Rétablissement d`un réseau cellulaire après un désastre
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Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre Anaïs Vergne avec Laurent Decreusefond, Ian Flint, et Philippe Martins Journées MAS 2014 29 août 2014 Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 1/24 Problématique Réseau cellulaire endommagé • Qualité de service • Couverture Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 1/24 Problématique Réseau cellulaire endommagé • Qualité de service • Couverture • Désastre • Noeuds défectueux • Plusieurs composantes connexes • Trous de couverture Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 1/24 Problématique Réseau cellulaire endommagé • Qualité de service • Couverture • Désastre • Noeuds défectueux • Plusieurs composantes connexes • Trous de couverture Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 1/24 Problématique Rétablissement • Ajout de noeuds temporaires • Pas forcément à la même place que les anciens • Suffisamment pour réparer le réseau Questions • Comment sait-on que le réseau est réparé ? • Où met-on les nouveaux noeuds ? Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 2/24 Homologie simpliciale Comment sait-on que le réseau est réparé ? • Données géométriques • Objet combinatoire • Structure algébrique • Interprétation géométrique Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 3/24 Homologie simpliciale Homologie simpliciale Vocabulaire • Un complexe simplicial est une liste de simplexes. • Un k-simplexe est un ensemble non-ordonné de k + 1 sommets. • Tout sous-ensemble de sommets d’un k-simplexe est une face de celui-ci. 0-simplexe 1-simplexe Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 2-simplexe 4/24 Homologie simpliciale Homologie simpliciale Complexe simplicial X , ensemble de k-simplexes, est un complexe simplicial abstrait si toutes les faces de tous les simplexes de X sont aussi des simplexes de X . • Cinq 0-simplexes : v0 , v1 , v2 , v3 , v3 v2 v4 . • Six 1-simplexes : [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v1 , v2 ], [v1 , v4 ], [v2 , v3 ]. • Un 2-simplexe : [v0 , v1 , v2 ]. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre v4 v0 v1 5/24 Homologie simpliciale Complexe simplicial de couverture Complexe de C̆ech Soient ω un ensemble fini de sommets et un réel positif, le complexe de C̆ech C (ω) est le complexe défini tel que k + 1 sommets forment un k-simplexe si et seulement si l’intersection des k + 1 boules de rayon centrées en ces sommets, est non vide. 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 6/24 Homologie simpliciale Topologie algébrique Nombres de Betti Le k-ième nombre de Betti d’un complexe simplicial X est le nombre de trous k-dimensionnels de X . Exemple • β0 est le nombre de composantes connexes • β1 est le nombre de trous de couverture • β2 est le nombre de vides (d ≥ 3) Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 7/24 Homologie simpliciale Complexe simplicial de couverture 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Figure: Un réseau de capteurs et son complexe de couverture associé. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 8/24 Homologie simpliciale Réseau cellulaire endommagé • Ajout de noeuds virtuels sur la bordure • Pour définir la zone à couvrir Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 9/24 Homologie simpliciale Réseau cellulaire endommagé • Ajout de noeuds virtuels sur la bordure • Pour définir la zone à couvrir Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 9/24 Homologie simpliciale Réseau cellulaire endommagé • Ajout de noeuds virtuels sur la bordure • Pour définir la zone à couvrir • Calcul des nombres de Betti • β0 = 2 • β1 = 1 Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 9/24 Géométrie stochastique Où met-on les nouveaux noeuds ? • Contraintes • Suffisamment de noeuds pour rétablir le réseau • Nombre raisonnable Méthodes d’ajout • Grille • Tirage uniforme • Avec répulsion Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 10/24 Géométrie stochastique Méthodes d’ajout classiques • Grille • Nombre de noeuds déterministe • Positions déterministes Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 11/24 Géométrie stochastique Méthodes d’ajout classiques • Grille • Nombre de noeuds déterministe • Positions déterministes Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 11/24 Géométrie stochastique Méthodes d’ajout classiques • Grille • Nombre de noeuds déterministe • Positions déterministes Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 11/24 Géométrie stochastique Méthodes d’ajout classiques • Tirage uniforme • Ajout de noeuds jusqu’à ce que le carré soit couvert (β1 = 0) • Positions aléatoires tirées selon une loi uniforme sur le carré Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 12/24 Géométrie stochastique Méthodes d’ajout classiques • Tirage uniforme • Ajout de noeuds jusqu’à ce que le carré soit couvert (β1 = 0) • Positions aléatoires tirées selon une loi uniforme sur le carré Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 12/24 Géométrie stochastique Méthodes d’ajout classiques • Tirage uniforme • Ajout de noeuds jusqu’à ce que le carré soit couvert (β1 = 0) • Positions aléatoires tirées selon une loi uniforme sur le carré Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 12/24 Géométrie stochastique Processus ponctuel répulsif Intensité de Papangelou Soient x une position et ω la réalisation d’un processus ponctuel donné, c(x, ω) est la probabilité d’avoir un point dans la région infinitésimale autour de x étant donné l’ensemble de points ω. • Processus ponctuel de Poisson : c(x, ω) = 1 ∀x, ω • Processus ponctuel répulsif : c(x, ω) ≥ c(x, ζ) for ω ⊂ ζ • Processus ponctuel attractif : c(x, ω) ≤ c(x, ζ) for ω ⊂ ζ • Pour un processus ponctuel répulsif, plus l’ensemble de points est grand, plus la probabilité d’avoir un nouveau point est faible. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 13/24 Géométrie stochastique Processus ponctuel déterminantal Processus ponctuel déterminantal Soient X un espace polonais équipé avec la mesure de Radon µ, et K une fonction mesurable complexe sur X 2 , N est un processus ponctuel déterminantal sur X de noyau K si c’est un processus ponctuel sur X et qu’il vérifie les fonctions de corrélations ρn (x1 , . . . , xn ) = det(K (xi , xj )1≤i,j≤n ) pour tout n ≥ 1 et x1 , . . . , xn ∈ X . • Les processus ponctuels déterminantaux sont répulsifs. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 14/24 Géométrie stochastique Processus ponctuel déterminantal de Ginibre Processus ponctuel déterminantal de Ginibre Le processus ponctuel de Ginibre est le processus P∞ ponctuel déterminantal dont le noyau est K (x, y ) = k=1 Bk φk (x)φk (y ), où Bk , k = 1, 2, . . . , sont k variables de Bernoulli indépendantes et φk (x) = √1 e πk! −|x|2 2 x k pour x ∈ C et k ∈ N. • Relativement simple à simuler sur un compact. • Répulsion de type électrostatique. • ⇒ La probabilité de tirer un point augmente avec la distance avec les autres points. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 15/24 Géométrie stochastique Comparaison processus de Poisson - processus de Ginibre Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 16/24 Géométrie stochastique Méthode d’ajout déterminantale • Avec répulsion • Ajout de noeuds jusqu’à ce que le carré soit couvert (β1 = 0) • Positions aléatoires tirées selon un processus de Ginibre • En prenant en compte les noeuds présents Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 17/24 Géométrie stochastique Méthode d’ajout déterminantale • Avec répulsion • Ajout de noeuds jusqu’à ce que le carré soit couvert (β1 = 0) • Positions aléatoires tirées selon un processus de Ginibre • En prenant en compte les noeuds présents Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 17/24 Géométrie stochastique Méthode d’ajout déterminantale • Avec répulsion • Ajout de noeuds jusqu’à ce que le carré soit couvert (β1 = 0) • Positions aléatoires tirées selon un processus de Ginibre • En prenant en compte les noeuds présents Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 17/24 Géométrie stochastique Comparison entre les méthodes d’ajout • Différents scénarios selon le pourcentage d’aire couverte après le désastre • Carré de côté 1 • Rayon de couverture de 0.25 • Nombre moyen de noeuds ajoutés : % d’aire couverte Grille Uniforme Déterminantal 20% 9.00 32.51 16.00 Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 40% 9.00 29.34 14.62 60% 9.00 24.64 12.36 80% 9.00 15.63 7.79 18/24 Réseau rétabli Retrait des noeuds ajoutés superflus Utilisation de l’algorithme de réduction [1]. Principe • L’algorithme retire des noeuds parmi ceux ajoutés • Sans modifier la topologie • Jusqu’à ce qu’aucun noeud ajouté ne puisse être retiré Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 19/24 Réseau rétabli Configuration finale • Algorithme de réduction • Retrait des noeuds ajoutés superflus • Nombre de noeuds ajoutés optimisé Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 20/24 Réseau rétabli Configuration finale • Algorithme de réduction • Retrait des noeuds ajoutés superflus • Nombre de noeuds ajoutés optimisé Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 20/24 Réseau rétabli Configuration finale • Algorithme de réduction • Retrait des noeuds ajoutés superflus • Nombre de noeuds ajoutés optimisé Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 20/24 Réseau rétabli Comparaison avec un algorithme glouton - Performance • Algorithme glouton • Ajout de noeuds sur une grille • Du plus éloigné au plus près • Jusqu’à ce que le plus éloigné soit couvert • Similaire à notre algorithme avec la méthode d’ajout de la grille • Nombre moyen de noeuds ajoutés au final : % d’aire couverte Algorithme glouton Algorithme avec homologie Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 20% 3.69 4.42 40% 3.30 3.87 60% 2.84 2.97 80% 1.83 1.78 21/24 Réseau rétabli Comparaison avec un algorithme glouton - Robustesse • Perturbation Gaussienne sur la position des noeuds ajoutés • Nombre moyen de trous : % d’aire couverte Algorithme glouton Algorithme avec homologie 20% 0.68 0.62 40% 0.65 0.53 60% 0.45 0.37 80% 0.35 0.26 • Probabilité qu’aucun trou ne soit créé : % d’aire couverte Algorithme glouton Algorithme avec homologie Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 20% 40.8% 50.9% 40% 47.7% 58.1% 60% 61.0% 67.9% 80% 69.3% 75.3% 22/24 Merci pour votre attention. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 23/24 Bibliography [1] A. Vergne, L. Decreusefond, and P. Martins. Reduction algorithm for simplicial complexes. In INFOCOM, 2013 Proceedings IEEE, pages 475–479, 2013. [2] A. Vergne, I. Flint, L. Decreusefond, and P. Martins. Disaster Recovery in Wireless Networks : A Homology-Based Algorithm. In International Conference on Telecommunications 2014 (ICT2014), May 2014. Rétablissement d’un réseau cellulaire après un désastre 24/24
