Énoncés des travaux dirigés - Laboratoire Matière et Systèmes

1
ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE
UNIVERSITÉS PARIS 6, 7 ET 11
FORMATION INTERUNIVERSITAIRE DE PHYSIQUE - L3
PHYSIQUE STATISTIQUE DES SYSTÈMES À L’ÉQUILIBRE (L1)
TRAVAUX DIRIGÉS
2012 - 2013

2
Informations pratiques
Jean-Noël Aqua : [email protected]
Gwendal Fève : gwendal.fev[email protected]
Christophe Mora : [email protected]
Frédéric van Wijland : [e-mail]
Documents relatifs aux cours et aux TD :
http://www.msc.univ-paris-diderot.fr/~vanwijland/L3-FIP.html
Textes compilés ou rédigés par J.-N. Aqua, G. Fève, C. Mora, N. Pottier, D. Simon et F. van Wijland.
Ce recueil contient bien plus d’exercices qu’il n’est possible d’en traiter, en séances de travaux dirigés,
dans l’horaire imparti. Les exercices ont été divisés en trois groupes. Il y a ceux qui feront l’objet d’un
traitement en séance normale ([N]), ceux qui seront abordés lors des séances de soutien ([S]), et les
exercices sans signalement particulier sont laissés à la curiosité des étudiants. Parmi ces derniers,
on a signalé les plus « stimulants »par la lettre [D]. Les exercices proposés lors d’un contrôle des
connaissances ont été signalés comme tels.

Table des matières
1 Introduction aux méthodes statistiques et aux probabilités 7
1.1 Bruit de grenaille [N] .................................. 7
1.2 Variables aléatoires poissoniennes [N] ......................... 8
1.3 Intégrales gaussiennes élémentaires [N] ........................ 8
1.4 Marche au hasard [N] .................................. 8
1.5 Théorème de la limite centrale [N] ........................... 9
1.6 Rangement [N] ..................................... 9
1.7 Gaz dans une enceinte divisée en plusieurs compartiments [S] ............ 10
1.8 Oscillateurs harmoniques ayant des phases aléatoires ................. 10
1.9 Combinatoire et probabilités .............................. 11
1.10 Loi de Rayleigh ..................................... 11
1.11 Argument erroné .................................... 12
1.12 Équation de Liouville et intégrales premières [D] ................... 12
1.13 Évolution des fonctions de distribution [D] ....................... 13
2 Ensemble microcanonique 15
2.1 Densité d’états d’une particule libre à 3 dimensions [N] ................ 15
2.2 Formule de Sackur-Tétrode [N] ............................. 15
2.3 Cristaux paramagnétiques et températures négatives [N] ................ 16
2.4 Chaîne polymère [S] .................................. 17
2.5 Défauts dans les cristaux [S] .............................. 18
2.6 Densité d’états électroniques dans le modèle des liaisons fortes à une dimension . . . 19
2.7 Deux boîtes cubiques .................................. 19
2.8 Un modèle élémentaire de solide ............................ 20
2.9 Méthode de la distribution la plus probable [D] .................... 20
3 Ensemble canonique 23
3.1 Gaz parfait dans un champ de gravitation [N] ..................... 23
3.2 Rotation des molécules d’un gaz [N] .......................... 25
3.3 Propiétés magnétiques des corps à diverses températures (test de novembre 2011) [N] 25
3.4 Modèle d’Ising unidimensionnel par la matrice de transfert [N] ............ 27
3

4TABLE DES MATIÈRES
3.5 Système à trois niveaux [S] ............................... 29
3.6 Gaz parfait de molécules diatomiques [S] ....................... 29
3.7 Un modèle simple pour la fusion d’un solide ...................... 31
3.8 Séparation isotopique par ultracentrifugation ...................... 32
3.9 Gaz parfait ultra relativiste ............................... 32
3.10 Gaz parfait et paroi répulsive .............................. 33
3.11 Développements de haute et basse températures [D] .................. 35
4 Ensemble grand canonique 37
4.1 Adsorption d’un gaz à la surface d’un solide [N] .................... 37
4.2 Équilibre chimique [S] ................................. 38
4.3 Fluctuations ....................................... 38
5 Solides 41
5.1 Capacité calorifique du nitrure de bore (test de novembre 2010) [N] ......... 41
5.2 Phonons et capacité calorifique des solides [S] ..................... 44
5.3 Phonons en une dimension ............................... 46
5.4 Chaleur spécifique nucléaire d’un métal (test de novembre 2009) ........... 46
6 Théorie des liquides 49
6.1 Formule du viriel [N] .................................. 49
6.2 Approximation de Kirkwood dans un fluide classique (examen de janvier 2011) [N] . 50
6.3 Structure d’une solution de colloïdes (examen de février 2012) [N] .......... 51
6.4 Développement du viriel [S] .............................. 54
6.5 Une fonctionnelle de la densité [D] ........................... 57
6.6 Une classe particulière de diagrammes de Mayer [D] ................. 58
7 Simulations numériques 61
7.1 Thermostat de Nosé-Hoover [D] ............................ 61
8 Statistiques quantiques pour des particules identiques 63
8.1 Corrections quantiques au gaz parfait [N] ....................... 63
8.2 Développement de Wigner-Kirkwood [D] ....................... 64
9 Fermions 67
9.1 Magnétisme dans les métaux [N] ............................ 67
9.2 Gaz de fermions sans interaction dans un piège harmonique (examen de janvier 2011)
[N] ............................................ 68
9.3 Semiconducteur [N] ................................... 70
9.4 Fermions sans interaction ................................ 72
9.5 Étoiles à neutrons .................................... 74
9.6 Longueur d’écran .................................... 76

TABLE DES MATIÈRES 5
9.7 Cristallisation d’un plasma stellaire ........................... 77
10 Rayonnement 79
10.1 Bruit de Johnson-Nyquist [N] .............................. 79
10.2 Coefficients d’Einstein [S] ............................... 79
11 Bosons 83
11.1 Gaz de bosons en deux dimensions (examen de février 2012) [N] ........... 83
11.2 Condensation de Bose-Einstein [S] ........................... 85
11.3 Le plasma de quark-gluon (examen de janvier 2009) .................. 87