Travail, énergie et puissance, conservation de l`énergie mécanique

V7.2
5
Travail, énergie et puissance,
conservation de l'énergie mécanique,
forces dissipatives
1
Le travail
L'objet O subit un déplacement indiqué par le vecteur s.
Si une force F agit sur O, alors le travail W effectué par la force
vaut le produit scalaire
W=sF
F
s
O
1 Newton x 1 mètre = 1 Joule
[J]
2
L'énergie cinétique
L'énergie cinétique d'un objet de masse m,
1 2
K = mv
2
ayant vitesse v vaut
i)
Si l'on effectue un travail W sur un objet ayant énergie
cinétique K0, celle-ci change et devient K1 = K0 + W
€
v
v0
x0
1 2
K 0 = mv 0
2
f)
1
F
x1
F: force appliquée
entre x0 et x1
1
1
K1 = mv12 = K 0 + W = mv 20 + F(x1 − x 0 )
2
2
3
L'énergie cinétique .2
Exemple:
x=0
x1
x2
x3
F
v=0
m=0.1 kg
−F
v
v
v=0
x1 − x0 = x3 − x2 = s =1 m
- La force F = 5 N agit sur l'objet entre x0 et x1.
- L’objet est libre entre x1 et x2.
- La force −F agit sur l'objet entre x2 et x3.
K0 = 0
W = Fs
K1 = W = mv2/2
v = 2K1 /m
v = 2W /m = 2Fs/m = 2 × 5 ×1/0.1 = 10 m/s
4
Energie potentielle
Exemples:
Energie potentielle gravifique, coulombienne, élastique,...
y
yf
Exemple: cas d'un corps de masse m qui s'élève dans
le champ gravitationnel:
Ki = mvi2/2
FG = −mg
W = FG (yf − yi) < 0 !
K f = K i + W < Ki
vi
yi
m
FG
g= +9.81 ms−2
L'objet a perdu de l'énergie cinétique
mais il a gagné de l'énergie "potentielle"
qu'il peut rendre en tombant à nouveau en yi
5
Energie potentielle .2
On introduit l'énergie potentielle (gravitationnelle) que le corps
possède lorsqu'il se trouve à une hauteur y, U(y).
La différence d 'énergie potentielle ΔU entre deux
points exprime la quantité d'énergie (gravitationnelle) disponible.
yi
-mg
yf
g= +9.81 ms−2
L'objet tombe de yi à yf. Le travail effectué
par le champ gravitationnel vaut
W = −mg(yf − yi) =
= −( mgyf − mgyi ) > 0
E cinétique: Kf = Ki + W > Ki
On introduit U = mgy on a:
−W = U(yf) − U(yi) = ΔU
6
Energie potentielle .3
A une hauteur y du point de référence (sol, table,...), on va écrire
l'expression suivante pour l'énergie mécanique E d'un point
matériel de masse m
E = K + U(y) = mv2/2 + mgy
g= +9.81 ms−2
ΔU dépend seulement des points de départ et arrivée, et
pas du trajet => la force gravitationnelle est "conservative"
i)
yi
f)
yf
Attention: pas de frottement !
7
Energie potentielle .4
Travail effectué par la force de gravité:
Cas a): W = Fg . s = Fg(yf - yi) = FgΔy
=
Cas b): W = Fg . s’ = F// s’
a)
b)
yi
yi
Fg
s’
s
F//
yf
yf
||s|| = Δy
xi
Fg
α
xf
8
Conservation de l'énergie mécanique
Exemple: un corps initialement a
repos, tombe de yi en yf
yi
Fg
yf
g= +9.81 ms−2
Ei = Ki + Ui = 0 + mgyi
Ef = Kf + Uf = Kf + mgyf
Si l'énergie mécanique est conservée
Ei = Ef
alors:
0 + mgyi = Kf + mgyf
Kf = mgyf − mgyi = mg(yf − yi)
... permet de calculer la vitesse finale par Kf = mvf2/2 ...
9
Autre exemple d'E potentielle: l'E potentielle élastique
Hooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δ
pour les objets élastiques (en particulier les ressorts).
La loi d'Hooke pour un objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k:
F=kδ
F
avant
x
0
Le travail fait par F = kx entre
x=0 (ressort au repos) et
x=δ vaut:
F
x2 δ 1 2
W = ∫ Fdx = ∫ kxdx = k = kδ
x
2 0 2
0
0
δ
après
0δ
δ
W est l'énergie stockée dans la déformation élastique δ
€
10
Interlude: lois de conservation,
2
E = mc et les antiparticules
Conservation
de l'énergie
de la quantité de mouvement
du moment cinétique
de la charge électrique
...
Des contre-exemples ?
(1882 - 1935)
http://www.emmynoether.com/
11
Les lois de conservation .2
Un contre-exemple (physique):
Pas de conservation du nombre de particules
annihilation de l'électron et du positon:
Toutefois:
* la charge électrique est conservée:
Charge(e+) + Charge(e−) = 0 = charge(γ)
* l'énergie de masse des deux particules est transformée
en énergie électromagnétique ( particules gamma ),
et l'énergie totale est conservée si l'on utilise la formule E= mc2...
12
Annihilation électron positon
Quand un électron rencontre un positon, il y a annihilation
et on récupère l’énergie
E=2
m c2
ce sont deux
rayons “gamma”
d ’énergie >mc2 chacun,
que l’on peut observer
avec des détecteurs
e+ + e− —>
γγ
(les ondes électromagnétiques: radio, infrarouge, visible, ultraviolet,
rayons X, gamma)
13
Tomographie positons
14
Tomographie par émission de positons
On injecte une substance métaboliquement active
émettrice des positons
détecteurs de particules
gamma
La substance se concentre
dans certaines régions du
corps (tumeurs, régions
du cerveau actives,…)
gamma
Les positons s ’annihilent
avec les électrons de la
matière. Deux rayons
gamma sont émis et observés
par des détecteurs de
particules
15
La tomographie positons
permet d ’étudier le comportement du cerveau
lire des mots sur
un écran
entendre des mots
16
La tomographie positons
17
tomographie films
La tomographie
positons permet de
créer des images 3D
de suivre
l’évolution
temporelle
du métabolisme
d’une substance
18
Isotopes pour TEP
19
Création de paires
électron-positon
L'effet opposé a aussi lieu: un rayon gamma qui frappe un atome
se matérialise en un couple électron-positon
positon
électron
Pour produire un couple électronpositon il faut disposer d’une
ENERGIE > 2mc2
Conclusion: l'énergie totale est conservée !
La charge électrique est aussi conservée,
...mais pas le nombre d'électrons dans
l'Univers
γ
20
Les forces dissipatives
Les forces de frottement s'opposent toujours au déplacement
du corps. Donc elles contribuent avec un travail < 0, c.à d. elles
soustraient de l'énergie mécanique.
Dans la figure, Ff est parallèle au plan, elle est opposée à s,
et a la valeur Ff = −µ cF⊥ = −µ cFg cosα (le signe indique que la
force s’oppose au mouvement)
Le travail total vaut
yi
. s = s (F + F ) =
W = (F
+
F
)
g
f
//
f
€
Ff
s
F⊥
Donc l'énergie cinétique
finale du corps sera plus petite
qu'en l'absence de frottement
F//
yf
xi
Fg
α
xf
21
Energie mécanique totale d'un système
E = Energie cinétique + Energie potentielle ≡ K + U
Conservation de l'énergie mécanique:
en l'absence de forces agissant sur un système, l'énergie
mécanique totale du système est une constante:
E (t1) = E(t2) pour tout temps t1 et t2
Dans un système composé de plusieurs corps, on peut
avoir une redistribution de l'énergie au cours du temps (choc),
mais la somme totale doit être conservée
E=
∑ E (t) = ∑ K (t) + U (t) = cte
i
i=1,N
i
i
i=1,N
22
Conservation de l'Energie totale
Attention: en cas de forces de frottement, de déformations,...
une partie de l'énergie mécanique se transforme en chaleur,
modifications structurelles, chimiques,...
On va devoir inclure ces effets par des termes additionnels
E = K + U + chaleur +...
Dans la théorie de la relativité, masse et énergie sont liées
par Emasse = mc2 , donc
E = mc2 + K + U + ...
23
Echelle d'énergie
Energie libérée par une supernova
1044 Joules
E solaire sur terre par an
1024
E consommée par l'homme par an
1020
Bombe à fusion 15 Mtonnes
1017
E produite par une centrale en 1 an
1016
E de combustion 1 litre essence
107
E alimentaire pour 1 adulte par jour
107
E cinétique d'un homme qui court
103
E cinétique d'une balle de 5 g à la vitesse du son ?
Décharge d'un neurone
10-10
E d'un électron dans l'atome
10-18
E la plus élevée observée dans une particule cosmique 1 J
24
Conservation de l'Energie mécanique. Exemple
Objet de masse m jeté depuis une hauteur h du sol,
à vitesse vi, dans une direction arbitraire. On veut calculer
(le module de) la vitesse d'arrivée au sol.
Ei = Ki + U(h) = mvi2/2 + mgh
Ef = Kf + U(0) = mvf2/2 + mg0
mvf2/2 = mvi2/2 + mgh
}
g=+9.81ms-2
Ei = Ef
h
vf = [ vi2 + 2gh ]1/2
vf est donc indépendante de la
direction initiale
€
0
25
L'énergie potentielle gravitationnelle revisitée.
U(h) = mgh est une expression utile à proximité de la surface
terrestre. A distance r >> R, R = rayon terrestre, la force de
gravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable
(si r << R aussi, d'ailleurs).
On peut montrer que le travail effectué par FG dépend
toujours exclusivement des point de départ et arrivée.
La force de gravité est conservative.
Comment définir l'E potentielle dans le cas général ?
U(r1)
r1
r2
U(r2)
Le travail effectué par
FG le long des deux
trajectoires est identique
et vaut
U(r2) − U(r1)
26
Energie potentielle gravitationnelle .2
^
r
r
FG
m
Mm
Force de M sur m = FG = −G 2 rˆ
r
M
Travail pour porter m de ri à rf :
rf
rf
rf
Mm
Mm
Mm
€
W = ∫ FG ⋅ dr = − ∫ G 2 rˆ ⋅ dr = − ∫ G 2 dr = G
r
r
r
ri
ri
ri
Mm
Mm
=G
−G
rf
ri
rf
=
ri
La variation d'énergie du système
vaut −W = U(rf) −U(ri) donc
Mm
U(r) = −G
r
27
Energie potentielle gravitationnelle .3
Voyons si cela est cohérent avec U(h) = mgh...
Mm
≡ U0
A hauteur nulle de la surface terrestre, r = R U(R) = −G
R
On élève l'objet de h << R:
Mm
1
U(R + h) = −G
= −GMm€
=
R+h
R+h
1
Mm
1
= −GMm
= −G
R(1+ h /R)
R (1+ h /R)
On utilise l'approximation
€
1
≈ 1− x valable quand x<<1
1+ x
Mm
Mm
Mm
U(R + h) = −G
(1− h /R) = −G
+ G 2 h = U 0 + mgh
R
R
R
€
g = + 9.81 ms-2
28
Energie potentielle gravitationnelle .4
Examinons l'information transportée
Mm
par la formule
U(r) = −G
r
U(r) → 0 quand r →∞
U(r) → −∞ quand r →0
U(r)
r
€
Le point de référence naturel
est le "zéro" à l'infini, quand la
force est aussi nulle.
Une particule de masse m qui "tombe"
de l'infini à une distance rf change son
E potentielle de Uf − Ui= U(rf) − 0 = U(rf)
Q.: que se passe-t-il quand r → 0 ????
29
Energie potentielle électrique
Qq
La force coulombienne entre deux charges Q et q: F = k 2 rˆ
r
Les charges se mesurent en "Coulomb" C et
k = 9 109 N m2 C−2
€ dans le cas
Attention: il n'y a pas de signe négatif comme
de la gravitation!
En effet on a une force attractive (comme dans le cas de la
gravitation) quand Qq<0 c. à d. pour des charges +− ou −+.
On en déduit l’E potentielle
Qq
U(r) = k
r
30
Le champ de force
Le "champ" donne une description de la distribution des forces dans
l'espace. Pour un champ "statique": F = F(x,y,z).
Ex.: champ gravitationnel, utiliser la loi de Newton.
Les "lignes de champ" décrivent la direction de la force: pour
la déterminer, on place au point choisi
une "masse de test" et on
mesure son accélération.
Dans le cas d'une seule masse
les lignes sont distribuées
radialement autour d'elle.
31
Le champ de force .2
Dans le cas de deux masses identiques...
32
Surfaces équipotentielles
Ce sont les surfaces avec U = cte.
Pour le champ gravitationnel d'une masse M sphérique,
il s'agit de sphères concentriques.
r
Sur toute la sphère de rayon r
l'E potentielle pour un masse
de test m on a
Mm
U(r ) = −G
r
De façon plus générale on
introduit le concept de "potentiel":
la valeur de U pour m = 1kg.
M
V(r ) = −G
r
33
Surfaces équipotentielles .2
Dans le cas de deux masses identiques...
surfaces équipotentielles
lignes du champ de la force
gravitationnelle. Elles sont
orthogonales aux surfaces
équipotentielles.
34
Analogie: deux pics
35
La puissance
indique la quantité de travail qu'un système peut fournir
par unité de temps:
P = dW/dt
L'unité est le
J / s = W (Watt)
Donc P × Δt
est une énergie.
Une centrale électrique : P = 100 à 1000 MW
Le kWh (kilo Watt heure) correspond à l'énergie
1000 × (1 heure) = 1000 × 60 × 60 = 3.6 106 J
36
Puissance .2
On peut dériver la puissance associée à une force F qui
provoque le déplacement d'un objet à vitesse v
37
Energie et travail dans mouvement circulaire
v = ωr
1 2 1
1 2 2 1 2
2
K = mv = m(ωr ) = mr ω = Iω
2
2
2
2
F
déplacement correspondant à un angle θ:
€
r
Δs
θ
Travail fait par une force F tangentielle
moment de la force par rapport
au centre du cercle
38