énoncé

Spé y 2008-2009
Devoir n°6
CONVERSION DE PUISSANCE
UTILISATION DE L’ENERGIE EOLIENNE
Un aéromoteur entraîne une génératrice électrique destifigure 1
née à alimenter une installation électrique. Pour les aéromoteurs
de faible puissance dont la vitesse de rotation présente certaines
fluctuations, on adopte le choix d’une génératrice à courant
continu.
A - Étude de la génératrice
La génératrice est constituée d’un stator inducteur dont
l’excitation est indépendante, d’un rotor (induit) alimentant une
installation (figure 1).
N.B.Le schéma ne représente pas les noyaux ferromagnétiques existant dans l’inducteur et dans l’induit.
On désigne par :
ie, le courant d’excitation circulant dans le bobinage inducteur du stator ;
U, la tension aux bornes de l’induit ;
I, le courant circulant dans l’induit ;
W, vitesse angulaire de rotation du rotor ;
E0, la tension à vide aux bornes de l’induit.
Les caractéristiques de la machine en fonctionnement générateur sont regroupées sur la figure 2 :
figure 2
Ÿ Caractéristiques 1 : U(I) à W et ie fixés (Courbes 1)
Ÿ Caractéristiques 2 : E0(ie) à W fixé (Courbes 2)
Ÿ Caractéristiques 3 : ie(I) à W et U fixés (Courbes 3)
En outre, on rappelle que la force électromotrice à vide délivrée par l’induit s’écrit E0 = FW,
et si R désigne la résistance totale du bobinage induit, alors U = E0 – RI.
A.1) Quelles caractéristiques de la machine peut-on déterminer à partir de la courbe 1 ?
A.2) Quelle est l’expression du couple électromagnétique exercé sur l’arbre de la machine
dans la convention de signes indiquée.
A.3) Quelle est l’unité de F ?
A.4) Tracer l’allure des variations de F en fonction de ie.
A.5) Interpréter sans calcul mais de manière précise les parties de la courbe correspondant à
ie < iemax et i > iemax..
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Dans toute la suite, on se placera dans le cas où lorsque ie < iemax et on posera F = bie, b
étant une constante caractéristique de la machine que l’on ne cherchera pas à déterminer. Le générateur constitué par la génératrice à courant continu doit délivrer une tension U0, constante, destinée
à alimenter soit un ensemble d’accumulateurs au plomb, soit un onduleur de tension.
La tension U0 doit donc être stable. Afin d’assurer la stabilité de la tension U lors d’une
fluctuation de W, on agit sur le courant inducteur ie par l’intermédiaire d’un montage de commande.
Le bobinage du stator se présente sous la forme d’un dipôle RS, LS.
On insère entre la source
figure 3
d’alimentation et le bobinage, un
convertisseur à deux interrupteurs représenté en figure 3. La source de tension
idéale délivre une force électromotrice
continue de valeur e.
A.6) Quel est le nom de ce
convertisseur ?
A.7) Si T désigne la période de
fonctionnement et a le rapport cyclique
(0 £ a £ 1), K1 conduit pendant la durée
aT tandis que K2 est bloqué, et inversement pendant la durée (1 – a)T. Quelle
est la nature de ces deux interrupteurs ?
A.8-a) En considérant que le régime périodique est atteint et que ie reste
strictement positive, déterminer pour t dans les intervalles [0, aT] puis [aT, T] les expressions de
ie(t).
b) En déduire les valeurs minimale im, maximale iM de ie en fonction de e, RS, T, a et
t = LS/RS.
t
c) On suppose dans la suite que << 1 quel que soit t dans l’intervalle [0, T]. Mont
e
(1 - a )T
trer que dans ce cas, les expressions obtenues précédemment deviennent iM =
a 1+
et
RS
2t
e
(1 - a )T
im =
a 1.
RS
2t
FG
H
IJ
K
FG
H
IJ
K
d) En déduire la valeur moyenne iMOY de ie .
A.9) On définit le taux d’ondulation par le rapport (iM – im)/iMOY. Montrer que lorsque T/t
est suffisamment petit devant 1, ce rapport s’écrit (1 – a)T/t.
A.10) Déterminer le domaine des valeurs de T assurant une ondulation inférieure à 1% pour
un rapport cyclique de a = 0,5.
Application numérique : t = 5 ms. Justifier le choix de a = 0,5.
Dans toute la suite, cette condition sera réalisée, et de ce fait, l’intensité sera assimilée à sa
valeur moyenne.
B - Régulation de la tension de sortie de la génératrice
Lorsque le rotor tourne à la vitesse W0, le courant d’excitation, égal à ie0, est obtenu pour un
rapport cyclique a0 = 0,5. La tension délivrée par la génératrice est
alors ajustée à la valeur souhaitée
U0. Une fluctuation de vitesse modifie le fonctionnement précédent.
On note alors les grandeurs précéSpé y 2008-2009
figure 4 : Montage régulateur à vide (la génératrice ne débite aucun courant (I = 0)
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dentes W, ie, a et U. On réalise le montage de régulation dont l’ensemble des schémas bloc est décrit en figure 4. Le dispositif représenté par le bloc A, non détaillé ici, délivre le rapport cyclique
suivant la relation a = kDU/U0 + a0, k étant une constante de réglage sans dimension.
Le hacheur, permettant d’ajuster ie à partir de la commande a, correspond au bloc H. Le but
est d’asservir U à la grandeur de consigne U0.
B.1) Rappeler la relation entre a, e, RS et ie imposée par H ainsi que celle entre U, W et ie
imposée par la génératrice lors d’un fonctionnement à vide.
B.2) On suppose que k >> a. En posant DW = W0 – W, établir dans le cas où DU/U0 << 1 la
DU a 0 DW
relation
.
»
U0
k W0
B.3) Quelle valeur faut-il donner à k pour qu’une variation relative de 10% en W engendre
une erreur relative 0,1% de en U .
C - Alimentation d’une installation électrique
La génératrice fournit une tension U0 continue. L’installation électrique fonctionne avec une
tension sinusoïdale de fréquence f = 50 Hz et
de valeur efficace de 230 V. La conversion
se fait à l’aide d’un onduleur dont le schéma
de principe est décrit en figure 9.
Le circuit récepteur, représentant
l’installation, est de type inductif et sera modélisé dans ce qui suit par un dipôle de
charge (RC, LC) en série.
C.1) Déterminer en régime sinusoïdal
à la pulsation w, la fonction de transfert iC/uC
en fonction de RC, LC et w. Quelle est la nature du filtre obtenu ?
La commande des interrupteurs est
périodique, de période T = 2p/w.
La tension uC, obtenue aux bornes du
récepteur, est représentée sur la figure 6.
figure 5
L’angle d est lié à la commande des interrupteurs.
C.2) On pose q = wt. En adoptant une
origine des temps adéquate, calculer les coefficients an du développement en série de Fourier
de
la
tension
uC(q)
tels
que
:
uC (q) = å a n cos(nq) .
n
z
2 2p
uC (q) cos(nq)dq .
2p 0
Les coefficients seront exprimés en
figure 6
fonction de U0, n et d.
C.3) On souhaite que le courant dans la charge soit sinusoïdal de fréquence f = 1/T = 50 Hz.
Montrer en vous appuyant sur l’étude faite à la question C.2 qu’il suffit d’annuler l’harmonique de
rang trois pour y parvenir avec une très bonne approximation.
C.4) Déterminer la valeur de d pour lequel a3 est nul.
On donne a n =
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z
1 2p 2
uC (q)dq . Cal2p 0
culer cette valeur. Quelle erreur commet-on sur la valeur efficace si on utilise pour expression de uC
celle obtenue à partir de son fondamental ? Conclure.
C.6) Déterminer la valeur de U0 afin d’obtenir une valeur efficace de 220 V. On assimile
pour cette question la tension à son fondamental.
C.7) Calculer la puissance active consommée par l’installation lorsque celle-ci est composée
de dix lampes de 100 W et d’un moteur dont le facteur de puissance est égal à cos(jm) = 0,8 et
consommant une puissance nominale de Pm = 3 kW , le tout branché en parallèle. Déterminer les
valeurs RC et LC de l’impédance équivalente de la charge.
D - Étude d’un alternateur synchrone
Pour les aéromoteurs de plus forte puissance, on adopte plutôt le choix d’une génératrice à
courant alternatif.
L’aéromoteur entraîne le rotor d’un alternateur à la vitesse angulaire W = 750 tours par minute (f 12,5 Hz). Ce rotor est assimilé à une bobine
alimentée par un courant continu I créant un champ
magnétique tournant bipolaire (deux pôles magnétiques). Le stator est constitué de trois enroulements
identiques E1, E2 et E3 décalés l’un par rapport à
r
2p
l’autre de
. On note ei (i = 1, 2, 3) le vecteur uni3
taire de l’axe
porté par la bobine n°i. On admet que le
r
flux de B à travers chacune des trois bobines est sinusoïdal : Fi(t) = F0cos(Wt – qi), avec q1 = 0..
r
r
Le champ B est donc dirigé selon e1, porté
par l’axe Ox à l’instant initial t = 0. La convention
d’orientation des bobines du stator est définie par les
r
vecteurs ei correspondant à F0 positif.
figure 7 – Stator de l’alternateur ; la phase à t = 0
D.1) Déterminer les forces électromotrices
du flux traversant la bobine i est qi = 2p(i – 1)/3
e1(t), e2(t) et e3(t) dans les trois enroulements. Exprimer leur valeur efficace commune E en fonction de
F0.
D.2) À quelle vitesse angulaire W le rotor devrait-il tourner pour que l’on puisse coupler directement cet alternateur au réseau EDF ?
D.3) Les trois enroulements ont une borne commune N, appelée neutre (figure 5). Les trois
autres bornes, appelées phases, sont
reliées par des fils identiques de résistance RF à une charge formée de trois
impédances identiques ZC montées en
étoile. L’impédance équivalente à
l’association série (RF, ZC) est notée
Z = ZC + RF = Z0exo(jj). Le neutre est
relié au centre O de l’étoile par un fil de
résistance RR. On suppose d’abord que
RR est négligeable. Exprimer en notation complexe les intensités i1, i2 et i3 figure 5 – Symboles et conventions pour enroulement et charge triphasés
dans chacune des impédances. En déduire l’expression du courant iN(t) dans le fil ON. Quel est l’avantage de ce montage par rapport à
un montage où les impédances seraient reliées indépendamment à chaque enroulement (sans neutre) ?
C.5) On définit la valeur efficace de uC suivant l’expression U EFF =
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D.4) On ne néglige plus la résistance RR. Exprimer les relations liant chacune des intensités
i1, i2 et i3 à Z et à RF. En déduire la nouvelle expression de iN(t). Commenter le résultat et exprimer
les courants i1(t), i2(t) et i3(t) dans chacune des phases.
D.5) Exprimer la puissance électrique moyenne PEL fournie par l’alternateur, en fonction de
E, Z0 et j. La turbine fournit une puissance de 3,5´106 W, le rendement de l’alternateur est égal à
r = 0,95, E = 5000 V et Z0 = 18 W ; calculer le cos(j).
r
r
D.6) Chaque bobine i induit au niveau du rotor le champ magnétique uniforme B i = aii(t) ei,
r
où a est une constante positive. Montrer que la composante selon eX du champ magnétique résulr
r
3 E 2
tant B IND s’écrit BIND,X (t ) = a
sin Wt - j . On admettra que la composante selon eY s’écrit
2
Z2
3 E 2
BIND,Y (t ) = - a
cos Wt - j
2
Z2
b
b
g
g
Quelles sont les caractéristiques de ce champ magnétique (axe, sens et vitesse
angulaire de
r
la rotation) ? Exprimer en particulier l’angle qu’il fait avec le champ magnétique B du rotor.
r
r
D.7) La bobine du rotor peut être représentée par son moment magnétique M = M e. Précir
ser la direction de ce moment magnétique. Exprimer le couple GROT exercé par le champ magnétique induit sur la bobine. Exprimer la puissance PROT reçue par le rotor. En considérant un bilan de
E2
puissance, retrouver que la puissance électrique est proportionnelle à
cos(j) .
Z0
Rappel :
FG a + b IJ cosFG a - b IJ
H 2K H 2K
F a + b IJ cosFG a - b IJ
sin( a ) + sin(b) = 2 sinG
H 2K H 2K
cos(a ) + cos(b) = 2 cos
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FG a + b IJ sinFG a - b IJ
H 2K H 2K
F a - b IJ cosFG a + b IJ
sin(a ) - sin(b) = 2 sinG
H 2K H 2K
cos(a ) - cos(b) = -2 sin
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