Complexité de Problèmes: la classe NP - ACT

La classe NP La problématique Les réductions polynomiales Les propriétés NP-dures
Complexité de Problèmes: la classe NP
ACT
Sophie Tison
Université Lille
Master1 Informatique
La classe NP La problématique Les réductions polynomiales Les propriétés NP-dures
COMPLEXITÉ DES PROBLÈMES
IRappels
IParadigmes d’algorithme
IComplexité des problèmes
IGénéralités
ILa classe P
ILa classe NP
IPropriété NP
IRéductions polynomiales, Propriétés NP-dures
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LE BILAN DE LA DÉFINITION DES NP
NP= non-détermoiniste polynomial
Une propriété NP est une propriété pour la quelle trouver une
"solution" (une preuve ..) est peut-être difficile, mais vérifier
une solution (une preuve, un certificat...) est facile.
P=easy to find versus NP=easy to check
Montrer qu’une propriété est NP n’est en général qu’une
étape...
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MONTRER QU’UNE PROPRIÉTÉ EST NP N’EST PAS
MONTRER QU’ELLE N’EST PAS P!!!

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LA HIÉRARCHIE
3-Color?
Cible ?
Sat ?
Hamilton ?
NP
P
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LA PROBLÉMATIQUE
Je cherche un algorithme pour vérifier une propriété; j’ai
montré qu’elle est NP mais je ne trouve pas d’algorithme P.
Si j’arrive à prouver qu’il n’ y a pas d’algorithme polynomial, je
prouve P6=NP: ça risque d’être difficile...
Je peux essayer de montrer qu’elle est NP−dure.
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LA PROBLÉMATIQUE
Une propriété NP−dure contient d’une certaine façon toute la
difficulté de la classe NP.
Si on trouve un algorithme polynomial pour une telle
propriété, on en aurait un pour toute propriété NP.
Montrer qu’une propriété est NP−dure justifie en quelque sorte
de ne pas avoir trouvé d’algorithme polynomial.
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UN OUTIL: LES RÉDUCTIONS POLYNOMIALES
La notion de réduction permet de traduire qu’un problème
n’est pas "plus dur" qu’un autre.
Si un problème Ase réduit en un problème B, le problème Aest
(au moins) aussi facile que B- si la réduction est "facile"-. On
peut a priori utiliser la réduction de deux façons:
Ipour montrer qu’un problème est dur: si Aest réputé dur,
Bl’est aussi;
Ipour montrer qu’un problème est facile: si Best facile, A
l’est aussi.
C’est en fait surtout le premier raisonnement que l’on va
utiliser.

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DÉFINITION FORMELLE
Réduction polynomiale
Soient Let L0deux langages de Σ∗, correspondant à deux
propriétés.
Une réduction polynomiale de Ldans L0est une applica-
tion red calculable polynomiale de Σ∗dans Σ∗telle que:
u∈LSsi red(u)∈L0.
Notation: L≤PL0.
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RÉDUCTION POLYNOMIALE =TRANSFORMATION
D’UN PROBLÈME DANS UN AUTRE.
Par exemple, une réduction d’un problème pb1 d’équipes en un
problème pb2 de coloriage de graphes sera une transformation:
Iqui associe à toute instance idu pb1 d’équipes, une
instance red(i)du pb2 de coloriage de graphes
Itelle que red(i)a une solution Ssi l’instance iavait une
solution.
Icette transformation est polynomiale, i.e. calculable par un
algorithme polynomial.
Remarque: on en déduit donc que la taille de red(i)est bornée
polynomialement par rapport à celle de i.
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CLIQUE ET INDÉPENDANT
Soient les deux propriétés suivantes:
Clique: Entrée: G=(S,A) -un graphe non orienté k
- un entier Sortie: Oui, Ssi G contient une clique
de cardinal k.
Indépendant Entrée: G=(S,A) -un graphe non orienté
k - un entier Sortie: Oui, Ssi G contient un ensemble
indépendant de cardinal k.
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CLIQUE
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C une clique: toute paire de sommets de C est reliée

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CLIQUE
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INDÉPENDANT
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I est indépendant: aucune paire de sommets d’I n’est reliée
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EXEMPLE:SUITE...
On peut choisir comme réduction de Clique dans
Independant l’application red qui à (G= (S,A),k)associe
(G0= (S,A0),k)avec A0={(x,y)/(x,y)/∈A et (x,y)/∈A}.
Montrer que c’est bien une réduction polynomiale de Clique
dans Independant consiste en:
IMontrer que c’est correct i.e., pour tout (G,k),Clique(G,k)
Ssi Independant(G0,k).
IMontrer que la transformation est polynomiale.
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CLIQUE
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Est transformé en:

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CLIQUE
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Est transformé en:
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EXEMPLE:SUITE...
red transforme l’instance de Clique (G= (S,A),k), en
l’instance d’Independent
(G0= (S,A0),k)avec A0={(x,y)/(x,y)/∈A et (x,y)/∈A}.
ICorrect? i.e., pour tout (G,k),Clique(G,k)Ssi
Independent(G0,k)? Oui:
Si (G= (S,A),k)a une clique Cde cardinal k,Cest un
ensemble indépendant de cardinal kde G0.
réciproquement: si (G0= (S,A0),k)a un ensemble
indépendant Cde cardinal k,Cest une clique de cardinal k
de G.
ILa transformation est polynomiale: l’algorithme qui
calcule red(G)est bien polynomial (en O(card(S)2).
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EN RÉSUMÉ
Pour prouver qu’une propriété P1 se réduit polynomialement
en une autre P2, il faut:
Iproposer une réduction, i.e. un algo red qui à une instance
Ide P1, associe une instance red(I)de P2.
Iprouver qu’elle est correcte, i.e. qu’une instance Ide P1 est
positive Si et Seulement Si red(I)est une instance positive
de P2.
Iprouver qu’elle est polynomiale.
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POURQUOI PROUVER QU’UN PROBLÈME SE RÉDUIT EN
UN AUTRE?
Proposition: Si L0est dans Pet si L≤PL0, alors Lest dans P.
u∈LSsi red(u)∈L0: donc, pour décider de l’appartenance à L,
il suffit d’appliquer la transformation, et de décider de
l’appartenance du transformé à L0:
Si AppL0est un algo polynomial pour tester l’appartenance à L0,
boolean AppL(u) {return AppL’(red(u));} est un
algo polynomial pour tester l’appartenance à L0.
Si L0est P,Lest P.
si Ln’est pas P,L0n’est pas P.