Devoir maison 3

L3 - 2016/2017 - DM3
Mathématiques discrètes
Devoir maison 3 du cours de mathématiques discrètes 2016.
Merci de soigner la rédaction.
Exercice 1.
On munit Rn de la norme euclidienne notée k k définie par le produit scalaire < >. Si (e1 , ..., en )
est une base orthonormée de Rn , on a :
<
n
X
i=1
xi ei ,
n
X
yi ei >=
i=1
n
X
i=1
2
n
n
n
n
X
X
X
X
xi yi et xi ei =<
xi ei ,
xi ei >=
x2i .
i=1
i=1
i=1
i=1
Cette définition est indépendante du choix de la base orthonormée (par définition de ce qu’est une base
orthonormée!). On remarquera que la base canonique de Rn est une base orthonormée. Pour P ∈ Mn (R),
on rappelle l’équivalence des propriétés :
Ia) P est une matrice d’isométrie, i.e. ∀v ∈ Rn , kP vk = kvk,
Ib) P envoie une base orthonormée sur une base orthonormée,
Ic) tP P = Id.
On définit sur l’algèbre des matrices Mn (R) la norme matricielle associée à la norme euclidienne :
∀M ∈ Mn (R), |kM k| = sup
x6=0
kM xk
.
kxk
Une telle norme vérifie :
∀M1 , M2 ∈ Mn (R), |kM1 M2 k| ≤ |kM1 k||kM2 k|.
1. Soit M une matrice symétrique réelle de rayon spectral ρ(M ) Démontrer que la norme de M est le
rayon spectral de M .
2. Soit M une matrice stochastique, irréductible, apériodique et symétrique. On note 1 = λ1 , ..., λn
ses n valeurs propres réelles (comptées avec leurs multiplicités) numérotées telles que 1 = |λ1 | >
|λ2 | ≥ · · · ≥ |λn | et 1 le vecteur dont toutes les coordonnées sur la base canonique sont des 1.
On note H l’hyperplan formé par les vecteurs dont la somme des coordonnées sur la base canonique
vaut 0.
(a) Démontrer que H est l’orthogonal du vecteur 1, c’est-à-dire l’ensemble {v ∈ Rn ; < v, 1 >= 0}.
(b) En déduire l’existence d’une matrice d’isométrie P et d’une matrice symétrique Q dans Mn−1 (R)
telle que :
1 0
t
M= P
P
0 Q
avec de plus ρ(Q) = |λ2 |.
(c) Retrouver ainsi que la suite {M k }k∈N converge vers une matrice L de rang 1 telle que :
|M k − L| ≤ |λ2 |k .
(d) Justifier que L est stochastique et symétrique. Quelle est alors la matrice L ?
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan
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Mathématiques discrètes
Soit G un graphe fini non orienté. On note S son ensemble d’états, de cardinal n et A son ensemble
d’arêtes de cardinal m. Pour chaque sommet s ∈ S. on note ds le degré de s, c’est-à-dire le nombre
d’arêtes (s, t) dans A. On autorise le graphe à avoir des boucles, c’est-à-dire des arêtes de la forme (s, s).
On suppose le graphe connexe.
Soit s0 un sommet fixé dans G. On considère C = {Xn }n∈N la chaîne de Markov définie par :
• X0 est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans S. Si besoin, on pourra noter ν le vecteur
tel que ν(s) = P (X0 ) = s, pour tout s dans S. C’est la distribution initiale de la chaîne C.
• Si n > 1, P (Xn = t|Xn−1 = s) =
Soit λ définie sur S par λ(s) =
1
ds ,
ds
2m , ∀s
pour tous s, t dans S.
∈ S.
3. Justifier que λ est une loi de probabilité sur S.
4. Justifier que C est une chaîne de Markov irréductible de période 1 ou 2.
5. Démontrer que la période est 2 si et seulement si le graphe G est biparti.
6. Décrire la matrice de transition P de la chaîne de Markov C.
7. Justifier que λ est une loi stationnaire pour C.
On suppose désormais le graphe régulier, c’est-à-dire que ds est indépendant de s, ∀s ∈ S. On note d
cette valeur commune. On le suppose aussi apériodique.
8. Démontrer que la chaîne de Markov converge en loi vers la loi uniforme sur S avec une convergence
au moins géométrique.
9. Un exemple : Un mélange “idéal ” d’un jeu de p cartes consiste en le tirage uniforme d’une permutation de Sp . Une machine mélange un jeu de cartes en effectuant une suite finie d’opérations
élementaires aléatoires sur le jeu de cartes. L’opération élémentaire consiste à choisir une carte de
façon uniforme dans le jeu et, si ce n’est pas première, à l’échanger avec la première. On décrit
ce procédé par une chaîne de Markov dont les états sont les permutations de Sp et les arêtes
correspondent aux opérations élémentaires.
(a) Soit σ ∈ Sp . Démontrer que les transitions issues de σ sont (σ, σ) et (σ, σ(1, i)) pour i ∈
{2, ..., n}.
(b) En déduire que la chaîne de Markov converge en loi vers la loi uniforme sur Sp .
(c) Dans quelle mesure la machine fait-elle le travail attendu ?
Question subsidiaire : Etudier le cas de la machine qui mélange les p cartes en effectuant une
suite finie d’opérations élementaires aléatoires sur le jeu de cartes, lorsque l’opération élémentaire
consiste à choisir une carte de façon uniforme dans le jeu et à la placer sur le dessus du paquet.
10. Un autre exemple : m particules se déplacent sur un anneau formé de n cases, avec n > m. Une
case contient au plus une particule. A chaque étape, une case est choisie de façon uniforme. Si la
case est pleine, on passe à l’étape suivante. Sinon, la case se remplit par le déplacement d’une des
deux particules les plus proches, le choix de la particule étant uniforme (avec probabilité 1/2).
(a) Décrire ce processus à l’aide d’une chaîne de Markov sur un graphe fini qu’on explicitera.
(b) Déterminer la limite lorsque k tend vers +∞ de la probabilité qu’une case particulière soit
occupée par une particule après k étapes.
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan
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Mathématiques discrètes
Exercice 2.
Soit C = {Xn }n∈N la chaîne de Markov définie sur un graphe fini orienté G = (S = {1, ..., n}, A) par
sa distribution initiale ν et sa matrice de transition P. On suppose qu’il existe une application ∆ : S → N
telle que :
(i) ∆ prend la valeur 0.
(ii) ∀s, t ∈ S, s’il y a une transition de s vers t (i.e. (s, t) ∈ A), alors ∆(t) ≤ ∆(s).
(iii) ∀s ∈ S, si ∆(s) > 0, il existe un chemin fini s → s1 · · · → sp tel que ∆(sp ) < ∆(s).
On note L = {s ∈ S, ∆(s) = 0}.
1. Démontrer que la limite lorsque k tend vers +∞ de la probabilité d’être dans L après k étapes vaut
1.
2. Un système dans un fonctionnement “normal” peut prendre un nombre fini d’états dits légitimes.
Ce système est dit autostabilisant quand, indépendamment de son état initial (éventuellement non
légitime), le système arrive inévitablement à un état légitime en un nombre fini d’étapes (Dijkstra
(1974)). Lorsque le système a un comportement aléatoire, on exige qu’il arrive avec probabilité 1 à un état légitime en un nombre fini d’étapes. On regarde ici deux exemples d’algorithmes
d’exclusion mutuelle dont on cherche à démontrer le caractère autostabilisant. Il s’agit dans les
deux cas de définir une fonction ∆ convenable afin d’appliquer la question 1.
(a) L’algorithme d’Herman : Soient N cases représentant des processus P0 , ..., PN −1 , sur un anneau
orienté de taille N . Certaines cases possèdent un jeton, d’autres non. A chaque étape, chaque
jeton peut soit rester sur place, soit se déplacer dans le sens des aiguilles d’une montre vers la
case suivante de façon équiprobable. Lorsque deux jetons se percutent dans une même case,
ils disparaissent. Un état global du système est défini par les positions des jetons. Les état
légitimes de l’algorithme sont ceux où il n’y a plus qu’un jeton qui circule. On suppose qu’il
y a au départ un nombre impair de jetons. Démontrer que cet algorithme est autostabilisant.
(b) L’algorithme d’Israeli et Jalfon : Soient N cases représentant des processus P0 , ..., PN −1 , sur
un anneau de taille N . Certaines cases possèdent un jeton, d’autres non. A chaque étape, un
jeton choisi de façon uniforme peut se déplacer d’un pas dans une direction ou l’autre, chacune
avec probabilité 1/2. Lorsque deux jetons se percutent dans une même case, ils fusionnent. Un
état global du système est défini par les positions des jetons. Les état légitimes de l’algorithme
sont ceux où il n’y a plus qu’un jeton qui circule. Démontrer que cet algorithme est autostabilisant.
Question subsidiaire : en commençant par le cas particulier de deux jetons, démontrer que le
temps moyen d’autostabilisation est O(N 2 ).
Exercice 3.
Le jeu “A la chasse” se joue avec deux dés et un nombre pair de joueurs (on notera 2N ce nombre).
Les joueurs sont assis autour d’une table. Au début, deux joueurs situés l’un face à l’autre ont chaucun
un dé. A chaque étape, les deux joueurs qui ont un dé font rouler leur dé. Celui qui obtient un 6 confie le
dé à son voisin de gauche, celui qui obtient un 1 confie le dé à son voisin de droite, celui qui obtient 2, 3, 4
ou 5 garde le dé. Le jeu s’arrête lorsque un même joueur récupère les deux dés. Les dés sont équilibrés.
1. Modéliser ce jeu avec une chaîne de Markov.
2. Justifier que la partie s’arrête avec probabilité 1.
3. Pour N = 25, calculer le temps moyen d’une partie.
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan