Montage de spécialité : Mesure d`impédance, Application à la

Montage de spécialité : Mesure d’impédance,
Application à la caractérisation d’un
Haut-Parleur
Nicolas Dandrimont
19 Novembre 2009
Table des matières
1 Introduction, prédéterminations
1.1 Notion d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Haut-Parleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Mesure d’impédance
2.1 Alimentation à courant constant . . . . . . . . .
2.2 Mesure de l’impédance par tracé d’un diagramme
2.3 Détection synchrone . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
4
4
6
6
6
7
3 Caractérisation du haut-parleur
3.1 Rappel du modèle du Haut-Parleur . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Caractérisation du Haut-Parleur utilisé . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
A Impédance mesurée
9
. . . . .
de Bode
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Résumé
Ce montage porte sur une mesure fondamentale en électronique : la
mesure de l’impédance de dipôles linéaires. Pour illustrer cette mesure,
le sujet nous porte à effectuer la caractérisation d’un haut-parleur. Ceci
nécessite avant tout de réétablir le modèle électrique de ce dispositif électromécanique, afin d’en identifier les paramètres par la mesure.
1
1
Introduction, prédéterminations
Cette partie porte sur les principes à la base de ce montage que sont la notion
d’impédance et le modèle d’un haut-parleur.
1.1
Notion d’impédance
L’impédance n’a de sens que pour un dipole linéaire, ou que l’on peut
linéariser dans une certaine zone de fonctionnement.
Pour un dipôle traversé par un courant I(ω) (à la pulsation ω), est mesurée
à ses bornes une tension V (ω) complexe. On définit alors l’impédance comme
V (ω)
I(ω)
Z(ω) =
(1)
I(ω)
V (ω)
Figure 1 – Dipôle linéaire
On constate que la mesure de l’impédance du dipôle nécessite un « générateur de courant » à fréquence variable, dont on connait parfaitement l’amplitude
du courant et la fréquence. Ceci permet, par mesure de la tension aux bornes du
dipôle, et du déphasage entre la tension et le courant, de déterminer totalement
l’impédance du dipôle à la fréquence donnée.
1.2
Haut-Parleur
Un haut-parleur est un transducteur électromécanique consitué d’une membrane, excitée par un aimant placé dans une bobine. Un champ magnétique
alternatif, créé par la bobine, fait vibrer la membrane afin d’émettre un son.
La problématique de cette partie est d’établir un modèle linéaire de ce dispositif à partir des équations électriques et mécaniques couplées.
Dans ce modèle linéaire, il est considéré que l’ensemble { membrane + bobinage }, de masse m, se déplace par rapport au support comme s’il subissait
une force de rappel de coefficient k et une force de frottements de coefficient
α. De plus, le bobinage subit un champ magnétique B uniforme et radial, donc
perpendiculaire au fil sur toute sa longueur l. (Schéma mécanique en figure 3,
électrique en figure 4).
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit alors :
mẍ +
αẋ
|{z}
kx
|{z}
+
Force de frottements
Force de rappel
=
−Bli
| {z }
(2)
Force de Laplace
L’équation électrique, en considérant la résistance du bobinage R et son
inductance propre L :
u = Ri + L
2
di
− Blẋ
dt
(3)
Figure 2 – Haut parleur électrodynamique
Figure 3 – Haut parleur électrodynamique : schéma mécanique et notations
i(t)
L
R
e = −Bl dx
dt
u(t)
Figure 4 – Haut parleur électrodynamique : schéma électrique
Dans l’espace de Laplace, ces deux équations donnent :
(mp2 + αp + k)X(p) = −BlI(p)
(4)
U (p) − (R + Lp)I(p) = −BlpX(p)
(5)
3
On peut alors réinjecter l’équation 4 dans l’équation 5 afin d’établir les
grandeurs électriques équivalentes aux paramètres mécaniques : les grandeurs
motionnelles.
Z(ω) = R + jLω +
jω(Bl)2
m(jω)2 + jαω + k
(6)
Le troisième terme est une impédance parallèle, que l’on appelle impédance
motionnelle du haut parleur. On peut alors établir un modèle électrique équivalent complet en figure 5.
i(t)
R
L
Rm
u(t)
Lm
Cm
Figure 5 – Modèle équivalent électrique du haut-parleur
Les impédances motionnelles équivalentes ont alors pour expressions :
(7)
Lm
(8)
Cm
2
(Bl)2
α
(Bl)2
=
k
m
=
(Bl)2
Rm =
(9)
Mesure d’impédance
Cette partie porte sur l’étude du montage à proprement parler. Pour commencer, nous étudions deux dispositifs de conversion tension-courant, puis ensuite nous abordons les dispositifs permettant la mesure de l’impédance.
2.1
Alimentation à courant constant
Afin de générer un courant d’amplitude et de phase donnés à partir d’une
tension sinusoïdale, il est possible d’utiliserun montage nommé Amplificateur à
transimpédance et présenté en figure 6, nécessitant une résistance et un amplificateur opérationnel.
Le courant traversant la résistance R et l’impédance à tester Z est le même.
De plus, la patte non-inverseuse de l’amplificateur à la masse nous donne une
masse virtuelle au point entre R et Z.
On a donc
Z(ω)
V out (ω) = −
V in (ω)
(10)
R
Ce montage, bien qu’effectuant la fonction que nous souhaitons réaliser, a
un problème : Dans certaines applications, le dispositif à tester doit avoir une
patte à la masse (réelle).
4
I(ω)
I(ω)
R
Z(ω)
V in (ω)
V out (ω)
−
+
Figure 6 – Amplificateur à transimpédance
Nous proposons donc, pour pallier à ce problème, un deuxième montage un
peu plus complexe (en figure 7), à deux amplificateurs opérationnels.
Sommateur
R
R
−
R
+
V in (ω)
V s (ω)
Rc
R
I(ω)
+
−
Z(ω) V out (ω)
V out (ω)
Figure 7 – Convertisseur tension-courant
Le montage du sommateur, crée une tension V s = V in + V out à sa sortie,
grâce au montage suiveur qui restitue la tension V out . Le courant I traversant
Rc et Z(ω) l’impédance à tester vaut donc
I=
V s − V out
V
= in .
Rc
Rc
(11)
On en tire
V out (ω) = Z(ω)I(ω) =
Z(ω)
V (ω)
Rc in
(12)
La résistance Rc permet de régler le calibre de l’appareil de mesure.
On en déduit finalement
Z(ω) = Rc
5
V out
V in
(13)
2.2
Mesure de l’impédance par tracé d’un diagramme de
Bode
La mesure de l’impédance se rapporte donc à la mesure du rapport complexe (rapport des amplitudes et différence de phase) entre le signal d’entrée
et le signal de sortie, c’est à dire en fait la fonction de transfert entrée-sortie.
La première idée pour obtenir cette fonction de transfert est d’utiliser un programme de tracé automatique de diagramme de Bode. Les résultats obtenus
concordent bien avec ceux obtenus via l’analyseur d’impédance commercial.
Pour obtenir le diagramme en amplitude, il est possible d’effectuer une wobulation logarithmique de la fréquence de la tension d’entrée, et observer la tension
de sortie.
2.3
Détection synchrone
2.3.1
Principe
Afin d’obtenir une grandeur électrique directement proportionnelle aux parties réelle et imaginaire de l’impédance, nous pouvons mettre en oeuvre une
méthode de détection synchrone, schématisée en figure 8.
Vin
Convertisseur
d’impédance
Vout
×
×
VRe
6∼
∼
Re(Z(ω))
VIm
6∼
∼
Im(Z(ω))
π/2
Figure 8 – Détection synchrone
Le convertisseur d’impédance est le dispositif à courant constant étudié
précédemment. Il est alimenté par une tension sinusoïdale
Vin (t) = V0 cos(ωt),
(14)
Vout (t) = V0 Z0 (ω) cos (ωt + ϕ(ω)) ,
(15)
et délivre une tension
avec
Z(ω) = Z0 (ω)ejϕ(ω)
(16)
= Z0 (ω)(cos(ϕ(ω)) + j sin(ϕ(ω)))
(17)
Les multiplieurs ont un coefficient K0 , et le déphaseur de fournit la tension
Vin déphasée de π/2. Ainsi
VRe (t) = K0 V02 Z0 (ω) cos(ωt + ϕ(ω)) cos(ωt)
VIm (t) =
K0 V02 Z0 (ω) cos(ωt
6
+ ϕ(ω)) sin(ωt)
(18)
(19)
On en déduit
K0 V02 Z0 (ω)
(cos(ϕ(ω)) + cos(2ωt + ϕ(ω)))
2
K0 V02 Z0 (ω)
VIm (t) =
(sin(ϕ(ω)) − sin(2ωt + ϕ(ω)))
2
VRe (t) =
(20)
(21)
Après filtrage passe-bas, les tensions sont bien proportionnelles directement
à Re(Z(ω)) et Im(Z(ω)).
2.3.2
Réalisation
Le câblage des multiplieurs et des filtres passe-bas est assez simple (on utilise
un simple dipôle RC à une fréquence de coupure adaptée pour le filtrage). Le
seul circuit à étudier est donc le déphaseur.
La première idée est d’utiliser un déphaseur adapté à une fréquence unique.
Or pour notre mesure d’impédance, nous souhaitons deux signaux en quadrature
sur une plage de fréquences large. Pour ce faire, les analyseurs d’impédance
commerciaux utilisent des synthétiseurs de fréquence permettant d’obtenir des
signaux en quadrature intrinsèquement.
De manière discrète, il est aussi possible d’utiliser deux filtres à phase linéaire
large bande, décalés de π/2. Ainsi, les deux signaux en sortie des deux filtres
sont bien en quadrature, et ce sur une large bande.
Enfin, les analyseurs de spectre commerciaux utilisent deux oscillateurs synchrones en quadrature afin de générer les signaux nécessaires.
3
Caractérisation du haut-parleur
3.1
Rappel du modèle du Haut-Parleur
L’impédance du haut-parleur est rappelée ci-dessous :
Z(ω) = R + jLω +
1
1
Rm
+
1
jLm ω
+ jCm ω
(22)
Les paramètres à déterminer sont donc R, L, Rm , Lm et Cm . Pour déterminer
ces paramètres, nous utilisons des points caractéristiques de notre diagramme
d’impédance.
On détermine R et L en régime asymptotique : en basse fréquence, Z = R
et en hautes fréquences, Z ≈ jLω.
Pour déterminer Lm , Cm et Rm , on utilise les caractéristiques de la résonance : on a
1
√
2π Lm Cm
r
Cm
Rm
Q = Rm
=
.
Lm
Lm ω0
fres ≈
(23)
(24)
Attention, dans l’équation 24, Q est le facteur de qualité de la résonance,
c’est à dire de Z(ω) − R.
7
Enfin, à la fréquence résonante, Z = R + Rm .
Les impédances réelles et motionnelles peuvent alors être totalement déterminées.
3.2
Caractérisation du Haut-Parleur utilisé
Sur le relevé en annexe A, on constate :
– À basses fréquences, R = 8Ω
– À f = 10kHz, |Z| = 12Ω.
On en déduit
p
|Z|2 − R2
L=
,
2πf
(25)
soit L = 142µH .
– La résonance a lieu à f0 = 700Hz, et a une largeur ∆f = 200Hz. On a
donc Q = 3.5.
– À la résonance, Z = 11Ω, donc Rm = 3Ω .
– De Q, f0 et Rm , on déduit Lm = 195µH
– Enfin, de f0 et Lm on tire Cm = 265µF
Quelques remarques peuvent être faites sur les valeurs obtenues : tout d’abord,
on constate une résistance de 8Ω classique et connue des audiophiles : il s’agit
d’une impédance standard pour un haut-parleur. La valeur de L est importante
vu la présence d’un aimant permanent, qui augmente grandement l’inductance
du bobinage.
Pour revenir aux paramètres mécaniques du haut-parleur, on peut supposer
que la masse de l’ensemble { bobinage + membrane } est de l’ordre de la dizaine
de grammes. Grâce à l’expression 9 de la capacité motionnelle, on obtient une
estimation du coefficient Bl ≈ 6T · m
La raideur du ressort peut alors être estimée (avec l’expression 8 de l’inductance motionnelle) à environ 200N/mm. Cette raideur très importante (environ
trois ordres de grandeur plus élevée que celle d’un ressort classique) montre que
les vibrations de notre système sont de très faible amplitude, ce qui est vérifié
expérimentalement.
8
A
Impédance mesurée
9