2de 1-3-4-5 DST n°5 de Mathématiques 19/05/2015 Sujet S Durée

2de 1-3-4-5
DST n°5 de Mathématiques
Sujet S
19/05/2015
Durée : 2 heures. Calculatrice autorisée. Le barème est approximatif.
Il sera tenu compte dans la notation, de la présentation et de la rédaction.
Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées.
Exercice 1
(4 points)
Soit [AB] un segment de longueur 10cm, et M un point
de ce segment. On construit les deux carrés AMFE et
MBHG (éventuellement réduits à un point).
Il s'agit d'étudier la somme A des deux aires de ces carrés
et de répondre à ces questions : est-elle constante?
sinon dans quel intervalle varie-t-elle?
On pose 𝒙 la longueur du segment [AM].
1) A quel ensemble appartient 𝒙?
2) Montrer que la somme A des deux aires en fonction
de x vaut 50 + 2(𝑥 − 5)².
3) On pose pour tout x appartenant à [0 ; 10], 𝑓(𝑥) = 50 + 2(𝑥 − 5)2 .
Dresser son tableau de variation.
4) En déduire le minimum et le maximum de l’aire A.
Exercice 2
(2 points)
Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaang, située au Canada, à proximité d’industries chimiques,
il est né, antre 1 999 et 2 003, 132 enfants dont 46 garçons. On considère ce groupe de 132
enfants comme un échantillon extrait de l’ensemble des enfants nés dans la réserve depuis
l’implantation des industries chimiques. La proportion de garçons sur l’ensemble des
naissances dans le monde est souvent considérée comme égale à 0, 51. Au vu de l’échantillon,
peut-on considérer, au seuil de 95%, que la proportion des garçons parmi les naissances dans
cette réserve est anormale ?
Exercice 3
Soit f et g deux fonctions telles que :𝑓: 𝑥 ↦
(5 points)
4
1−𝑥
𝑒𝑡 𝑔: 𝑥 ↦
4
𝑥²+1
.
1. Donner l’ensemble de définition de f et de g.
2. Etudier le sens de variation de g sur] −∞ ; 0[ .
3. Sur le graphique donné en annexe, un élève a tracé les courbes des deux fonctions
étudiées ci-dessus. Indiquer clairement quelle est chaque courbe, sur le graphique.
4. Résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥).
6. Trouver par le calcul le résultat de la question 5. b)
Exercice 4
(4 points)
PARTIE A
L'algorithme ci-contre simule la
répétition d'une expérience aléatoire.
1) On fait fonctionner l'algorithme, et la
variable R prend successivement les
valeurs: 3,5,1,6,2,3,4,5,1,2.
Quelle valeur est affichée en sortie de
l'algorithme?
2) Préciser ce que fait cet algorithme.
Variables:
S, I, R: nombres entiers
Initialisation Affecter à S la valeur 0
Traitement pour I allant de 1 à 10 faire
Affecter à R un entier aléatoire
a
compris entre 1 et 6
Si R=5
Alors affecter à S la valeur
a
S+1
Fin si
Fin pour
Sortie
Afficher S
3) Quelles modifications doit-on apporter à cet algorithme pour qu'il simule 300 lancers d'un dé
cubique et qu'il affiche la fréquence des numéros strictement inférieurs à 5 obtenus? Vous
recopierez sur la copie l'algorithme modifié.
PARTIE B
On lance un dé cubique 300 fois. On obtient 178 fois un chiffre strictement inférieur à 5.
1) Justifiez que la proportion de chiffres strictement inférieurs à 5, pour un dé parfaitement
2
équilibré est .
3
2) Peut-on dire, au seuil de 0,95 que ce dé est équilibré?
Exercice 5
(5 points)
ABCDEFGH est le cube donné en annexe. I et J sont les centres respectifs des faces BCGF
et DCGH.
1) a- Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles.
b- En déduire, en justifiant, la construction de la droite d, intersection des plans (ABC) et (AIJ)
2) Construire, en justifiant, le point K intersection de la droite d et du plan (DCG).
3) Construire, en justifiant, l’intersection des plans (DCG) et (AIJ).
4) Le cube a pour coté 10 cm. Calculer l'aire du triangle ABC ; puis le volume du tétraèdre ABCI.
( on donnera la valeur exacte, puis arrondie au cm 3 ).
FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
NOM, Prénom:...........................................................
Exercice 3
Exercice 5
2de 1-3-4-5
DST n°5 de Mathématiques
Sujet ES
19/05/2015
Durée : 2 heures. Calculatrice autorisée. Le barème est approximatif.
Il sera tenu compte dans la notation, de la présentation et de la rédaction.
Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées.
Exercice 1
(5 points)
a) Résoudre les équations et inéquations suivantes en n’oubliant de préciser s’il y a des
valeurs interdites:
2𝑥 2 + 9𝑥 − 5 = 0 ;
𝑏) Le nombre 𝜑 =
2 − 12𝑥
3𝑥
>
1 − 4𝑥
2+𝑥
𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0 ;
;
1
≤0
16𝑥² − 40𝑥 + 25
1 + √5
1
est appelé le nombre d′ or. Démontrer que 𝜑 = 1 +
2
𝜑
Exercice 2
(2 points)
Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaang, située au Canada,à proximité d’industries chimiques,
il est né, antre 1 999 et 2 003, 134 enfants dont 48 garçons.
On considère ce groupe de 134 enfants comme un échantillon extrait de l’ensemble des enfants
nés dans la réserve depuis l’implantation des industries chimiques. La proportion de garçons
sur l’ensemble des naissances dans le monde est souvent considérée comme égale à 0, 51. Au
vu de l’échantillon, peut-on considérer, au seuil de 95%, que la proportion des garçons parmi
les naissances dans cette réserve est anormale ?
Exercice 3
(5 points)
4
4
Soit f et g deux fonctions telles que :𝑓: 𝑥 ↦ 1−𝑥 𝑒𝑡 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑥²+1 .
4. Donner l’ensemble de définition de f et de g.
5. Etudier le sens de variation de g sur] −∞ ; 0[ .
6. Sur le graphique donné en annexe, un élève a tracé les courbes des deux fonctions
étudiées ci-dessus. Indiquer clairement quelle est chaque courbe, sur le graphique.
4. Résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥).
6. Trouver par le calcul le résultat de la question 5. b)
Exercice 4
(4 points)
Soit [AB] un segment de longueur 10cm, et M un point
de ce segment. On construit les deux carrés AMFE et
MBHG (éventuellement réduits à un point).
Il s'agit d'étudier la somme A des deux aires de ces
carrés et de répondre à ces questions : est-elle
constante? sinon dans quel intervalle varie-t-elle?
On pose x la longueur du segment [AM].
5) A quel ensemble appartient x?
6) Montrer que la somme A des deux aires en
fonction de x vaut 50 + 2(𝑥 − 5)².
7) On pose pour tout x appartenant à [0 ; 10],
𝑓(𝑥) = 50 + 2(𝑥 − 5)². Dresser son tableau de
variation.
8) En déduire le minimum et le maximum de l’aire A.
Exercice 5
(4 points)
PARTIE A
L'algorithme ci-contre simule la
répétition d'une expérience aléatoire.
1) On fait fonctionner l'algorithme, et la
variable R prend successivement les
valeurs: 3,5,1,6,2,3,4,5,1,2.
Quelle valeur est affichée en sortie de
l'algorithme?
2) Préciser ce que fait cet algorithme.
Variables:
S, I, R: nombres entiers
Initialisation Affecter à S la valeur 0
Traitement pour I allant de 1 à 10 faire
Affecter à R un entier aléatoire
a
compris entre 1 et 6
Si R=5
Alors affecter à S la valeur
a
S+1
Fin si
Fin pour
Sortie
Afficher S
3) Quelles modifications doit-on apporter à cet algorithme pour qu'il simule 300 lancers d'un dé
cubique et qu'il affiche la fréquence des numéros strictement inférieurs à 5 obtenus? Vous
recopierez sur la copie l'algorithme modifié.
PARTIE B
On lance un dé cubique 300 fois. On obtient 175 fois un chiffre strictement inférieur à 5.
1) Justifiez que la proportion de chiffres strictement inférieurs à 5, pour un dé parfaitement
2
équilibré est .
3
2) Peut-on dire, au seuil de 0,95 que ce dé est équilibré?
FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
NOM, Prénom:...........................................................
Exercice 3