Régime libre en électricité (Ex)

PCSI 2 Régime libre en électricité
2015 – 2016 1/12
REGIME LIBRE EN ELECTRICITE
I On considère le circuit ci-contre. A l'instant t = 0, on ferme K, le condensateur étant déchargé. Les
éléments R, L, C du circuit sont tels que R =
€
L
C
.
Déterminer les lois de variation avec le temps de l'intensité i' traversant L et de la réponse v = L
€
di'
dt
,
différence de potentiel aux bornes de L ou R.
Réponse : i' =
€
2E
3R
e-λt sin
€
3 λ t
( )
; v = E [cos
€
3 λ t
( )
-
€
1
3
sin
€
3 λ t
( )
] e-λt avec λ =
€
1
2RC
.
II On considère le circuit ci-contre. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K, le condensateur
de capacité C étant initialement déchargé.
Déterminer les intensités i et i' ainsi que la réponse du circuit v(t).
Réponse : i = I cos ωot; i' = I(1-cos ωot); v =
€
L
C
I sin ωot; ωo2 =
€
1
LC
.
III On se propose de mesurer la résistance R, très élevée, d'un conducteur ohmique, en exploitant le phénomène d'oscillations de
relaxation d'une lampe au néon.
Le montage
Le circuit comprend un générateur de tension continue de f.e.m. e (et de résistance
interne négligeable), le résistor de résistance R, une capacité C, un interrupteur K et
une lampe au néon L.
La lampe L
Cette lampe se comporte comme un résistor :
- de résistance RL constante lorsqu'elle est allumée (donc lorsqu'un courant la traverse);
- de résistance infinie lorsqu'elle ne brille pas.
La tension entre ses bornes est u = uAB = VA - VB.
- à partir de la valeur nulle, on fait croître u : la lampe L s'allume pour u ≥ U1 (U1 valeur constante);
- la lampe est allumée : en faisant décroître u, elle s'éteint pour u ≤ Uo (Uo valeur constante);
- ces valeurs sont telles que : Uo ≤ U1 ≤ e.
Les mesures
Le condensateur est déchargé. A t = 0, on ferme l'interrupteur.
Assez rapidement, la lampe se met à clignoter : soient υ la fréquence des éclairs et T l'intervalle entre deux éclairs successifs.
1) Etude théorique de u(t)
a) Avant le premier allumage
Déterminer u(t).
Déterminer, littéralement, la date t1 de premier allumage, en fonction des données de l'énoncé.
b) Entre le premier allumage et la première extinction
E
L
C
R
K
I
K
C
L
v(t)
i
i'
e
R
C
K
L
A
B
u

PCSI 2 Régime libre en électricité
2015 – 2016 2/12
Dans la suite du problème, et pour simplifier les calculs, on posera : λ =
€
1
1+R
RL
.
Déterminer u(t).
Déterminer la date t'1 de première extinction (on exprimera t'1 en fonction de R, C, e, Uo, U1 et λ).
c) Entre la première extinction et le second allumage
Déterminer u(t).
Déterminer la date t2 de second allumage (on exprimera t2 en fonction de R, C, e, Uo, U1 et λ).
2) Période des oscillations de relaxation
a) Déduire des calculs précédents la période T de ces oscillations (on exprimera T en fonction de R, C, e, Uo, U1 et λ).
b) Tracer, qualitativement, u(t) pour t ∈ [ 0, t1 + 2 T ].
3) Mesure de la résistance
a) Que devient l'expression de T si RL « R ?
b) Calculer la valeur de la résistance R (avec R » RL) à l'aide des données numériques suivantes :
υ = 40 min-1; C = 0,2 µF; Uo = 80 V; U1 = 100 V; e = 130 V.
4) Remplacement de la lampe par un dispositif équivalent
La lampe au néon a été choisie, dans ce problème, dans le seul but de simplifier la démarche...
Décrire un dispositif, plus "moderne", susceptible d'assurer les mêmes fonctions.
Réponse : u = e ( 1 - e-t/RC ); t1 = RC Ln
€
e
e−U1
; u = ( U1 - λ e ) et1-t/λRC + λe; t'1 = RC Ln [
€
e
e−U1
U1− λ e
U0− λ e
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
λ
];
u = ( Uo - e ) et'1-t/RC + e; t2 = RC Ln [
€
e e −U0
( )
e−U1
( )
2
U1− λ e
U0− λ e
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
λ
]; T = RC Ln [
€
e−U0
e−U1
U1− λ e
U0− λ e
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
λ
]
€
≈
RC Ln
€
e−U0
e−U1
; R = 14,68 MΩ.
IV On considère le circuit ci-contre composé de deux branches de même résistance
R comportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité
C. Elles sont alimentées par un générateur de tension continue de f.e.m. E et de
résistance interne négligeable.
1) Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t = 0 l'interrupteur K. On
désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche contenant la
self et dans la branche contenant le condensateur.
a) Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante.
b) Déterminer de même le régime transitoire i2(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante.
c) A quel instant aura-t-on i1 = i2 si les deux constantes de temps sont identiques ?
Application numérique : L = 1 H; C = 1 µF; R = 103 Ω.
2) On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur. K étant fermé, le régime permanent est établi. A un
instant que l'on choisira comme nouvelle origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.
a) Etablir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du condensateur d'une part, à l'intensité i du
courant d'autre part.
b) Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.
c) En déduire en fonction du temps les expressions, en régime transitoire, de la charge q(t) et de l'intensité i(t). On discutera des
différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration.
d) Application numérique : L = 1 H; C = 1 µF; R = 103 Ω; E = 10 V.
Déterminer complètement q(t) et i(t).
Réponse : i1 =
€
E
R
1−e−Rt L
( )
; i2 =
€
E
R
e−tRC
; t = 0,69 ms;
€
d2q
dt2
+
€
2R
L
€
dq
dt
+
€
1
LC
q = 0;
€
d2i
dt 2
+
€
2R
L
€
di
dt
+
€
1
LC
i = 0;
i1
i2
L
C
K
E
R
R

PCSI 2 Régime libre en électricité
2015 – 2016 3/12
q = A e-Rt/L cos (
€
1
LC −R2
L2
t + ϕ ) si R <
€
L
C
; q = ( A t + B ) e-Rt/L si R =
€
L
C
;
q = e-Rt/L ( A
e
R2
L2 - 1 LC
t
+ B
e
-R2
L2 - 1 LC
t
) si R >
€
L
C
; q = 10-5 e-1000t et i = - 10-2 e-1000t.
V Soit le montage suivant comportant une bobine d'auto-inductance L et de résistance interne R, en série avec un conducteur ohmique
de résistance Ro = 470 Ω.
Un ordinateur permet de mesurer simultanément les tensions UAB (voie 1) et
UBD (voie 2) à intervalles de temps réguliers (ici 100 µs). Ces mesures ne se
déclenchent que si UBD est supérieure à un seuil fixé ici à 0,5 V.
Le tableau ci-dessous donne les résultats des mesures obtenues après avoir
abaissé l'interrupteur. Sur un même graphique on a tracé UAB= f(t) et UBD=
g(t) en ayant pris t = 0 à la date de la première mesure.
1) Que peut-on dire de la somme UAB+UBD à chaque instant ?
2) La trentième mesure montre que l'on atteint pratiquement un régime stationnaire.
Préciser la signification de ce terme. En déduire la valeur de R.
3) En utilisant une des courbes et en justifiant les calculs, déterminer la valeur de l'intensité du courant i circulant dans le circuit, à
la date correspondant au point n°5.
4) Déterminer
€
di
dt
à la même date par une méthode que l'on explicitera.
5) En déduire la valeur de L.
n°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
UAB( en V)
3,66
3,38
3,11
2,88
2,67
2,47
2,3
2,15
2,02
1,88
1,77
1,68
UBD( en V)
0,73
1,02
1,28
1,51
1,72
1,91
2,08
2,23
2,37
2,5
2,61
2,7
n°
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
UAB( en V)
1,59
1,5
1,43
1,36
1,3
1,25
1,2
1,15
1,11
1,08
1,05
1,02
UBD( en V)
2,79
2,88
2,95
3,01
3,07
3,13
3,18
3,22
3,26
3,29
3,32
3,35
n°
25
26
27
28
29
30
UAB( en V)
0,99
0,97
0,95
0,93
0,91
0,9
UBD( en V)
3,38
3,4
3,42
3,44
3,46
3,47
R
E
K
L, R
A
B
D
o
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0500 1000 1500 2000 2500 3000
en microseconde
en V

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2015 – 2016 4/12
Réponse : R = 122 Ω; i = 3,66 mA; di/dt = 4,26 A/s; L = 0,5 H.
VI Alimentation d’une lampe flash
On envisage un moyen simplifié d’obtenir, à partir d’une source de tension constante E, sans autre apport d’énergie extérieure :
- une tension alternative sinusoïdale ;
- une tension constante E’ très supérieure à E (E’
€
≈
200 E).
Le problème est considéré dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).
Cet exercice porte sur l’étude d’un montage électrique capable d’alimenter le flash d’un appareil photographique, à l’aide d’une petite
pile du commerce, de force électromotrice (f.e.m.) continue E = 1,5 V.
A - Obtention d’un courant alternatif sinusoïdal
Une association série « L, C » constituée d’un condensateur de capacité C et
d’une bobine d’inductance L, est alimenté par une pile de f.e.m. E constante
(source indépendante de tension) et de résistance interne R (figure 1). A
l’instant initial t = 0, le condensateur de capacité C est déchargé (q(t=0) = 0)
et l’interrupteur K est actionné afin de fermer le circuit.
1) Donner, sans calcul, les valeurs, à l’instant initial, des tensions
uR(t=0) (aux bornes du résistor) et uC(t=0) (aux bornes du condensateur).
2) En déduire la valeur de uL(t=0).
3) Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension uL(t) aux bornes
de la bobine. Cette équation se met sous la forme :
(E)
€
d2uL
dt 2+aduL
dt +buL(t)=0
où a et b sont des constantes.
4) Exprimer les constantes a et b en fonction des données de l’énoncé.
5) Premier cas : la résistance est négligeable (absence du terme d’amortissement)
a) Résoudre l’équation (E), sachant que R = 0, et écrire l’expression de la fonction uL(t). Quelle est la nature de cette tension ?
b) Exprimer, en fonction des données de l’énoncé, la pulsation propre du circuit ωo.
c) Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonction uL(t).
6) Second cas : la résistance n’est plus négligeable, et les composants du circuit sont tels que la relation
€
R<2L
C
est vérifiée.
a) Résoudre l’équation (E) et écrire la nouvelle expression de la fonction uL(t).
b) Exprimer, en fonction des données de l’énoncé, la pseudo-pulsation Ω de la fonction uL(t).
c) Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonction uL(t).
7) Conclusion : pour quelle(s) valeur(s) de R la tension uL(t) sera-t-elle alternative sinusoïdale ?
B - Alimentation du flash
Solénoïde à faible nombre de spires, la bobine précédente est en réalité le « primaire » d’un transformateur, dont le « secondaire » est
assuré par un second solénoïde, à nombre de spires beaucoup plus important. Ces deux enroulements sont liés magnétiquement par un
noyau en fer doux. Ce dispositif permet de fournir, à partir de la tension alternative supposée sinusoïdale uL(t), de pulsation ω et
d’amplitude uLm aux bornes du primaire, une tension alternative sinusoïdale u’(t), de pulsation ω et d’amplitude U’
m = k ULm aux
bornes du secondaire, avec k > 1 (k
€
≈
200 dans le cadre d’un flash d’appareil photographique). La tension variable ainsi produite aux
bornes du « secondaire » est ensuite « redressée » afin d’obtenir aux bornes du dipôle AB une tension constante (figure 2).
L
E
i(t)
Tension
constante
K
C
q(t)
Pile
Figure 2
L
E
i(t)
uL(t)
K
C
uC(t)
uR(t)
Pile
Figure 1
q(t)
Transformateur
Dispositif
Redresseur
B
A
R
R

PCSI 2 Régime libre en électricité
2015 – 2016 5/12
Le dipôle AB, équivalent à un générateur de Thévenin, de f.e.m. E’
constante (avec E’ = 200 E) et de résistance R’, permet d’alimenter le
flash (figure 3). Lorsque l’interrupteur K’ est en position (1), le
dispositif assure la charge d’un condensateur de capacité C’. Dès que la
charge du condensateur a pratiquement atteint sa valeur maximale q’o,
le flash est prêt à fonctionner. A l’instant initial t = 0, la mise en place
de l’interrupteur K’ en position (2) permet la décharge du condensateur
dans le résistor symbolisant le flash de résistance Rf, ce qui provoque
l’émission d’un éclair lumineux.
1) Exprimer, en fonction de C’ et E’, la charge maximale q’o du
condensateur.
2) Soit i’(t) l’intensité du courant qui circule dans le résistor de résistance Rf (orientation donnée sur la figure 3). Déterminer, pour t
≥ 0, l’expression de la fonction i’(t).
3) Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonction i’(t).
4) Exprimer, en fonction de Rf et C’, l’ordre de grandeur Δt du temps nécessaire à la décharge du condensateur.
5) Application numérique : Rf = 10 Ω ; C’ = 10-4 F. Proposer une valeur numérique de Δt.
Réponse : uL(t=0) = 0 ; uC(t=0) = 0 ; uL(t=0) = E ;
€
a=R
L
;
€
b=1
LC
;
€
uL(t)=Ecos ω
ot−RC
Lsin
ω
ot
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
avec
€
ω
o=1
LC
;
€
uL(t)=Ee−Rt
2Lcos Ωt−R
2LΩsinΩt
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
avec
€
Ω=1
L
L
C−R2 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
; q’o = C’E’ ;
€
i' (t)=q'o
RfC'e−t/
τ
avec
€
τ =1
RfC'
.
VII Un circuit inductif constitué d’un résistor de résistance R monté en parallèle sur
une bobine d’inductance L et de résistance interne r est soumis à un échelon de courant
délivré par un générateur de courant idéal : I(t) = 0 pour t < 0 et I(t) = Io = constante
pour t ≥ 0.
1) Etablir l’équation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t) qui traverse
la bobine.
2) En déduire sa solution i(t) ; on précise que toutes les intensités dans le circuit
sont nulles pour t < 0.
3) En déduire les expressions de l’intensité i’(t) dans le résistor ainsi que de la
tension u(t) aux bornes de la dérivation.
4) Tracer l’allure des courbes i(t) et u(t).
Réponse :
€
di
dt +R+r L
i=R
L
Io
;
€
i(t)=RI o
r+R1−e−t/
τ
( )
avec
€
τ =L
r+R
;
€
i' (t)=Io
r+R
r+Re−t/
τ
( )
;
€
u(t)=RI o
r+R
r+Re−t/
τ
( )
.
VIII Caractéristiques d’un bobinage inductif.
1) Etude théorique
On envisage un circuit inductif représenté par la mise
en série d’une bobine idéale d’inductance L et d’un
résistor pur de résistance R.
L’ensemble est relié à un générateur de tension supposé
idéal, de fém E, par l’intermédiaire d’un interrupteur K.
K est ouvert à t < 0, et fermé à partir de l’instant t = 0.
1.1 Prévoir sans calcul différentiel la valeur initiale,
à l’instant t = 0, et la valeur finale de l’intensité i
traversant le circuit. Prévoir de même les valeurs
initiales et finales concernant la tension u(t) aux
bornes de la bobine idéale.
1.2 Etablir l’équation différentielle du circuit, puis
en déduire l’expression i(t) décrivant l’évolution du
courant électrique traversant la bobine. Donner
l’expression de la constante de temps τ du circuit en fonction de R et L. Tirer l’expression de u(t) à partir de celle de i(t).
E’
R’
Rf
Figure 3
C’
K’
(1)
uC'(t)
q'(t)
(2)
i’(t)
uRf(t)
A
B
i'
L, r
i
u
R
I(t)
E
i(t)
u(t)
L
R
K