INFO-F-203 Algorithmique II: Ch

INFO-F-203 Algorithmique II: Ch-4
Cycles et connexit´e
Nikita Veshchikov
Exercice 1
Figure 1 – Digraphe.
Figure 2 – Graphe.
1. Pour le graphe de la Figure 1. Donner tous les paires de sommets s1et s2telles que s2est atteignable
depuis s1.
2. Pour le graphe de la Figure 1. Donner tous les paires de sommets s1et s2telles que s2et s1sont
fortement connexes.
3. Est-ce que le graphe de la Figure 1 est fortement connexe ? Sinon, comment peut-on le rendre fortement
connexe en ajoutant un minimum d’arcs ?
4. Donner tous les composantes fortement connexes du graphe de la Figure 1.
5. Ex´ecuter l’algorithme de recherche des composantes connexes sur le graphe de la Figure 2. Quel type
de parcours est utilis´e (profondeur/largeur) ?
6. Un arc aest consid´er´e comme inutile `a partir d’un sommet ssi la suppression de ane modifie pas
la relation d’accessibilit´e `a partir de s. C’est-`a-dire que la suppression de ane rend aucun sommet
inaccessible `a partir de s(an’est pas indispensable pour acc´eder aux autres sommets `a partir de s).
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On vous demande un algorithme qui, recevant un sommet sd’un graphe, supprime tous les arcs de ce
graphe qui sont inutiles par rapport `a s.
Exercice 2
Figure 3 – Graphe. Ponts et points d’articulation.
1. Donner tous les ponts du graphe de la Figure 3.
2. Donner tous les points d’articulation du graphe de la Figure 3.
3. Donner tous les composantes biconnexes du graphe de la Figure 3.
4. Dessiner un graphe `a 6 sommets qui est 3-connexe, mais pas 4-connexe.
5. Ex´ecuter l’algorithme de d´etection des points d’articulation sur le graphe de la Figure 3.
Exercice 3
Figure 4 – Graphe. Arˆetes et sommets de retour. Cycles.
1. Donner l’ensemble d’arˆetes de retour du graphe de la Figure 4.
2. Donner l’ensemble des sommets de retour du graphe de la Figure 4.
3. Ex´ecuter l’algorithme de recherche de cycles sur le graphe de la Figure 1.
4. Ex´ecuter l’algorithme de Tarjan de recherche des composantes fortement connexes sur le graph de la
Figure 1.
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5. On vous demande un algorithme pour d´eterminer si un graphe dirig´e donn´e poss`ede au moins un
cycle de longueur impaire (form´e d’un nombre impair d’arcs). Indice : quel est le rapport entre les
composantes fortement connexes et les cycles ?
Remarque : le probl`eme de savoir de mani`ere efficace si un graphe contient un cycle de longueur paire
est toujours ouvert.
Exercice 4 *
1. Un circuit eul´erien dans un graphe est un circuit passant une et une seule fois par chacun des arcs du
graphe. On vous demande :
– D’exprimer de mani`ere formelle ce qu’est un circuit eul´erien.
– De donner une condition n´ecessaire sur les nœuds d’un graphe pour que celui-ci poss`ede un circuit
eul´erien.
– De donner un algorithme qui calcule un circuit eul´erien dans un graphe donn´e.
2. Le circuit hamiltonien est en quelque sorte le dual du circuit eul´erien : c’est un circuit qui traverse
une et une seule fois chaque sommet du graphe. Dans un graphe pond´er´e, on peut rechercher le ou
les circuit(s) hamiltonien(s) maximum(s), c’est-`a-dire celui ou ceux ayant la plus grande longueur.
Exprimez de mani`ere formelle ce qu’est un circuit hamiltonien maximum, et donnez l’algorithme pour
en calculer un dans un graphe donn´e.
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