Polycopié de Physique et de Biophysique UE 3.1

Stage de Pré-Rentrée du Tutorat
26 août 2013 – 6 septembre 2013
Polycopié de Physique et de Biophysique
UE 3.1 : Organisation des appareils et systèmes
Fiches de cours
Enoncés des exercices
Ne peut être vendu ou utilisé dans un but commercial sous peine de poursuite.
Ce fascicule de cours et d’exercices a été entièrement réalisé par le Tutorat
Ni les professeurs, ni la faculté ne pourront être tenus responsables de la validité des
informations qu'il contient, même en cas d'une éventuelle relecture par un professeur.
1
2
Sommaire
Introduction à la physique
Page 4
Chapitre n°1 : Rappels de mathématiques et de physique
-
Cours
Exercices
Page 5
Page 33
Chapitre n°2 : Mécanique
-
Cours
Exercices
Page 41
Page 48
Chapitre n° 3 : Magnétisme
-
Cours
Exercices
Page 53
Page 76
Chapitre n° 4 : Introduction à la physique des ondes
-
Cours
Exercices
Page 86
Page 99
Correction rapide des exercices de physique
Page 103
Introduction à la biophysique
Page 109
Chapitre n° 5 : Solutions et compartiments liquidiens
-
Cours : Solutions
Cours : Compartiments liquidiens
Exercices
Page 110
Page 113
Page 115
Correction rapide des exercices de biophysique
3
Page 119
INTRODUCTION A LA PHYSIQUE
Tu vas très vite entendre de nombreux préjugés à propos de la physique ! Faisons d’abord le point
sur le top 3 des phrases qu’on entend le plus souvent.
« La physique, c’est impossible ! » Il est vrai que la physique est une matière très exigeante qui
demande beaucoup de travail. Mais c’est loin d’être impossible, et ceux qui la travaillent
sérieusement sont généralement bien récompensés ! L’essentiel est de ne pas avoir de lacunes du
programme de terminale. Le premier chapitre de « rappels » sera donc pour toi l’occasion de revoir
tes éventuelles faiblesses et les combler au plus vite ! Ensuite, il faudra trouver ta méthode de
travail (voir plus bas).
« Travailler la physique, c’est inutile, ça paie pas ! » La physique représente les trois quarts de
l’épreuve d’UE3.1, coefficient 9. Si on classait les sous matières, la physique à elle seule serait le
deuxième coefficient de toute l’année ! C’est donc une matière sur laquelle il faut passer du temps
et qu’il ne faut pas abandonner. Durant le semestre, tu vas vite être débordé par les matières à par
cœur, c’est donc dès maintenant qu’il faut mettre un bon coup à la physique !
« Tout le monde a des mauvaises notes de toute façon ! » Les notes au concours sont relativement
faibles, mais le but n’est pas d’avoir 14, mais d’avoir plus que les autres ! Ne serait-ce qu’un 8/20
permet de gagner de nombreuses places. C’est ici que tu peux faire la différence.
Quel le programme de physique cette année ?






Quelques notions de maths indispensables. Il faut bien les maîtriser pour comprendre les cours
de physique qui suivent.
Mécanique : Des mouvements, des forces, les lois de Newton, les énergies cinétique et
potentielle, le travail d’une force... Beaucoup de choses qui te sont familières !
Magnétisme : C’est l’étude de la force que produisent des charges électriques en mouvement et
des effets des champs magnétiques sur les particules chargées ou circuits électriques.
RMN (résonnance magnétique nucléaire) : A cheval entre magnétisme et physique quantique,
la RMN est à l’origine d’applications médicales majeures, comme l’IRM fonctionnelle.
Les ondes, en trois parties : généralités, ondes sonores et ondes lumineuses.
La radioactivité : très médicale et en général appréciée par les P1, on étudie la décroissance
radioactive mais aussi les effets des radiations sur les tissus biologiques ou encore son utilisation
en thérapeutique.
Comment travaille-t-on la physique ?
Tu as le droit à tes documents lors du concours, il s’agit donc d’acquérir non pas seulement un
savoir, mais surtout un savoir-faire. Pour cela, il faut d’abord bien comprendre le cours. Je
recommande de ne pas le lire passivement, mais de prendre une feuille et un stylo et essayer de
faire en même temps les démonstrations et de « deviner » la suite. Ensuite, on fait de nombreux
exercices et des annales. Au programme du stage : maths, mécanique, magnétisme et introduction
aux ondes ! Bon courage !
4
Chapitre n°1 : Rappels de mathématiques et de physique
Cours
Nous essaierons dans ce cours de survoler l’ensemble des notions mathématiques qui seront
nécessaires pour résoudre les exercices de physique que vous rencontrerez lors de l’année. A cela,
s’ajoutent de nouveaux outils mathématiques (marqués d’un *) que vous devrez essayer de vite
assimiler pour viser à une bonne compréhension des cours. Il n’est pas nécessaire de tout retenir,
vous avez le droit à vos documents lors des épreuves !
PARTIE 1 : DERIVATION ET INTEGRATION
Il est très important en PAES d’avoir une maitrise parfaite de la dérivation et de l’intégration. Ce sont
des outils récurrents qui apparaitront dans la majorité des problèmes que vous rencontrerez.
I.
La dérivation
La fonction dérivée
On définit la fonction dérivée de f(x), notée f’(x).
En physique on la note aussi
.
Cette fonction permet de traduire l’évolution f en fonction des valeurs de x.
A titre d’exemple, en considérant un problème sur un seul axe, l’axe des x :
- L’accélération se définit par
, c’est la manière dont la vitesse évolue en fonction du temps
- De même, la vitesse se définie par
, c’est la manière dont la position évolue en fonction du
temps
Propriétés
Il y a plusieurs choses à garder en tête :


Propriété fondamentale : L’étude du signe de la dérivée permet d’étudier les variations de
la fonction. Quand f’(x) est positive, f(x) est croissante, quand f’(x) est négative, f(x) est
décroissante. La dérivée est nulle aux extrema. (Voir exercice n° équilibre et énergie
potentielle.)
Une fonction constante possède une dérivée nulle : cette propriété revient très souvent en
physique
Note : un problème classique et de vous demander de déterminer la valeur limite prise par
une grandeur, par exemple « déterminez quel est la vitesse limite atteinte par une
particule ?».
Il faut alors avoir pour réflexe de chercher à résoudre l’équation :

Une fonction dite linéaire, c’est-à-dire qui évolue proportionnellement à la variable
considérée, a une dérivée constante.
Une telle fonction est représentée sous forme de droite, sa dérivée en tout point en est le
coefficient directeur.
5
Détermination des fonctions dérivée
Pour déterminer la fonction dérivée d’une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de
dérivées usuelles et de règles de calculs. Celles-ci sont à connaitre par cœur :
Fonction
Fonction dérivée
Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d’autres fonctions, c’est-à-dire des
fonctions auxquelles sont appliqués d’autres fonctions, leurs dérivées sont aussi à connaitre :
On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u’ sa fonction dérivée de u :
Fonction composée
Dérivée de la composée
Enfin, des règles de calculs de bases sont à connaitre pour le calcul de dérivée.
Considérons deux fonctions notées u et v. On note u’ et v’ leurs dérivées respectives.
Opération sur les fonctions
Opération sur les dérivées
6
Remarques sur la dérivation d’une fonction composée :

Dans le cours, lorsqu’une fonction f qu’on dérive dépend d’une variable u qui elle-même
dépend de x, on emploie souvent la notation suivante :

On peut être amené à faire une « triple » composition de fonctions. Par analogie, on a :
Pense-bête :
Il peut être facile de confondre la dérivée de cos et celle de sin.
Voici un petit moyen mnémotechnique pour ne plus vous tromper :
 On considère que Cos est Con : il prend un – dans sa dérivée, on a donc
 On considère que Sin est Sympa : il prend un + dans sa dérivée, on a donc
II.
L’intégration
La primitive d’une fonction
Soit une fonction f telle que
, on dit que F est une primitive de f.
Autrement dit, c’est en quelque sorte « l’inverse de la dérivation ».
Note : comme la dérivée d’une constante est nulle, chaque fonction présente une infinité de fonctions
primitives du fait de l’existence d’une constante d’intégration.
L’ensemble des fonctions primitives d’une fonction f sont notées F + k, avec
.
Détermination de la primitive d’une fonction
Pour déterminer la fonction primitive d’une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de
primitives usuelles et de règles de calculs :
Fonction
Fonction primitive
7
Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d’autres fonctions, c’est-à-dire des
fonctions auxquelles sont appliqués d’autres fonctions, ces fonctions composées correspondent à
des primitives particulières, les voici :
On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u’ la fonction dérivée de u :
Fonction composée
Primitive de la composée
Les intégrales
Reprenons l’exemple précédent, en notant cette fois-ci :
On note
la somme de toutes les valeurs prises par f entre les abscisses a et b.
Comme il y a une infinité de point entre a et b, on considère que la primitive correspond à la somme
d’un nombre infini de termes.
 Il s’agit de l’aire sous la courbe représentant la fonction f entre a et b.
Par exemple ici nous avons coloriés la grandeur
:
Comment calculer une intégrale ?
Le calcul de l’intégrale nécessite la connaissance d’une primitive de la
fonction f.
On a :
Aussi, on note souvent la grandeur
par l’écriture
Ainsi, dans l’exemple choisi on a :
On remarque que la constante d’intégration s’annule dans le calcul de l’intégrale, cette dernière n’y
interfère donc pas.
8
Opération entre les intégrales
Il y a un certain nombre d’opération mettant en jeu les intégrales à connaitre :

: c’est la relation de Chasles



Si pour tout x,
III.
alors
Le développement limité *
Le développement limité consiste à approximer une fonction en un point par un polynôme mettant
en jeu les dérivées au même point de la fonction à approximer.
On parle de développement limité d’ordre n lorsque la fonction est approximée par un polynôme de
degré n.
On définit, au voisinage de a :
Remarques importantes :




Cette formule peut être lourde à appliquer et donner lieu à des erreurs d’inattention. Faites
le calcul des dérivées à part au brouillon.
Souvent, on utilise la formule en a = 0, donc quand x est très petit.
Si l’énoncé ne le précise pas, on se limite en général à l’ordre 1 pour éviter les calculs trop
longs et lourds.
Le plus souvent, au concours, on ne précisera pas quand il faut utiliser un développement
limité. Il faudra donc repérer les « indices » dans l’énoncé : « Calculer quand x est très
proche de a », « Aux alentours de l’origine » (concours 2012), « pour des valeurs de x très
faibles », … => Exercices 4 et 8 TD
Exemples :
Fonction
DL de premier ordre
DL en 1
DL en 0
9
DL de second ordre
PARTIE 2 : GRADIENT D’UNE FONCTION *
Comme nous allons être amenés à travailler avec des fonctions à plusieurs variables, en général 3
variables spatiales, il est important de définir la notion du gradient d’une fonction.
Pour cela, nous allons tout d’abord introduire celle de dérivée partielle.
I.
Dérivée partielle d’une fonction à plusieurs variables
Prenons par exemple une fonction f(x,y,z) à 3 variables x, y et z.
Cette fonction dispose de 3 dérivées partielles : l’une par rapport à x, l’une par rapport à y et une
troisième par rapport à z.
C’est trois dérivées partielles sont respectivement notées
,
et
.
Note : à la différence des dérivées classiques, lorsqu’on effectue une dérivée partielle, on utilise la
lettre au lieu de d habituel dans la notation de la dérivée.
Ainsi, au lieu de noter la dérivée de la fonction f en fonction de x :
, on la notera :
On définit ainsi la dérivée partielle de la fonction f par rapport à x :
En pratique, on considère que y et z sont constants. De même :
Ici, on considérera respectivement :
- x et z constants pour le calculer de
- x et y constants pour le calculer de
Exemple :
Soit une fonction
qui dépend de deux variables x et t. On peut étudier les
variations de la fonction quand on fait varier x à t constant.
-Ainsi la dérivée partielle de f par rapport à x est :
-De même, la dérivée partielle de f par rapport à t est :
10
II.
Gradient d’une fonction
 La gradient se définit pour une fonction scalaire f(x,y,z). C’est-à-dire que la fonction f n’est
pas un vecteur.
Il s’agit alors du vecteur, noté
Il faut comprendre que le gradient de f représente l’évolution de la fonction f lors de variations
élémentaires le long des axes
c'est-à-dire lorsque x, y et z varient de façon infinitésimale.
C’est notion est importante en mécanique et en électromagnétisme, elle prendra tout son sens
lorsque nous nous intéresserons à la définition de l’énergie potentielle.
Exemple :
On prend une fonction f(x,y), qui prend des valeurs d’autant plus élevées que la couleur est foncée.
On peut représenter le gradient de la fonction comme un ensemble de vecteurs, qui indiquent le
sens pour lequel la fonction augmente :

On appelle la différentielle d’une fonction scalaire f(x,y,z) la quantité :
Physiquement,
représente donc l’accroissement de la fonction f, lorsque les variables x, y et z
connaissent des variations infinitésimales dx, dy et dz. Exercice 2 TD
Attention à ne pas confondre gradient et différentielle !
Propriété fondamentale du gradient
Si nous considérons un point M, quelconque de l’espace, de coordonnées M(x,y,z).
On a le vecteur
On définit alors une variation infinitésimale de la position, telle que
On réalise alors que :
En d’autres termes, l’accroissement de la fonction f correspond au produit scalaire entre son
gradient (soit son évolution lors d’une variation infinitésimale) et cette même variation.
11
PARTIE 3 : RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES *
L’intérêt des fonctions logarithme népérien et exponentielle (notions qui doivent absolument être
maîtrisées) se retrouve principalement dans la résolution des équations différentielles, très
fréquente en physique.
Une équation différentielle est une équation (ou un système d’équations) entre une fonction
inconnue et sa dérivée, la solution de cette dernière est une fonction.
Nous allons nous intéresser à 3 types d’équations différentielles :
1) Equations de la forme :
:
La variable peut être différente de x.
La notation mathématique de cette équation est Y’=aY, toutefois nous préférerons celle utilisée cidessus qui est plus fréquente en physique.
Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions f qui vérifient cette égalité. Elles sont de la
forme :
Démonstration :
On a :
On reconnait l’expression
qui est la dérivée de
, autrement dit
est la dérivée
de
Par conséquent :
Soit, en appliquant la fonction exponentielle des deux coté :
En notant
, en retrouve bien :
2) Equations de la forme :
:
La variable peut être différente de x.
La notation mathématique de cette équation est Y’=aY + b, toutefois nous préférerons celle utilisée
ci-dessus qui est plus fréquente en physique.
Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions f qui vérifient cette égalité. Elles sont de la
forme :
12
3) Equations de la forme :
:
La variable peut être différente de x.
La notation mathématique de cette équation est Y’=aY + g(x), toutefois nous préférerons cette
utilisée ci-dessus qui est plus fréquente en physique.
Méthode de résolution :

Tout d’abord, il faut déterminer la solution générale à


Ensuite, il faut considérer la constante comme une fonction à part :
Puis, il faut introduire la nouvelle expression de f(x) dans l’équation différentielle :

Il faut résoudre l’équation différentielle obtenue en intégrant, de façon à trouver C (x) :
Exercices 1 et 9 TD
13
:
PARTIE 4 : FONCTIONS SINUS ET COSINUS
La fonction cosinus
La fonction sinus
La fonction cosinus est une fonction paire :
elle est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Définie sur , elle prend l’allure suivante :
La fonction sinus est une fonction impaire :
elle est symétrique par rapport à l’origine.
Définie sur , elle prend l’allure suivante :
Celle-ci est périodique de période 2π.
Celle-ci est périodique de période 2π.
Quelques données à connaitre par cœur
De même, les fonctions cos et sin étant périodiques de période 2π, on a :
et
14
Exemple :
Pour retenir toutes ses données, il peut être pratique de tout représenter sur un cercle
trigonométrique, qui permet de facilement tout percevoir :
De plus, il peut être utile, notamment dans le chapitre sur les ondes, de savoir effectuer quelques
manipulations avec les sinus :
15
PARTIE 5 : FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME
I.
La fonction exponentielle
Définition : La fonction exponentielle se définit sur
et
telle que :
.
Variations et signe : Elle est croissante sur
Propriétés : Soient a, b
,n
et toujours positive.
:








II.
La fonction logarithme népérien et le
Définition : La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; + [ telle que :
C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Variations et signe : Elle est croissante sur
. Elle est négative sur
.
Propriétés : Soient a et b
:









16
et positive sur



avec
avec
Remarque :
Logarithme décimal : On définit le logarithme décimal ou
C’est la fonction réciproque de
.
17
et défini sur
par :
PARTIE 5 : VECTEURS
I.
Définitions
Considérons un repère (O,x,y,z).
Soient deux points A et B de coordonnées respectives :
On définit le vecteur
se caractérisant par :


Sa direction : le long de la droite (AB)
Son sens : il va de A vers B

Sa norme : c’est la longueur du segment [AB], elle est notée
Le vecteur opposé au vecteur
sens contraire, noté
Les coordonnées du vecteur
Si on nomme
de même norme, même direction mais de
est tel que :
sont :
les vecteurs unitaires, on peut aussi écrire :
Ainsi, le vecteur
comprend plusieurs composantes, chacune est selon un des
vecteurs unitaires.
Prenons un vecteur qu’on appellera , nous pouvons décomposer ce vecteur en
plusieurs composantes :

Quelques opérations sur les vecteurs :
Soit k et k’ des réels quelconques.

o
o
o
Egalité entre deux vecteurs : soit deux vecteurs
, on considère que les deux vecteurs
sont égaux lorsqu’ils ont : même direction, même sens et même norme.
Cela se traduit par une égalité entre les composantes de ces vecteurs.
Ainsi, soit
deux vecteurs, on a :

Somme de deux vecteurs : soit
deux vecteurs, on a :
18

Produit d’un vecteur par un réel : soit un vecteur
et k un réel quelconque, on
a:

Dans un repère orthonormé, c’est-à-dire lorsque les vecteurs unitaires ont pour norme 1 et
sont orthogonaux entre eux, on peut calculer la norme d’un vecteur à l’aide de la formule
suivante :
Ainsi, pour un segment AB avec
, on a :
En pratique, nous utiliserons un repère orthonormé dans la majorité des problèmes.
Déterminer les composantes d’un vecteur
En physique, nous serons très souvent amenés à travailler uniquement sur une seule composante
d’un vecteur. Il est donc important de savoir déterminer l’expression des composantes d’un vecteur
en fonction de sa norme. On notera F la norme de .
Ici nous prenons l’exemple d’un vecteur , celui-ci représente une force appliqué avec un angle α
par rapport à l’axe (Ox). On sait que
peut s’écrire :
Déterminons l’expression de :

: on sait, grâce aux formules de trigonométrie que
Par conséquent :

: on sait, grâce aux formules de trigonométrie que
Par conséquent :
Par conséquent, les coordonnées du vecteur
sont :
19
.
Rappel :
Soit un triangle ABC rectangle en C, nous avons :






II.
Le produit scalaire
Définition
Soit
deux vecteurs. On appelle produit scalaire de ces deux vecteurs le nombre réel noté
défini par :
Cette définition, purement mathématique, ne nous sera pas d’une grande utilité. Il existe en effet
d’autres méthodes plus commodes pour calculer un produit scalaire.
Les voici :

Soit
deux vecteurs, on a :
Il s’agit de la manière que vous serez amenés à utiliser le plus souvent.

Soit
deux vecteurs et l’angle α tel que
20
, on a :






Soit
deux vecteurs et D le projeté orthogonal de
sur
, on a :
si
sont de même sens
si
sont de sens contraire
Propriétés
Le produit scalaire est commutatif :
Quelques opérations avec les produits scalaires :
o
o
o
o
o
On note
, et on a :
Le produit scalaire de deux vecteurs
orthogonaux entre eux est nul : il s’agit de la
propriété du produit scalaire qui nous sera le plus utile ! => Exercice 6 TD
Théorème d’Al-Kashi
Soit un triangle ABC quelconque, on a :



Ces formules ne sont pas forcément à connaitre par cœur.
Mais en cas de besoin, il est nécessaire les avoir rapidement à disposition.
Vous pouvez donc soit les noter dans un formulaire, soit rapidement les retrouver.
21
En effet, ces formules se démontrent très facilement grâce au produit scalaire, nous allons faire
la démonstration d’une seule des trois formules, les autres démonstrations étant analogues à
cette dernière :
Remarque : Le nouveau professeur n’utilise pas ces formules dans son cours, mais on vous les laisse
quand même au cas où.
III.
Le produit vectoriel *
Définition
On considère 2 vecteurs :
et , exprimés sur la base composée des vecteurs unitaires
.
On pose :
sont les différentes composantes de
sont les différentes composantes de
On appelle le produit vectoriel de
que :
respectivement selon les axes
respectivement selon les axes
et , noté
et
.
et prononcé « A vectoriel B », le vecteur tel
Conséquences :
Si on applique cette définition aux vecteurs unitaires, nous aurons par exemple :
Ainsi, on en déduit que :
Retenez bien ces 3 dernières expressions, elles vous permettront d’effectuer facilement la
majorité de vos calculs avec les produits vectoriels.
22
Vous avez oubliés la formule de la définition du produit vectoriel ?
Cette petite astuce vous permettra de la retrouver rapidement :
Tout d’abord, commencez par écrire en ligne les coordonnées des vecteurs, comme ceci :
Tout d’abord, pour la composante selon l’axe
On en déduit la composante sur
, tracez un
:
On descend d’une ligne pour la composante selon l’axe
On en déduit la composante sur
partant de
:
:
Pour finir, on descend d’une ligne pour la composante selon l’axe
On en déduit la composante sur
:
Soit :
23
:
:
Propriétés du produit vectoriel
L’anti-commutativité
A l’inverse de la majorité des outils mathématiques que vous avez manipulés jusqu’à maintenant, le
produit vectoriel n’est pas commutatif.
C’est-à-dire que :
L’ordre des vecteurs est importante, et il faudra faire attention à toujours la prendre en compte.
Cette petite astuce vous permettra de ne pas
vous tromper dans le sens des vecteurs.
Ici, on effectue le produit vectoriel
suivant :
Il vous suffit alors d’imaginer que vous avec
un bouchon d’une bouteille, et que vous le
tournez du sens de
vers .
Si vous êtes en train de dévisser le bouchon :
le vecteur résultant sera vers le haut.
Sinon il sera vers le bas.
Si on avait effectuez le produit vectoriel
, nous aurions trouvés le vecteur
Distributivité par rapport à l’addition vectorielle
De même,
Associativité des scalaires
On considère : un vecteur , un vecteur
On a alors :
et deux réels notés
et .
Produit vectoriel de 2 vecteurs colinéaires
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.
Soit
et , deux vecteurs, et
leur produit vectoriel. On a alors :
24
.
Propriété géométrique du produit vectoriel
On prend un repère
On pose
et
tel que les vecteurs
et
soient compris dans le plan (Oxy).
tels que :
On note α l’angle entre
et .
On démontre alors que :
La norme du produit vectoriel de
et
est l’aire du parallélogramme construit par les vecteurs
et .
Dérivation du produit vectoriel
Supposons que les vecteurs
On a :
et
dépendant d’une variable t.
Produit mixte
On appelle produit mixte des vecteurs
Il s’agit du produit scalaire avec
la grandeur :
du produit vectoriel de
et .
Par exemple, on va vu précédemment que les produits mixtes :
et
valent 0.
Par la suite, il sera important de garder en tête une propriété du produit mixte qui est la suivante :
On dit que le produit mixte est invariant par permutation circulaire.
Géométriquement, le produit mixte représente le volume du parallélépipède construit sur les trois
vecteurs
25
A première vue, le produit vectoriel peut vous sembler compliqué. Mais en réalité, ce qu’il
vous sera demandé en PAES ne sera pas d’avoir une maitrise « mathématiquement
rigoureuse » de l’outil, mais de pourvoir l’utiliser aisément lorsque celui-ci apparait dans
un problème.
Ainsi, voici ce que vous devez retenir en priorité les propriétés suivantes du produit
vectoriel :







Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.

En effet, avec ces propriétés du produit vectoriel, vous pourrez toujours ramener un calcul de
produit de vecteurs compliqués à un calcul simple mettant en jeu les vecteurs unitaires composants
ces derniers.

Bien que moins souvent utilisés, les propriétés concernant la dérivation du produit vectoriel
et le produit mixtes sont à toujours avoir sous la main. => Exercices 3 et 7 TD
26
PARTIE 6 : QUELQUES SYSTEMES DE COORDONNEES *
Afin de simplifier les calculs, on sera souvent amenés à considérer des systèmes de coordonnées
différents du système cartésien classique.
De tels systèmes de coordonnées permettent de travailler sur des vecteurs sans avoir à prendre en
considération leurs orientations dans la majorité des calculs (les vecteurs nous intéressant servant
alors de base aux vecteurs unitaires).
Nous allons nous intéresser à 2 types de systèmes de coordonnées :


Le système de coordonnées cylindriques
Le système de coordonnées sphériques
Le système de coordonnées cylindriques
On note la distance
et l’angle
Concernant l’axe des z, on garde le même vecteur
repères cartésiens.
présent dans les
On a alors comme vecteurs unitaires :

Ainsi, le vecteur
: ce vecteur est dans le prolongement de (HM)

tel que

orienté de la même façon que dans le repère cartésien
a pour coordonnées :
Propriétés :
 Il faut remarquer que, à l’inverse de et z qui sont des longueurs,
sans dimensions.
 Les vecteurs et
dépendent de l’angle
est un angle, il est donc


Quand
, il s’agit d’un système de coordonnées polaires.
L’expression du gradient d’une fonction f exprimée dans un système de coordonnées
cylindriques :

On a :
o
o
o
27
Le système de coordonnées sphériques
On note la distance
, l’angle
et
l’angle
On considère que :
: toute la rotation autours de l’axe (Oz) est
décrite par l’angle
: seul une rotation d’un maximum de 180° est
décrite par l’angle , en effet si la rotation dépasse cet angle,
cela sera décrit par l’angle qui verra sa valeur augmenter de
On a alors comme vecteurs unitaires :



: ce vecteur est dans le prolongement de (OM)
tel que
tel que
Cette fois-ci, le vecteur
dans le plan (OzM).
est orienté dans le sens de .
ne s’exprime qu’en fonction d’un seul vecteur unitaire :
Propriétés :
 Il faut remarquer que, à l’inverse de qui a la dimension d’une longueur,
ils sont donc sans dimensions.
 Les vecteurs et dépendent des angles
 Le vecteur
ne dépend quant à lui que de l’angle
sont des angles,

Expression du gradient d’une fonction f exprimée dans un système de coordonnées sphérique :

On a :
o
o
o
28
PARTIE 7 : NOMBRES COMPLEXES
Nous ne détaillerons que les propriétés des nombres complexes utiles à la compréhension des cours
et des exercices, en particulier de RMN et sur les ondes.
I)

Définition

L’ensemble des nombres complexes, noté , est l’ensemble des nombres de la forme
, où a et b sont des nombres réels et i un nombre tel que
.
a est la partie réelle et b la partie imaginaire de .



Le module de z est :
Le complexe conjugué de z est :
Le plan complexe
orthonormé direct est la représentation graphique qui associe un
nombre z à un affixe M de telle sorte que :
. Cela nous permet d’introduire
la notion d’argument de z :
II)
Notation trigonométrique, notation exponentielle et formules
d’Euler
Notations trigonométrique et exponentielle
Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme :
où r et
sont respectivement le module et l’argument de z.
La notation exponentielle est souvent utilisée en physique des ondes :
Cette forme sera beaucoup plus simple à manipuler.
Formules d’Euler :
Elles sont à connaître :
et
Démonstration :
29
PARTIE 8 : RAPPELS EN PHYSIQUE DES ONDES
I)
Les ondes mécaniques progressives
a) Définition
Une onde mécanique progressive correspond à la propagation d’une perturbation dans un milieu
matériel, avec transport d’énergie et sans transport de matière.
b) Propriétés



Les ondes se propagent à partir de la source dans toutes les directions qui leur sont offertes.
Selon les possibilités de propagation, il existe des ondes à une dimension (ébranlement le
long d’une corde), à deux dimensions (vagues à la surface de l’eau) ou à trois dimensions
(propagation du son dans l’air).
On distingue deux types d’ondes, selon la direction de la perturbation :
-Les ondes longitudinales ont une direction de perturbation parallèle à la direction de
propagation. Exemple : Ondes le long d’un ressort.
-Les ondes transversales ont une direction de perturbation perpendiculaire à la direction de
propagation. Exemple : ébranlement le long d’une corde.
Les ondes se croisent sans se perturber. Elles se superposent au moment de leur croisement
(cette notion est très importante !).
c) Célérité et retard
La célérité d’une onde est la vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu. Elle
dépend des propriétés du milieu de propagation (rigidité, inertie). Elle est donc constante dans un
milieu homogène.
Tous les points du milieu reproduisent le mouvement de la source avec un retard . Pour une
source située en M, le retard de la perturbation au point M’ est :
II)
.
Les ondes progressives périodiques
a) Définition d’une onde progressive périodique
Un mouvement périodique est un mouvement qui se reproduit identique à lui-même à intervalle
régulier. Le mouvement périodique de la source génère une onde progressive périodique.
30
b) La double périodicité spatio-temporelle
La perturbation d’une onde progressive périodique se reproduit identique à elle-même dans le
temps et dans l’espace. Il y a donc une double périodicité :

Temporelle : à un point donné, le mouvement de la perturbation se répète à intervalle de
temps régulier. La période T est la durée d’une oscillation de la source. On définit aussi la
fréquence :

.
Spatiale : à un temps donné, le mouvement de la perturbation se répète à intervalle de
distance régulier. La longueur d’onde correspond à la distance parcourue par l’onde
pendant une période T :
c) Ondes progressives sinusoïdales
C’est un cas très particulier où le mouvement de la source et de tous les points du milieu est une
fonction sinusoïdale du temps. Vous allez particulièrement vous attarder sur ce type d’onde cette
année.
d) Diffraction et milieu dispersif
Lorsqu’une onde rencontre un obstacle (une fente ou un trou) de l’ordre de sa longueur d’onde,
l’onde est diffractée : l’ouverture se comporte comme une source ponctuelle et au-delà l’onde se
propage dans toutes les directions.
Un milieu est dispersif si sa célérité dépend de sa fréquence.
III)
Le modèle ondulatoire de la lumière
a) Ondes électromagnétiques




La lumière se comporte comme une onde. Les ondes lumineuses appartiennent à la grande
famille des ondes électromagnétiques.
Elles se propagent en l’absence de milieu matériel, et dans le vide à une vitesse
.
Ce sont des ondes périodiques caractérisées par une longueur d’onde et une période.
La fréquence de l’onde est caractéristique de la longueur. Le domaine de la lumière visible
est compris entre 400nm et 800nm.
b) Diffraction
La lumière monochromatique correspond à une lumière dont la couleur n’est formée que d’une
seule longueur d’onde. La lumière polychromatique est une lumière composée de plusieurs
lumières monochromatiques.
31
On observe un phénomène de diffraction lorsque la lumière monochromatique rencontre un
obstacle du même ordre de grandeur que sa longueur d’onde. Elle est alors déviée d’un écart
angulaire .

Pour une fente de largeur a, on a :

Pour une ouverture circulaire de rayon a, on a :
c) Dispersion de la lumière
Dans un milieu transparent, la célérité de l’onde est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.
On définit ainsi l’indice d’un milieu transparent :
Dans un milieu dit dispersif (comme un prisme en verre), l’indice n (et donc la célérité de l’onde)
dépend de la fréquence de l’onde. Ainsi, un milieu dispersif permet de séparer les ondes
polychromatiques.
32
Chapitre n°1 : Rappels de mathématiques et de physique
Exercices
La difficulté des exercices est indiquée par le nombre d’étoiles. Seuls les 5 premiers exercices seront
corrigés pendant la séance d’ED.
Exercice 1 : Equations différentielles (*)
Rédacteur : Xavier
1) Résoudre
2) Résoudre
avec
puis
avec
avec
et
.
.
Rappel des formules d’équation différentielles :

L’équation

L’équation

L’équation
admet pour solutions les fonctions
admet pour solutions les fonctions
admet pour solutions les fonctions
Exercice 2 : Différentielle exacte (*)
Rédacteur : Xavier
1) Calculer la différentielle exacte de
définie par
2) Calculer la différentielle de
sachant que
Rappel :
33
et de
et
définie par
Exercice 3 : Produit vectoriel (**)
Rédactrice : Chloé
A. QCM
Soient
et
les deux vecteurs suivants :
On souhaite déterminer les dispositions des vecteurs
et
possibles pour avoir
B.
A.
D.
C.
E.
B. Question rédactionnelle
1) La matière aimantée possède un moment magnétique
. Lorsqu’elle est soumise à un champ
magnétique , on définit son moment cinétique par
.
a) Sachant que
(à noter que peut aussi bien être négatif que positif), déterminer
l’équation différentielle qui donne le moment magnétique d’une particule placée dans un
champ magnétique donné.
b) On se place maintenant dans un repère orthonormé.
On suppose alors que
et que
Déterminer la projection selon les 3 vecteurs unitaires de l’équation différentielle trouvée à
la question précédente.
2) On rappelle qu’un circuit considéré comme ponctuel (placé en Mi) en rotation autour d’un axe de
vecteur directeur et passant par O a une vitesse
.
Si l’on applique un champ magnétique responsable sur le circuit d’une force tangentielle à sa
trajectoire
; le travail pendant le temps dt de cette dernière est donnée par :
34
Exprimer
en fonction de
sachant que
(pour information, T est appelé moment
du couple de forces exercé sur le circuit, mais ça vous le reverrez le moment voulu).
Exercice 4 : Développement limité (**)
Rédacteur : Adrien
I)
Parachutiste (rédactionnel)
L’expression de l’altitude d’un parachutiste soumis à des forces de frottement sans vitesse initiale
est :
Faites un développement limité d’ordre 3 au voisinage de
II)
Croissance de plante (QCM)
On appelle
la taille en mètre d’une plante en fonction du temps en jour. Son expression est :
Au bout de 15 jours, la plante mesure
m. Calculer
au premier ordre au voisinage de 1.
Aides :

.
Conserver les fractions dans vos calculs.


A)
B)
C)
D)
E)
35
en utilisant un développement limité de
Exercice 5 : Energie potentielle gravitationnelle, inspiré du concours 2012
(***)
Rédacteur : Adrien
L’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps de masse m situé entre la Terre (de masse
) et le soleil (de masse ) a pour expression :
où R représente la distance Terre-Soleil.
r est toujours compris entre 0 et R.
1) Quelle est la dimension de G ?
A) [G] =
B) [G] =
C) [G] =
D) [G] =
E) [G] =
On recherche alors une position d’équilibre du système.
-C’est une valeur de r pour laquelle l’énergie potentielle atteint un extremum. Si c’est un
maximum, on parle d’équilibre instable, si c’est un minimum, on parle d’équilibre stable.
-Rappel : La fonction dérivée est nulle aux extrema.
2) En déduire une équation vérifiée par cette position d’équilibre en r :
A)
B)
C)
D)
E)
3) Quelles sont les propositions exactes concernant la position d’équilibre ?
(Penser à factoriser et à multiplier par l’expression conjuguée)
A) L’équilibre est atteint en
B) L’équilibre est atteint en
C) L’équilibre est atteint en
D) L’équilibre est stable.
E) l’équilibre est instable.
36
Même s’ils ne sont pas traités en ED, il est très important que vous fassiez les exercices qui suivent
pour être le mieux préparé possible.
N’hésitez-pas à venir poser des questions aux tuteurs sur le forum : http://forum.cemp6.org/
Exercice 6 : Produit scalaire (*)
Rédactrice : Lisa
A. Le travail d’une force
Jean essaie de monter un carton jusqu’à lui. Dans un premier temps, il tire le carton de A à B en
appliquant une force
On rappelle que le travail d’une force se calcule par le produit scalaire de la force par le déplacement
du point où s’applique cette force. On considère que l’angle entre le vecteur représentant la force et
le sol reste constant.
1) Le travail de la force appliquée par Jean est :
A. 23J
B. 15,3J
C. 30,6J
D. 10x2 sin (130)
E. 7,7J
Après avoir amené le carton en B, Jean continue à tirer pour le faire monter jusqu’en C.
37
2) En considérant que la force exercée par Jean est toujours de 10N, quel est le travail de cette
force ?
A. 7,6J
B.
C. 22,4J
D.
E. 3,4J
B. Une histoire de vecteurs
Soient A(2 ;4), B(3,-2), C(5 ;-1) et D(-4 ;-1). Quelles sont les propositions correctes ?
A.
B.
C.
D.
E.
Exercice 7 : Application du produit vectoriel (**)
Rédacteur : Adrien
Cet exercice a pour but de vous entraîner aux calculs courants utilisant le produit vectoriel. Il doit être
parfaitement maîtrisé !
Partie 1
On travaille en coordonnées cylindriques dans la base orthonormée




1) Calculer
2) Calculer
38
. On donne :
Partie 2
Aucune connaissance en magnétisme n’est requise pour cet
exercice.
On considère un circuit électrique carré de centre 0
parcouru d’un courant plongé dans un champ magnétique
.
Sur un côté du circuit, il s’exerce une force :
où est un vecteur unitaire ayant la même
direction et le même sens que le courant, est la longueur
du segment.
Par exemple pour le segment AB :
1) Calculer la résultante des forces sur le circuit :
Le moment d’une force
segment.
exercée sur un segment de circuit est :
, avec H le milieu du
2) Calculer la somme des moments des forces exercées sur le circuit :
Exercice 8 : Encore plus de développements limités ! (**)
Rédacteur : Léon
A. On considère la fonction suivante :
1) Calculer sa fonction dérivée première et seconde, en déduire les valeurs de f’(0) et f’’(0)
2) Déterminer le développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0 lors d’un accroissement, x,
infinitésimal
B. Considérons la fonction suivante :
1) Calculer le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0 de la fonction f lors d’un
accroissement, x, infinitésimal
On admet qu’on exprime l’aimantation M d’une population de noyaux par la relation suivante :
39
2) En déduire d’après la question précédente que M
n
en supposant
infinitésimal.
C. On considère f(x) =
1) Calculer le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 1 de la fonction f
Il a été établit qu’un potentiel V crée par un dipôle s’exprimait de la manière suivante :
, a << r, et θ un angle donné
2) En déduire d’après la question précédente que V =
inférieurs à 1 et on supposera
. On négligera les termes très
très petit.
Exercice 9 : Encore plus d’équations différentielles ! (***)
Rédacteur : Ali
Soit la chaine de désintégration suivante :
1) Nous considérons l’équation différentielle reliant le nombre de désintégrations radioactives du
noyau A au nombre de noyaux A présents :
Exprimer NA en fonction du temps.
On notera NA,0 le nombre de noyaux au temps t = 0.
2) Maintenant nous nous intéressons au nombre de noyaux B.
Celui-ci se traduit par l’équation différentielle suivant :
En prenant soin de remplacer NA par la fonction établie à la question précédente, donner
l’expression de NB en fonction du temps.
Nous considérons NB,0 le nombre de noyaux au temps t = 0 est nul.
Une méthode de résolution de ce type d’équations est donnée dans le cours.
40
Chapitre n°2 : Mécanique
Cours
Introduction :
C’est parti pour le premier vrai cours de physique de P1 ! Nous avons adopté pour celui-ci une
présentation particulière : les diapos contiennent les informations essentielles et pourront être
utilisées comme fiches de révision ou antisèches. Nous avons rajouté des notes explicatives
complémentaires en-dessous des diapos. Une fiche de formules ci-dessous récapitule le cours. Enjoy !
Fiche de formules
• Définitions :
• Théorèmes :
PFD :
Th moment cinétique :
Si forces conservatives :
TEC :
TEM :
Utilisez les unités SI
(m, kg, s, N, J…)
Puis convertissez à la fin
41
Théorèmes temporels
• Force
en N (=m.kg/s²)
• Vitesse
en m/s
• Accélération
(
est le vecteur position)
en m/s²
• Quantité de mouvement
en m.kg/s
• Moment cinétique
en m².kg/s
≈ Impulsion par rapport à un point, souvent lors d’une rotation.
• Moment d’une force
en m².kg/s²
≈Aptitude d’une force à faire tourner un objet autour d’un point.
Avant tout, voici quelques grandeurs que tu dois connaître. En physique on s’intéresse à deux
domaines : La cinématique ou le mouvement des corps (la position, la vitesse et l’accélération) et la
dynamique ou la cause des mouvements (les forces).
Dans un référentiel (observateur) donné, on peut repérer un point ponctuel par un quadruplet de
nombres réels (trois coordonnées spatiales et le temps). On utilise alors le vecteur position
.
La dérivée par rapport au temps de ce vecteur position est le vecteur vitesse
. La dérivée du
vecteur vitesse par rapport au temps correspond à un vecteur accélération
.
La quantité de mouvement
d’un corps est le produit de la masse et du vecteur vitesse.
Intuitivement, plus sa valeur est élevée, plus le corps en mouvement à tendance à « continuer sur
sa lancée ». Lors d’une rotation, le moment cinétique joue un rôle analogue à celui de lors d’une
translation.
Le moment d’une force
appliquée en M est son aptitude à faire tourner un corps autour d’un
point O. On remarque d’ailleurs que lorsque
et
sont colinéaires, cette grandeur est nulle. Une
force à tendance à faire tourner le corps autour d’un axe colinéaire à son moment
le point O.
42
et passant par
Théorèmes temporels
• Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Utilité :
- Équations horaires : position (x,y) en fonction du temps (t)
→ dès qu’on demande un temps…
- Équation de trajectoire : ordonnée (y) en fonction de l’abscisse (x)
→ calculer la flèche et la portée
• Théorème du Moment Cinétique
Utilité : exercice avec un point de rotation (ouverture d’une porte, tige en équilibre…)
Le PFD correspond à la seconde loi de Newton vue en terminale. Elle n’est valable que dans des
référentiels galiléens (le référentiel terrestre est supposé galiléen). Un cas particulier est celui où la
somme des forces est nulle, l’objet est alors au repos ou en mouvement rectiligne uniforme
(première loi de Newton).
Démonstration du théorème du moment cinétique :
On a :
qu’on dérive par rapport au temps :
(rappel : le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul)
D’après le PFD :
Souvent, la somme des moments des forces est nulle. On en déduit que le moment cinétique est
constant et on peut écrire :
ou encore
.
43
Travail d’une force
• Travail (en J)
Définition très abstraite :
- De A à B représente le trajet. Il faut l’équation de trajectoire et écrire le trajet en
fonction de x.
- dl est le déplacement élémentaire, à exprimer en fonction de x et y.
• Si forces conservatrices
Le travail est indépendant du chemin suivi.
La force dérive toujours d’une énergie potentielle (en J) :
Exemples :
- forces conservatives : poids, force électrostatique…
- forces non conservatives : frottements…
Le travail d’une force
constante sur un trajet AB, rectiligne ou non, s’écrit :
Dans le cas d’une force variable, on peut exprimer le travail élémentaire de la force sur un petit
élément de trajet
:
Le travail total est la somme de l’ensemble des travaux élémentaires sur le trajet :
Notons que les forces constantes sont conservatives. Le travail d’une telle force peut s’écrire :
Les forces fondamentales sont conservatives, comme la force de Coulomb et la force
gravitationnelle.
44
Théorèmes énergétiques
• Energie cinétique
• Energie potentielle
- poids :
donc
- ressort :
donc
- force électrostatique :
donc
•
• Energie mécanique
Déterminons ensemble l’énergie potentielle de la force de rappel d’un ressort (force conservative) :
Par identification :
. On cherche la primitive de
:
L’énergie potentielle est toujours définie à une constante près choisie arbitrairement. Seule la
variation d’énergie potentielle a un « sens physique ».
A L’équilibre l’énergie potentielle atteint un extremum. Si c’est un maximum, l’équilibre est dit
instable. Si c’est un minimum, l’équilibre est dit stable (voir schéma). Pour comprendre cette notion,
imagine que tu places un ballon en équilibre au « sommet » ou au « fond » des courbes suivantes.
45
Théorèmes énergétiques
• Théorème de l’énergie cinétique (TEC)
Utilité :
- calculer un travail.
- quand l’énergie cinétique s’annule (soit vitesse=0) au départ/à l’arrivée.
- Calculer une vitesse connaissant le travail de chaque force.
• Théorème de l’énergie mécanique (TEM)
Est équivalent au TEC (on a remplacé le travail des forces conservatrices par la variation d’énergie potentielle)
La variation de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux de chaque force appliquée sur le
système (nécessité bilan de force +++). Dans le cas de forces conservatives, l’énergie potentielle « se
transforme » en énergie cinétique et inversement, d’où son nom.
Si un système n’est soumis qu’à des forces conservatives, l’énergie mécanique reste constante !
Mouvements circulaires uniformes
• Pensez au théorème du moment cinétique !
• Vitesse
-
V = vitesse (m/s)
R = rayon (m)
oméga = vitesse angulaire (tour/s ou rad/s)
• Accélération
Orientée vers le centre du cercle, « accélération centripète ».
46
Exemple : Th Moment cinétique
• Ouverture d’une porte :
Tori tire sur une porte avec un angle de 30° par rapport à la perpendiculaire, en plaçant sa main
à 1m des gonds.
De l’autre côté, Uke tire perpendiculairement avec une force de 400N en plaçant sa main à
0,90m des gonds.
Calculez la force appliquée par Tori si la porte ne bouge pas.
Solution :
Car si la porte est immobile, alors le moment
cinétique est constamment nul donc sa dérivée est
nulle.
D’où la relation (±intuitive)
Conclusion
• Il faut connaître les (nombreuses) définitions et
les (quelques) théorèmes.
• Un exo se résume (souvent) à choisir entre
utiliser un théorème temporel ou
énergétique.
47
Chapitre n°2 : Mécanique
Exercices
Tous les exercices seront traités en TD.
Exercice 1 : D1 parachutiste (**)
Rédacteur : Yannick
Une future D1, nommée Goulard, qui pèse 63,0 Kg pour 1m80, profitant joyeusement de ses
vacances décide de faire un saut en parachute. Au moment du saut, l’avion est à 5000m d’altitude et
perd 800 m.min-1 que l’on prendra comme étant la vitesse initiale de Goulard. On négligera les
forces de frottement pour les 2 premières questions. On prendra
.
1)
A)
B)
C)
D)
E)
A
0m
100m
500m
3000m
4500m
2)
A)
B)
C)
D)
E)
quelle sera l’attitude de notre belle étudiante ?
En combien de temps Goulard atteint-t-elle 2000m d’altitude ?
23s
24s
25s
26s
27s
Arrivé à 2000m, elle décide d’ouvrir son parachute et on prendra une force de frottement de
norme
avec
.
On considère qu’elle atteint la vitesse limite instantanément après l’ouverture du parachute.
3)
Calculer la vitesse limite après l’ouverture du parachute
A)
B)
C)
D)
E)
48
4)
Au bout de combien de temps (après l’ouverture du parachute) Goulard touche-telle le sol ?
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 2 : Travail d’une force (**)
Rédacteur : Nicolas
Drame en ce 18 décembre, le RER amenant les P1 à Villepinte est en retard. Heureusement Flèche
des indestructibles est là. Il sort du RER et pousse le train.
Ainsi il réussit à augmenter la vitesse du train de 18km/h, juste ce qu’il faut pour que les P1 soient à
l’heure au concours !
1) Sachant que le train a une masse de 50 000kg et que normalement sa vitesse de croisière,
avant l’intervention de Flèche, lui permet de couvrir les 18km qui séparent Paris de
Villepinte en 12min, de combien l’énergie cinétique du train va-t-elle augmenter ?
A)
B)
C)
D)
E)
1,25.105 J
4,50.105 J
6,88.106 J
1,38.107 J
8,91.107 J
2) En considérant que la force qu’exerce Flèche sur le train est constante, rectiligne dans le
même direction que la trajectoire du train, et qu’il met 120m pour augmenter la vitesse du
train de 18km/h supplémentaires, quelle est la norme de la force ?
A)
B)
C)
D)
E)
3,75.103 N
1,04.103 N
7,43.105 N
1,15.105 N
5,73.104 N
3) En réalité il pousse de plus en plus fort, la force qu’il exerce augmente de façon
proportionnelle avec la distance. Sachant qu’au début il pousse avec une force de 0N et
qu’après 1m d’effort il exercerait une force de 1500N à quelle distance a-t-il gagné les
18km/h nécessaires ?
A)
B)
C)
D)
E)
12,9 m
67,7 m
95,8 m
345 m
9173 m
49
Exercice 3 : Toto et Riri
Toto et Riri jouent sur une balançoire pour gymnastes.
Cette balançoire est un peu cassée, ainsi en la réparant ils ont été obligés d’en déplacer l’axe de
rotation ; la balançoire a une longueur de 5 m mais l’axe de rotation ne se trouve qu’à 2,3 m de
l’extrémité gauche, et sa hauteur est telle que lorsque le côté gauche est au sol le côté droit se
trouve à 3m du sol.
La balançoire est dans le plan (xOy). Toto se place à l’extrémité gauche et Riri est à l’autre extrémité.
On donne la masse de Toto qui est de 80kg ainsi que celle de Riri qui elle est de 65kg.La balançoire
est à l’équilibre avec le côté gauche qui touche le sol (le schéma représente la situation de la
question 3 et 4).
1ère partie : à l’équilibre
Question 1 :
Pour quelle(s) masse(s) de Riri la balançoire va pencher du côté de Riri ?
A. 66kg
B. 67kg
C. 68kg
D. 69kg
E. 70kg
Question 2 : Concernant les moments des poids de Toto et Riri :
A)
sont de sens opposé.
B)
C)
D)
E)
50
2ème partie : en mouvement
Question 3 : Riri saute en l’air à 5 mètre de hauteur (hauteur absolue), quelle est la
vitesse de Riri juste avant qu’il touche la balançoire ?
On négligera les frottements.
A)
B)
C)
D)
E)
Question 4 : Quelle est la vitesse de Toto juste après que Riri touche la balançoire ?
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 4 : Théorème de l’énergie cinétique (**)
Rédacteur : Guillaume
Partie I : tennis
Un célèbre tennisman espagnol lance à la main la balle en l’air pour servir.
Il lâche la balle à une hauteur
avec une vitesse
verticale vers le haut.
On donne : masse de la balle
et accélération de pesanteur
1) Sans considérer les frottements, quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?
A) 3,21 m
B) 3,83 m
C) 4,15 m
D) 4,77 m
E) 5,59 m
2) On considère maintenant les frottements. La balle monte à une hauteur maximale
En déduire le travail des frottements au cours de la montée :
A) -0,12 J
B) -0,24 J
C) -0,37 J
D) -0,49 J
.
E) -0,68 J
Partie II : lancer de marteau
Une athlète russe (bon, d’accord, elle n’est pas aussi célèbre), tourne sur elle-même en tenant son
marteau (une boule d’acier de masse
attachée à un fil de longueur
, et pas
un truc pour planter les clous !).
Initialement, ses bras sont tendus (longueur
) et la boule a une vitesse
.
On négligera les frottements et la masse du fil. Le mouvement est uniquement dans un plan
horizontal.
On assimilera le rayon de la trajectoire circulaire à la longueur du fil plus celle des bras.
51
1) Tatyana fléchit les bras, ce qui amène leur longueur à
du moment cinétique, calculer la nouvelle vitesse de la boule :
A) 6 m/s
B) 11 m/s
C) 15 m/s
D) 20 m/s
. En appliquant le théorème
E) 23 m/s
2) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, calculer le travail effectué par les muscles
fléchisseurs de ses bras :
A) -208 J
B) 0 J
C) 350 J
D) 608 J
E) 750 J
Aide exercice 2 : la force est toujours colinéaire au fil mais pas toujours perpendiculaire au mouvement de la boule. Le
poids est perpendiculaire au mouvement à tout instant.
52
Chapitre n°3 : Magnétisme
Cours
Ce chapitre est réputé pour sa difficulté et est très souvent abandonné. Pourtant, c’est l’un des
chapitres les plus importants, car non seulement il vaut un nombre de points conséquent au
concours, mais il est aussi indispensable à la compréhension des chapitres sur la RMN et des ondes
électromagnétiques qui suivent. C’est maintenant qu’il faut le travailler, pendant que tu n’es pas
encore débordé par d’autres matières comme l’anat’.
Il faut l’aborder doucement, s’assurer de sa bonne compréhension partie par partie, poser des
questions, et faire de nombreux exercices pour se l’approprier. Il y a une articulation logique du cours
que tu dois repérer et que je m’efforcerai de mettre en évidence par mes commentaires.
Ici, tu dois maîtriser tes formules trigonométriques, les dérivées, les intégrales, les équations
différentielles et surtout le produit vectoriel pour bien suivre… Alors arme-toi de toutes les manières
possibles pour réussir à terrasser le magnétisme et le faire tomber de son piédestal ! Bon courage !
PARTIE 1 : INDUCTION DE CHAMP MAGNETIQUE
I) Loi de Biot et Savart
Une particule chargée en déplacement émet autour d’elle un champ magnétique, noté , exprimé
en Tesla (T =
). Ce champ fait correspondre à chaque point M de l’espace un vecteur
.
Par analogie, un petit élément de fil conducteur (dans
lequel se déplace des électrons), situé en A, émet un
champ magnétique au point M d’expression :
Où :



est le courant circulant dans l’élément de fil, en Ampère (A).
est la longueur infinitésimale (très petite) de l’élément conducteur. Sa direction est celle
de l’élément du fil, son sens est celui du courant par convention.
est le vecteur
.
53

est une constante fondamentale appelée perméabilité du vide qui vaut exactement :
.
Astuce : pour déterminer l’orientation du champ, utilise la règle des trois doigts : le pouce
selon
, l’index selon et le majeur indiquera la direction de
.
Remarque : On peut dessiner des lignes de champ autour d’un conducteur. Une boussole
s’aligne selon les lignes de champ, c’est-à-dire dans le sens de
(cf « Dipôle magnétique »)
II) Champ crée par un fil infini
Nous avons vu le champ crée par un petit élément de fil. Cependant, comprends bien que ce qui nous
intéresse, c’est de déterminer le champ d’un fil entier ! Nous allons donc voir des exemples sur la
méthode à employer (voir fiche méthodologie).
On travaille en coordonnées sphériques dans un repère
. On peut déjà remarquer que :



Etape 1 : déterminer le champ créé par un petit élément
de fil
On applique la loi de Biot et Savart :
Etape 2 : Tout exprimer en fonction d’une seule variable
Nous allons exprimer toutes les variables en fonction de l’angle
seuls r et dl dépendent de
:

54
. On remarque que
Enfin, on remplace dans l’expression de
:
Etape 3 : Déterminer le champ total
Maintenant, nous allons additionner tous les
crées par l’ensemble des petits éléments qui
composent le fil. Or l’addition d’un ensemble de composants infinitésimaux (très petits) définit
l’intégrale. Il faut bien choisir les bornes de celui-ci, de manière à décrire tout le fil, qui est infini : on
remarque que varie entre et .
Ouf ! On est arrivé au bout ! Si tu as compris le raisonnement, tu as probablement compris la partie
la plus compliquée du chapitre.
Remarque :



Cette formule est un résultat de cours, à savoir utiliser (tu perdras trop de temps à la
redémontrer le jour du concours) !
On peut facilement adapter la formule à un fil fini (ou même semi infini), en modifiant les
bornes de l’intégrale :
Attention au « sens » des bornes, il doit respecter les conventions qu’on a fixées par
rapport à
et au sens du courant I (même sens).
55
III) Champ crée par une bobine
a) Champ induit par une spire sur son axe
Avant toute chose, imprègne-toi des schémas. Tu remarqueras que les composantes en dehors de
l’axe (Oz) s’annulent à cause de la symétrie de la spire. Nous ne calculerons donc que la composante
!
On remarque que :


Etape 1 : Déterminer le champ crée par un petit élément de fil :
Loi de Biot et Savart :
Dans le produit
Or
, seule la composante selon (0z) nous intéresse.
ne nous intéresse pas car il n’est pas selon
56
.
Etape 2 : Tout exprimer en fonction d’une seule variable
On remarque que ne dépend ni de , ni de . En effet, ces deux derniers sont constants pour un
même point P d’application du champ. Donc pas de travail supplémentaire cette fois !
Etape 3 : Déterminer le champ total :
Il suffit de décrire le champ en intégrant selon la longueur du fil.
On a fini, mais comme cette formule n’est pas très pratique à utiliser, on va l’améliorer un peu :
Remarque : elle a l’air plus lourde, mais tu verras qu’elle est beaucoup plus facile à utiliser !
Cas particuliers (faites les démonstrations !) :

Le champ au centre de la spire (en d = 0) est :

Le champ très loin de la spire (d>>R) est :
57
b) Bobines d’Helmholtz


Une bobine (ou solénoïde) est un assemblage de plusieurs spires parcourues d’un courant.
Il existe un montage particulier, appelé bobines d’Helmholtz où l’on place deux bobines de
rayon R sur un même axe, espacées d’une distance R.
Sur le schéma suivant représente les champs émis par chaque bobine individuellement et le
champ total émis par une bobine d’Helmholtz.
Intérêt : Cette configuration permet de créer un champ uniforme (c’est-à-dire égale en tout point
de l’espace). Elle est à la base de nombreuses constructions, dont l’IRM (imagerie par résonnance
magnétique).
c) Champ crée par un solénoïde infini
Le champ à l’intérieur d’un solénoïde infini d’axe (Oz) est uniforme et vaut :
Avec N le nombre de spires par unité de longueur.
Remarques :


Pour trouver le sens du champ, « enroulez » avec votre main la spire/bobine dans le sens du
courant, votre pouce sorti vers l’extérieur indique la direction du champ.
En dehors du solénoïde infini, le champ est nul.
58
PARTIE 2 : FORCE EXERCEE PAR UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UNE
PARTICULE
C’est bien de calculer des champs magnétiques, mais tu commences sans doute à te demander à quoi
ça sert. Nous allons voir dans cette partie les conséquences de l’application d’un champ sur une
particule en mouvement.
I) Force exercée sur une charge en mouvement : Force de Lorentz
a) Déviation d’une particule chargée
Les particules chargées sont déviées lors de leur déplacement dans un champ magnétique. Pour une
particule animée d’une vitesse de charge q et de masse m, l’expression de l’accélération est :
Le poids des particules étant négligeable, on déduit à l’aide du principe fondamentale de la
dynamique qu’il l’existe une force qui s’exerce sur la particule, telle que :
Cette force s’appelle la force de Lorentz.
b) Travail de la force de Lorentz
Le travail élémentaire est :
=
Et comme

Par permutation circulaire du produit vectoriel (cf cours de mathématiques) :
dt
Sachant que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :
Conséquences :



La force de Lorentz ne travaille jamais.
Elle ne peut pas mettre une particule immobile en mouvement (théorème de l’énergie
cinétique).
Elle ne peut pas faire varier la vitesse d’une particule.
59
II) Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
a) Caractéristique du mouvement
On peut décomposer le vecteur vitesse en deux composantes : une composante
et une composante
dans le plan (Oxy).
selon l’axe (Oz)

Nous avons vu que la force de Lorentz ne travaille pas, donc la vitesse totale

La force selon (Oz) est nulle :
Donc, la composante est constante.
Comme et sont constantes,
est constante.

est constante.
.
On peut donc décrire
comme un vecteur qui précesse autour
de l’axe de norme constante, ce qui est vérifié par l’égalité :
(Sa norme est bien constante :
)
On a donc d’une part :
(le
provient du fait qu’on dérive des fonctions composées, de type (v°u)’ = u’v’(u) )
D’autre part, d’après le principe fondamental de la dynamique :

On en déduit l’égalité :
Donc :
La vitesse angulaire est donc constante !
60
b) Trajectoire de la particule
J’ai procédé différemment du professeur pour ce calcul, car je trouve celui-ci plus simple. Les deux
aboutissent au même résultat de toute façon.
Considérons que la particule se déplace dans le plan (Oxy), perpendiculaire au champ magnétique.
La force est radiale, la vitesse uniforme, on en déduit que la particule a un mouvement circulaire
plan.
Or, la norme de l’accélération centripète s’écrit :
D’où (PFD) :

c) Application : le spectromètre de masse
Le spectromètre de masse est une méthode
d’analyse utilisée en laboratoire :
On génère des ions, on les accélère grâce à un
champ électrique, puis ils pénètrent dans une
zone où le champ magnétique est uniforme
pour décrire un demi-cercle. En fonction de
leur masse, le rayon de leur trajectoire varie.
Ils sont alors détectés et identifiés en sortie.
On a toujours :
61
PARTIE 3 : FORCE EXERCEE PAR UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UN CIRCUIT
On va maintenant s’intéresser aux effets d’un champ magnétique sur l’ensemble d’un circuit. Nous
commencerons par le point de vue microscopique pour comprendre la force macroscopique.
Introduction : notions d’électrostatique
Le professeur considère que vous connaissez ces notions d’électrostatique sans réellement les
expliquer. Elles ne sont pas vraiment au programme, mais elles te permettront de comprendre les
prochaines lignes.

Loi de Coulomb :
Tu as appris au lycée que deux charges électriques distantes de r exercent l’une sur l’autre une force
régie par la loi de Coulomb (ou interaction électrostatique) :

Champ électrique :
On en déduit qu’une charge q’ émet un champ électrique
qu’une charge q placée en M subit une force de :
(unité :
autour d’elle, telle
avec

Potentiel électrique :
On définit le potentiel électrique par :
Le potentiel créé par une charge q à un point M est donc (à une constante d’intégration près) :
On s’intéresse souvent à la différence de potentiel
électrique) :
62
de deux points distants de a (ou tension
I)
Effet Hall
Pour rappel, un conducteur parcouru d’un courant est composé de charges mobiles (électrons) et de
charges fixes (positives) organisées en un réseau cristallin.
On s’intéresse à un conducteur soumis à un champ magnétique
, parcouru par un courant
orienté selon
. Déterminons d’abord la vitesse des électrons, qui circulent en sens inverse du
courant (voir schéma). On a :
Avec
le nombre d’électrons par unité de volume et la charge élémentaire.
D’où
Ils subissent donc la force de Lorentz :
Cette force « pousse » donc les électrons vers les y négatifs, ce qui crée une accumulation de charge
négative de ce côté, une accumulation de charge positive de l’autre côté. Il apparait donc un champ
électrique qui engendre une force . Cette force attire les charges négatives vers les charges
positives, elle est donc orientée selon
au niveau des électrons.
Conséquence : La force électrique contrecarre la force magnétique.
63
On écrit alors l’égalité :
On va donc avoir une différence de potentiel entre les deux côtés
qui sont espacés d’une distance a.
Intérêt :


II)
On peut déterminer le nombre d’électron dans un conducteur en le soumettant à un
champ magnétique connu.
On peut mesurer l’intensité et la direction d’un champ magnétique inconnu. Pour ça, on
utilise des sondes à effet Hall, où n et b sont connus. Elles ont l’avantage d’être rapides, de
petite taille et sensibles.
Force de Laplace
Le même champ électrique que nous avons vu pousse les charges fixes du réseau cristallin.
Le nombre de charge par unité de volume a la même valeur que celle des électrons : n.
La charge totale d’un élément de fil de longueur dl vaut :
64
La force subie par le fil vaut donc :
qu’on réorganise un peu pour trouver :
On l’appelle Force de Laplace, il s’agit de la force électromagnétique qui s’exerce sur l’ensemble
des charges d’un matériau conducteur. C’est la force qui va déplacer macroscopiquement des
circuits en présence d’un champ.
PARTIE 4 : DIPOLE MAGNETIQUE
I)
Définition d’un aimant et d’un dipôle
On appelle un matériau qui émet un champ magnétique :
aimant.
Exemples : Circuit parcouru d’un courant, mais aussi
certaines substances spontanément aimantées (Fe, Co,
Ni…), certains oxydes métalliques (magnétite, ilménite…)
et des alliages (Néodyme-fer-Bore est le plus puissant
d’entre eux). Certaines substances peuvent être
aimantées artificiellement.
Lorsqu’on s’éloigne suffisamment d’un aimant, on peut
considérer celui-ci comme un dipôle magnétique.
II)
Champ magnétique et moment d’un dipôle
Loin d’un aimant, le champ est dipolaire. On peut l’écrire :
Où
est le moment magnétique (dipolaire).
Ecrivons-le d’une autre façon :
65
Pour cela, on projette le moment
sur
et
(petit schéma pour y
voir clair) :
On remplace :
Donc :
Moment dipolaire d’une spire :
Nous avons précédemment montré que le champ très loin de la spire (
) est :
C’est le champ d’un dipôle magnétique de moment dipolaire :
où S est la surface de la
spire et un vecteur normal perpendiculaire au plan où se trouve la spire, et orienté de façon à ce
que le courant tourne dans le sens positif trigonométrique par rapport à lui.
Cette formule de
fermé.
est valable pour toutes les formes de spires, c’est-à-dire pour tout circuit
66
III)
Travail de retournement et énergie potentielle d’un dipôle
On va s’intéresser au travail d’une force exercée par un opérateur pour
retourner un circuit dans un champ magnétique (voir schémas pour
comprendre le mouvement). On prend comme modèle une spire carrée.
La force de Laplace exercée sur les fils supérieur et inférieur vaut :
De même pour les fils antérieur et postérieur, on a :
On applique une force d’un opérateur, qui est l’opposé de la Force de Laplace. Le déplacement
obtenu est tel qu’on peut écrire le déplacement élémentaire :
.
Remarquons que dz est dy sont négatifs.
Le travail est :

Pour le fil supérieur :

Pour le fil inférieur (le déplacement est l’opposé de

Pour les fils antérieur et postérieur, le travail est nul :
):
Donc au total :
On intègre ensuite. Les bornes sont les positions initiale et finale sur l’axe (0y) :
avec S la surface de la spire.
67
D’un point de vue énergétique, le système est passé d’un équilibre d’énergie
d’énergie , tel que :
à un équilibre
On peut donc écrire à une constante près :
et
de telle sorte que
En généralisant, on trouve que l’énergie potentielle d’un dipôle magnétique est :
Il y a un équilibre stable lorsque
quand et
la RMN !
IV)
et
sont colinéaires de même sens et un équilibre instable
sont colinéaires de sens opposé. Cette notion sera primordiale dans le chapitre de
Couple agissant sur un moment magnétique
De la même manière qu’une force dérivant d’une énergie potentielle tend à ramener un objet à sa
position d’équilibre stable (comme le poids tend à ramener une bille au fond d’une baignoire), il
existe un couple qui tend à rapprocher
de
pour atteindre une position d’équilibre stable :
Application : La boussole s’oriente pour minimiser son énergie potentielle : son moment magnétique
s’aligne dans le sens du champ.
PARTIE 5 : INDUCTION MAGNETIQUE
I)
Force électromotrice induite
Considérons que l’on met en mouvement un fil rectiligne de longueur L dans un champ
constant dans le temps. La vitesse du fil vaut
.
Les électrons dans le fil subissent la force de Lorentz :
68
L’effet de cette force est le même qu’un champ électrique fictif, que l’on appelle champ
électromoteur :
Une différence de potentiels entre les extrémités du fil apparait alors. On parle de force
électromotrice induite (

ou f.é.m):
En l’écrivant différemment :
Avec
qu’on appelle le flux magnétique de
avec
(pour
à travers le circuit :
cf définition moment magnétique)
Remarques :
 Dans le cas d’un champ variable dans le temps sur un circuit immobile, on retrouve la même
formule par changement de référentiel.
 L’intégral se fait sur la surface délimitée par la spire (c’est une « double » intégrale, car on
intègre sur une longueur dl²)
II)
Loi de Faraday
Quelle que soit la cause de la variation de flux magnétique, il apparait dans le circuit une force
électromotrice induite qui s’écrit :
Avec
III)
Une application : le transformateur
Le transformateur est constitué de deux bobines de
et
spires respectivement. Un noyau de fer permet de guider les
lignes de champ magnétique d’une bobine dans l’autre.
Elles sont alimentées par une tension variable et sinusoïdale de
la forme :


Calculons leur flux respectif :
et
où S est la surface d’une spire.
69
Deux cas :

Fonctionnement en court-circuit
On crée un court-circuit dans la bobine 2 (en reliant les extrémités du fil) :
Or d’après la loi de Faraday :
On en déduit que le champ
est nul.
Or celui-ci vaut :
(formule adaptée du solénoïde)
On en déduit :

Fonctionnement à vide
C’est le fonctionnement dans le cas où
et
ne sont pas nuls.
70
PARTIE 5 : FICHES METHODOLOGIQUES
I)

Méthodologie du calcul de champ magnétique
Etape 1 : Déterminer le champ magnétique crée par un petit élément du circuit.
-On applique la loi de Biot et Savart (valable pour tout type de circuit) :
Pour cela, on repère dans l’énoncé à quoi correspondent
et
.
-On réalise le produit vectoriel. Il faut exprimer ou en fonction de vecteur unitaire d’un
système de coordonnée. La règle des trois doigts ou du tire-bouchon peut être pratique pour
vérifier vos calculs.

Etape 2 : Exprimer toutes les variables en fonction d’une seule variable.
-Il sera impossible d’intégrer si on ne prend pas en compte toutes les variables. Il faut donc
toutes les exprimer en fonction d’une seule variable.
-Repérer quelles sont les variables et quelles sont les constantes.
-Souvent, on choisira un angle, il faudra recourir aux propriétés de trigonométrie pour exprimer
toute variable en fonction de constantes et de cet angle. Quand c’est possible, choisissez
d’intégrer en fonction d’une longueur, c’est beaucoup plus simple (mais impossible dans le cas
d’un fil infini par exemple).

Etape 3 : Déterminer le champ total en intégrant
-La somme du champ induit par chaque petit élément permet de déterminer le champ global.
Or
. L’opération de somme consiste donc en une intégration.
-Déterminer les bornes de l’intégrale : il faut « décrire » l’ensemble du système. La variable varie
de la borne 1 à la borne 2. Cette notion, un peu abstraite, sera mieux illustrée dans les calculs de
champ.
Remarque très importante :
Tu tomberas sur deux types de calculs de champ magnétique :
-Des circuits composés d’exemples du cours. Ne perds pas de temps à tout redémontrer et
utilise/adapte tes formules de cours. Exemples : un circuit composé de plusieurs spires, de fils
rectilignes, de solénoïdes…
- Des circuits « inédits ». Utilise cette méthodologie. Exemples : Spirale, sphère chargée en
mouvement, …
71
II)
Quelques exemples de calcul de champ usuel
Pour mieux comprendre la méthodologie, voici quelques exemples de champ magnétique qu’on
pourrait te demander de calculer, issus des ED de l’année dernière. Essaie de les faire avant de
regarder la démonstration !
1) Adapter une formule de cours
Champ d’un fil fini
Calculer le champ magnétique au point P en fonction des angles et . On note
la distance HP. On reprend la formule du cours pour un fil infini, juste avant
d’intégrer :
On a changé les bornes de manière à décrire le fil, de haut en bas dans le sens de
l’intensité. On calcule alors :
Attention ! J’ai pris
négatif !
Champ au centre d’une spire carrée de côté a
On calcule d’abord la contribution du champ du segment AD, qui
est celle d’un fil fini :
(
pointe vers nous)
Avec :
,
et
Chaque côté crée un champ de même norme et même sens au centre, donc :
72
2) Calculer un champ « inédit »
Spirale logarithmique infini
Soit une spirale logarithmique d'équation
avec une constante. Elle est parcourue par un courant
d'intensité I, dirigé de son centre O vers l'infini. Calculer le champ
magnétique créé en O par une partie de la spirale comprise entre
et .

Etape 1 : Déterminer le champ magnétique crée par un petit élément du circuit.

Etape 2 : Exprimer toutes les variables en fonction d’une seule variable.
Les variables sont
et
. Nous allons intégrer en fonction de , donc exprimer
en fonction de .
On a

Etape 3 : Déterminer le champ total en intégrant.
Et oui, ça marche même avec des formes bizarres !
Solénoïde fini :
Celui-là, je le mets car il est assez « classique », mais le calcul n’est pas facile.
On considère un solénoïde de longueur L, d’axe de révolution Oz, de rayon R, comportant N spires
jointives, parcourues par un courant I. On note z la côte d’une spire vue sous un angle depuis un
point M de l’axe Oz à la distance z. Exprimer le champ magnétique en tout point M de l’axe Oz en
fonction des angles et , angles sous lesquels les faces du solénoïde sont vues (cf. figure).
73

Etape 1 : Déterminer le champ magnétique crée par un petit élément du circuit.
On pose
le nombre de spires par unité de longueur. On considère le champ
petit nombre de spire
, sur une longueur
du solénoïde. On a donc :
Connaissant le champ d’une spire :

Etape 2 : Exprimer toutes les variables en fonction d’une seule variable.
Les variables sont
et r
On veut exprimer r en fonction de .
Pour exprimer dz en fonction de

Remarque : la dérivée de
:

est
.
74
émis par un

Etape 3 : Déterminer le champ total en intégrant.
Remarque : attention aux signes, il y a de quoi se tromper entre les moins de la primitive et
devant la formule.
75
Chapitre n°3 : Magnétisme
Exercices : Séance 1
Exercice 1 : Champ magnétique d’un circuit (*)
Rédactrices : Lisa et Chloé
On considère un fil infini parcouru par un courant d’intensité I = 20 mA qui aurait été tordu autour
d’un point que l’on prendra comme origine du repère de telle sorte qu’on peut le décrire de la façon
suivante :
Une extrémité (fragment 1) rectiligne et contenue dans un plan parallèle à xOz et coupant
l’axe Oy en y = 4 cm
Un fragment (2) décrivant un demi-cercle de rayon r = 4cm
L’autre extrémité (fragment 3) est également rectiligne et contenue dans un plan parallèle à
xOz et coupant Oy en y = - 4 cm
Le courant circule dans le sens indiqué sur le schéma suivant :
1) Déterminer la contribution du premier fragment au champ qui règne en O ?
A)
B)
C)
D)
E)
76
2) Déterminer le champ total qui règne en O
A.
B.
C.
D.
E.
Exercice 2 : Loi de Biot et Savart (*)
Rédactrice : Chloé
On se place dans un référentiel orthonormé direct
ont pour vecteur unitaire respectivement
1) On considère à l’instant
Exprimer
au point
On donne
,
et dont les axes directeurs
.
l'élément de courant
placé à l’origine O du repère.
à cet instant en utilisant la loi de Biot et Savart.
et a =
.
On rappelle que
A.
B.
C.
D.
E.
2) On considère toujours à l’instant l'élément de courant
Exprimer maintenant
au point
à cet instant.
On donne
,
et
.
A.
B.
C.
D.
E.
77
placé à l’origine O du repère.
3) On considère maintenant à l’instant l'élément de courant
placé en
Exprimer
au point
à cet instant en utilisant la loi de Biot et Savart.
On donne
,
,
,
et
.
.
A.
B.
C.
D.
E.
Exercice 3 : Champ crée par un triangle équilatéral (**)
Rédactrice : Chloé
Calculez le champ magnétique créé au centre O d’un triangle équilatéral direct ABC et traversé
par un courant d’intensité I (pour répondre à cette question il peut être utile de calculer dans un
premier temps la contribution au champ en O d’un seul côté du triangle).
On donne
et
.
A.
B.
C.
D.
E.
Exercice 4 : Mouvement d’une particule dans un champ (***)
Rédacteur : Ali et Adrien
Partie 1
Durant tout l’exercice, nous nous placerons dans le référentiel lié au fil infini.
Nous considérons un électron situé à une distance
, d’un fil infini uniformément chargé.
Nous admettrons que le fil infini exerce à tout instant et en tout point sur l’électron, situé à une
distance
de ce dernier, une force telle que :
Initialement, la particule a un mouvement de rotation dans le sens trigonométrique positif à vitesse
uniforme autour du point O (origine du repère) situé sur le fil infini.
78
Nous soumettons alors cette particule à un champ électrique
tel que
avec
Nous considérerons que le champ exerce alors sur la particule une force
de la particule.
.
, avec q la charge
On donne :



Combien de tour(s) la particule aura-t-elle fait lorsqu’elle arrivera au plan de cote
A)
B)
C)
D)
E)
1 tour
2 tours
3 tours
4 tours
5 tours
79
?
Partie 2
On accélère des ions dans un spectromètre de masse. Quel(s) ions aurai(ent) la même trajectoire
que les ions
s’ils étaient accélérés à la même vitesse ?
A)
B)
C)
D)
E)
Un cation azote :
Un anion azote :
Un dication azote :
Un cation diazote :
Un dication diazote :
80
Chapitre n°3 : Magnétisme
Exercices : Séance 2
Exercice 1 : Force de Laplace (*)
Rédacteur : Léon
1) Un fil de longueur L = 1m orienté vers les x croissants et placé dans un champ d’induction
magnétique
(en Tesla) est parcouru par un courant I = 5A.
Quelle est la force exercée sur le fil (en N) ?
A)
B)
C)
D)
E)
2) On place 2 fils infinis séparés l’un de l’autre par une distance D, parcourus par des courants I1 et
I2 de sens opposés.
81
A) L’expression du champ magnétique créée par le fil 1 en tout point du fil 2 est :
B) L’expression de la force créée par le fil 1 et agissant sur une partie infinitésimale
du fil
2 est :
C) L’expression de la force créée par le fil 1 et agissant sur une partie infinitésimale
du fil
2 est :
D) Les deux fils se repoussent l’un et l’autre avec une force de même norme.
E) Si les courants étaient de même sens, les fils s’attireraient l’un vers l’autre.
Exercice 2 : Dipôles magnétiques (***)
Rédactrice : Chloé
On se place dans un plan défini par les vecteurs unitaires
et
.
Deux dipôles magnétiques de moments
et
(avec
et
) et sont placés respectivement en A et en B, situés à une distance
l’un de l’autre, ils peuvent s’orienter librement dans le plan.
On suppose que ces dipôles sont ponctuels car ils sont de dimensions négligeables face à d ;
on fera également l’approximation dans cet exercice qu’au voisinage de chaque dipôle, le
champ créé par l’autre dipôle est constant (à noter que ceci n’est plus vérifié si l’on s’éloigne
suffisamment).
On appelle
et
.
l’angle entre (AB) et
, tandis que
82
correspond à l’angle entre (AB)
1) Calculer l’énergie potentielle du dipôle 2 dans le champ crée par le premier dipôle
lorsque
et
A)
B)
C)
D)
E)
2)
Déterminer l’expression (en
celui de moment
:
) du couple exercé par le dipôle de moment
sur
A)
B)
C)
D)
E)
3)
Pour
, quelle doit être la valeur de
(en degrés) pour observer un
équilibre stable ?
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 3 : Flux magnétique(**)
Rédactrice : Chloé
On dispose de deux conducteurs identiques parallèles que l’on suppose infiniment longs, de
rayon
, dont les axes sont distants d’une distance
. Le conducteur de gauche
est traversé par un courant d’intensité
dirigé vers le haut et le conducteur de droite est
traversé par un courant de même intensité mais dirigé vers le bas.
1) Calculer le champ magnétique au point M situé entre les deux conducteurs à une distance
de l’axe du conducteur de gauche. Nous assimilerons les conducteurs à des fils
de section négligeable.
A)
B)
C)
D)
E)
83
2) Calculer le flux magnétique à travers la surface rectangulaire délimitée par les deux conducteurs
et de longueur
(on fera attention pour cette question à choisir correctement la largeur de
la surface considérée).
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 4 : Bobines d’Helmholtz (***)
Rédacteur : Adrien
Deux spires circulaires identiques de rayon R = 5cm sont placées sur un même axe (Oz), de part et
d’autre et à une distance de l’origine. Elles sont parcourues par un même courant
(sens positif trigonométrique par rapport à l’axe). Pour des raisons de lisibilité, le schéma n’est pas à
l’échelle.
1) Calculer le champ induit par les deux spires à l’origine.
A)
B)
C)
D)
E)
2) On inverse le courant de la spire de gauche (z<0). Quel est alors le champ au centre de cette
même spire ?
A)
B)
C)
D)
E)
84
Un enfant s’amuse avec les boutons du générateur qui alimente les spires. Il fait varier l’intensité de
telle sorte que le champ magnétique total auquel la spire de droite est soumise s’écrit :
T avec
. La résistance de la spire est
.
3) Il se demande (mais si !) quelle est l’intensité du courant induit par la variation de flux
magnétique au bout d’une seconde :
A)
B)
C)
D)
E)
85
Chapitre n°4 : Introduction à la physique des ondes
Cours
Au concours, les ondes représentent le tiers des questions : pas d’impasse possible ! Et il y avait des
points « faciles » ! Ce chapitre est abordable à condition de bien connaître (ou avoir sous les yeux)
vos formules de trigonométrie et le principe des dérivées partielles. Nous ne reviendrons pas sur les
notions de terminale déjà traitées, qui sont supposés acquises.
PARTIE 1 : MODELISATION MATHEMATIQUE D’UNE ONDE : cas général
I)
Fonction d’onde à une dimension spatiale
On peut modéliser la perturbation créée par une onde à l’aide d’une fonction à deux variables qui
dépend du temps et de l’espace. On la note :
.
Ces deux composantes et ne sont pas indépendantes, mais sont liés entre elles. On note u la
fonction qui relie t et x. Déterminons u :
La source crée une perturbation à l’origine à l’instant t :
au point d’abscisse
Le mouvement de la perturbation
est le mouvement de la source avec un retard :
point x sera celle de la source au temps :
. La perturbation au
. On peut donc écrire au point x :
.
La relation entre t et x est donc
croissants), et
si la célérité est positive (l’onde se déplace vers les x
si la célérité est négative (l’onde se déplace vers les x décroissants).
Au final, on peut écrire
.
Cette relation est générale et concerne tout type d’onde.
II)
Equation d’Alembert
Ondes à une dimension :
Alembert propose une équation qui régit la propagation d’une onde dans le temps et l’espace
(admise) :
86
Sans la résoudre, on peut déjà donner quelques propriétés essentielles :


Elle est invariante dans le temps et dans l’espace. Toute variation dans le temps est
compensée par une variation dans l’espace. Donc si
est solution,
est
aussi une solution.
Elle est linéaire, il existe donc un principe de superposition : si
et
sont solutions, alors
est aussi solution.
Résolution :
Calcul lourd, âmes sensibles s’abstenir ! (seul le résultat est important)
On pose
et
.
dépend donc à la fois de
théorème de composition de fonction :
Or
et
Notre système d’équation devient alors :
On recommence une deuxième fois :
On connait déjà
et
, donc on reporte :
87
et de . On peut donc écrire, par le
On introduit ensuite le tout dans l’équation d’Alembert :
Et comme
:
où h est une fonction de v seulement ;
Qu’on intègre pour trouver
:
où f est une constante vis-à-vis de v, mais pas de u.
La solution générale est :
La solution générale de l'équation de d'Alembert se met donc sont la forme d'une superposition
d'une fonction f quelconque qui représente une onde qui se propage vers les x croissants, et d'une
fonction g quelconque qui représente une onde qui se propage vers les x décroissants.
III)
Ondes à deux ou trois dimensions
Equation d’Alembert à plusieurs dimensions
On réécrit simplement l’équation :
Pour simplifier les notations, on utilise souvent un opérateur
appelé le Laplacien.
Onde plane
Quel que soit le nombre de dimension de l’onde, on peut toujours trouver une solution qui ne
dépend que d’une variable, par exemple x :
. Cette fonction d’onde est alors
valable pour tout plan d’abscisse x, on parle d’onde plane.
88
Onde sphérique
On cherche la solution d’une onde
.
à trois dimensions en coordonnées sphériques. Posons
On simplifie par
, équation qu’on a déjà résolue :
PARTIE 2 : ONDES SINUSOIDALES
I)
Modélisation mathématique
Ceci est probablement LE paragraphe le plus important du cours. Il faut absolument le connaître
par cœur !
Rappel : Les ondes périodiques sont caractérisées par une double périodicité temporelle (période T)
et spatiale (longueur d’onde .
Il existe une certaine classe d’ondes périodiques qu’on peut modéliser par une fonction sinusoïdale :
Avec :



est appelé phase (en radian).
est appelé phase à l’origine ou déphasage (rad).
est l’amplitude de l’onde.

est la pulsation (

est le nombre d’onde(
, définie par
où f est la fréquence.
, défini par
On remarque que l’espace et le temps sont reliés par :
89
.
.
Le signe avant
est négatif pour un déplacement vers les x croissants, positif pour un déplacement
vers les x décroissants.
Remarquer qu’un déphasage de transforme le sinus en un cosinus.
II)
Théorème de Fourrier
Ce paragraphe a une importance pratique en physique des ondes, mais il est peu probable qu’on vous
fasse faire des calculs avec ce théorème, qui demande beaucoup de rigueur mathématique.
Soit f(u) une fonction périodique de période T, continue et dérivable partout. On peut la
décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de périodes sous-multiples de T :
Avec
la moyenne de la fonction d’onde.
Et
et
En pratique, on obtient une onde plus simple à manipuler. Vous remarquerez que la somme est
infinie, mais on peut faire une approximation en choisissant un
(d’autant plus précise que
est grand).
III)
Notation complexe
Il est possible d’utiliser la notation complexe pour une onde sinusoïdale. Prenons une onde :
Par invariance dans le temps, une autre solution est :
Par linéarité,
est aussi solution :
L’intérêt est de la rendre plus simple à manipuler !
90
PARTIE 3 : L’EFFET DOPLER
I)
Définition
L'effet Doppler est le changement de fréquence d'une onde périodique lorsque soit sa source
(émetteur) soit le récepteur est mobile.
Un exemple bien connu est celui d'une voiture de pompier ou une ambulance dont le son change de
hauteur lorsque qu’elle se rapproche puis s'éloigne. Nous verrons quelques applications en
médecine (enfin !).
II)
Récepteur mobile, source fixe
La source, fixe, émet une onde :
L’onde émise vers les x croissants est donc :
Le récepteur, lui est mobile. Il se déplace à une vitesse
vers les x croissants. Sa position est donc :
Comprendre que comme le récepteur s’éloigne de la source, il va recevoir l’onde plus tard qu’un
récepteur immobile en . On comprend déjà que la période T va être allongée.
Il reçoit finalement un signal de :
Or
Ainsi, l’onde reçue par le récepteur a la même amplitude, mais sa pulsation apparente est modifiée :
ou
La formule générale à retenir est :
)
Avec le vecteur vitesse du récepteur et le vecteur vitesse de l’onde parallèle à la direction de
propagation. est l’angle (
.
Dans l’exemple, comme
étaient colinéaires et de même sens,
91
.
III)
Source mobile, récepteur fixe
Cette fois-ci, c’est la source qui est mobile. On considère que le signal de l’émetteur est :
et qu’il se déplace à vitesse v. Sa position est donc :
On cherche l’onde qui se propage, qu’on note :
La condition à respecter est qu’à tout instant, l’amplitude de cette onde doit être égal à celle de la
source là où est se trouve, en X(t).
Donc
Ce qui nous donne d’une part
et d’autre part :
On peut alors faire une identification entre les termes qui dépendent du temps :

La formule générale à retenir est :
92
Exemples d’application de l’effet Doppler :
-
-
En médecine : On utilise l’échographie Doppler pour calculer la vitesse du sang. Un ultrason se
réfléchit sur une hématie en mouvement et retourne à l’émetteur avec une fréquence modifiée.
On l’utilise également pour mesurer la vitesse des parois cardiaques.
Chant : Les chanteurs d’opéra sont immobiles quand ils chantent, sinon leur public les entendrait
faux !
Animaux : Les chauves-souris utilisent une écholocation pour détecter leur proie.
PARTIE 4 : REFLEXION D’UNE ONDE SUR UN OBSTACLE
I)
Expérience
Considérons la réflexion d’une onde au bout d’une corde attachée à un mur. On secoue la corde loin
du mur, la perturbation se propage et elle se réfléchit en produisant une onde de même amplitude
mais de signe opposé.
II)
Interprétation
La perturbation initiale se déplace vers les x croissants et se caractérise par une fonction
d’onde incidente :
. On cherche la fonction
de l’onde réfléchie, qui se déplace vers
les x décroissants.
Au point attaché au mur, en x = L, la fonction d’onde est nulle.
93
A partir de
, l’onde réfléchie se déplace vers les x décroissants. On peut alors considérer que la
source de cette onde est en L, et utiliser le même raisonnement qu’au premier paragraphe du cours.
La perturbation à l’abscisse
sera donc celle de la source avec un retard :
perturbation en X sera celle de la source au temps
. La
.
Sachant que
On en déduit finalement que :
Dans le cas où
stationnaire.
est une fonction sinusoïdale, on observe un cas très particulier : l’onde est
PARTIE 5 : ONDES STATIONNAIRES
I)
Définition
La superposition de deux ondes sinusoïdales de même fréquence et même amplitude qui se
déplacent en sens opposé crée une onde stationnaire : on a l’impression qu’elle ne se propage plus
et qu’elle est statique. D’un point de vue mathématique, les variables du t et x ne sont plus liés
entre elles.
II)
Exemple de calcul
Considérons l’onde résultante de la somme de deux cosinus :
On obtient le produit d’une fonction qui ne dépend que du temps et d’une fonction qui ne dépend
que de l’espace. C’est bien une onde stationnaire.
94
Pour vos calculs, rappels des formules de trigonométrie (à toujours avoir avec soi) :







III)
Résonnance et harmoniques
Lorsqu’il y a une onde stationnaire, on dit que le système est en résonnance : On observe des points
qui correspondent à des extrema fixes, appelés ventres, et d’autres points qui sont immobile,
appelés nœuds. Déterminons les abscisses des nœuds :
Or, ni A, ni
ne sont nulles pour tout temps t. Donc :
avec
.
La distance entre deux nœuds est donc :
Même travail avec les ventres :

95

Et enfin, la distance entre un nœud et un ventre est :
Conditions limites (savoir-faire)
Il faut parfois que certaines conditions soient réunies pour rentrer en résonnance. Prenons une
corde dont les deux extrémités sont fixes, elle impose :
On reprend :

Première condition :



Deuxième condition :



La corde ne résonne que si cette relation entre sa longueur d’onde et la longueur de la corde est
respectée. De même, on peut remarquer que toutes les fréquences de résonnance sont des
harmoniques d’une fréquence fondamentale :
Concrètement, dans les exercices, il faut partir des conditions limites pour trouver la relation propre
au système entre la longueur d’onde et la longueur de la corde/tube/…
Application : Les instruments de musique utilisent les modes de vibrations dans leur fonctionnement.
96
IV)
Expérience de la corde de Melde
Ceci est un exemple très particulier, il ne sera pas traité dans le cours oral.
On attache une corde d’un côté à un vibreur, de l’autre côté au mur. Le vibreur a un mouvement
sinusoïdal. La rencontre de l’onde incidente et de l’onde réfléchie produit une onde stationnaire.
Seulement, la résonnance n’apparait que si certaines conditions sont respectées. Les conditions
limites sont au nombre de deux :


L’onde est imposée par le vibreur en x = 0. On fixe :
L’onde est nulle au point x = L.
L’expression de l’onde totale est sous la forme :
1)
Or, A’ n’est pas nul,
n’est pas constamment nul, donc :


On a donc :
2)
Par identification,
.
97
Donc :
98
Chapitre n°4 : Introduction à la physique des ondes
Exercices
Nous n’avons pas de séance d’ED pour les ondes. Cependant, ces QCM supplémentaires
sont destinés à ceux qui souhaitent aller plus loin. A l’instar des autres chapitres, une
correction détaillée vous sera fournie.
Exercice 1 : Fonction d’onde sinusoïdale (*)
Rédacteur : Adrien
1) Soit une onde sinusoïdale représentée par une fonction
célérité de
. On donne :
, qui se déplace avec un
Calculer la fréquence et la longueur d’onde :
A)
B)
C)
D)
E)
2) Parmi ces propositions, laquelle ou lesquelles sont exactes ?
A) L’onde est stationnaire.
B) L’onde se déplace vers les x croissants
C) L’onde se déplace vers les x décroissants
D) L’onde est périodique.
E) Cette onde déplace de la matière sans transport d’énergie
3) A un instant
A)
B)
donné, quel est la distance entre deux nœuds ?
C)
D)
E)
99
Exercice 2 : Effet Doppler dans un capillaire sanguin (***)
Rédacteur : Adrien
On peut utiliser une sonde à ultrason pour
déterminer la vitesse du sang. Dans un premier
temps, dans une artère, l’onde se réfléchit sur une
hématie (cellule sanguine) animée d’une vitesse V.
Les trajectoires de l’onde incidente et de la cellule
forme un angle
Données :
.
;
;
1) Déterminer différence de fréquence
l’hématie.
A)
B)
C)
D)
E)
avec
.
la fréquence de l’onde reçue par
2) Le rayon est alors réceptionné par le capteur. Calculer la différence de fréquence
avec la fréquence de l’onde reçue par le capteur.
A)
B)
C)
D)
E)
3) On utilise cette fois-ci ce dispositif sur un capillaire sanguin avec le même angle. L’appareil
reçoit une différence de fréquence
. Déterminer la vitesse du sang dans ce
capillaire.
A)
B)
C)
D)
E)
100
Exercice 3 : Ondes et notation complexe (**)
Rédacteur : Adrien
Le champ magnétique d’une onde électromagnétique polarisée en notation complexe est
avec
la partie réelle de
. Le champ magnétique
.
1) Déterminer l’expression du champ magnétique.
A)
B)
C)
D)
E)
De même, le champ électrique de cette onde en notation complexe est :
avec
.
2) Déterminer l’expression du champ électrique.
A)
B)
C)
D)
E)
Le vecteur de Poynting ou de densité de puissance s’écrit :
3) Déterminer le vecteur
(une ou plusieurs proposition(s) possible(s)).
A)
B)
C)
D)
E)
101
est
Exercice 4 : Vagues (*)
Rédacteur : Adrien
1) On s’amuse à faire des vagues dans une piscine de 10 m de longueur qui contient en son
centre un ballon situé au point B.
On assimile les vagues à des ondes sinusoïdales se propageant dans le sens des x croissant.
On donne :



A) Ici, on a en
.
B) Au temps
, le ballon sera pour la première fois au plus haut sur la vague.
C) Au temps
, le ballon sera pour la première fois au plus haut sur la vague.
D) Au temps
, le ballon sera pour la première fois au plus haut sur la vague.
E) L’onde est de type transversal.
2) Les vagues sont ensuite réfléchies au bout de la piscine et on obtient
une onde
. On nomme forme
l’onde résultante de
la somme des deux ondes
et
.
A. L’onde stationnaire est de la forme
B. L’onde stationnaire est de la forme
C. L’onde stationnaire est de la forme
D. L’onde stationnaire est de la forme
E. SI l’onde réfléchie avait une amplitude de
de
102
.
.
.
alors
.
aurait eu une amplitude
Correction rapide des exercices
Rappels de maths
Exercice 1
1)
2)
et
Exercice 2
1)
2)
Exercice 3
QCM : B
Rédactionnel :
1) a)
b)
2)
Exercice 4
I)
II) C
Exercice 5
1) A
2) C
3) AE
Exercice 6
Partie A :
1) BD
2) C
Partie B : AE
103
Exercice 7
Partie 1 :
1)
2)
Partie 2 :
1)
2)
Exercice 8
A) 1)
;
2)
B) 1)
2)
C) 1)
2)
Exercice 9
1)
2)
104
–
Mécanique
Exercice 1
1)
2)
3)
4)
B
A
C
C
Exercice 2
1) C
2) E
3) C
Exercice 3
1)
2)
3)
4)
DE
AB
A
BE
Exercice 4
Partie 1
1) B
2) D
Partie 2
1) D
2) C
105
Magnétisme
Séance 1
Exercice 1
1) B
2) E
Exercice 2
1) C
2) A
3) C
Exercice 3
Réponse D
Exercice 4
1) E
2) AE
Séance 2
Exercice 1
1) C
2) CDE
Exercice 2
1) A
2) E
3) C
Exercice 3
1) E
2) D
Exercice 4
1) D
2) B
3) E
106
Introduction aux ondes
Exercice 1
1) BE
2) BD
3) C
Exercice 2
1) C
2) D
3) C
Exercice 3
1) A
2) A
3) DE
Exercice 4
1) CE
2) A
107
108
INTRODUCTION A LA BIOPHYSIQUE
Bonjour petit PAES !
Te voilà face à la partie Biophysique de la pré-rentrée, avant de te lancer dans la partie théorique
voici quelques petites choses à savoir :
La biophysique est une matière à réflexion, c’est donc une matière complexe parce qu’il faut
comprendre ce que tu fais et pas seulement appliquer sans réfléchir.
Cependant c’est une matière qui rapporte des points « facilement » car elle est regroupée avec la
physique (matière qui rapporte moins de points, soyons honnête…).
Il ne faut donc pas la négliger, même si au sein de l’épreuve d’UE3.1 elle représente peu de QCMs,
c’est elle qui sauvera probablement ta note.
C'est surtout une matière qui nécessite de l’entraînement pour réussir, ça peut être long, mais une
fois qu’on a compris la logique c’est gagné !
Même si on bloque il faut essayer de faire l’exercice, car c’est à force de se tromper qu’on apprend
et qu’on progresse.
En gros, pour progresser en biophysique, n’hésite pas à poser des questions (canal question, profs
d’ED, tuteurs…) jusqu’à ce que tu aies compris.
Nous te souhaitons donc bon courage dans ton apprentissage !
109
Chapitre n°5 : Solutions et compartiments liquidiens
Cours : Solutions
Le cours sur les solutions, c’est la base de la biophysique, il s’agit de calculs de concentrations,
volumes et autres. Ce qu’il faut bien comprendre c’est les différents termes et les différentes unités
que l’on utilise. Une simple petite erreur là-dessus et tous vos calculs seront faux ! Donc assurezvous d’avoir bien compris ce chapitre le plus tôt possible.
La première chose à comprendre, c’est que notre corps se compose de « compartiments », et ce
sont ces compartiments que l’on va étudier en biophysique. Donc à retenir :
Sang = plasma + globules
Globules = hémoglobine + autres-trucs-divers
Plasma = eau + protides
Ensuite vous devez connaitre certains calculs pour trouver les valeurs qui vous intéressent.
Ils sont tous regroupés dans la suite de ce cours.
Si l’on sépare les volumes des compartiments sanguins on aura donc un volume de plasma et un
volume de globules (= volume de tous les globules, pas d’un seul) que l’on peut exprimer en
pourcentage du volume de sang ce qui donne :
Hématocrite =
en %
% de plasma dans le sang = 1 – Hématocrite
Maintenant on sépare ce qu’il y a à l’intérieur des globules et l’on va chercher à connaître la
concentration en hémoglobine dans les globules appelée concentration corpusculaire :
Concentration corpusculaire =
_____________________________
De manière plus générale on s’intéresse aux solutions (bah oui c’est quand même le titre du
chapitre…), ce sont des solutés (molécules, ions…) qui nagent dans un solvant.
On peut donc calculer, un peu comme l’hématocrite, le pourcentage de tel soluté sur l’ensemble de
la solution (rappel, la solution c’est les solutés ET le solvant et non pas juste le solvant).
=
C’est ce que l’on appelle la Fraction molaire =
Ce qui donne donc fH2O + fS = 1 (fraction de l’eau + fraction de tous les solutés = toute la solution)
_____________________________
110
Une notion importante de l’année, les différentes concentrations :
Que vous connaissez déjà :
en kg/m3 ou g/L
Concentration massique / pondérale = ci-massique =
Concentration molale = ci =
en mol/kg ou mmol/L d’eau
ci =
=
.
avec MH2O = masse molaire de l’eau = 0,018 kg/mol
Concentration molaire = ci-molaire =
en mol/m3 ou mmol/L de solution
ci-molaire =
Il faut bien comprendre la différence entre la concentration molale qui se calcule sur l’eau (le
solvant uniquement) et la concentration molaire qui se calcule sur la solution (solvant ET solutés).
Ainsi il existe un lien entre concentration molale et concentration molaire :
ci =
avec ф = fraction aqueuse de la solution =
(comme tout à l’heure il s’agit d’un pourcentage)
Revenons un peu sur les compartiments sanguins, le plasma est composé d’eau et de protides, on
peut donc calculer la fraction aqueuse du plasma :
ф plasma =
=
=
_____________________________
Une autre différence à bien saisir, les moles et les osmoles. Prenons un exemple, avec le NaCl. En
solution le NaCl se sépare en Na et Cl, on dit qu’une mole de NaCl se divise en deux osmoles (si l’on
avait du CaCl2 ce serait 3 osmoles bien sur). Ainsi pour une concentration molaire de NaCl de
140mmol/L on aura une concentration osmolaire de 280mOsm/L. Ce qui donne avec des formules :
Concentration osmolale = osmolalité = cosm =
en osm/kg ou osm/L d’eau
cosm =
fH2O =
=
cosm = ∑i . ci
111
.
en osm/m3 ou mOsm/L de solution
Concentration osmolaire = osmolarité = cosmolaire =
cosmolaire = ∑i . ci-molaire
cosm =
D’où : Osmolarité du plasma = ф . osmolalité
_____________________________
Maintenant que vous avez fait le tour des notions principales, voici quelques rappels et aides qui
peuvent vous être utiles face à un exercice :
-
Aide au calcul avec VIC/VEC (cf. chapitres suivants, mais je vous le mets ici pour plus tard) :
cosm =
=
(avec “ajouts éventuels” = par exemple lorsqu’on vous dit « on ajoute 15mmol de Na+ », sans
variation de volume)
-
Concentration équivalente = céq = ∑cations. zi . ci = ∑anions. zi . ci
-
Electroneutralité de toutes les solutions : céq (anions) = céq (cations)
-
Solution diluée : fH2O > 0,99 ; cosm < 0,56 osm/kg
-
Concentration plasmatique des protéines = (1- ф)
-
Rappel de conversions : 1cm3 = 1mL ; 1dm3 = 1L ; 1m3 = 103 L
-
Tableau récapitulatif des relations entre les diverses formules :
112
d
avec zi = valence de l’ion.
Chapitre n°5 : Solutions et compartiments liquidiens
Cours : Compartiments liquidiens
Comme je vous le disais la biophysique étudie les compartiments du corps, on va donc entrer un peu
plus dans le vif du sujet. Ce début de chapitre est souvent l’objet des premières questions
d’exercices, ce sont des points facilement gagnés une fois qu’on a compris mais surtout tous vos
calculs dépendront de ces premières valeurs, donc ne vous trompez pas !
Volume de distribution :
Le principe : on injecte un traceur dans le corps pour mesurer un volume à l’aide de calculs grâce aux
données apportées par le traceur. Il ne s’agit pas de mesures directes donc le volume de distribution
est un volume fictif. Il se calcule ainsi :
Volume de distribution Vd =
On peut utiliser différents traceurs (les formules suivantes sont adaptées selon le traceur) :
- Traceur exogène ou endogène marqué : traceur absent du corps à l’état basal.
V=
Avec Qexcrété = curines
=
Vurines
- Traceur endogène : traceur déjà présent dans le corps.
V=
Des traceurs à connaître et ce qu’ils permettent de mesurer :
V plasmatique
Eau Extracellulaire
Eau totale
Traceurs endogènes marqués (*) :
Albumine *
Na*, SO42- * (le plus fiable)
Eau *, urée *
Traceurs exogènes :
Bleu Evans
Mannitol
Antipyrine
On en déduit : eau IC = eau totale – eau EC, et eau interstitielle = eau EC – eau plasma.
113
Mesure du stock de soluté :
Le traceur va occuper le même volume que le soluté non marqué dans le corps soit :
VX = VX* 
 stock X =
=
. stock X*
avec : stock X* = Qinjectée - Qexcrétée
Attention, on ne mesure que le stock atteint par l’isotope (ex pour le Na : Na échangeable
uniquement).
Estimation des concentrations cellulaires (exemple : Na+) :
Le stock de Na correspond au Na intra et extracellulaire.
Stock Na = [Na]molale, EC
VEC + [Na]molale, IC
VIC  [Na]molale, IC =
114
Chapitre n°5 : Solutions et compartiments liquidiens
Exercices
L’exercice 1 comporte des questions de cours pour vous entraîner à utiliser les formules de cours. Les
exercices 2 et 3 sont des exercices type-concours.
Exercice 1
1) On considère que dans le plasma seules les protéines on un volume non négligeable. Leur
densité est égale à 1.
La concentration plasmatique des protéines est de 65 g.L-1
- Quelle est la fraction aqueuse du plasma ?
2) On considère que dans les globules rouges seule l’hémoglobine a un volume non
négligeable. Sa densité est égale à 1.
La concentration dans les globules rouges est égale à 32 g.L-1
- Quelles est la fraction aqueuse des globules rouges ?
3) On cherche à calculer la concentration molale de l’urée plasmatique.
On a : фpl = 0,94 ; [urée]pl = 4,8 mmol.L -1 de plasma ; M(H20) = 18 g.mol-1
- Quelle est la concentration molale de l’urée plasmatique ?
- En déduire sa fraction molaire
4) La concentration molale du Na dans le plasma est de 150 mmol.L-1 ; фpl = 0,94
- Quelle est la concentration molaire du Na dans le plasma
5) On injecte en IV à un patient après lui avoir demandé de vider sa vessie, quelques ml d’une
solution isotonique contenant 5200 unités d’urée marquée. Quelques heures après, on
effectue un prélèvement sanguin et on demande au patient de vider à nouveau sa vessie :
on recueille alors 180 ml d’urines. La quantité d’urée marquée est mesurée dans un
échantillon de 10 ml de ces urines. Cette quantité est égale à 30 unités. Sur le prélèvement
sanguin, on obtient les résultats suivants : concentration plasmatique de l’urée : 4,5 mmol/l
de plasma ; concentration plasmatique de l’urée marquée : 0,088 unité/ml de plasma
- En déduire le volume de distribution de l’urée ?
- Sachant que l’urée diffuse uniformément dans tous les compartiments liquidiens de
l’organisme, que représente ce volume ?
6) On injecte à un patient après lui avoir demandé de vider sa vessie, une solution isotonique
au plasma contenant 2200 unités de Na radioactif. Au bout de quelques heures on recueille
150 mL d’urines contenant 4 U.mL-1 de Na*et une concentration plasmatique d’urée
radioactive de 100 U.L-1.
- En déduire le volume de distribution du Na ?
- A quoi correspond ce volume ?
- Sachant que la concentration de Na dans ce milieu est de 140 mmol.L-1, quel est le stock
de Na ?
115
7) On injecte 150 mmol de mannitol (de volume négligeable) dans le milieu extra cellulaire d’un
patient. A l’équilibre on observe une concentration de 8,3 mmol.L-1 de mannitol dans le
compartiment EC.
- Quel est le volume de distribution du mannitol ?
8) On cherche à connaitre le stock de Na d’un patient. On lui injecte alors 1300 unités de Na
radioactif, ce qui donne une concentration de Na* de 83,3 U.L-1 après élimination de 300 U
radioactives
- Quel est son stock de Na sachant que sa natrémie est à 138 mmol.L-1 ?
- Quel est son volume extracellulaire ?
Exercice 2
Dans tout l'exercice on prendra la valeur la plus proche de la valeur trouvée.
Un P2 pesant 70 kg (et que du muscle!), a un volume total VT = 40 L. On considère que les boucles de
contrôle du bilan hydrique et du bilan sodé fonctionnent normalement.
Dans cet exercice, le corps sera considéré comme deux compartiments, un intracellulaire, et un
extracellulaire, séparés par une membrane imperméable aux ions mais laissant passer l'eau.
De plus on considérera qu'il n'y a que trois ions, Na+, Cl- et K+. On ne fera pas de distinction entre
concentration molaire et molale.
La concentration plasmatique de sodium cNa = 140 mmol.L-1
On souhaite mesurer son volume intra- et extracellulaire. Pour cela on injecte une solution
isotonique au plasma contenant 1200 unités de sodium radioactif Na* (le volume injecté est
suffisamment faible pour ne pas entraîner de mouvements d'eau ; on néglige la désintégration
radioactive du Na*).
Après injection, on mesure:
 la concentration plasmatique de Na* : cNa*, P = 58,8 u.L-1
 on recueille un volume d'urine : VU = 200 mL
 on mesure dans ce volume une concentration cNa*, U = 1000 u.L-1
1) Le volume de distribution du sodium radioactif est :
A. 14 L
B. 16 L
C. 17 L
D. 20 L
E. 22 L
2) En déduire le volume intracellulaire :
A. 17 L
B. 18 L
C. 20 L
D. 22 L
E. 23 L
3) Quel est, en mmol, le stock de sodium SNa total ?
A. 2381
B. 2857
C. 2,381
116
En déduire la concentration intracellulaire, en mmol.L-1, de sodium [Na+]ic :
D. 0,43
E. 0,043
Exercice 3 (Concours Faculté de Médecine Pierre et Marie Curie 2007)
On rappelle que la fraction aqueuse d’une solution est définie comme le rapport du volume d’eau
contenue dans la solution au volume total de la solution et que l’hématocrite est défini comme le
volume des globules rouges contenu dans un échantillon sanguin au volume total de cet échantillon
(on néglige les globules blancs et les plaquettes). On considérera que, dans le plasma, seules les
protéines occupent un volume non négligeable et que leur densité est égale à 1 (c'est-à-dire que leur
masse volumique est la même que celle de l’eau). On considérera de même que, dans les globules
rouges, seule l’hémoglobine occupe un volume non négligeable et que sa densité est aussi égale à 1.
On rappelle enfin qu’il n’y a pas d’hémoglobine dans le plasma, que l’urée diffuse librement dans
tous les compartiments liquidiens de l’organisme et que sa masse molaire est égale à 60 grammes
par mole.
On injecte en IV à un patient de 70 kg, après lui avoir demandé de vider sa vessie, quelques ml d’une
solution isotonique contenant 4800 unités d’urée marquée (il n'est pas nécessaire de préciser ici ces
unités qui peuvent être des unités de radioactivité). Quelques heures après, on effectue un
prélèvement sanguin et on demande au patient de vider à nouveau sa vessie : on recueille alors 200
ml d’urines. La quantité d’urée marquée est mesurée dans un chantillon de 5 ml de ces urines. Cette
quantité est égale à 15 unités.
Sur le prélèvement sanguin, on obtient les résultats suivants :
- taux d’hémoglobine : 12,6 g / dl de sang
- hématocrite : 0,45
- concentration plasmatique des protides : 60 g de protides / l de plasma
- concentration plasmatique de l’urée : 4,7 mmol/l de plasma
- concentration plasmatique de l’urée marquée : 0,094 unité/ml de plasma
Dans cet exercice, on prendra soin de ne pas confondre concentration molaire et molale.
1) Quelle est (en g/l de globules rouges) la concentration de l’hémoglobine dans les globules rouges:
A. 5,7
B. 12,6
C. 23
D. 28
E. 280
2) Quelle est la fraction aqueuse des globules rouges (fraction aqueuse du liquide contenu dans les
globules rouges) :
A. 0,72
B. 0,87
C. 0,93
D. 0,97
E. 0,98
117
3) Quelle est (en mmol/l d’eau) la concentration molale de l’urée dans le plasma :
A. 4,4
B. 4,7
C. 5
D. 5,4
E. 6,5
4) Quelle est (en mmol/l de globules rouges) la concentration molaire de l’urée dans les globules
rouges :
A. 3,4
B. 3,6
C. 4,7
D. 6,5
E. 7
5) Quel est (en mmol/l de sang) le taux d’urée sanguine (quantité d’urée contenue dans 1 litre de
sang) :
A. 3,6
B. 4,2
C. 4,7
D. 5
E. 5,4
6) Comparer le stock d’urée de l’organisme du patient à la quantité d’urée (environ 40 grammes)
synthétisée chaque jour par l’organisme. Le stock d’urée du patient :
A. est à peu près égal au tiers de la quantité synthétisée chaque jour
B. est à peu près égal à la quantité synthétisée chaque jour
C. est à peu près égal à 10 fois la quantité synthétisée chaque jour
D. est à peu près égal à 100 fois la quantité synthétisée chaque jour
7) Sachant que l’urée se distribue uniformément dans tous les compartiments liquidiens de
l’organisme, en déduire la quantité (en litres) d’eau totale contenue dans l’organisme :
A. 5
B. 14
C. 42
D. 45
E. 48
118
Correction rapide des exercices
Exercice 1
1) фpl = 0,94
2) фGR = 0,68
3) curée = 5,1 mmol.L-1 d’H20
furée = 0,09
4) [Na+]pl = 141 mmol.L-1 de plasma
5) Vd =53 L
Le volume d’eau total de l’organisme
6) Vd = 16 L
Au volume extra cellulaire
Stock Na = 2240 mmol
7) 18 L
8) 1656 mmol
12 L
Exercice 2
1) C
2) E
3) AE
Exercice 3
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
E
A
C
B
B
A
C
119
REMERCIEMENTS
Ont participé à la rédaction de ce poly (QCM/Cours):
-
Guillaume
Léon
Chloé
Xavier
Yannick
Adrien
Anne-Gaëlle
Marie
Responsables de la rédaction du poly :
-
Ali et Adrien pour la Physique
Anne-Gaëlle et Marie pour la Biophysique
Merci à tous pour le temps précieux passé sur ce poly !
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