommet des deux impulsions est effectuée, en 1 ms avec la technique de régression linéaire, en 10 ms avec la régression non-linéaire et en 50 ms avec la corrélation. Nous allons maintenant comparer les performances de ces trois traitements (avec leur fenêtre optimale) en fonction du rapport signal sur bruit. Les caractéristiques des signaux sont les mêmes que précédemment, l’amplitude de l’impulsion STOP variant de 2 mV à 120 mV, soit un rapport signal sur bruit variant de 10 à 46 dB. Amplitude START (mV) 120 Amplitude STOP (mV) 2 à 120 Ecart-type du bruit (mV) 0,6 Largeur des impulsions (ns) 2,5 Fréquence d’échantillonnage (GE/s) 5 Intervalle entre les impulsions (m) 10 Nombre de signaux par point 100 112 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 2 5 10 20 100 corrélation régression linéaire régression non-linéaire 0.1 écart-type (m) 50 0.05 0.1 0.05 0.01 0.01 0.005 0.005 0.001 0.001 2 5 10 20 amplitude (mV) 50 100 Figure 2-38 : Comparaison des performances des traitements, écart-type (m) Les méthodes de régression donnent clairement de meilleurs résultats que la méthode de corrélation. Toutefois, pour une amplitude du signal STOP faible (inférieure à 4 mV) la méthode de régression linéaire n’est plus aussi performante : l’influence du bruit sur le logarithme des points est trop importante. C’est pourquoi, nous retenons la méthode de régression non-linéaire pour la mesure précise de distance : un écart-type sur la mesure de distance de l’ordre de quelques millimètres est envisageable sur une bonne partie de la dynamique du signal. Ayant choisi une méthode de mesure, nous allons maintenant étudier l’évolution de ses performances en fonction des paramètres suivants : fréquence d’échantillonnage et largeur des impulsions détectée. 2.4.1.3 Influence de la fréquence d’échantillonnage, régression non-linéaire La largeur de l’impulsion est fixée à 2,5 ns. L’amplitude des impulsions START et STOP est fixée à 120 mV. Pour chaque point de la courbe les signaux sont générés avec un fréquence d’échantillonnage différente allant de 1GE/s à 10 GE/s. Amplitude START (mV) 120 Amplitude STOP (mV) 120 Ecart-type du bruit (mV) 0,6 Largeur des impulsions (ns) 2,5 Largeur de la fenêtre (échantillons) 25 Fréquence d’échantillonnage (GE/s) 1 à 10 Intervalle entre les impulsions (m) 10 Nombre de signaux par point 100 113 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 0.0025 écart-type (m) 0.002 0.0015 0.001 0.0005 2 4 6 Fréquence GEs 8 10 Figure 2-39 : Influence de la fréquence d’échantillonnage sur l’écart-type (m) de la mesure de distance Nous remarquons que l’écart-type sur la mesure de distance diminue avec l’augmentation de la fréquence d’échantillonnage. Cependant, ci cette diminution est rapide de 1 à 2 GE/s, elle est beaucoup plus lente ensuite. Avec une fréquence de 2 à 3 GE/s les résultats obtenus sont déjà intéressants : l’écart-type est inférieur au millimètre. 2.4.2 Techniques numériques adaptées au débruitage des signaux Comme nous l’avons vu précédemment l’augmentation du rapport signal sur bruit (RSB) permet d’augmenter la portée du télémètre. La simulation porte donc ici sur l’amélioration du rapport signal sur bruit, à l’aide des méthodes de corrélation (filtrage adapté) et cumulant d’ordre 4, lorsque le signal STOP reçu est de faible amplitude. Nous avons également ajouté à ces deux méthodes un simple filtre numérique passe bas de Butterworth d’ordre 4 de fréquence de coupure égale à 350 MHz (Bande passante du circuit de réception) qui permet d’éliminer le bruit de quantification haute fréquence. Le filtrage adaptée utilise le signal START comme signal de référence, le cumulant d’ordre 4 est calculé sur une fenêtre glissante d’une largeur de 15 points. Les signaux générés possèdent 5000 échantillons, la mesure de l’écart-type du bruit σ est effectuée entre les échantillons 1000 et 5000, les impulsions START et STOP sont positionnées avant l’échantillon 1000. L’amplitude du signal STOP A est donnée après traitement du signal non bruité. Le rapport signal sur bruit est alors calculé de la façon suivante : A RSB = 20 ⋅ log σ (2.89) Nous avons également évalué ici la vitesse des traitements : les 5000 points sont traités, en 250 ms avec le filtrage adapté, 200 ms avec la méthode de cumulant non récursive. Le tableau ci-dessous donne les caractéristiques des signaux utilisés : Amplitude START (mV) 120 Amplitude STOP (mV) 1à6 Ecart-type du bruit (mV) 114 0,6 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Largeur des impulsions (ns) 2,5 Fréquence d’échantillonnage (GE/s) 5 Intervalle entre les impulsions (m) 10 Nombre de signaux par point 100 60 cumulant filtre adapté 50 filtre passe bas RSB dB 40 30 20 10 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 amplitude V Figure 2-40 : Amélioration du rapport signal sur bruit Le filtrage adapté et le filtre passe bas améliorent le rapport signal sur bruit d’environ 10 dB sur toute la gamme d’amplitude étudiée. Ces deux techniques donnent de meilleurs résultats que la technique de cumulant jusqu'à une amplitude d’un peu moins de 2 mV pour l’impulsion STOP. Au delà de 2 mV c’est la technique de cumulant d’ordre 4 qui donne de bien meilleurs résultats. Cette dernière technique déforme par contre l’impulsion et ne permet pas d’obtenir une mesure précise dans le cas où le rapport signal sur bruit est important. Dans tous les cas, pour un seuil de détection fixé à RSB = 36 (15,5 dB) les traitements permettent de détecter des impulsions d’amplitude plus faible : la portée est alors étendue. 3. TECHNIQUES OPTIQUES Comme nous l’avons vu précédemment, en télémétrie, la détection de très faibles signaux, que ce soit en détection directe ou cohérente, est d’une importance capitale pour les performances du télémètre. S’il est possible d’amplifier le signal électrique issu du photorécepteur, il est également possible d’amplifier optiquement le signal avant la conversion photon-électron réalisée par le détecteur. Nous allons présenter dans ce paragraphe les solutions de la littérature utilisant l’amplification optique afin d’augmenter la sensibilité des modules de détection, dans le but d’accroître les performances des télémètres. Nous comparerons ensuite les performances obtenues avec un amplificateur optique et avec une photodiode à avalanche. O 115 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 3.1 Principe de l’amplification optique Pour réaliser un amplificateur optique il suffit d’utiliser un matériau de même nature que celui utile à l’oscillation laser. Contrairement au laser, l’amplificateur optique doit avoir des faces d’entrée et de sortie les moins réfléchissantes possibles à la longueur d’onde à amplifier pour ne pas amorcer un effet laser. Tout comme l’oscillateur laser, le milieu amplificateur doit être pompé afin d’assurer une inversion de population, le gain étant directement proportionnel à cette inversion (voir figure 3-1) signal L Cristal laser signal amplifié pompe Figure 3-1 : représentation schématique de l’amplification optique Le processus d’amplification est basé sur l’énergie stockée dans le niveau haut de la transition laser avant l’arrivée du signal d’entrée. Ainsi, lorsque l’impulsion traverse le milieu amplificateur, les atomes sont excités et libèrent l’énergie stockée par émission stimulée. L’émission spontanée est elle aussi amplifiée et introduit un bruit supplémentaire au signal qu’il faut considérer. Les équations du bilan permettent de décrire le processus en supposant que l’on néglige l’effet de la fluorescence et du pompage lors de la traversée de l’impulsion : ∂N = −γ Ncσ Φ ∂t (3.1) ∂Φ ∂Φ = Ncσ Φ − c ∂t ∂x (3.2) N représente la densité d’inversion de population, Φ la densité de photons, σ est la section efficace d’émission stimulée du milieu actif, c la vitesse de la lumière dans le vide. x représente l’abscisse dans le milieu amplificateur et t le temps. Ce système d’équations différentielles a été résolu pour diverses formes d’impulsions [LMF63]. Dans le régime de fonctionnement qui nous intéresse (amplification de faibles signaux), nous pouvons établir le gain en première approximation [WK96][AY89] : G = exp (α L ) avec : 116 (3.3) Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol α = Nσ : coefficient d’amplification du matériau dit « gain en petits signaux », σ est la section efficace d’émission stimulée du milieu laser, L est la longueur du même milieu. 3.2 Principe de l’amplification paramétrique optique (OPA) Les amplificateurs optiques fonctionnent par l’intermédiaire des transitions entre les niveaux d’énergie atomique ou moléculaire. Par conséquent la bande du spectre amplificateur est très étroite. Les amplificateurs paramétriques optiques utilisent les propriétés non linéaires de certains matériaux et possèdent donc un spectre plus large et peuvent être continûment ajustables sur une importante plage de longueur d’onde. De ce point de vue , cette propriété rend les OPA supérieurs aux amplificateurs laser. L’autre avantage prépondérant est l’absence d’émission spontanée parasite lors du processus d’amplification paramétrique. Dans un processus paramétrique, une onde électromagnétique de forte puissance (onde de pompe impulsionnelle1), ayant une pulsation ωp, interagi via la réponse non-linéaire du milieu avec deux ondes de pulsation inférieures appelées onde signal (fréquence ωs) et onde idler (fréquence ωi). L idler signal Cristal non-linéaire signal amplifié pompe Laser de pompe Figure 3-2 :représentation schématique de l’amplification paramétrique optique Cette interaction produit une amplification aux fréquences ωs et ωi. Le processus paramétrique optique est un mélange non-linéaire, l’amplification et l’oscillation paramétrique sont toutes deux possibles. Ce processus se traduit par la disparition d’un photon de pompe lors de sa propagation dans le cristal nonlinéaire et par la production de deux photons aux fréquences ω s et ωi. L’énergie totale des photons est conservée : 1 Les puissances de pompe utiles à la génération d’effets non-linéaires, plusieurs kW, nécessitent l’utilisation de laser impulsionnels où la puissance est de cet ordre de grandeur. L’onde de pompe et l’onde signal doivent alors être envoyées dans le cristal non-linéaire en même temps : le signal est donc en général une impulsion de largeur égale ou inférieure à l’impulsion de pompe. 117 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol ω p = ω s + ωi (3.4) Pour un ωp donné il existe une infinité de paires ωs et ωi susceptibles de satisfaire l’équation ci-dessus. La condition dite « d’accord de phase » : k p = k s + ki (3.5) où k est le vecteur d’onde de la radiation du milieu non-linéaire, détermine laquelle des paires ωs et ωi vont être générées. L’habilité à faire varier la condition d’accord de phase rend possible l’excursion en longueur d’onde d’un OPA ou d’un oscillateur paramétrique optique (OPO). Les OPO et les lasers émettent tout deux une lumière cohérente produite dans une cavité résonnante. Les récentes améliorations des cristaux non-linéaires, spécialement le LN (LiNbO3), le KTP (KTiPO4), le BBO (BaB2O4), le LBO (LiB3O5) et le KN (KNbO3), permettent d’obtenir des OPA très efficaces. Pour que le processus d’amplification soit optimisé, les conditions sur les faisceaux de pompe et de signal suivantes doivent être remplies : bon recouvrement spatial et temporel des deux faisceaux, et accord de phase. Ces conditions remplies, le gain G en intensité du signal peut s’écrire [JYC96] : G = 1+ Γ 20 sinh 2 ( Γz ) Γ2 (3.6) où Γ 0 est le gain constant dépendant du milieu non-linéaire et de la longueur d’onde et Γ 0 s’écrit : ∆k Γ 2 = Γ 02 − 2 2 (3.7) où ∆k est l’écart à l’accord de phase et z est la longueur sur laquelle l’interaction se produit. 3.3 Amplificateur optique classique Généralement l’amplificateur optique à solide est utilisé pour augmenter la puissance d’un faisceau laser. Les théories sur l’amplification optique sont bien connues [RL93][MA98][IA96][AES86]. Il peut également utiliser ses propriétés amplificatrices dans le cas de signaux de faible intensité. Cependant, dans la littérature, peu de systèmes télémétriques utilisent des amplificateurs optiques. La raison principale semble être la complexité de la mise en œuvre des amplificateurs. En effet, l’énergie nécessaire pour produire l’inversion de population suffisante est telle que l’alimentation électrique les diodes lasers de puissance ou les lampes flash de pompe doivent être refroidies par eau. De plus, en général, un montage optique permettant au signal d’effectuer plusieurs aller-retours dans l’amplificateur augmente sensiblement l’encombrement du système. Brignon et al. du Laboratoire Central de Recherches de Thomson-CSF ont tout de même réalisé un amplificateur optique, pompé longitudinalement par une barrette de diode laser de puissance, dont le matériau actif est le Nd:YAG ou le Nd:YVO4, relativement compact, la cavité amplificatrice ayant une longueur de 5 mm [AB98]. Le facteur d’amplification obtenu (equation (3.3))est de 1,6 pour un passage, 24 pour deux passages (configuration dans laquelle est utilisé l’amplificateur). Les performances de ce dispositif sont toutefois limitées par l’amplification de l’émission spontanée. 118 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Par contre dans le cas des lidars cohérents où la taille du dispositif importe beaucoup moins, plusieurs références mentionnent l’utilisation d’amplificateur optique. Morley et al. [RJM94] utilisent un amplificateur multi-passages à CO2 d’une longueur de 70 cm, ils améliorent ainsi leurs mesures d’un facteur de 12 dB. Rahm et al. intègrent également à leur lidar cohérent un amplificateur optique au CO2 [SR94]. En réalité, l’amplificateur est un laser au CO2 dont les miroirs ont été retirés. La longueur de la cavité est de 30 cm , le signal y est guidé en sept aller-retours et le gain obtenu approche les 30 dB. Le rapport signal sur bruit est augmenté d’un facteur 18 pour une cible de type aérosol, d’un facteur 70 pour une cible solide. 3.4 Amplification par diode laser Alping et al. [AA84] utilisent une diode laser en AlGaAs (double hétérostructure) à commutation de gain émettrice comme préamplificateur optique. L’impulsion lumineuse réfléchie par un miroir et atténuée par un jeu de densités et réinjectée dans la diode laser, et est ainsi amplifiée. En effet, les diodes lasers possèdent un gain important par rapport au lasers solides [ER98] : ici un courant continu maintient la diode laser à un gain constant (près, mais au-dessous du seuil d’oscillation), un générateur d’impulsion électriques courtes (300 ps) excite périodiquement (790 kHz) la diode qui émet à son tour un train d’impulsions larges de 100 ps. Les impulsions réfléchies par le miroir sont redirigées vers la diode laser qui sert maintenant d’amplificateur. Le gain annoncé expérimentalement est de 17 dB, quant à la précision elle est de l’ordre du millimètre. Malgré tout aucune mesure n’est démontrée sur cible naturelle et l’atténuation optique entre le miroir et la diode laser n’est que 20dB, soit une atténuation d’un facteur 100, la puissance minimum détectable est quant à elle de -23 dBm, soit 5 µW. 3.5 Amplification par fibre optique dopée en terres rares L’avantage de l’amplification par fibre, par rapport à l’amplification solide, est que la longueur d’interaction du signal avec le matériau amplificateur peut être beaucoup plus importante et permet donc d’obtenir des gains supérieurs plus facilement, les alignements sont également moins critiques. Salisbury et al. comparent théoriquement la sensibilité de télémètres à détection directe et cohérente utilisant une photodiode PIN, une photodiode à avalanche, un amplificateur à fibre optique [MSS93]. Ils montrent que l’utilisation d’une fibre amplificatrice améliore la sensibilité dans le cas de la détection directe mais reste tout de même inférieure en performance devant la détection cohérente. Lors de la démonstration expérimentale de leur partie théorique [MSS94], où ils utilisent un laser Nd:YAG et une fibre dopée au Néodyme, Salisbury et al. confirment leurs prévisions : un gain de 25 dB avec la fibre amplificatrice par rapport à une détection simple utilisant une photodiode PIN. Overbeck propose d’utiliser une source laser à une longueur d’onde de 1,54 µm (oscillateur paramétrique optique) afin de bénéficier de la technologie déjà en place des fibres optiques amplificatrices dopées à l’Erbium dédiées aux télécommunications [JAO95] : un comparatif des méthodes de détection directes avec amplification par fibre ou par photodiode à avalanche montre finalement que l’amélioration apporté par la fibre est faible. 119 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol 3.6 Amplificateur paramétrique optique Les amplificateur paramétriques optiques (OPA) peuvent être utilisés avantageusement par rapport aux amplificateurs optiques classiques pour l’amplification de faibles signaux, par exemple en imagerie proche infrarouge [NSP96]. En effet le processus responsable de l’amplification est du à la propriété non-linéaire du matériau, et non à une inversion de population avec émission spontanée parasite. Le signal obtenu après amplification est donc beaucoup moins bruité [EG95] : le rapport signal sur bruit de la mesure est peu dégradé par l’insertion d’un OPA [PRC94]. Cependant, la condition de recouvrement temporel rend son utilisation en télémétrie difficile voir impossible. En effet, l’arrivée de l’impulsion de pompe nécessaire à produire le gain doit coïncider avec l’arrivée de l’onde signal dans l’OPA. Pour qu’une synchronisation des deux signaux soit possible il faudrait en fait déjà connaître la distance à mesurer. Cependant l’utilisation d’un oscillateur paramétrique optique (OPO), dans un système télémétrique ou lidar, permet d’émettre à une longueur d’onde variable. Il a été montré que ces systèmes permettaient d’effectuer des mesures beaucoup plus précises dans un environnement fortement bruité (lumière parasite importante) [TPG96]. Un autre avantage : la longueur d’onde peut être choisie telle que le système fonctionne en sécurité oculaire, ou telle que la transmission atmosphérique soit maximale. En adaptant le dispositif, il est possible de concevoir un lidar à absorption différentielle : l’utilisation de plusieurs longueurs d’onde à l’émission permet de lever l’ambiguïté sur le chemin optique mesuré si l’indice optique du milieu traversé varie (turbulences). Une application supplémentaire est la détection d’espèces chimiques dans l’atmosphère émises par exemple par les véhicules. Pasmanik et al. utilisent en plus d’un OPO une cellule à diffusion Raman stimulée afin de convertir la longueur d’onde comprise entre 1,85 et 2 µm à la sortie de l’OPO vers des longueurs d’onde de l’ordre de 10 µm [GAP97] . Un tel système peut remplacer, dans les applications de lidar à absorption différentielle, les lasers à CO2. L’avantage par rapport aux laser à CO2 est la possibilité d’utiliser une même cellule Raman en réception afin d’amplifier l’onde reçue. Prasad et al. proposent de remplacer un laser Nd:YAG dans un télémètre par un OPO. Un cristal unique, le Nd:MgO:LiNbO3, pompé par diode laser, délivre le rayonnement. En fait le laser de pompe (Nd) et le milieu non-linéaire sont fondus dans la même matrice, il suffit alors de pomper le cristal par une diode laser pour produire un rayonnement à 1,064 µm qui va à son tour interagir avec le milieu non-linéaire et délivrer le rayonnement à 1,54 µm. L’impulsion émise a une énergie de 12 mJ avec une largeur d’impulsion de 10 ns [NSP96]. 3.7 Détection directe avec une fibre optique amplificatrice L’insertion d’une fibre optique amplificatrice en réception est la solution optique la mieux adaptée pour un télémètre : la mise en œuvre est plus simple que pour un amplificateur solide. Afin de comparer les performances de l’amplification optique avec les performances des photodétecteurs décrits dans la Partie II (paragraphes 5.1 et 5.2), dans un premier temps nous écrirons les expressions des puissances du signal reçu et des différentes sources de bruit, nous en déduirons par la suite l’expression du rapport signal sur bruit dans le cas où une fibre optique est utilisée comme 120 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol amplificateur avant la détection par une photodiode PIN. Lors d’une application numérique nous évaluerons l’amélioration apportée par la fibre amplificatrice. 3.7.1 Signal reçu La puissance du signal électrique à la sortie du détecteur est donnée par : Ps = (η B ( B) ⋅ GAO Pr ℜ ) Rc 2 (3.8) GAO est le gain de l’amplificateur optique. La puissance optique du signal utile incident sur le détecteur est donnée dans la Partie II. 3.7.2 Sources de bruit La puissance moyenne de bruit thermique du détecteur est donnée et la puissance moyenne de bruit de l’amplificateur électronique sont donnés dans la Partie II. La puissance moyenne de bruit d’obscurité délivrée lorsque aucune énergie n’est incidente sur le détecteur est donnée par : Pobs = 2eI obs GAO BRc (3.9) De la même façon, la puissance moyenne de bruit quantique est donnée par : Pq = 2ePr ℜGAO BRc (3.10) La puissance moyenne de bruit parasite délivrée par le détecteur lorsque celui ci est illuminé uniquement par la lumière ambiante due à l’éclairement solaire est donnée par : Pp = 2ePps ℜGAO BRc (3.11) La puissance parasite Pps, est donnée par l’équation (3.14) : R Pps = aEo ⋅ Ta ⋅ Tr = ρ a ⋅ Ta ⋅ Tr Es d f 2 Le bruit additionnel ajouté par l’amplificateur optique consiste en trois composantes, il est exprimé par : PAO = Pes + Ps.es + Pes .es (3.12) Pes = 2eℜγ es Bo BRc (3.13) avec : Pes Représente le bruit quantique du à l’émission spontané produite par l’amplification optique. γ es = hν FAO GAO est la densité de puissance spectrale de l’émission spontanée amplifiée [JPE90], FAO est 121 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol la figure du bruit de l’amplificateur optique. La bande passante du filtre optique où ∆λ est la largeur à mi-hauteur du spectre de transmission du filtre optique autour de la longueur d’onde λ est donnée par : Bo = c∆λ λ2 (3.14) Ps.es = 2GAO ℜ2 ( Pr + Pps )γ es BRc (3.15) représente le signal de bruit de battements entre le signal optique, incident sur l’amplificateur, et l’émission spontanée. Pes.es = ℜ2γ es2 Bo BRc (3.16) représente le signal de bruit de battements entre l’émission spontanée et elle même. 3.7.3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit Le rapport signal sur bruit de la mesure est donné par : RSBAO = Pth + Pamp Ps + Pobs + Pq + Pp + PAO (ηB ( B) ⋅ GAO Pr ℜ ) 2 RSBAO ≈ (3.17) Rc 2 4kBT + 2ePr ℜGAO BRc + ℜ γ Bo BRc + 2GAO ℜ2 Pr γ es BRc + iamp BRc 2 2 es (3.18) Les termes correspondants au bruit d’obscurité, au bruit quantique de la lumière parasite, et la partie correspondant aux battements de la lumière parasite et de l’émission spontanée de l’amplificateur, sont négligeables devant les autres termes du dénominateur de (3.18). soit : RSBAO = α ⋅ Pr2 β ⋅ Pr + χ (3.19) avec : (ηB ( B ) ⋅ G AOℜ ) 2 α= B , β = 2GAO ℜ2γ es et χ = 4kT 2 + ℜ 2γ es2 Bo + iamp Rc (3.20) En résolvant l’équation (3.19) pour la puissance reçue Pr on obtient la puissance nécessaire arrivant sur le photodétecteur pour obtenir un rapport signal sur bruit donné : Pr,min = β ⋅ RSBPDA 2α 4αχ 1 + 1 + 2 β ⋅ RSBPDA 122 (3.21) Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol De la même façon que dans le paragraphe 5.1.3 de la Partie II, il est ainsi possible de déterminer la portée d’un télémètre temps de vol utilisant une fibre optique amplificatrice. 3.7.4 Comparaison des performances : application numérique Afin de comparer les performances des trois circuits de réception : photodiode PIN, photodiode à avalanche et fibre optique amplificatrice, nous allons choisir des détecteurs avec des caractéristiques équivalentes et calculer la portée dans chacun des trois cas en utilisant les formules précédemment introduites. Le seuil de détection sera choisi pour un rapport signal sur bruit égal à 36, soit un seuil en tension positionné à 6 fois l’écart type du bruit de telle façon que le taux de fausse alarme soit égal à 1 pour 109. La simulation se présente sous la forme de tableau, toutes les données relatives au calcul sont mentionnées, les calculs intermédiaires sont notés en gras, le résultat final de la portée est noté en bleu. L’utilisation de fibres optiques amplificatrices fonctionnants à une longueur d’onde de 1,55 µm est courante dans le domaine des télécommunications. Aussi, il est plus aisé de trouver dans le commerce des fibres à 1,55 µm [IRE] qu’à 1,064 µm (longueur d’onde d’émission des lasers Nd:YAG). C’est pourquoi, lors de cette application numérique, nous avons choisi de travailler avec de telles fibres et par conséquent avec une source laser à 1,55 µm, comme par exemple un microlaser Er:verre. Des fibres optiques amplificatrices à 1,064 µm donneraient bien entendu des résultats équivalents. La largeur de l’impulsion utilisée est de l’ordre de la nanoseconde, la puissance parasite due à l’éclairement solaire de la cible dépend de la distance, aussi afin de faciliter les calculs nous effectuerons ce calcul pour une cible à 100 m du télémètre : la puissance parasite sera surestimée. 3.7.4.1 Photodiode PIN Source Laser Longueur d'onde du laser Puissance crête du laser Divergence du faisceau laser Symbole λ Pé α Valeur 1,55 1 1 Unité µm kW mrad 25 0,9 0,5 20 0,18 km nm W/m².nm Données Télémétriques Distance de visibilité Albédo de la cible Transmission des optiques Largeur spectrale du filtre de réception Eclairement solaire ρ Te T r ∆λ Eλ Récepteur Sensibilité de détection Courant d'obscurité Bande passante du récepteur Diamètre du détecteur Aire de l'optique de réception (15 mm de rayon) Focale de la lentille de réception Iobs B Rd a f 0,9 1 200 100 700 100 A/W nA MHz µm mm² mm Amplificateur Electronique Résistance de contre réaction Rc 10000 Ω V ℜ 123 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol iamp ηΒ(B) 6 0,6 pA.Hz-1/2 - Coefficient d’atténuation Atmosphérique Coefficient de Mie βa 0,027 km-1 Puissance Parasite Solaire (calculée pour une cible à 100 m) Eclairement solaire autour de λ Luminance solaire autour de λ Eclairement sur l'optique de réception Es L Eo 3,6 1,03 Puissance Parasite Solaire Pps 8,1. 10-7 0,283 W/m² W/m² W e k T h 1,60.10-19 1,38.10-23 293 6,63.10-34 C J/K K J/s Pth/Rc 3,23.10-16 A2 Pamp/Rc 7,20.10-15 A2 Pobs/Rc Pq /( Rc .Pr ) 6,40.10-20 A2 5,76.10-11 A2/W Pp/Rc 1,63.10-20 A2 Ps /( Rc .Pr2 ) 0,2916 A2/W2 36 - 967,33 319 nW m Symbole Valeur Unité Longueur d'onde du laser λ 1,55 µm Puissance crête du laser Pé 1 kW Divergence du faisceau laser a 1 mrad Distance de visibilité V 25 km Albédo de la cible ρ 0,9 - Te T r 0,5 - Largeur spectrale du filtre de réception ∆λ 20 nm Eclairement solaire Eλ 0,18 W/m².nm ℜ 0,9 A/W Courant de bruit Coefficient d'atténuation Constantes Charge de l'électron Constante de Boltzmann Température Constante de Planck nW Puissance moyenne de bruit thermique amplificateur obscurité quantique/Pr parasite (calculée pour une cible à 100 m) Puissance du signal signal/Pr² Rapport signal sur bruit au seuil de détection RSBPIN Puissance optique minimale calculée Portée 3.7.4.2 Photodiode à avalanche Source Laser Données Télémétriques Transmission des optiques Récepteur Sensibilité de détection 124 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Courant d'obscurité Iobs 100 nA Gain de détection M 35 - FPDA 14,39 - Bande passante du récepteur B 200 MHz Diamètre du détecteur Rd 100 µm Aire de l'optique de réception (15 mm de rayon) a 700 mm² Focale de la lentille de réception f 100 mm Rc 10000 Ω iamp ηΒ(B) 6 pA.Hz-1/2 0,6 - βa 0,027 km-1 Eclairement solaire autour de λ Es 3,6 W/m² Luminance solaire autour de λ L 1,03 Facteur de bruit du gain Amplificateur Electronique Résistance de charge Courant de bruit Coefficient d'atténuation Coefficient d’atténuation Atmosphérique Coefficient de Mie Puissance Parasite Solaire (calculée pour une cible à 100 m) W/m² -7 Eclairement sur l'optique de réception Eo 8,1.10 W Puissance Parasite Solaire Pps 0,283 nW e 1,60.10-19 C k 1,38.10-23 J/K T 293 K h 6,63.10-34 J/s Pth/Rc 3,23.10-16 A2 Pamp/Rc 7,20.10-15 A2 Pobs/Rc Pq /( Rc .Pr ) 1,13.10-13 A2 1,01.10-6 A2/W Pp/Rc 2,87.10-16 A2 Ps /( Rc .Pr2 ) 357 A2/W2 36 - 172,71 746 nW m Valeur Unité 1,55 µm Constantes Charge de l'électron Constante de Boltzmann Température Constante de Planck Puissance moyenne de bruit thermique amplificateur obscurité quantique/Pr parasite (calculée pour une cible à 100 m) Puissance du signal signal/Pr² Rapport signal sur bruit au seuil de détection RSBPDA Puissance optique minimale calculée Portée 3.7.4.3 Fibre optique amplificatrice Source Laser Longueur d'onde du laser Symbole λ 125 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Puissance crête du laser Pé 1 kW Divergence du faisceau laser α 1 mrad Distance de visibilité V 25 km Albédo de la cible ρ 0,9 - Te T r 0,5 - Largeur spectrale du filtre de réception ∆λ 20 nm Eclairement solaire Eλ 0,18 W/m².nm Sensibilité de détection ℜ 0,9 A/W Courant d'obscurité Iobs 1 nA Gain de détection de l'amplification optique GAO 1000 - Facteur d’excès de bruit de l'amplification optique FAO 4,5 - Bande passante du récepteur B 200 MHz Diamètre du détecteur Rd 100 µm Aire de l'optique de réception (15 mm de rayon) a 700 mm² Focale de la lentille de réception f 100 mm Résistance de charge Rc 10000 Ω Courant de bruit iamp 6 pA.Hz-1/2 ηΒ(B) 0,6 - βa 0,027 km-1 (calculée pour une cible à 100 m) Eclairement solaire autour de λ Es 3,6 W/m² Luminance solaire autour de λ L 1,03 Données Télémétriques Transmission des optiques Récepteur Amplificateur Electronique Coefficient d'atténuation Coefficient d’atténuation Atmosphérique Coefficient de Mie Puissance Parasite Solaire Eclairement sur l'optique de réception Eo Puissance Parasite Solaire W/m² -7 W Pps 8,1.10 0,283 nW e k T h 1,60.10-19 1,38.10-23 293 6,63.10-34 C J/K K J/s Pth/Rc 3,23.10-16 A2 Pamp/Rc 7,20.10-15 A2 Pobs/Rc Pq /( Rc .Pr ) 2,88.10-13 A2 0,26.10-3 A2/W parasite (calculée pour une cible à 100 m) Pp/Rc 7,33.10-14 A2 AO es Pes/Rc 8,46.10-14 A2 Ps.es/(Pr.Rc) 0,19.10-3 A2/W AO s.es partie due à Pps (Pr=0) Ps.es/Rc 5,32.10-14 A2 AO es.es Pes.es/Rc 1,38.10-10 A2 Constantes Charge de l'électron Constante de Boltzmann Température Constante de Planck Puissance moyenne de bruit thermique amplificateur obscurité quantique/Pr AO s.es / Pr partie due à Pr (Pps=0) 126 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol Puissance du signal Ps /( Rc .Pr2 ) signal/Pr² 291600 A2/W2 36 - 161,40 772 nW m Rapport signal sur bruit au seuil de détection RSBAO Puissance optique minimale calculée Portée 3.7.4.4 Comparaison Nous avons calculé la portée de télémètres utilisant chacun un mode de détection différent. L’utilisation de photodiode à avalanche ou de fibre optique amplificatrice améliore la portée de façon significative par rapport à une photodiode PIN classique. Cependant, comme on peut le constater sur la figure 3-3, la fibre amplificatrice apporte peu de gain en portée par rapport à une photodiode à avalanche. 1000 Portée HmL 800 747 m 772 m 600 400 319 m 200 PIN PDA Détecteur AO Figure 3-3 : comparaison de la portée des différents modes de détection Le système de détection retenu pour notre prochain télémètre temps de vol sera donc une photodiode à avalanche : ses performances sont légèrement inférieures à celles d’une fibre, cependant la mise en œuvre est beaucoup plus simple. En effet, il est nécessaire de pomper la fibre optique en utilisant une diode laser et d’utiliser des optiques adaptées afin de coupler la totalité de la lumière provenant de la cible dans la fibre. La photodiode à avalanche requiert quant à elle uniquement une alimentation haute tension de l’ordre d’une soixantaine de volts. Le matériau utilisé pour des longueurs d’onde de 1,55 et 1,064 µm pour la photodiode est l’InGaAs. 4. CONCLUSION Nous avons étudié dans cette partie les différentes solutions s’offrant à nous pour l’amélioration des performances des télémètres temps de vol. L’amélioration apportée par l’amplification optique est 127 Partie III : Amélioration des performances des télémètres laser temps de vol faible et ne justifie pas sa mise en place dans le cas de nos télémètres. L’amélioration apportée par la conversion analogique numérique puis le traitement des signaux télémétriques a été mise en évidence. Après avoir étudié diverses méthodes de traitement numérique du signal, utilisées pour la plupart avec d’autres capteurs actifs comme le radar et le sonar, nous avons conservé et approfondi celles s’adaptant le mieux à la télémétrie laser temps de vol : régression linéaire et non-linéaire, filtrage adapté et cumulant d’ordre 4. Les améliorations apportées par ces méthodes concernent, pour les deux premières, la précision, et pour les deux dernières, la portée. Un écart-type sur la mesure de distance de l’ordre du millimètre est obtenu lors des simulations. Le rapport signal sur bruit est amélioré d’une dizaine de dB. Dans la prochaine partie nous évaluerons ces méthodes expérimentalement et nous préciserons la stratégie à adopter pour intégrer nos algorithmes dans un système télémétrique complet. 128
