Traitement Analogique du Signal CNAM - Creatis

CNAM
Traitement Analogique du Signal
( ELE103 )
Christophe Odet
Professeur INSA de Lyon
Hugues Benoit-Cattin
Maître de Conférences INSA de Lyon
2005-2006
Objectif, plan et organisation
• Maîtriser le signal analogique et les moyens analogiques
(électroniques) de le traiter
• Plan du cours
–
–
–
–
I- Signaux et systèmes, Transformé de Fourier, corrélation (5h)
II - Rappels de probabilité, signaux aléatoires (4h)
III - Filtrage analogique (9h)
IV - Modulation analogique (6h)
• Organisation
–
–
–
–
24h de cours
21h de TD (Hugues Benoit-Cattin)
1 interrogation écrite intermédiaire
Contrôle final
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2
Ressources complémentaires
• Travail personnel: 2H par heure de cours ou de TD
• Bibliographie, ouvrages de référence
• Association des élèves et anciens élèves du CNAM
– Anciens sujet d ’examen
– Polycopiés des cours du Professeur B.Fino du CNAM Paris
• Ce document disponible en version électronique
http://www.creatis.insa-lyon.fr/~chris/TSanalogique.pdf
• Contact avec les enseignants
– Email, RDV…
• Site web du cnam : www.cnam.fr
• Etc...
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3
Introduction
• Pourquoi traiter les signaux
– Générer, Mettre en forme, Adapter, Moduler, Analyser,
Extraire l’information…
• Signaux déterministes et aléatoires
– Information et hasard
– Bruit et signal utile
• Fonctions de traitement
– Générer, amplifier, filtrer, moduler, échantillonner, convertir
• Analogique vs. Numérique
– avantages et inconvénients des deux approches
– domaines d’utilisation
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4
I - Signaux et systèmes, Transformée de
Fourier, corrélation
–
–
–
–
–
–
–
Signaux continus, échantillonnés, quantifiés, numériques
Énergie et puissance
Signaux utiles
Système linéaire invariant (SLI), convolution
Analyse harmonique, Transformée de Fourier
Réponse en fréquence des SLI
Corrélation de signaux transitoires
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5
I-1 Signaux continus, échantillonnés,
quantifiés, numériques
• Signal continu x(t)
x(t)
t
• Signal échantillonné
+∞
xe (t ) = ∑ x[ kT ]δ (t − kT )
−∞
x[ k ]
t
• Signal quantifié
T
x(t ) = n (t )∆, avec n (t ) entier
∆ pas de quantification
• Signal numérique (échantillonné+quantifié)
– ex: suite de valeur entière x[k ] 
→ ...,1,3,5,6,34,2,78,...
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6
I-2 Énergie et puissance
• Énergie moyenne normalisée
W (t1 , t 2 ) = ∫ x 2 (t ) dt
t2
t1
• Puissance moyenne normalisée
1
P (t1 , t 2 ) =
t 2 − t1
• Énergie totale
+∞ 2
W = ∫ x (t )dt
∫
t2
t1
x 2 (t )dt
−∞
• Puissance totale
1
P = lim ∫ x 2 (t ) dt
T →∞ T T
• Signaux à énergie finie (signaux réels)
W <∞⇒P=0
• Signaux à puissance finie (modéles…)
P < ∞ ⇒W → ∞
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7
I-3 Signaux utiles
1
• Signe Sgn(t) =t / |t|,
-1 pour t<0, +1 pour t>0
-1
• Echelon unité u(t)=(1+Sgn(t))/2
• Rampe
1
r (t ) = ∫ u ( s )ds = t.u (t )
t
−∞
• Rectangle
Rect (t ) = u (t + ) − u (t − )
1
2
1
1
2
-1/2
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1/2
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• Triangle
1
1 − t , t ∈ [− 1,1]
Tri(t ) = 
0

-1
Tri (t ) = Rect (t ) * Rect (t )
1
* = convolutio n
• Signaux de largeur et de position quelconque
t − t0
A.Rect(
)
T
A
T
t0
δ (t )
• Impulsion de Dirac (Théorie des Distribution)
1
– « Impulsion » de largeur nulle et de hauteur infinie !
– Ce n’est pas un signal physique.
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• Dirac: Formules fondamentales
∫
∫
+∞
−∞
δ (t ) dt = 1,
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
x(t )δ (t )dt = x(0), x(t )δ (t ) = x( 0)δ (t )
x(t )δ (t − t0 ) = x(t0 ), x(t ) * δ (t ) = x(t ), x(t ) * δ (t − t0 ) = x (t − t0 )
1
δ (at ) = δ (t )
a
1
⇒ δ (ω ) =
δ( f )
2π
• Exercice: démontrer la formule précédente
• Dirac: Relation avec les signaux usuels
∫
t
−∞
δ (v) dv = u (t ), échelon unité
du (t )
= δ (t )
dt
dRect (t )
1
1
= δ (t + ) − δ (t − )
dt
2
2
1
t
1
t
δ (t ) = lim Rect ( ) = lim Tri( ) = ...
T →0 T
T →0 T
T
T
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• Sinus cardinal
∫
+∞
−∞
Sin(πx )
Sinc( x ) =
πx
Sinc( x )dx = 1
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11
• Exercices:
–
–
–
–
t
Tri
(
− K)
Représenter
T
t0 − t
Tri
(
)
Représenter
T
t
t
t
Montrer que
T .Tri ( ) = Rect( ) * Rect( )
T
T
T
t − t0
t − t0
Rect(
) * Rect(
)
Calculer et représenter
T
T
+∞
– Montrer que (T. de Fourier) Sinc( f ) = ∫−∞ Rect(t ) exp(− j 2πft )dt
– Montrer que
+∞
exp( j 2πf 0t ) = ∫ δ ( f − f 0 ) exp( j 2πft )df
−∞
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12
I-4 Système linéaire invariant (SLI) convolution
• Système linéaire
e(t)
s(t)
– si e1(t) (resp. e2(t)) produit s1(t) (resp. s2(t)) en sortie alors
a.e1t()+b.e2(t) produit a.s1(t)+b.s 2(t)
• Système invariant
– si e(t) produit s(t) alors e(t-t0) produit s(t-t0),
le fonctionnement ne
dépend pas de l ’instant d ’observation
• Convolution
+∞
s(t ) = h(t ) * e(t ) = ∫ e(τ ) h(t − τ ) dτ
−∞
h(t) est la réponse impulsionnelle (à un Dirac)
Elle caractérise entièrement le fonctionnement linéaire du
système.
δ(t)
h(t)
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• Exercices:
– Quelle est la réponse impulsionnelle h(t) d ’un SLI tel que
s(t)=e(t) ?
– Soit un SLI de rép. Imp. h(t)=Rect(t). Calculer la sortie pour une
entrée e(t)=Rect(t).
– Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d ’entrée est
u(t) échelon unité. Que vaut la sortie s(t)? En déduire et
représenter la réponse impulsionnelle du circuit RC.
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14
• Fonction de transfert
– H(p) transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle
– H(p) est en général une fraction polynomiale
– Stabilité si les pôles de H(p) sont à partie réelle négative
donc situés dans la partie gauche du plan de Laplace
• Exercices: étudier les fonctions de transfert suivantes
et si possible, déterminer la réponse impulsionnelle
1
H1 ( p ) =
2+ p
1+ p
H 2 ( p) = 2
p + 2p −3
1
H 3 ( p) =
( p + 2)( p + 1)
1
H 4 ( p) = 2
p +4p+5
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I-5 Analyse harmonique Transformée de Fourier
• Soit un signal x(t) de durée T respectant les
conditions de Dirichlet
+∞
Décomposition d ’un signal en
t
x(t ) = ∑ X n exp( j 2πn )
une somme de fonction sinus et cosinus
T
−∞
Spectre de Raies séparées
1
t
X n = ∫ x(t ) exp( − j 2πn )dt de 1/T
T T
T
• En dehors de la durée T, le signal est périodisé:
Décomposition en série de Fourier
• Remarque: si x(t) est réel X −n = X n* (*:conjugué)
• Puissance moyenne
+∞
1
x
∫
T
T
2
(t )dt = ∑ X n
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2
−∞
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T →∞
• Quand
+∞
X ( f ) = ∫ x(t ) exp( −2 jπft ) dt
−∞
+∞
x(t ) = ∫ X ( f ) exp( 2 jπft )df
−∞
• C ’est la Transformée de Fourier (T.F.) directe et inverse
F
x (t ) ←→
X( f )
• X(f) est en général complexe: module, phase,
représentation de Bode , représentation vectorielle…
• Exemple:
F
1
-1/2
Rect (t ) ←→ Sinc( f )
1/2
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• Propriétés et formules utiles
F
x* (t ) ←→
X * (− f )
F
ax (t ) + by (t ) ←→
aX ( f ) + bY ( f )
Linéarité
d n x(t ) F
n
←
→
(
j
2
π
f
)
X(f)
n
dt
F
x(t ) * y(t ) ←→
X ( f )Y ( f )
SLI, filtrage…
F
x(t ) y(t ) ←→
X ( f ) *Y ( f )
Modulation
F
x(t − t 0 ) ←→
X ( f ) exp(−2 jπft0 )
Théorème du Retard
F
x(t ) exp(2 jπtf 0 ) ←→
X ( f − f 0 ) = X ( f ) *δ ( f − f0 )
1
f
x( at ) ←→ X ( )
a
a
F
Modulation
Compression/dilatation
F
F
si x(t ) ←→
X ( f ) alors X (t ) ←→
x (− f )
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• Cas très courant:
si x(t ) est réel X (− f ) = X * ( f )
– Module de X(f) pair, phase impaire
– Partie réelle de X(f) paire, partie imaginaire impaire
• Exemple/exercice
– Calculer et représenter (module et phase) la T.F. de Rect(t-1/2)
Module |X(f)|
Phase Arg(X(f))
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• T.F. des signaux usuels (exercices )
F
Rect(t ) ←→
Sinc( f )
F
Rect(t / T ) ←→
TSinc(Tf )
F
Sinc(t ) ←→
Rect( f )
1
Cos(2πf 0t ) ←→ (δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 ))
2
j
F
Sin(2πf 0t ) ←→ (δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 ))
2
F
δ (t ) ←→
1
F
F
1 ←→
δ( f )
F
δ (t − t0 ) ←→
exp(−2 jπft0 )
F
exp(2 jπf 0t ) ←→
δ ( f − f0)
F
Sgn(t ) ←→
1 /( jπf )
F
u(t ) ←→
δ ( f ) / 2 + 1 /(2 jπf )
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I-6 Réponse en fréquence des SLI
• La réponse en fréquence d ’un SLI est la transformée
de Fourier de la réponse impulsionnelle
F
e(t ) ←→
E( f )
e(t)
s (t ) ←→ S ( f )
F
h(t)
s(t)
F
h(t ) ←→
H( f )
F
s (t ) = e(t ) * h(t ) ←→
S ( f ) = E( f )H ( f )
• H(f) gain en fréquence, module, phase, diagramme
de Bode ( en dB 20log(|H(f)| )
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• Exercice
– Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d ’entrée
est Rect(t-1/2).
• Que vaut le gain en fréquence H(f)?
• En déduire spectre S(f) du signal de sortie s(t).
• Pour RC=0.1, représenter rapidement le signal de sortie
s(t)
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• Relation entre Fourier et Laplace
– Fourier = axe imaginaire du plan de Laplace
H ( f ) = H ( p ) p = j 2πf
– Exemple
1
H ( p) = 2
p + p +1
1
3 1
3
pôles : − + j
,− − j
2
2
2
2
H ( p)
H( f )
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I-7 Corrélation de signaux transitoires
(à énergie finie)
• Produit scalaire, inter-corrélation
+∞
C xy (τ ) = x (t ), y (t + τ ) = ∫ x* (t ) y (t +τ )dt
*
−∞
= C *yx (−τ )
• Interprétation: orthogonalité
C xy = 0
• Signaux réels
+∞
C xy (τ ) = x(t ), y (t + τ ) = ∫ x (t ) y (t +τ )dt
−∞
= C yx (−τ )
réelle
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• Autocorrélation x(t)=y(t)
+∞
C xx (τ ) = x (t ), x(t + τ ) = ∫ x* (t ) x(t +τ )dt
*
−∞
noté C x (τ )
• Énergie
C x (0 ) = x * , x = W x
• Fonction paire si x(t) est réel C x (τ ) = C x (−τ )
• Inégalité de Schwarz ⇒ C x (τ ) ≤ C x (0)
– La fonction d ’autocorrélation est maximale en τ=0
t
t
AutoCorr .
Rect( )  
→10.Tri ( )
10
10
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25
• Autocorrélation d ’un bruit
• Relation avec la convolution
C xy (τ ) = x * ( −τ ) * y (τ )
Implantation de la corrélation par filtrage (SLI), filtre adapté
y(t)
h(t)=x*(-t)
s(t)=Cxy(t)
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• Densité spectrale d ’énergie (DSE)
+∞
DSEx ( f ) = T .F .(C x (t )) = ∫ C x (t ) exp( −2 jπft )dt
−∞
= X(f )
– Énergie
2
en τ = 0
+∞
+∞
Wx = C x (0) = ∫ x (t ) dt = ∫ DSE ( f )df
2
−∞
−∞
– DSE réelle, positive ou nulle, indépendante de la phase
– Exemple/exercice
Rect (t − t 0 ) 
→ Sinc ( f )
DSE
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2
27
• SLI, corrélation et DSE
e(t)
– Filtrage
s(t)
h(t)
C s (t ) = s( −t ) * s (t ) = e(−t ) * h(−t ) * e(t ) * h (t )
= C h (t ) * C e (t )
DSEs ( f ) = H ( f ) DSEe ( f )
2
– Identification
Ces (t ) = e(−t ) * s (t ) = e(−t ) * h (t ) * e(t ) = h(t ) * Ce (t )
• Bruit blanc en entrée, identification par intercorrélation entrée
sortie
Ce (t ) = δ (t ) ⇒ Ces (t ) = h(t )
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II - Rappels de probabilités. Processus et
signaux aléatoires
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Fréquence relative, probabilité
Probabilités combinées
Probabilités conditionnelles, indépendance
Variables aléatoires, fonction de répartition, densité de
probabilité
Moments statistiques, moyenne, variance…
Corrélation et covariance
Processus aléatoire
Stationnarité, ergodicité
Densité spectrale de puissance
Filtrage des processus aléatoires
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II-1 Fréquence relative, probabilité
• N expériences, événement A réalisé M fois:
– Fréquence relative
F ( A) =
M
N
M
Prob( A) = lim
, 0 ≤ Prob( A) ≤ 1
N →∞ N
• Probabilité
• Exemple: 10 jets de dé à 6 face: 1,5,3,4,2,5,6,5,3,4
F(1)=1/10 F(2)=1/10 F(3)=2/10
F(4)=2/10 F(5)= 3/10 F(6)=1/10
6
∑ F (i) = 1
i =1
Intuitivement (dé non pipé!) Prob(i)=P(i)=1/6
• Valeur non démontrable, souhaitée, jamais réalisée exactement
(sauf par hasard), valeur moyenne des fréquences relatives
paramètres statistiques du processus aléatoire associé
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30
II-2 Probabilités combinées
• Événements s ’excluant mutuellement
– P(A ∪ B)=P(A ou B)=P(A)+P(B)
– ex: jeu de dé: P(1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6) = 6 x 1/6 = 1
• Événements non disjoints, non exclusifs
– A∩B=Ø P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A,B)
P(A,B)=P(A ∩B) A et B en même temps
si A∩B=0 P(A,B)=0
– ex: P( pair ou >4) ?
• Par énumération complète (souvent irréalisable)
P(2 ou 4 ou 5 ou 6)=2/3
• P(Pair)+P(>4)-P(Pair et >4)= 1/2 + 2/6 - 1/6 = 2/3
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31
II-3 Probabilités conditionnelles,
indépendance
• Événements A et B non exclusifs, N expériences,
A se produit M(A) fois, B M(B) fois
et A et B ensembles M(A,B).
–
–
–
–
F(A)=M(A)/N
F(B)=M(B)/N
F(A et B)=M(A,B)/N
M(A,B)/M(B) = fréquence d ’apparition de A lorsque B est
aussi réalisé
– A la limite P(A/B)=P(A,B)/P(B)
Prob A sachant B
– Théorème de Bayes: P(A,B)= P(A/B)P(B)
= P(B/A)P(A)
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32
• Ex: Jeu de dé: P(2/pair) ? (intuitivement 1/3)
P(pair)=1/2, P(2,pair)=P(2)=1/6
P(2/pair)P(pair)=P(pair/2)P(2)=P(2,pair)
P(2/pair)=(1/6) / (1/2) = 1/3
P(pair/2)=(1/6) / (1/6) = 1 (Trivial !)
• Prob(A1, A2,... AN)
=Prob(A1).Prob(A2/ A1)…Prob(AN/ A1... AN-1)
• Événements indépendants
P(A/B)=P(A) et P(B/A)=P(B)
P(A,B)=P(A)P(B)
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33
Exemple:
Population 1
Vote
pour A
0,459
Vote
pour B
0,441
Population 2
0,051
0,049
Le vote pour A
ou B dépend il
de la population ?
P(vote A)=0,459+0,051 = 0,51
P(vote A/pop.1)=P(vote A et pop.1)/P(pop.1)
=0,459/(0,459+0,441) = 0,51
donc P(vote A) = P(vote A/pop.1) donc indépendance.
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34
II-4 Variables aléatoires, fonction de
répartition, densité de probabilité
• Valeurs dépendant du hasard, loi de probabilité =
distribution définie par: fonction de répartition F(x)
densité de probabilité p(x)
• Fonction de répartition: variable aléatoire X
– F(x)=Prob (X ≤ x) , fonction non décroissante
– F(-∞)=0, F(+ ∞)=1
• Densité de probabilité
dF ( x)
p( x) =
,
dx
∫
+∞
−∞
p( x) ≥ 0, F ( x ) = ∫ p (u )du
x
−∞
p ( x)dx = 1, Prob (a < X ≤ b) = F (b ) − F (a ) = ∫ p ( x )dx
b
a
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35
• Variable aléatoire discrète (VAD)
–
–
–
–
valeurs distinctes en nombre fini ou dénombrable
Fonction de répartition en escalier,
Densité de probabilité en Diracs
ex: jeu de dé
p(x)
F(x)
1
1/6
1/6
1 2 3 4 5 6
x
1 2 3 4 5 6
x
• Exercice: somme de deux dés
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36
• Variable aléatoire continue (VAC)
– ex: Loi normale, Gaussienne
Densité de probabilité
p(x)=
e
2
( −( x − 3 ) )
Fonction de répartition
1
2
erf( x − 3 ) +
1
2
π
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37
Histogramme, estimation de la densité de probabilité p(x)
∆x
∆x
• Événement xi − 2 ≤ x ≤ xi + 2 se produit M(xi,∆x) fois en
N expériences
• Densité de probabilité estimée (VAD ou VAC approchée par une VAD)
M ( x i , ∆x ) ~
= p ( xi , ∆x ).∆x
N
∆x
xi +
∆x
∆x
M ( x i , ∆x )
2 p ( x ) dx = Prob ( x −
≤ x ≤ xi + ) = lim
i
∫xi − ∆2x
N →∞
2
2
N
~
p ( xi , ∆x) avec
~
p ( xi , ∆x )
∆x
x
xi
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38
II-5 Moments statistiques, moyenne,
variance…
• VAD
– valeur moyenne expérimentale
∑xN ∑xN
x=
=
N
∑N
i
i
i
i
i
i
La valeur xi est apparue
Ni fois sur N expériences
i
i
– Espérance mathématique = moyenne statistique
µ x = E ( X ) = lim x = ∑ xi .Prob( xi )
N →∞
• VAC
i
+∞
µ x = E ( X ) = ∫ x. p( x )dx
−∞
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39
n
m
=
E
(
X
)
• Moments d ’ordre n
x ,n
• Moments centrés
mx − µ ,n = mcx ,n = E (( X − µ ) n )
• Valeur quadratique moyenne mx,2
• Variance
+∞
σ = mx − µ , 2 = E (( X − µ ) ) = ∫ ( x − µ ) 2 p( x )dx (VAC )
2
x
2
−∞
= ∑ ( xi − µ ) 2 prob( xi ) (VAD )
i
• Écart-type (déviation standard)
σx
mx ,2 = σ x2 + µ x2
• Inégalité de prob( µ − ε < X < µ + ε ) ≥ 1 − σ x2
x
x
ε2
Tchebycheff
σ x2
prob( X − µ x ≥ ε ) ≤ 2
ε
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40
• Fonction f(X) d ’une variable aléatoire X
+∞
E ( f ( X ) ) = ∫ f ( x) n p ( x )dx (VAC )
n
−∞
= ∑ f ( xi ) n prob( xi ) (VAD)
i
• Exercices
– Moyenne et variance du jeu de dé
e
p
(
x
)
=
– Calculer moyenne et variance de la loi normale
• Rappel
2
π
x
∫e
−t 2
−
( x− m )2
2s2
2πs 2
dt = erf ( x)
0
– Moyenne de la somme de deux dés
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41
• Signal gaussien (loi normale)
moyenne m=0 (volt)
écart-type s=1 (volt)
– Probabilité que le signal
dépasse 2 (volt) ?
( x )2
p( x) =
e
−
2
2π
prob( x ∈ [− ∞,2[ ∪ ]2,−∞ ]) = ∫ p ( x) dx + ∫
−2
+∞
−∞
2
p ( x )dx
= F (−2) + 1 − F ( 2)
p ( x) =
e
−
( x −m ) 2
2s2
2πs
2
,
1
x−m
F ( x ) = (erf (
) + 1)
2
s 2
erf ( 2 ) = 0.9545
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0,0455
(environ 1/20)
42
• Signal sinusoïdal à phase aléatoire
x(t , u ) = a.sin( 2πf 0t + u)
T = 1 f0
u variable aléatoire uniformément réparti en 0 et 2π
1
densité de probabilité
p (u ) =
2π
, u ∈ [0,2π [
Rappel: moyenne temporelle nulle et variance temporelle a2/2 ( Valeur
efficace au carré)
1
m=
T
∫
T
0
1
σ =
T
2
x(t ) dt
∫
T
0
( x(t ) − m) 2 dt
– moyenne et variance de x(t) au sens statistique
+∞
1
µ = ∫ x (t , u) p(u )du =
2π
−∞
+∞
2π
∫ a cos( 2πf t + u )du = 0
0
0
2π
2
2
a
a
2
σ 2 = ∫ ( x(t , u) − µ ) 2 p (u )du =
cos
(2πf 0t + u )du =
∫
2π 0
2
−∞
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43
II-6 Corrélation et covariance
• Variables aléatoires X et Y
• Statistique du second ordre, moments conjoints
• Corrélation statistique
Rxy = E ( XY ) = ∫∫ x. y. p( x, y )dxdy
• Covariance
= ∑ xi yi prob ( xi , yi )
C xy = E (( X − µ x )(Y − µ y )) = Rxy − µ x µ y
p ( x, y ) = p ( x) p ( y )
• Indépendance ⇒ C xy = 0,
• Coefficient de corrélation
C xy
− 1 ≤ ρ xy =
≤1
σ xσ y
– dé-corrélation si ρ xy = 0
– relation linéaire entre X et Y si ρ xy = ±1
• Somme de deux variables aléatoires Z=X+Y
σ z2 = σ x2 + σ y2 + 2C xy
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44
II-7 Processus aléatoire
• Ensemble de signaux dépendants de (au moins)
deux variables
X = {x (t , u )}
• u dépend des lois du hasard
• Description d ’un processus aléatoire par des lois de
probabilité
t1
t2
u1
t
u2
u3
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45
• Variables aléatoires x (t1 , u ), x(t 2 , u ).....x (ti , u )
• Fonction de répartition, densité de probabilité,
moyenne, variance…au sens statistique.
(a ne pas confondre avec les mêmes notions temporelles sur un signal
particulier x(t,ui)
• Statistiques d ’ordre 1: loi de probabilité de
l ’amplitude d ’un signal à l ’instant ti.
• Statistiques d ’ordre 2: loi de probabilité conjointes
des amplitudes d ’un signal à deux instants ti et tj
– fonctions de répartition conjointe, densité de probabilité
conjointe, corrélation, covariance...
– Fonction d ’autocorrélation statistique Rx (t1 , t2 ) = E ( X (t1 ) X (t2 ))
– Fonction d ’autocovariance
Cx (t1 , t2 ) = E (( X (t1 ) − µ x (t1 ))( X (t 2 ) − µ x (t 2 )))
= Rx (t1 , t 2 ) − µ x (t1 ) µ x (t 2 )
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46
• Signal sinusoïdal à
phase aléatoire
x (t , u ) = a. sin( 2πf 0t + u )
T = 1 f0
t1
Cx (t1 , t2 ) = Rx (t1 , t2 )
t2
= E (a sin( 2πf 0t1 + u )a sin(2πf 0 t1 + u))
1
1
= a E ( cos( 2πf 0 (t 2 − t1 )) − cos( 2πf 0 (t 2 + t1 ) + 2u ))
2
2
1

21
= a  cos( 2πf 0 (t 2 − t1 )) − E (cos( 2πf 0 (t2 + t1 ) + 2u ))
2
2

2
a2
= cos( 2πf 0 (t2 − t1 ))
2
Rem: Dépend de t2-t1
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47
II-8 Stationnarité, ergodicité
• Stationnarité: invariance temporelle des propriétés
statistiques
– Stationnarité au sens large
valeur moyenne et fonction d’autocorrélation invariante
dépendante de l ’écart τ=t2-t1
Rx (t1 , t 2 ) = Rx (τ )
Cx (t1 , t 2 ) = C x (τ ) = Rx (τ ) − µ x2
• Ergodicité: propriétés « moyennes » temporelles
égales au propriétés statistiques
+∞
1
µ x = E ( X ) = ∫ x. p( x )dx = x (t ) = lim
T →∞ T
−∞
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T
2
∫ x(t )dt
−T
2
48
• Ergodicité(suite)
– Puissance
E ( X 2 ) = Px = x(t ) 2
– Variance = valeur efficace au carré
– Auto corrélation Rx (τ ) = E ( X (t ) X (t + τ )) = lim ∫ x (t ) x (t + τ ) dt
T →∞ T
• Conséquence pratique
– Étude statistique = étude temporelle
– Stationnarité et ergodicité sont souvent supposées vraies
sur une certaine durée
– voir propriétés de l ’autocorrélation dans le chapitre I
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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49
II-10 Densité spectrale de puissance
• Comportement fréquentiel des processus aléatoires
(à puissance finie)
 X ( f ,T ) 2 
E
– Densité spectrale de puissance DSPx ( f ) = Tlim
→∞
t
.Fourier
xi (t , T ) = xi (t ).Rect( ) T

→ X i ( f , T )
T

i
T


– Dans la pratique, estimation
~
1
(
f
)
=
DSP x
N
N
∑
i =1
X i ( f ,T )
T
2
– Théorème de Wiener-Khintchine
. Fourier
Rx (τ ) T

→ DSPx ( f )
– Voir les notions correspondantes pour les signaux
déterministes.
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50
• Bruit blanc
TF
DSP
(
f
)
=
A


→ R (τ ) = Aδ (τ )
DSP constante
X(t1) non corrélé avec X(t2) pour t1 différend de t2
• Bruit blanc à bande limitée
−1
 A f1 < f < f 2
DSP ( f ) = 
0 ailleurs
Puissance P = σ
2
+∞
= R( 0) = ∫ DSP( f ) df = 2 A( f1 − f 2 )
−∞
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51
II-11 Filtrage des processus aléatoires
• Action d’un opérateur g sur un processus aléatoire X
Y=g(X)
px(x) densité de probabilité de X
p y ( y) = ∑
k
p x ( xk )
, avec xk racines de y = g ( x)
dg ( x)
dx x= xk
• Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire (à t=0)
y = g ( x ) = a sin( x ), x ∈ [− π , π [, p x ( x ) = 1 2π
y
Racines : x1 = arcsin( ), π − x1
a
dg ( x)
= a cos( x ) = a 1 − sin 2 ( x )
dx
.../...
f y ( y) =
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1
π a2 − y2
52
• SLI et DSP
X(t,u)
Y(t,u)
h(t)
2
C y (t ) = Ch (t ) * C x (t )
DSPy ( f ) = H ( f ) DSPx ( f )
• Exemple: bruit blanc filtré par circuit RC fc=1/(2πRC)
1
A
H( f ) =
DSPx ( f ) = A, DSPy ( f ) =
2
f 2
 f 
1+ ( )
1 +  
fc
 fc 
4
4
A
2
2
0
0
-2
-2
-4
0
50
100
X(t)
150
200
-4
0
50
100
150
200
Y(t)
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53
III - FILTRAGE ANALOGIQUE
– Avant-propos: relations de Bayard-Bode
– Généralités sur le filtrage
• Les étapes de la réalisation d ’un filtre
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Modélisation des filtres
Filtre idéal
Fonctions de réponse normalisées du 1er et du 2nd ordre
Transposition des fonctions de réponse
Fonctions d’approximations
Synthèse des filtres analogiques
Structures de filtres actifs
Exemple complet de calcul d’un filtre
Introduction aux problèmes de sensibilité
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54
III-1 Avant propos: relations de Bayard-Bode
– signal réel causal déterminé par sa partie paire ou impaire
f ( x) = f P ( x) + f I ( x)
f ( x) + f ( − x )
f ( x) − f ( − x )
f P ( x) =
, f I ( x) =
2
2
signal causal f ( x) = 0 pour x < 0
f P ( x) =
f ( x)
,
2
f I ( x) =
f ( x)
pour x ≥ 0
2
– Transformée de Fourier signal réel causal
• partie réelle paire, partie imaginaire impaire
T .F .
f (t ) ←
→ Re( f ) + j Im( f )
∞
Re( f ) = ∫ f (t ) cos(2πft ) dt,
0
∞
Im( f ) = − ∫ f (t ) sin(2πft) dt
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0
55
• TF inverse
f (t ) =
– partie imaginaire nulle
∞
j 2πft
(
Re
(
f
)
+
j
Im(
f
)
)
e
df
∫
=
−∞
∞
∞
−∞
−∞
∫ Re( f ) cos( 2πft )df − ∫ Im( f ) sin( 2πft )df
= f P (t ) + f I (t )
– Re(f) paire et Im(f) impaire
∞
∞
0
0
f (t ) = 2 f P (t ) = 2 f I (t ) = 4 ∫ Re( f ) cos( 2πft )df = − 4 ∫ Im( f ) sin( 2πft ) df
• Relation entre Re(f) et Im(f): Bayard-Bode
∞
2 y Im( y )
Re( f ) = ∫ 2
dy,
π 0 f − y2
2f
Im( f ) = −
π
∞
∫
0
Re( y )
dy
f 2 − y2
– Relation entre module et phase
– Filtres spécifiés par le gain (module) en fréquence
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56
III - 2 Généralités sur le filtrage
• Opérations
– Multiplication en temps, Convolution en fréquence :
• échantillonnage, fenêtrage, modulation
– Convolution en temps, Multiplication en fréquence:
• filtrage
• Filtrage
– Séparer, modifier, éliminer, amplifier, atténuer …
les composantes fréquentielles d ’un signal
en module et/ou en phase
– Intervalles de fréquences éliminées:
H(f)
• Bandes coupées BC
– Intervalles de fréquence conservées:
1
BP
• Bandes passantes BP
– Intervalles intermédiaires :
• Bandes de transition BT
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BT BC
0
f
57
• Synthèse de filtre
– En fonction d ’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit),
construire un circuit qui possède cette réponse
• Circuits (LC, RC..) passifs
• Filtres actifs utilisant des éléments amplificateurs
• Simulation de filtre LC avec composants actifs
– Gyrateurs, NIC,…
• Filtres à capacités commutés
– intermédiaires entre le numérique et l ’analogique
• Filtres numériques
Gabarit
C
?
|H(f)|
V
R
e
1
+
R
2
+
Vs
C
f
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58
• Les étapes de la synthèse d ’un filtre
– Cahier des charges, spécifications de filtrage, gabarit
• module, phase, réponse impulsionnelle, indicielle
– Approximation: Calcul de la fonction de transfert respectant
le gabarit
• normalisation, transposition, optimisation, calcul de l ’ordre….
–
–
–
–
Choix d ’une structure électronique
Calcul des composants, calcul de sensibilité
Simulation du circuit
Câblage, test
• Il est souvent nécessaire de revenir en arrière pour
obtenir un résultat satisfaisant
• Ces étapes sont réalisables +/- automatiquement par
des outils logiciels (utilisez les!)
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59
III - 3 Modélisation des filtres
• Filtre (linéaire) = système linéaire invariant
– Fonction de transfert, gain en fréquence
e(t)
S ( p)
H ( p) =
,
E ( p)
h(t)
s(t)
S( f )
H(f ) =
= H ( f ) e jφ ( f )
E( f )
p = j 2πf ,
– Affaiblissement
A( f ) =
E( f )
1
=
,
S( f ) H ( f )
AdB ( f ) = Aff dB = −GaindB = −20 log( H ( f ) )
A(f)dB
Gabarit
d ’affaiblissement
f
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60
• Propriétés de H(p), H(f)
– fraction réelle de deux polynômes à coefficients réels
– pôles et zéros de H(p) sont réels ou par paires complexes
conjuguées
– pôles à partie réelle strictement négative (partie gauche du plan de
Laplace) pour stabilité
– En analogique, degré du numérateur inférieur ou égal au degré du
dénominateur
– Dans le contexte temporel, relation de Bayard-Bode valables, filtre
causal réel
– Réponse en fréquence continue, pas de passage « brusque » de la
bande passante (BP) à la bande coupée (BC)
présence obligatoire de bandes de transition (BT) « progressives »
H(f)
H(f)
1
1
BP
0
BP
BT BC
0
f
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BC
f
61
• Zéros d ’affaiblissement
• Pôles d ’affaiblissement
f i / AdB ( f i ) = 0dB
– zéros de transmission,
zéros de H(p) imaginaires purs
• Forme générale
–
–
–
–
f j / AdB ( f j ) → ∞ dB
H( f j) = 0
∏(p − z )
H ( p) = K
∏(p − p )
n
n
pk: pôles
zn: zéros
k
k
K facteur d ’échelle (gain) réel
En général, on choisit K tel qu’il y ait le maximun de zéros
d ’affaiblissement (gain =1 (0dB)) car la sensibilité des filtres
aux variations des composants est nulle aux zéros
d ’affaiblissement (théorème).
• Degré du dénominateur=ordre du filtre
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62
Filtre elliptique passe-bas,
H(p)=
ordre 3, BP 3dB, BC 20dB,fc=0.16
2
.2542 p + .3938
3
2
p + .591 p + 1.0031 p + .3938
Zéros
0.0000 + 1.2446i
0.0000 - 1.2446i
pôles
-0.0842 + 0.9617i
-0.0842 - 0.9617i
-0.4226
k = 0.2542
|H(f)|
GaindB(f)
Plan de Laplace, pôles (x) et zéros (o)
Imaginary Part
1
AdB(f)
0.5
0
-0.5
-1
-4
-3
-2
-1
0
Real Part
1
2
3
4
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63
• Synthèse en cascade (filtre actifs)
– filtre d ’ordre N pair: N/2 cellules d ’ordre 2
– filtre d ’ordre N impair : N/2 cellules d ’ordre 2, une cellule
d ’ordre 1
N
−1
bk , 2 p 2 + bk ,1 p + bk ,0 c1 p + c0
H ( p) = ∏
.
2
k =0 ak , 2 p + ak ,1 p + ak , 0 d1 p + d 0
2
Cellule
ordre 2
Cellule
ordre 2
Cellule
ordre 2
Cellule
ordre 1
– Problème de l ’ordre des cellules ?
– Problème de la répartition des pôles et des zéros dans
chaque cellule ?
• Synthèse additive par décomposition en éléments
simples
– peu utilisée en analogique
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64
III - 4 Filtre idéal
• Peut -on réaliser un filtre passe-bas idéal ?
f
H ( f ) = Rect(
)
2 fc
h(t ) = 2 f c Sinc(2 f c t )
H(f)
1
-f c
0
fc
f
• Réponse impulsionnelle non causale, bande de
transition de largeur nulle
filtre idéal irréalisable
• Filtre non idéal:
–
–
–
–
approximation du filtre idéal
déphasage non nul
Oscillations (Sinc(t)), dues à la transition raide, gênantes
Besoins réels moins draconiens pour les applications
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65
III - 5 fonctions de réponse normalisées
• Normalisation de H(p)
p = r + jω = r + j 2πf
– dans les formules, apparaît systématiquement une pulsation
particulière caractéristique ωp
p
r
ω
r
f
r
=s=
+j
=
+j
=
+ jΩ
ωp
ωp
ωp ωp
f p ωp
– s : variable de Laplace normalisée
– Ω : pulsation ou fréquence normalisée, SANS DIMENSION
– La forme normalisée permet de travailler sur une expression
INDEPENDANTE des fréquences réelles (de coupure,…)
• Exemple: circuit passe-bas RC, f c=1/2πRC
H ( p) =
1
1
1
1
1
, ωp =
, H ( p) =
, H (s ) =
, H (Ω ) =
1 + RCp
RC
1+ p ωp
1+ s
1 + jΩ
– Tous les passe-bas du premier ordre ont les mêmes fonctions
de transfert et réponses en fréquence NORMALISEES
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66
• Fonction du premier ordre (passe-bas) H ( s) =
1
1+ s
– pôle s=-1 (p=-wp)
– Diagramme de Bode (asymptote -6dB/octave, -20dB/décade)
-3dB à Ω =1 (ω=ωp)
Ω
−3
|H(Ω)|
1
2
≈ 0,7
Module(dB)
échelles linéaires
Ω
Ω
Phase(radians)
π/4
π/2
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67
– Réponse impulsionnelle normalisée
H ( s)    
→ h(τ ) = u (τ )e
T . Laplace inverse
−τ
– Réponse impulsionnelle dénormalisée
H ( p )    
→ h(t ) = ω p u (t )e
T . Laplace inverse
−ω pt
ωp
1/ωp
t
constante de temps
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68
III - 6 Transposition des fonctions de
réponse
• Passe-bas
Passe-haut
Passe-bande
Réjecteur/coupe-bande
– Simplifier les procédures de calcul des filtres
– L ’étude des filtres passe-bas est suffisante
• Transposition passe-bas/passe-haut
– Symétrie (en échelle log) autour du point
1
s↔ ,
s
–
Ω = 1, ω = ω p
1
jΩ ↔
,
jΩ
Ω = 1, ω = ω p
ωp
ω
j
↔−j
ωp
ω
est en général situé dans la bande de
transition
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69
– Exemple: Fonction du premier ordre
ω
ωp
1
1
s
jΩ
↔
=
,
=
1
1+ s
1 + s 1 + jΩ 1 + j ω
1+
s
ωp
j
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70
• Exercice: Fonction passe-haut du second ordre
p2
H ( p) =
4
2
p
p
1+ 8 + 4
•Vérifier que cette fonction correspond
bien à un passe-haut
•Tracer rapidement la module de la
réponse en fréquence (voir ci-dessous)
•Choisir la pulsation ω p et normaliser la fonction
•Transposer la fonction normalisée pour obtenir
une fonction passe-bas
•Vérifier que la fonction obtenue a un
comportement passe-bas
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71
• Transposition passe-bas/passe-bande
– Décalage de Ω=0 en Ω=1
1
1
s ↔ (s + ),
B
s
j
1
jΩ ↔ (Ω − ),
B
Ω
j ω ωp
jω ↔ (
− )
B ωp ω
– B = bande passante relative (à 3dB), ωp fréquence centrale
du passe-bande
ω2 − ω1 f 2 − f1
B=
=
ωp
fp
1
( −3dB)
2
ω1
ωp
ω2
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72
– Fonction du premier ordre
1
Bs
jB Ω
↔
,
2
1+ s
1 + Bs + s
1 + jBΩ − Ω 2
! Ordre x 2
B =1
B =5
B = 10
dB
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73
• Transposition passe-bas/coupe-bande
1
s
s↔
=B 2
1
1
s
+
1
(s + )
B
s
– Ex: premier ordre
1
s2 +1
1 − Ω2
→ 2
,
1+ s
s + Bs + 1 1 + jB Ω − Ω 2
B =1
B =5
B = 10
Gain nul pour Ω=1
dB
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74
III - 7 Fonctions d’approximations
• Fonction du premier ordre
– voir étude précédente…
1
1+ s
1
H (s) =
1 + ds + s 2
1
d = = 2z
Q
• Fonction du 2eme ordre
– Q coefficient de qualité,
ou de surtension
– z, coefficient d ’amortissement
1
H ( jΩ) =
1 + jdΩ − Ω 2
H ( jΩ) =
1
Ω 4 + Ω2 (d 2 − 2) + 1
− dΩ
Arg ( H ( jΩ)) = Arctg (
)
2
1− Ω
d H ( j Ω)
d2
1
= 0 ⇒ maximum pour Ω M = 0 et ± 1 −
si d < 2 , Q >
≈ 0.7
dΩ
2
2
H M = H ( jΩ M ) =
1
d 1−
2
d
4
=
Q
1
1−
4Q 2
>Q
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Odet
H ( j1) = − jQ
H ( j 0) = 1
75
• Fonction du 2eme ordre (suite)
Si d << 1, Q >> 1, Ω M ≈ 1, H M ≈ Q
1
Ω >> 1, H ( jΩ) ≈
, Arg = −π
2
−Ω
Asymptote -40dB/déc.
dB
d = 0.1, 0.5, 2 , 3
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76
• Fonction du 2eme ordre (suite)
Phase
d = 0.1, 0.5, 2 , 3
Rem: si d>2, H(s) équivalent à deux filtres du premier
ordre en cascade. Ce n’est plus un VRAI 2eme ordre!
1
1
H ( s) =
( s − Ω1 ) ( s − Ω 2 )
1
pulsations de coupure Ω1 =
Ω2
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77
• Fonction du 2eme ordre (suite)
– Passe-haut:
2
1
s
symétrie des courbes
s → , H (s ) =
s
1 + ds + s 2
précédentes par rapport à Ω=1
– Passe-bande:
H (s ) =
ds
1 + ds + s 2
A faire en exercice… et voir transp.73
dB
d = 0.1, 0.5, 2 , 3
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78
• Fonction de Butterworth
– filtre d ’ordre n
H n ( jΩ) =
1
1 + Ω2 n
– …on montre:
• H(s) pôles sur le cercle unité
si = cos(ϕi ) + j sin(ϕi ), ϕi =
n/ 2
H ( s) = ∏
i =1
1
,
2
s + di s + 1
π
( n + 2i − 1), i = 1, n
2n
pour n pair
1 ( n −1) / 2
1
H ( s) =
,
∏
2
s + 1 i =1 s + di s + 1
pour n impair
d i = −2 cos(ϕi ), i = 1, n / 2
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79
• Fonction de Butterworth (suite)
Pente -n20db/déc.
-3dB
n=1
2
3
4
– Fonctions passe-bas H(s)
n =1
1
1+ s
1
1 + 2s + s 2
1
1
1
n=3
=
1 + s 1 + s + s 2 1 + 2s + 2s 2 + s 3
n=2
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80
• Choix de l ’ordre n d’un filtre de Butterworth
– Gabarit passe-bas normalisé d’affaiblissement:
ATTENTION: la courbe doit passer par 3dB à Ω=1
• 4 paramètres
Abp,Abc Ωbp Ωbc
Abc
A(f)dB
Abp
– Il faut respecter:
Ω bp Ω bc
20 log10 (
20 log10 (
K⇒
1
1+ Ω
2n
bp
1
1+ Ω
2n
bc
f
) > − Abp
) < − Abc
N min < n
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81
• Exemple: 1dB, 40 dB, 0.8, 2
…/…
6.64<n
Marges ?
7
6
Mauvais choix de Ωbp et Ωbc ? Dans la pratique, seul le rapport (sélectivité)
1
k=Ωbp/ Ωbc intervient
20 log10 (
ex: 0.872, 2.18
n=6 suffisant !
Il faut résoudre
5.9<n
20 log10 (
1+ Ω
2n
bp
) = − Abp
1
1 + ( kΩ bp )
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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2n
) = − Abc
82
…. Ce qui conduit à:
n=
log(10
Abc
10
Abp
− 1) − log(10 10 − 1)
2 log(1 / k )
Les pulsations Ωbp et Ωbc doivent être placées correctement (dans
la plage de réglage disponible).
Pour l ’exemple, on obtient n=5,76. On choisira donc n=6.
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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83
• Autres fonctions d ’approximation
– Filtres polynomiaux:
• Butterworth
– sélectif, optimisation de la réponse en amplitude
• Legendre (Papoulis)
– Très sélectif, avec atténuation continûment décroissante
• Chebychev
– Les plus sélectifs, ondulation dans la bande passante
• Bessel (Thomson)
– Peu sélectif, optimisation de la réponse en phase
– Filtres elliptiques (Cauer)
– Présence de zéros de transmission dans la bande coupée, encore
plus sélectif que Chebychef, mais atténuation limitée en bande
coupée
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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84
• Filtres de Chebychev
– Ondulation dans la bande passante ( ER :Equal Ripple filters)
H n ( jΩ) =
Polynômes de Chebychev
1
1 + b 2Tn2 (Ω )
T0 = 1, T1 = Ω, Tn = 2ΩTn−1 − Tn −2
– Exemples: n=3 et n=4, b=1
Ω
1
1 + b2
Ω
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dB
85
• Filtres de Chebychev (suite)
– … on montre: pôles situés sur une ellipse dans le plan de
Laplace
– La fonction de transfert H(s) dépend de l ’ordre n ET de b
(b définit l’ondulation en bande passante)
– ex: b=1 ondulation de 3dB en bande passante
– ex: H(s) pour n=2 et 3, pour 1 dB d ’ondulation
1
1 + 0.9957 s + 0.907 s 2
1
(1 + 2.0235 s)(1 + 0.4971s + 1.0058 s 2 )
– Tables (techniques de l ’ingénieur,…)
– Logiciels (Matlab,…)
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86
• Filtres de Cauer
– présence de zéros de transmission dans la bande coupée
coupure très raide, bande de transition étroite, forte sélectivité
– comportement de Chebychev dans la bande passante
– mais…réalisation et réglages délicats
– Fonction de transfert de base d ’ordre 2:
as 2
–
–
–
–
+b
H 2 ( s) = 2
s + ds + c
Gain (asymptote) en BF : b/c
Gain (asymptote) en HF : a
Passe-haut (b/c<a) ou passe-bas (b/c>a)
b
Zéros de transmission (gain nul, atténuation infinie) Ω ∞ =
a
– Dénominateur: résonance à environ Ωm=1 (cf. étude du 2nd ordre)
– Grande sélectivité pour Ωm ≈ Ω∞ mais avec d faible (risque
d’instabilité) et a ≈ b (faible différence entre BP et BC)
– On peux étudier la forme simplifiée avec c=1, a=1 (passe-haut
avec b<a) ou b=1 (passe-bas avec b>a)
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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87
a=0.1 , b=1 , d=1
a=1, b=0.1, d=0.9
a=0.9, b=1, d=0.2
a=1, b=1, d=0.2
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88
• Filtres de Cauer (suite)
– Ordre > 2 : mise en cascade (produit) de N fonctions d’ordre 2
p2
+1
2
N
ω
H ( p ) = ∏ 2 ∞i
p
i =1 p
+
d
+1
2
ω mi
ω mi
ω∞i : Zéros de transmission dans la BC
ωmi : Position approximative des maximas dans la BP
ωp
ωm1 ωm 2
ω pω a = ω m1ω∞1 = ωm 2ω∞ 2 = ...
ωa
ω∞ 2 ω∞1
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89
• Fonctions passe-tout
– Module |H(f)|= 1, action sur la phase
1− s
phase = −2arctg (Ω)
1+ s
1 − as + bs 2
aΩ
H 2 ( s) =
phase
=
−
2
arctg
(
)
2
2
1 + as + bs
1 − bΩ
H 1 ( s) =
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90
III - 8 Synthèse des filtres analogiques
• Obtenir le circuit électronique réalisant une fonction
de transfert donnée
• Critères de choix
–
–
–
–
–
–
–
Domaine de fréquence
Coût, nombre de composants, précision
stabilité
sensibilité aux variations de valeurs des composants
Dynamique
Amplification nécessaire
Impédances d’entrée et de sortie
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91
• Solutions
– Filtres passifs
• LC, en HF, Q élevé difficile à obtenir en BF
• RC, pôles réels, pas de surtension donc pas de forte sélectivité
– Filtres actifs
•
•
•
•
•
Présence d ’éléments amplificateurs
Utilisation en BF (limite de bande passante des composants)
Source d ’énergie nécessaire
Dynamique limitée (saturation)
Structures
– Classique à amplificateur contre-réactionné
– Simulation de LC (NIC, Gyrateurs,….)
– Filtres a capacités commutées
• Fonctionnement échantillonné
• Structure de filtres actifs classiques
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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92
III - 9 Structures des filtres actifs
• Filtres RC actifs (pas d ’inductance)
• H(p) : fraction de deux polynômes d ’ordre N et M
b0 + b1 p + b2 p 2 + ... + bN p N
H ( p) =
1 + a1 p + a2 p 2 + ... + aM p M
• Factorisation des polynômes
N −1
H ( p) =
∏(p − z )
i =0
M −1
i
∏(p − p )
j
j =0
• Regroupement des pôles et zéros complexes
conjugués en fonctions du second (et premier) ordre
H ( p) = ∏ a
b0 k + b1 k p + b2 k p 2
k
0 k + a1 k
p + a2 k p
2
= ∏ H k ( p)
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k
93
• Hk(p): fraction de polynômes de degré 2 à coefficients réels
• Synthèse en cascade (voir III-3)
• Problèmes d ’impédance d ’entrée et de sortie des
structures électroniques en cascade
• Filtres actifs en tension (cellule à transfert de tension)
– impédances d’entrée forte
– impédances de sortie faible
• Filtres actifs en courrant
– impédance d’entrée faible
– impédance de sortie forte
Zs
Ze
• Filtres passif
– Adaptation d ’impédance Ze=Zs
– Transfert de puissance
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94
2
as
+ bs + c
• Structure/cellule biquadratique H (s ) =
s 2 + ds + 1
– valeurs de a,b,c : passe-bas, passe-haut, passe-bande,
réjecteur (coupe-bande)
• Réalisation de la structure biquadratique
– Structures universelles
• Passe-bas, passe-haut,… par choix/réglage des valeurs des
composants et/ou choix de la sortie du montage
• Delyannis-Friend, Fleisher-Tow, réseau à variable d’état…
– Structures à 1 amplificateur (opérationnel)
•
•
•
•
A contre-réaction simple
de Rausch, ou à contre-réactions multiples
de Sallen et Key, ou à source contrôlée
à convertisseur d ’impédance (NIC) (généralement deux
amplificateurs)
– Simulation d’inductance, gyrateur
– etc….(autres solutions moins intéressantes)
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95
• Exemple de cellule universelle
– simulation de H(s) par intégration
R
C
R
C
R
R
R/d
+
R1=R/c
+
R2=R/(ad-b)
ue
–
–
–
–
–
a,c,d>0
ad>b (sauf pour passe-bande)
Passe-bas: a=b=0, enlever R2 et R3
Passe-haut: b=c=0, enlever R1
Passe-bande: a=c=0, enlever R1 et R3
et R2=R/b
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+
R3=R/a
us
u s (s )
as 2 + bs + c
=− 2
ue (s )
s + ds + 1
us ( s)
bs
= 2
ue ( s ) s + ds + 1
96
• Structure à contre-réaction simple
Z1(s)
Z2(s)
Z 2 (s)
H (s) = −
Z1 (s )
+
– Z1 et Z2 quadripôles complexes définis par leur transrésistance (Is/Ve) en sortie court-circuitée
Is
Ve
Ve (s)
Z ( s) =
I s ( s)
– Sur la borne - de l ’ampli-op (parfait) , courant nul, donc:
Is(s) pour Z1 = - Is(s) pour Z 2
Vs ( s )
Z 2 (s)
H (s) =
=−
Ve ( s )
Z1 ( s)
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97
• Exemple/exercice:
C2
R
C1 R
R
C1 R
H ( p) = −
+
1
1 + 2 RC2 p + R 2 C1C2 p 2
• Structure de Sallen et Key
R1
R2
Z2
Z1
Z3
K
Z4
K = 1+
R2
R1
+
KZ 2 Z 4
H ( p) =
Z1 ( Z 3 + (1 − K ) Z 4 ) + Z 2 ( Z1 + Z 3 + Z 4 )
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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98
• Filtre passe-bas
C2
R
R
K
C1
H (s ) =
A
=
2
1 + ds + s
A = K, d =
A
K
=
2
1 + pR(2C1 + (1 − K )C 2 ) + C2C1 R 2 p 2
p
p
1+ d
+
ω 0 ω02
2C1 + (1 − K )C 2
1
, ω0 =
C1C2
R C1C 2
!!! Instabilité si d=0
– Cas particulier K=1 (amplificateur monté en suiveur)
H (s ) =
A
=
2
1 + ds + s
A = 1, d = 2
A
1
=
2
1 + p2 RC1 + C2C1R 2 p 2
p
p
1+ d
+
ω 0 ω 02
C1
1
, ω0 =
C2
R C1C2
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99
• Structure de Rausch (contre-réactions multiples)
Admittances Yi
Y4
Y1
Y2
Y3
Y5
Y1Y3
H ( p) = −
(Y1 + Y2 + Y3 + Y4 )Y5 + Y3Y4
+
ex: Y1=1/R1,Y2=C2p,Y3=1/R3,Y4=1/R2,Y5=C1p
Passe-bas
R2
1
H ( p) = −
R1 1 + pC ( R2 R3 + R + R ) + p 2C C R R
1
2
3
1 2 2 3
R1
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100
• Convertisseur d ’impédance négative (NIC)
R2
I
+
V
Z
+
entrée
Ex: Passe-bande
H ( p) =
Kr
sortie
C2
R1
r
C1
R1
V
R2
Zi = = − Z
I
R1
R2
−
1
pR2C1
K 1 + p( R C + R C − R2C1 ) + p 2 R C R C
1 1
2 2
1 1 2 2
K
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101
III -10 Exemple complet de calcul d’un filtre
• Réalisation d ’un filtre passe-haut Chebyshev
A(dB)
40
• Etapes:
1
–
–
–
–
–
–
–
–
normalisation
10 18
f(kHz)
(transposition passe-bas)
recherche H(s), vérification (tables, abaques, logiciel…)
factorisation, pôles-zéros, organisation en cellules du
second ordre
(transposition passe-haut)
dé-normalisation
choix structure électronique, calcul des composants
test,...
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102
• Normalisation
– choix de la fréquence de normalisation f0 ?
– attention aux propriétés de la fonction d ’approximation
choisie et d’une éventuelle marge par rapport au gabarit
– On choisit ici f0=18kHz, avec une ondulation (Chebyshev)
inférieure à 1dB, soit 0.5 dB, pour garder une marge sur le
gabarit en limite et dans la bande passante
A(dB)
40
f
Ω=
f0
f 0 = 18kHz
1
1/1.8 1
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Ω
103
• Transposition (pas nécessaire si les outils permettent de travailler
directement sur un passe-haut)
A(dB)
40
1
Ω→
Ω
1
1 1.8
Ω
• Recherche de Hpb(s)
– Ordre ?
• À titre indicatif, Butterworth (transp. 83) n=8.98, ordre 9 ou 10
• Matlab: Chebyshev type 1, ondulation 0.5 dB
>> cheb1ord(1, 1.8, 0.5, 40, ’s ’) ----> n=6
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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104
• Recherche de H(s) (suite)
– Vérification (ex: Matlab)
>>[b,a]=cheby1(6,0.5,1,'s')
b=
0
0
0
0
0
0 0.0895
a = 1.0000 1.1592 2.1718 1.5898 1.1719 0.4324
>> freqs(b,a)
---> observation de la courbe, zoom...
0.0948
0.0895
H pb ( s) = 6
s + 1.1592 s 5 + 2.1718 s 4 + 1.5898 s 3 + 1.1719 s 2 + 0.4324 s + 0.0948
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105
• factorisation, pôles-zéros, organisation en cellules du
second ordre (synthèse en cascade)
>>[z,p,k]=cheby1(6,0.5,1,'s')
z =[ ]
p=
-0.2898 + 0.2702i , -0.2898 - 0.2702i
-0.2121 + 0.7382i , -0.2121 - 0.7382i
-0.0777 + 1.0085i , -0.0777 - 1.0085i
k = 0.0895
>>zp2sos(z,p,k)
0.0895
H pb ( s ) = 2
(s + s 0.5796 + 0.1570)( s 2 + s 0.4243 + 0.5900)( s 2 + s 0.1553 + 1.0230)
• Transposition passe-bas / passe-haut
s →1 s
s 6 0.0895
H (s ) =
(1 + s 0.5796 + s 2 0.1570)(1 + s 0.4243 + s 2 0.5900)(1 + s 0.1553 + s 21.0230)
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106
• Dénormalisation
Ki s 2
H ( s) = ∏ H i ( s) = ∏
2
i =0
i = 0 1 + bi s + ci s
2
2
K 0 K1 K 2 = 0.0895
p2
Ki 2
2
ω0
H ( p) = ∏
, ω0 = 2πf 0
2
p
p
i =0
1 + bi
+ ci 2
ω0
ω0
f 0 = 18kHz
ω0
ω ri ≈
– Pulsation de résonance de la cellule i
ci
1
bi
=
– Coefficient de qualité Qi=1/di d i =
Qi
ci
– On choisit a priori
Ki = 3
2
3
K
=
∏ i 0.0895 = 0.4473
i=0
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107
• Calcul des composants
– Structure de Rausch passe-haut
C2
C1
R1
C1
R2
+
p 2C12 R1R2
H ( p) = −
1 + pR1 (2C1 + C2 ) + p 2C1C2 R1R2
– Par identification, pour la cellule i
Ki
2
=
C
1 R1 R2
2
ω0
bi
= R1 ( 2C1 + C2 )
ω0
ci
= C1C2 R1R2
2
ω0
– Résolution: par exemple, choix de R2, calcul de R1,C1,C2
– Dans certains cas, on tombe sur des impossibilités qui
nécessitent de revenir en arrière (choix R2, Ki, structure…)
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108
• Résultats
– Cellule 0: bi=0.5796 ci=0.1570 choix R2=1kΩ
• R1=135.8Ω
C1=16nF
C2=5.63nF
– Cellule 1: bi=0.4243 ci=0.59 choix R2=10kΩ
• R1=365.3Ω
C1=3.09nF
C2=4.08nF
– Cellule 2: bi=0.1553 ci=1.023 choix R2=50kΩ
• R1=146.7Ω
16nF
5.63nF
16nF
135Ω
C1=2.18nF
1kΩ
+
3.09nF
4.08nF
3.09nF
365Ω
C2=4.99nF
10kΩ
+
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2.18nF
146Ω
4.99nF
50kΩ
2.18nF
+
109
• Si les valeurs obtenues sont incohérentes (trop petites, trop
grandes…), retour sur choix de R2,Ki,structure…
• Problème de dynamique
– Gain des cellules dans la bande passante
• Cellule 0 : 2.8
• Cellule 1 : 0.76
• Cellule 2 : 0.436
K i C1
=
ci C 2
– Facteur de qualité (résonance)
• Cellule 0 : 0.67
• Cellule 1 : 1.83
• Cellule 2 : 6.5
…. Choix de l ’ordre des cellules, modifications des Ki
Cellule 2
Cellule 0
Cellule 1
Réponse totale
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110
• Vérification par simulation
• Câblage, test, problème de précision des composants
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111
III - 11 Introduction aux problèmes de
sensibilité
• Sensibilité d’un paramètre a (fréquence de coupure, gain, …)
en fonction d’un composant b (résistance, capa…):
da b
a a
S =
, ∆a = Sb ∆b
db a
b
a
b
• En général:
SQ ∝ Q
– Plus Q est grand, une petite variation d’un composant
entraînera une grande variation de Q. Risque d’instabilité,
gabarit non respecté...
Traitement Analogique du Signal - Christophe
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112
• Ex: Sallen-Key passe-bas
ω0
S C1
dω0 C1
1
=
, ω0 =
dC1 ω0
R C1C2
ω0
⇒ S C1
1
=−
2
– Si C 1 varie(augmente) de 10%, ω0 varie(diminue) de 5%
• Exercice: pour la structure de sallen key passe-bas,
montrer que:
K
S Kd = −
dω0 RC1
Que peut-on en déduire ?
Que devient l ’expression pour K=1 ?
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113
IV - MODULATION ANALOGIQUE
- Introduction, généralités
- Modulation d’amplitude
–
–
–
–
–
–
–
avec porteuse
sans porteuse
Bande latérale unique
Bande latérale résiduelle
Modulateurs
Démodulateurs
Performance en présence de bruit
- Modulation angulaire (Fréquence,Phase)
–
–
–
–
–
Modélisation, contenu spectral
Règle de Carson
Comportement en présence de bruit
Modulateurs
Démodulateurs
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114
IV-1 Introduction, généralités
• Cadre général de la modulation
Signal
Modulation
modulant
Transmission
Stockage
Amplification
Démodulation
Signal
démodulé
Porteuse
auxiliaire
• Buts:
–
–
–
–
–
Transposition/adaptation en fréquence
Multiplexage fréquentiel, partage du support
Amplification, faible bruit
Modification du spectre, codage, confidentialité
Domaine d’application principal : Télécommunications
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115
• Classification des techniques de modulation
– modulation analogiques, signaux modulants analogiques
• porteuse sinusoïdale
– Modulation d ’amplitude (AM)
– Modulation angulaire
» Modulation de fréquence (FM)
» Modulation de phase (PM)
– Combinaison AM / FM ou PM
• porteuse impulsionnelle (modulation d ’impulsion) (suite
d ’impulsions périodiques)
–
–
–
–
en amplitude (PAM)
en durée (PDM)
en position (PPM)
en fréquence (PFM) (proche PPM)
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116
Modulations analogiques à porteuse sinusoïdale
AMPLITUDE
FREQUENCE
PHASE
AMPLITUDE et PHASE
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117
Modulations analogiques impulsionnelles
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118
- modulations numériques, représentation numérique des signaux
modulants quantifiés
• Modulation par Déplacement d’Amplitude MDA
– (Amplitude Shift Keying ASK)
• Modulation par Déplacement de Phase MDP
– (Phase Shift Keying PSK)
• Modulation par Déplacement de Phase Différentiel MDPD
– (Differential Phase Shift Keying DPSK)
• Modulation d’Amplitude de deux porteuses en quadrature MAQ
– (Quadrature Amplitude Modulation QAM)
• Modulation par Déplacement de Fréquence MDF
– (Frequence Shift Keying FSK)
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119
modulations numériques
Alphabet fini (ex. binaire)
1
0
1
0
1
1
Porteuse :
Modulant :
AMPLITUDE
FREQUENCE
PHASE
AMPLITUDE et PHASE
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120
IV-2 Modulation d ’amplitude
• Modulation avec porteuse (AM, MDBAP, DSB)
– Signal
modulant g(t)
– Signal
modulé s(t)
− A < g (t ) < A,
A = max( g (t ) )
g (t )
s (t ) = ( B + g (t ))U p cos( 2πf p t + α p ) = (1 + m
) BU p cos( 2πf p t + α p )
A
– Indice de modulation
A
m=
B
m<1
m=1
• si m>1 il y a sur-modulation
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121
• AM, aspect fréquentiel
− A < g (t ) < A, spectre(T .F .) G ( f )
s(t ) = ( B + g (t ))U p cos( 2πf p t )
S( f ) =
BU p
2
[δ ( f + f p ) + δ ( f − f p )] +
-fp
Up
2
[G( f + f p ) + G ( f − f p )]
0
fp
f
G(f)
!! Information dupliquée
en BLI et BLS
Bande latérale
Bande latérale
inférieure (BLI) supérieure (BLS)
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122
• AM, rendement (puissance de l ’émetteur ?)
– pour g(t) signal sinusoïdal amplitude A
Pg=A2/2
– Puissance porteuse
Pp=Up2/2
– Dans le signal modulé, puissance totale
Ptot= Up2A2/8 + Up2A2/8 + B2Up2/2
– Rendement
(Up2A2/8 + Up2A2/8 ) / Ptot = m2/(m2+2)
– maximum, sans sur-modulation m=1, rendement 33% !
• Seule la moitié est utile...
• Mauvais rendement, mais démodulation simple par
détection d ’enveloppe
• Améliorer le rendement en éliminant la porteuse,
m>>1 , d ’ou….
modulation sans porteuse
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123
• Modulation sans porteuse (AM-P, MDBSP,DBSSC)
− A < g (t ) < A,
spectre(T .F .) G ( f )
s(t ) = g (t )U p cos( 2πf p t )
S( f ) =
Up
2
[G ( f + f p ) + G ( f − f p )]
-fp
0
fp
f
G(f)
Rendement 100% mais seule
la moitié est utile !
Et démodulation plus difficile
Bande latérale Bande latérale
inférieure (BLI) supérieure (BLS)
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124
• Modulation à bande latérale unique (BLU, SSB)
– Filtrage d ’une des deux bandes latérales (difficile, filtre très
sélectif)
– Réalisation par modulateur spécial
– Bande passante réduite d ’un facteur 2
-fp
0
fp
f
G(f)
Bande latérale
unique (BLU)
– Pour un signal modulant sinusoidal de fréquence f0, le signal
modulé est un signal sinusoidal pur de fréquence fp+f0
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125
• Modulation à bande latérale résiduelle (BLR, VSB)
– Transmission des très basses fréquences (vidéo,…)
– Modulation AM puis filtrage spécifique de la BLU
– En présence d ’une porteuse, démodulation d ’enveloppe
avec une distorsion acceptable
-fp
0
fp
f
G(f)
Bande latérale
unique (BLU)
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126
• Modulateurs AM
E
– Multiplieur analogique, transconductance variable
∂I C
∂I B
yt =
=β
,
∂VBE
∂VBE
I B = I B 0 (exp(
yt =
kT
UT =
= 26mV
q
VBE
V
) − 1) ≈ I B 0 (exp( BE ))
UT
UT
s(t)
e(t)
IC
UT
Ic(t)
R
∂s(t ) = − R∂I C (t ) = − Ryt ∂VBE (t ) = −
I C (t )∂e(t )
UT
– Amplification à gain variable=multiplication
G (t ) = −
βR
R
=−
I c (t )
h11 (t )
UT
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127
– Modulation par non-linéarité (inter-modulation)
• Système à relation entrée-sortie non linéaire
N
s(t ) = ∑ an en (t )
n= 0
• Ex: système quadratique
s(t)=e2(t)
e(t ) = g (t ) + U p cos( 2πf pt )
s(t ) =
0
U p2
2
+ g 2 (t ) + 2 g (t )U p cos( 2πf p t ) +
Fmax
2Fmax
fp
G(f)
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U p2
2
cos( 4πf pt )
2fp
f
128
• Démodulateurs analogiques AM
– Démodulation synchrone: multiplication et filtrage passe-bas
• ex: en modulation sans porteuse
Modulation : s(t ) = g (t )U p cos( 2πf p t )
Démodulation : d (t ) = s(t ) U d cos( 2πf p t + ϕ d )
d (t ) =
U pU d
2
[g (t ) cos( 4πf t + ϕ
p
d
) + g (t ) cos(ϕ d )
Modulation AM à 2fp
éliminée par
filtrage passe-bas
]
Signal g(t) démodulé
Démodulation isochrone
si ϕd=0
– Problème: connaître fp: AM avec porteuse,
reconstitution(PLL...)
– En BLU ou BLR, démodulation isochrone sinon distorsion
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129
– Démodulation par détection d’enveloppe, AM avec porteuse
• , détecteur de crête, redressement et filtrage passe-bas
Signal AM e(t)
R
C
Signal démodulé s(t)
• Fréquence de coupure du passe-bas fc=1/2πRC
s(t)
p(t)
a) τ ≈ τHF
s(t)
s(t)
p(t)
p(t)
c) τBF >> τ >> τHF
Pour éviter les distorsions, on montre:
b) τ ≈ τBF
1
m 2πf m
f p >>
>
RC
1 − m2
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130
Performances en présence de bruit (AM avec porteuse)
Bruit blanc
(DSP constante : N0)
Filtre
passe bande
Démodulateur
Filtre
passe bas
• Dans la bande de réception du signal (filtre passe-bande
largeur 2F)
– Puissance du bruit = 4FN0
– Puissance du signal (g(t) sinusoïdal amplitude A) =Up2A2/4
– Puissance porteuse = B2Up2/2
– Rapport Signal/Bruit
U 2p (2 B 2 + A2 )
RSBHF =
16 FN 0
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131
• Après démodulation
– Puissance du bruit = 4FN0
– Puissance du signal = A2Up2/2
– Rapport Signal/Bruit
RSBBF =
• Gain en RSB
GRSB
A2U p2
8FN 0
RSBBF
2m 2
=
=
RSBHF 2 + m 2
– Maximum 2/3 pour m=1, c ’est à dire diminution du RSB !
Sans porteuse (AMP-P) (exercice à démontrer)
GRSB = 2
Exercice: Calculer GRSB en modulation AM BLU avec et sans porteuse
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132
IV-3 Modulation angulaire (Fréquence,Phase)
s(t ) = U p cos( 2πf p t + ∆Φ(t ) + α p )
• Modèle général
∆Φ(t ) = k m(t )
– Modulation de phase (PM) si
t
– Modulation de fréquence (FM) si
∆Φ(t ) = 2πk ∫ m(u) du
0
k m (t ) =
Fréquence
1 d∆Φ (t )
instantanée f i (t ) = f p +
2π
• Modèle simplifié
– Modulation de phase
1 d ( ∆Φ(t ))
2π
dt
dt
s (t ) = U p cos( 2πf p t + m(t ))
s (t ) = U p cos(2πf p t + ∫ m(u ) du)
t
– Modulation de fréquence
0
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133
• … d ’où équivalence :
m(t)
Modulation
de Phase
m(t) Modulation
de Fréquence
s(t)
⇔
s(t)
⇔
Modulation de Phase (PM)
m(t)
m(t)
d/dt
∫ dt
Modulation
de Fréquence
s(t)
Modulation
de Phase
s(t)
Modulation de Fréquence (FM)
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134
• Propriétés principales des modulations angulaires
– Indépendance du niveau de signal démodulé par rapport au signal
reçu…
– ... ce qui implique une meilleure immunité au bruit qu’en modulation
d’amplitude
– Bonne résistance aux perturbations si l’indice de modulation est
élevé
– Largeur de bande du canal de transmission élevée
– La modulation FM possède une immunité au bruit supérieure à la
modulation PM
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135
• Spectre des signaux modulés
– forme générale
[
s (t ) = U p cos( ∆Φ(t )) cos( 2πf p t ) − sin( ∆Φ (t )) sin( 2πf p t )
[
s (t ) = U p Re exp( j 2πf p t ) exp( j∆Φ(t ))
]
∞

( j∆Φ(t )) n 
s (t ) = U p Re exp( j 2πf p t )∑

n
!
n=0


]
TF
←→
S( f )
– Complexe à calculer dans le cas général
– Différent de zéro uniquement au « voisinage » de la porteuse
• Modulation à bande étroite NFM (faible niveau) ∆Φ (t ) << π
[
s (t ) = U p cos( 2πf p t ) − ∆Φ(t ) sin( 2πf p t )
DSP( f ) =
Up
4
2
[δ ( f − f
p
]
Analogue à modulation
d ’amplitude
) + δ ( f + f p ) + DSPΦ ( f − f p ) + DSPΦ ( f + f p )
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]
136
• NFM - Réalisation par chaîne d ’Armstrong
Porteuse
Déphaseur
π/2
X
+
Signal modulé
s(t)
Signal modulant m(t)
– Le signal est aussi faiblement « modulé en amplitude »
Signal modulant
Porteuse, signal modulé
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137
• Signal modulant sinusoïdal
– en PM
∆Φ (t ) = km (t ) = kU m cos( 2πf mt ) = ∆Φ max cos( 2πf mt )
∆f i (t ) =
– en FM
m(t ) = U m cos( 2πf m t )
1 d∆Φ (t )
= kU m f m sin(2πf m t ) = ∆f max sin(2πf mt )
2π dt
∆Φ (t ) = k 2π ∫ m(t )dt = k
Um
sin(2πf mt ) = ∆Φ max sin( 2πf mt )
fm
1 d∆Φ (t )
∆f i (t ) =
= kU m cos(2πf m t ) = ∆f max cos( 2πf mt )
2π
dt
– Indice de modulation
∆f max
β=
fm
s (t ) = U p cos( 2πf p t + k 2π ∫ m(u )du )
t
– en FM
−∞
= U p cos( 2πf p t + β sin(2πf mt ))
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138
• Signal modulant sinusoïdal en FM
– on montre (décomposition en série de Fourier)
s (t ) = U p
+∞
∑J
n = −∞
n
( β ) cos(2π ( f p + nf m )t )
– Jn(β) désigne la fonction de Bessel de 1ère espèce d’ordre n
– Densité spectrale de s(t): spectre de raies (s(t) périodique)
U 2p
DSPs ( f ) =
4
J0 J1 J2 J3
+∞
∑J
n = −∞
2
n
[
( β ) δ ( f + f p + nf m ) + δ ( f − f p − nf m )
]
Fonctions
globalement décroissantes
quand n augmente
Le spectre est donc « borné »
pour une valeur de β donnée
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139
Exemples de DSPs(f)
fp=30
fm=1
β =10
fp=30
fm=1
β =5
fp=30
fm=2
β=5
fp=20
fm=1
β=5
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140
Exemples de DSPs(f) en NFM β<<1
fp=20
fm=1
β=0.5
fp=20
fm=1
β=0.1
• Il ne reste plus que 3 raies: la porteuse et deux raies latérales
à fp-fm et fp+fm, (analogie avec AM faible)
• Le signal modulé s(t) est quasiment sinusoïdal.
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141
• Règle de Carson
(signal quelconque)
– largeur du spectre du signal modulé
Bs ≈ 2( β + 1) f m
• Exemple:
Porteuse à 20 Mhz, FM
Fréquence max du
signal modulant 20 kHz (audio)
pour β=2
Bs=120 kHz
pour β=0.1
Bs=40 kHz (identique à AM)
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Fp
Bs
142
• Comportement en présence de bruit
– pour un RSB en entrée supérieur à 5dB
RSBsortie = 3β 2 RSBentrée
– … donc, augmenter l ’indice de modulation β pour améliorer
le RSB en sortie...
– … au prix d ’une augmentation de la largeur de bande Bs
– Bruit basse-fréquence en sortie du démodulateur FM
Pentrée
2
BBF ( f ) =
f
3Bs 2 RSBentrée
– … pré-accentuation (amplification) des HF avant modulation
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143
• Modulateurs FM
• β<<1 (NFM)
– Chaîne d ’armstrong
– VCO (Voltage Controlled Oscillators)
• Oscillateur à Quartz accordable par diode varicap
i
i
Comportement
capacitif
de la diode bloquée
u
u
• … mais variation de fréquence faible (β<<1) pour conserver
une bonne linéarité
•
β>1 (WFM)
– Il est difficile d’obtenir une porteuse stable et une grande
excursion de fréquence
– Modulateurs plus complexes
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144
• Multiplication de fréquence et mélangeur
• VCO + PLL (Phased Locked Loop, boucle à verrouillage de phase)
fx
m(t)
fx/R
Oscillateur à quartz
diviseur par R
f/N
Comparateur
de phase
Filtre passe-bas v0
fc << Fmin
VCO
s(t)
Diviseur par N
programmable
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145
• Démodulateurs FM
• Discriminateur en quadrature
Multiplieur
x(t)
e(t)
y(t) Filtre passe-bas
fc << fp
s(t)
signal BF
Déphaseur
π
+ r ( fi (t ) − f p )
2
– Fréquence instantanée fi(t)
f i (t ) = f p +
1 d∆Φ (t )
2π dt
– Signal modulé e(t) e (t ) = U p cos( 2πf p t + ∆Φ (t )) = U p cos( Θ HF (t ))
– Signal modulant m(t)
PM:
FM:
x (t ) = U p cos( Θ HF (t ) +
k m(t ) = ∆Φ(t )
1 d ( ∆Φ(t ))
k m (t ) =
2π
dt
π
+ r k m(t ))
2
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146
• …/...
π
y (t ) = x (t )e(t ) = U p cos( Θ HF (t ) + + r k m(t )) U p cos( Θ HF (t ))
2
U p2 
π
π

=
cos(
2
Θ
(
t
)
+
+
r
k
m
(
t
))
+
cos(
+
r
k
m
(
t
))
HF

2 
2
2

Terme HF (2fp)
éliminé par filtrage passe-bas
U p2 
π
s (t ) =
cos( + r k m(t ))

2 
2
en général
Terme BF
U p2

 = 2 [− sin( r k m(t )) ]
U 2p r k
r k m(t ) << 1 ⇒ s (t ) ≈ −
m(t ))
2
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147
• Exemple de réalisation: circuit accordé sur f p
Multiplieur
x(t)
e(t)
L
bobine
C0
C
y(t) Filtre passe-bas
fc << fp
s(t)
signal BF
R
Exemple pour fp = 10,7 MHz, fréquence intermédiaire des récepteurs FM
C = 100pF, C0 = 5pF, L = 2.1mH et R = 1kΩ
Pente r
Gain
Phase
10.7MHz
Autour de fp
déphasage:
π
+ r ( f i (t ) − f p )
2
10.7MHz
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148
• Démodulateur à PLL
Sortie du démodulateur
s(t)
e(t)
Comparateur
de phase
Filtre passe-bas
fc << Fi
e(t ) = U p cos( 2πf p t + ∆Φ (t ))
VCO
v(t)
Équation du VCO
v(t ) = A cos( 2πf p t + g ∫ s (t ) dt )
– Quand la PLL est verrouillée, les phases de e(t) et v(t) sont
égales:
d ( ∆Φ (t ))
∆Φ (t ) = g ∫ s(t )dt ⇔
= g s (t )
dt
1 d (∆Φ (t ))
2π k
– En FM:
k m (t ) =
⇒ s (t ) =
m( t )
2π
dt
g
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149
• Exemple/exercice (bande FM)
– Porteuse fp= 100 Mhz
– Déviation de fréquence maximale ±75kHz
– Signal modulant audio, fréquence min 50Hz,
fréquence max 15kHz
– Calculer les indices de modulation maxi et mini
– En déduire les largeurs de bande Bs maxi et mini
– Etudier et critiquer les schémas de modulation
• Chaîne d ’Armstrong
• Chaîne d ’Armstrong et multiplieur
• Chaîne d ’Armstrong, multiplieur et mélangeur
• Exercice
– Signal modulant m(t)=2Rect(t/T) - 1, avec T=1ms
– Porteuse FM à 10Mhz, Largeur de bande Bs = 20kHz
– Quel indice de modulation proposez-vous ?
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150