Exercice 1 Exercice 2 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 3

Terminale S1 − 2014 / 15
Exercice 1
On donne l’algorithme suivant
1) Effectuer l'algorithme en affectant 3 à la
variable a et 8 à la variable b. Préciser
alors la valeur de sortie. On pourra pour
cela compléter le tableau suivant :
2) Répéter la question 1 en affectant 7 à la variable a et -1 à la variable b à l'étape 1.
3) Que peut-on conjecturer sur ce que réalise cet algorithme ? Prouver cette conjecture.
Exercice 2
On considère l’algorithme ci-contre.
Compléter le tableau suivant en
faisant fonctionner cet algorithme
pour a = 4, b = 9 et N = 2.
Les valeurs successives de u et v
seront arrondies au millième.
Exercice 3
On considère la suite définie par u1 =
tout n à 1 : un +2 =
1
2
e−
n +1
2
1
2
1
e − et pour
un .
1) Calculer u3 et u5 .
2) On considère l’algorithme ci-contre.
Quel terme de la suite (un ) obtient-on ?
2
Exercice 4
Dans un lycée, un code d’accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre à
quatre chiffres choisis dans la liste {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, chaque chiffre pouvant être répété à l’intérieur d’un
même code. Par exemple 0027 et 5855 sont des codes possibles.
Ce code permet aussi de définir un identifiant pour l’accès au réseau informatique. L’identifiant est constitué du
code à quatre chiffres suivi d’une clé calculée à l’aide de l’algorithme ci-contre :
1) Faire fonctionner l’algorithme avec N = 2282 à l’aide du tableau ci-dessous et vérifier que la clé qui lui
correspond est 3.
P
S
K
U
R
C
initialisation
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
Sortie
2) Quelle est la clé du code N = 1784 ?
Exercice 5
Pour n à 1 on définit la suite (vn ) en posant vn =
1
n2
n
et la somme Sn =
∑v .
k
k =1
1) Compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur
2) A l’aide de cet algorithme on obtient quelques valeurs de Sn , données dans le tableau ci-dessous et arrondies
au millième. Quelles conjectures peut-on faire sur la suite (Sn ) ?
n
1
2
5
10
15
Sn
1
1,25
1,464
1,55
1,58
50
100
500
1000
1,625 1,635 1,643 1,644
10000 100000
1,645
1,645
3) Démontrer que la suite (Sn ) est croissante.
4) a) Justifier que pour tout k à 2 on a :
n
b) Simplifier la somme
∑
1
k
2
Â
1
k −1
1
− .
k
 1 − 1  et justifier alors que pour tout n à 1, on a : S  2− 1 .
n
 k −1 k 
n


k =2
Que vient-on de démontrer ?
Exercice 6
On considère l’algorithme suivant :
Dans l’expérience aléatoire de cet algorithme on appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur C affichée.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
Exercice 7
On considère la suite (pn ) définie par p0 = 0
et pour tout entier n à 0 :
pn +1 = 0,2 pn +0,04.
On suppose que l’on a démontré que la suite
(pn ) est croissante et converge vers 0,05.
On considère l’algorithme ci-contre.
A quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme
s’arrête ?
Exercice 8
On considère la suite (vn ) définie par v0 = 1 et vn +1 =
9
6− vn
pour tout entier n à 0.
1) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier n naturel donné, tous les termes de la suite (vn ) du
rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes ci-contre, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
2) Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :
Pour n = 100, les termes affichés sont :
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn ) ?
Exercice 9
La fonction f est définie sur R par f ( x ) = x 5+ x −1.
1) Démontrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α dans R et que cette solution est entre 0 et 1.
2) On considère l’algorithme suivant :
a) On fait fonctionner cet algorithme pour n = 2. Compléter le tableau ci-dessous.
3)
m
P
a
b
b-a
Initialisation
Etape 1
Etape 2
b) Cet algorithme détermine un encadrement de α.
Quelle influence le nombre n a-t-il sur l’encadrement obtenu ?
Exercice 10
Partie A
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui
comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. A la fin de chaque étape, un groupe de
5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle anti-dopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de
chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé plusieurs fois.
1) On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :
• « rand(1,50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire dans l’intervalle [1 ; 50] ;
• l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.
a) Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ?
L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15} L2 = {8 ; 17 ; 41 ; 34 ; 6} L3 = {12 ; 17 ; 23 ; 17 ; 50} L4 = {45 ; 19 ; 43 ; 21 ; 18}
b) Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
2) On admet qu’à chaque étape, la probabilité qu’un coureur subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale
à 0,1. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur
l’ensemble des 10 étapes de la course.
a) Quelle est la loi de probabilité de la variable X ? Préciser ses paramètres.
b) On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dixmillième, les probabilités des événements suivants :
• il a été contrôlé 5 fois exactement ;
• il n’a pas été contrôlé ;
• il a été contrôlé au moins une fois.
Partie B
Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 participants, on appelle T l’événement « le contrôle est
positif » et d’après les statistiques on admet que P ( T ) = 0,05.
On appelle D l’événement « le coureur est dopé ». Le contrôle n’étant pas fiable à 100% on sait que :
• si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ;
• si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.
1) Calculer P ( D ).
2) Un coureur a été contrôlé positif. Quelle est la probabilité qu’il ne se soit pas dopé ?
Exercice 11
L’exercice sur les suites du dernier devoir utilisait la suite définie par u0 = 2 et un +1 = 3 un −2 n +1.
Ecrire un algorithme donnant uN pour une entrée N en s’inspirant du modèle ci-contre :
Entrée :
Saisir le nombre entier naturel ……
Traitement :
Affecter à U la valeur ………
Pour k allant de ……. à ………..
Affecter à U la valeur ……………………………….
Fin pour
Sortie :
Afficher ………