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17/09/2008
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© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique D 4 435 − 1
D 4 435 9 - 1996
Lignes aériennes.
Paramètres électriques
par Thierry DEBU
Ingénieur au service études du Centre d’équipement du réseau de transport (CERT)
d’Électricité de France
e calcul des paramètres électriques des lignes aériennes s’effectue à l’aide
des caractéristiques des ouvrages de transport d’énergie électrique. Pour
traiter ce sujet, l’organisation proposée correspond à une logique chronologique.
Après avoir donné des généralités sur les matrices impédances, on abordera le
traitement de ces matrices. Le calcul des paramètres élémentaires des matrices
pourra alors être effectué en détail, à partir des caractéristiques géométriques
et mécaniques influant sur le dimensionnement des ouvrages.
1. Généralités................................................................................................. D 4 435 - 2
2. Réduction des matrices et [λ] aux seuls conducteurs
de phase...................................................................................................... — 2
3. Symétrisation de la ligne. Paramètres cycliques ........................... — 3
4. Calcul des termes de la matrice impédance .................................... — 3
4.1 Méthode ....................................................................................................... — 3
4.2 Impédances propre et mutuelle ................................................................. — 4
4.2.1 Impédance propre ....................................................................... — 4
4.2.2 Impédance mutuelle ................................................................... — 4
5. Calcul des termes de la matrice admittance ................................... — 4
5.1 Coefficients de potentiel ............................................................................. — 4
5.2 Charges superficielles des conducteurs .................................................... — 5
5.3 Champ électrique superficiel des conducteurs......................................... — 5
6. Données usuelles retenues pour les lignes aériennes................... — 5
6.1 Caractéristiques géométriques et mécaniques......................................... — 5
6.2 Paramètres électriques................................................................................ — 5
7. Annexe 1 : faisceau de conducteurs .................................................. — 9
8. Annexe 2 : résistance d’un conducteur de ligne ............................ — 10
Références bibliographiques ......................................................................... — 10
Z[]
Zii
Zij
L

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D 4 435 − 2© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
1. Généralités
Les lois de la propagation des tensions v et des courants i sont
dérivées des équations dites des télégraphistes.
Les équations aux dérivées partielles définissant le régime (v, i)
de la ligne en fonction de ses constantes linéiques sont :
avec ccapacité linéique,
gconductance linéique,
inductance linéique,
rrésistance linéique.
Lorsque la ligne est multifilaire, ces équations prennent la forme
matricielle et, en passant au régime sinusoïdal, on peut écrire :
(1)
(2)
où et sont les matrices unicolonnes des courants
et des tensions,
et les dérivées par rapport à x des matrices
des tensions et des courants,
xla direction de la propagation,
= [R] + j
ω [L] la matrice impédance longitudinale,
= [G] + j ω [C] la matrice admittance transversale,
[R], [L] et [C] les matrices résistance, inductance et capa-
cité.
La ligne multifilaire étant constituée de n conducteurs, les matrices
et sont des matrices carrées d’ordre n.
Un conducteur peut être :
— le câble constituant une phase (indice c) ;
— l’ensemble d’un faisceau de câbles (indice c), si la ligne est
constituée de conducteurs en faisceaux (Annexe 1, § 7) ,
— un câble de garde (indice g).
En pratique, dans le cas des lignes aériennes, la matrice admit-
tance transversale se réduit à :
(3)
Le terme G, en effet, dû aux courants superficiels le long des
chaînes d’isolateurs et à l’effet couronne des conducteurs est, par
temps sec, inférieur à 0,005 C ω ; ce n’est que sous très forte pluie,
lorsque les courants superficiels et les pertes par effet couronne sont
les plus élevés, que G peut atteindre 0,1 C ω . Ces conditions étant
particulièrement rares, il est donc généralement admis de négliger
la conductance transversale G des lignes.
Pour calculer les charges linéiques portées par les conducteurs
d’une ligne multifilaire, on utilise l’équation matricielle :
Les éléments de la matrice [C] sont obtenus par inversion de la
matrice des coefficients de potentiel [λ] déterminée à partir de la géo-
métrie de la ligne considérée :
On décrit ci-après les méthodes de calcul des matrices impédances
longitudinales et des coefficients de potentiel [λ] pour une ligne
à n conducteurs. Puis, on indique comment tenir compte de l’effet,
en général assez faible, des câbles de garde et comment passer des
matrices complètes aux impédances et admittances directes
, inverses et homopolaires uti-
lisées en pratique dans les calculs de fonctionnement triphasé à fré-
quence industrielle des réseaux.
2. Réduction des matrices
et [ ] aux seuls
conducteurs de phase
La mise en place de câbles de garde a pour effet de modifier légè-
rement les paramètres d’une ligne électrique :
— les capacités des conducteurs de phase sont légèrement
augmentées (moins de 3 %) ;
— corrélativement, les inductances sont réduites sous l’influence
de courants induits dans les câbles de garde par les courants de
phase.
Par ailleurs, les pertes Joule dissipées par ces courants induits
se traduisent par une augmentation apparente de la résistance des
conducteurs de phase.
Dans la plupart des cas, on peut négliger les câbles de garde et
se contenter d’écrire les matrices dont l’ordre correspond au nombre
de conducteurs de phase.
La décomposition des matrices et [λ] en blocs de façon à isoler
les câbles de garde (indice g ; référence 4 et 5) des conducteurs de
phase (indice c ; référence 1, 2 et 3), et l’hypothèse que le potentiel
est nul sur toute la longueur des câbles de garde (mise à la terre
par chacun des pylônes) permettent de simplifier les relations matri-
cielles.
et
d’où nous tirons :
δv
δx
------- ri δi
δt
------
+=
δi
δx
------- gv c δv
δt
-------
+=
δV
δx
---------Z[]I[]=
δI
δx
-------Y[]V[]=
V[] I[]
δV
δx
---------
δI
δx
-------
Z[]
Y[]
Z[] Y[]
Y[] j ω C[]=
QjCij Vi
i1=
in=
∑
=
Q[] C[]V[]=
Lorsqu’un calcul précis est nécessaire, il faut écrire les
matrices complètes (fonction du nombre de conducteurs de
phase et de câbles de garde), puis les réduire selon le procédé
indiqué ci-après, l’influence des câbles de garde apparaissant
alors implicitement dans les nouvelles matrices réduites
obtenues.
Y[] j ω C[] j ω λ[]
1–
==
Z[]
Zd, j
ω C d Zi, j ω C i Z0, j ω C 0
Z[]
Z[]
δVc
δx
------------
δVg
δx
-------------
Zcc Zcg
Zgc Zgg
Ic
Ig
=
Vc
Vg
λcc λcg
λgc λgg
Qc
Qg
=
δVc
δx
------------ Z′[]Ic
[]=
Vc [] λ′[]Qc []=

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D 4 435
−
3
et [ λ ’] sont respectivement les matrices réduites des impé-
dances et des coefficients de potentiel ; elles s’écrivent :
(4)
[ λ ’] = [ λ
cc
] – [ λ
cg
][ λ
gg
]
–1
[ λ
gc
] (5)
avec
avec impédance propre du conducteur,
impédance mutuelle entre conducteurs.
3. Symétrisation de la ligne.
Paramètres cycliques
Dans ce paragraphe, seules sont considérées les matrices simples
et réduites, dont l’ordre correspond aux conducteurs de phase. Les
coefficients sont regroupés par terne et, dans le but de simplifier
l’écriture, l’étude ne traite que du cas d’une ligne à simple terne ,
la généralisation ne soulevant pas de difficultés.
Dans ces conditions, la matrice impédance (4) s’écrit :
Il est commode d’employer une représentation symétrique de la
ligne, pour l’évaluation des paramètres électriques, la théorie des
modes symétriques (décomposition en trois circuits monophasés
indépendants) pouvant alors s’appliquer.
Il suffit de donner aux trois phases les mêmes impédances
propre et mutuelle calculées en faisant la moyenne géomé-
trique des valeurs qu’elles prennent pour chacune des phases :
Les impédances de modes s’en déduisent :
— en mode direct (ou inverse ) ; la condition
entraîne pour chaque phase :
— en mode homopolaire ; la condition entraîne
pour chaque phase :
La même méthode permet de définir les capacités cycliques :
Les capacités de modes s’en déduisent :
— en mode direct (ou inverse) : la condition
entraîne pour chaque phase :
Cd = Cp – Cm
— en mode homopolaire : la condition entraîne
pour chaque phase :
C0 = Cp + 2Cm
L’impédance caractéristique du terne en mode direct est alors :
avec Ld partie imaginaire de .
L’impédance mutuelle entre ternes voisins d’une ligne double :
c’est la moyenne arithmétique des 9 impédances mutuelles entre
conducteurs (indice c) des deux ternes :
Nota : pour une ligne double terne, les indices 1,2, 3, 4, 5 et 6 sont réservés aux câbles
de phase et les indices 7 et 8 sont usuellement utilisés pour les câbles de garde.
4. Calcul des termes
de la matrice impédance
4.1 Méthode
La méthode de calcul des termes Zij proposée ici a été mise au
point à Électricité de France (EDF). Elle est beaucoup plus générale
que les méthodes habituellement employées, mais fait appel, pour
le calcul de chacun des ternes, à la notion de courants de retour par
le sol. Dans les méthodes usuelles, cette notion n’était nécessaire
que pour le calcul des constantes homopolaires. Autrement dit, cette
méthode tient compte de l’influence du sol même dans le cas des
modes direct et inverse (cf., dans ce traité, article Effet couronne sur
les réseaux électriques aériens [3].
Les théories de Carson et Pollaczeck [1] [2] ont permis d’étudier
d’une manière très complète l’effet de la répartition des courants
dans le sol ; ces auteurs ont proposé des formules approchées satis-
faisantes en supposant que ces courants étaient concentrés sur des
surfaces fictives particulières.
Dans la méthode EDF, on considère un plan fictif, parallèle à la
surface du sol et placé à la profondeur de pénétration :
(6)
avec
µ
0 (H/m) perméabilité du vide,
σ (S/m) conductivité du sol.
On peut utiliser, pour le calcul des inductances propre et mutuelle
Lii et Lij , la théorie classique des images électriques.
■Si l’on introduit dans les formules le module de , les flux
magnétiques calculés, et par conséquent les inductances, sont réels.
■Mais si l’on introduit la valeur complexe de , les flux et les
inductances prennent eux-mêmes une valeur complexe :
— la partie réelle représente alors les inductances proprement
dites ;
Z′[]
Z′[] Zcc []Zcg []Zgg []
1–Zgc
[]–=
Zcc []
Z11 Z12 Z13
Z21 Z22 Z23
Z31 Z32 Z33
=
Zcg []
Z14 Z15
Z24 Z25
Z34 Z35
=
Zgg []Z44 Z45
Z54 Z55
=
Zgc []Z41 Z42 Z43
Z51 Z52 Z53
=
Zii
Zij
Z′[]
Z11 Z12 Z13
Z21 Z22 Z23
Z31 Z32 Z33
=
Zp
Zm
ZpZ11 Z22 Z33
3
=
ZmZ12 Z23 Z31
3
=
I1I2I3 ++ 0=
ZdZpZm –=
I1I2I3 ==
Z0Zp2Zm +=
CpC11C22C33
3
=
CmC12C23C31
3
=
V1V2V3 ++ 0=
V1V2V3 ==
ZC
Ld
Cd
-------
=
Zd
ω ⁄
Ze
Z14 Z15 Z16 Z24 Z25 Z26 Z34 Z35 Z36 ++++++++
9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=
δ
1
j
µ
0
σω
-----------------------=
δ
δ

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— la partie imaginaire, multipliée par j ω , fournit la résistance appa-
rente du sol, qui permet de déterminer les pertes supplémentaires
dues à l’effet du sol.
4.2 Impédances propre et mutuelle
4.2.1 Impédance propre
■De façon générale on a :
(7)
avec inductance propre du conducteur par rapport au sol,
inductance interne du conducteur,
Rii résistance interne du conducteur à la fréquence
considérée.
On calcule et par :
avec nnombre de conducteurs élémentaires (cf. Annexe 1, § 7)
pour les conducteurs en faisceau),
hihauteur moyenne du conducteur par rapport au sol :
Hétant la hauteur d’ancrage et F la flèche,
profondeur de pénétration [relation (6)],
rayon du conducteur ou rayon équivalent pour les
conducteurs en faisceau (cf. Annexe 1, § 7).
On obtient la relation générale de l’impédance propre :
■Pour les très basses fréquences (fréquence industrielle et ses pre-
miers harmoniques), est très grand devant hi. Par exemple,
pour f = 50 Hz et
σ = 0,01 S/m, . On peut se contenter
d’utiliser , ce qui revient à négliger les pertes, alors très faibles,
dans le sol et permet d’obtenir la formule simplifiée :
(8)
4.2.2 Impédance mutuelle
■De façon générale, on a :
(9)
est l’inductance mutuelle de deux conducteurs en présence du
sol ; la relation s’écrit :
avec dij distance horizontale de ces deux conducteurs (dis-
tance qui sépare leurs projections sur le sol),
hi, hjhauteur moyenne des conducteurs au-dessus du sol.
L’impédance mutuelle s’écrit alors :
avec A,
B
■Pour les très basses fréquences, on utilise la formule simplifiée :
5. Calcul des termes
de la matrice admittance
Dans le cas des lignes aériennes, nous avons vu (§ 1) que, en
pratique, la matrice admittance transversale se réduit à :
Pour calculer les éléments de la matrice des capacités [C], on
pratique l’inversion de la matrice des coefficients de potentiel [λ]
déterminée à partir de la géométrie de la ligne considérée :
[C] = [λ]–1
5.1 Coefficients de potentiel
Les charges au sol étant toujours supposées concentrées à sa
surface, on calcule les coefficients de potentiel λii et λij par la théorie
des images électriques.
On a :
hi, hj, dij et ayant les mêmes définitions que dans le paragraphe
précédent,
ε
0 = (1/36π · 109) F · m–1 étant la permittivité du vide.
Cette méthode a été remarquablement confirmée par l’expé-
rience, dans une très large gamme de fréquence :
50 Hz < f < 1 MHz
Zii
Zii Rii j ω ii Lii +()+=
Lii
ii
ii Lii
ii
µ
0
8πn
------------
≈
Lii
µ
0
2π
--------2hi
δ +()
i
--------------------------
ln=
hiH2
3
-----F–=
δ
i
Zii Rii ωµ
0
2π
--------arctan 
δ
2hi δ +
----------------------------
+=
j ωµ
0
2π
--------2hi
22hi
δδ
212⁄
++
i
---------------------------------------------------------------------- 1
4n
--------
+ln+
δ
δ
500 m =
δ
Zii Rii j ωµ
0
2π
--------ln 2
δ
i
------------ 
+=
Zij
Zij j ω Lij =
Lij
Lij
µ
0
4π
--------hihj2
δ ++()
2dij
2
+
hjhi
–()
2dij
2
+
------------------------------------------------------
ln=
Zij ωµ
0
4π
--------arctan B
A
-----jA2B2
+
hjhi
–()
2dij
2
+
---------------------------------------
ln+=
hihj +()hihj22
δ
++()dij
2
+=
2
δ
2hihj +()2
δ
+()=
Zij j ωµ
0
2π
--------
ln 2
δ
hjhi –()
2dij
2
+
--------------------------------------------
=
Y[] j ω C[]=
λii 1
2πε0
------------- 2hi
i
---------
ln=
λij 1
2πε0
------------- hihj
+()
2dij
2
+
hihj
–()
2dij
2
+
-------------------------------------------
ln=
i

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5
5.2 Charges superficielles
des conducteurs
Pour calculer les charges portées par les conducteurs d’une ligne
multifilaire, on utilise l’équation matricielle suivante :
[ C ’] étant la matrice réduite des capacités et , comme on l’a
déjà vu (§ 1), la matrice unicolonne des potentiels des conducteurs.
■ Pour une ligne à simple terne , le régime triphasé équilibré
donne :
et
Nous obtenons donc pour la première phase :
dont le module est :
et sont obtenus de façon analogue.
■ S’il s’agit de ligne à plusieurs ternes , et si les dispositions rela-
tives des différentes phases sont inconnues a priori , on calculera les
gradients dans les cas les plus défavorables pour chaque phase.
5.3 Champ électrique superficiel
des conducteurs
Connaissant les charges linéiques Q des conducteurs, on en
déduit facilement les gradients superficiels de tension par applica-
tion du théorème de Gauss.
■ Dans le cas d’ un conducteur de rayon , le champ électrique
est :
■ Dans le cas d’un faisceau de n conducteurs , le champ
électrique moyen est :
avec rayon équivalent du faisceau (Annexe 1, § 7)
et [3],
Q charge linéique totale portée par le faisceau.
L’interaction des différents conducteurs se traduit en fait par une
non-uniformité du champ (il est plus grand à l’extérieur du faisceau
qu’à l’intérieur).
Le champ maximal est alors donné par la formule :
6. Données usuelles
retenues pour les lignes
aériennes
6.1 Caractéristiques géométriques
et mécaniques
Le calcul des paramètres électriques des lignes aériennes
s’effectue à l’aide des caractéristiques géométriques et mécaniques
des ouvrages de transport d’énergie électrique (niveau de tension,
silhouette des pylônes, nature des conducteurs, distance d’isole-
ment, distance entre conducteurs, hauteur moyenne des
conducteurs au-dessus du sol...).
La figure 1
et les tableaux 1 et 2 donnent les caractéristiques
influant sur le dimensionnement des ouvrages et pour lesquels les
paramètres électriques sont calculés. On pourra également se
reporter aux articles Lignes aériennes [4] [5].
6.2 Paramètres électriques
Ils sont donnés dans les tableaux 3 , 4 , 5 , 7 et 6 .
■ Dans le tableau 3 , on trouve les tenues en tension des chaînes
d’isolateurs et les distances à la masse :
— la tension de tenue Ueff est donnée en valeur efficace, à la
fréquence industrielle (50 Hz) ;
— la tension de tenue en onde de choc Uchoc est souvent donnée
par une formule empirique valable pour une évaluation rapide :
Uchoc = d(m)/2, 1
— la tension de tenue critique est donnée par :
UT = U50 % – 2
σ
avec U50 % tension pour laquelle la probabilité d’amorçage est
de 50 %,
UTtension de tenue, avec une probabilité d’amorçage
de 2 %,
σ écart-type appelé aussi dispersion.
— la tension de tenue à la fréquence industrielle UT [avant-
dernière colonne] est :
avec
σ = 3 %Umoy
UT = Umoy – 4 σ
— la surtension de manœuvre sous pluie UT [dernière colonne]
est :
avec
σ = 5 %U50 %
UT = U50 % – 4 σ
K1 et K2 sont les facteurs d’intervalle c’est-à-dire les coefficients
liés à la géométrie des intervalles d’air.
■Les valeurs de champs électrique et magnétique (tableau 4)
sont données :
— à 2 m au-dessus du sol ;
— pour les indices horaires des conducteurs occasionnant des
valeurs de champ maximales sur les supports le plus fréquemment
employés.
Le courant de transit par phase, donné dans ce tableau, est
0,6 IMAP (Intensité Maximale Admissible en régime Permanent)
des conducteurs.
(0)
QjC′
ij Vi
i1=
in=
∑
=
Q[] C′[]V[]=
V[]
V[] Vj ω t ϕ +()
j0()exp
 j2π
3
--------
+exp
j
4π
3
--------
+exp
exp=
C′[]
C11 C12 C13
C21 C22 C23
C31 C32 C33
=
Q1Vj ω t ϕ +()C11 C12  j2π
3
--------C13 
j
4π
3
--------
+exp++exp+exp=
Q1VC11
C12 C13 +
2
-------------------------–j3
2
-------- C12 C13
–()+=
Q2Q3
EQ
2π
ε
0
---------------------=
E1
n
----- Q
2π
ε
0e
------------------------
=
e
Emax Emoy 1n1–()
e
--------
+=
Umoy K13
400
18 d
⁄
+
---------------------
= et
K
1 1,
3 =
U50
%
K 2 3
400
18 d
⁄
+
---------------------
= et
K
2 1,
2 =