Exercice N°1 : Laser à 4 niveaux

Institut d'Optique, 1° année Examen de Lasers 31/5/2016
François BALEMBOIS
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Examen de Lasers
3 heures
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Questions de cours
1) On considère une cavité en anneau à 3 miroirs, M1, M2 et M3, de coefficient de réflexion R1, R2, et
R3, de telle sorte que le produit R1R2R3 soit égal à 0,9.
1.1) Donner la valeur du gain G du milieu amplificateur lorsque le laser oscille.
1.2) Le laser oscille en régime continu. On fait varier la puissance de pompe sur le milieu
amplificateur. La puissance de pompe reste toujours au dessus du seuil. Est-ce que le gain G
(lorsque le laser oscille) dépend de la puissance de pompe?
2) On suppose connue la valeur du rayon de courbure complexe d'une onde gaussienne dans un
plan donné appelé  : q = 10 + i (les grandeurs sont données en m). La longueur d'onde est
= 1 µm.
2.1) Donner la position du plan du waist par rapport au plan 
2.2) Donner la valeur du rayon de courbure réel de l'onde dans le plan .
2.3) Donner la valeur du rayon transverse du faisceau à 1/e2 dans le plan 
3) On compare deux milieux amplificateurs 1 et 2 dont la largeur du spectre d’émission spontanée
est différente. La fréquence centrale d’émission 0 et le temps de vie du niveau excité sont les
mêmes pour les deux milieux. Dans les deux cas, le spectre est constitué d'une seule raie (une
seule transition laser).
On note f1() la forme de raie pour le milieu 1 et f2() la forme de raie pour le milieu 2. On suppose
dans les deux cas que les formes de raie ont un profil rectangulaire, de largeur 1 pour le milieu 1
et 2 pour le milieu 2. Elles sont centrées sur la fréquence 0.
3.1) Donner l'expression des formes de raie f1() et f2().
3.2) On suppose que 1 >> 2. Comment est la section efficace 1(0) pour le milieu 1
par rapport à 2(0) pour le milieu 2 ?
4) On considère un milieu amplificateur possédant un niveau excité noté « 2 ». À partir de ce
niveau, les atomes peuvent se désexciter de façon radiative vers 2 niveaux notés « 1 » et « 1’ ».
On note A le coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée pour la transition 2-1 et A’ le
coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée pour la transition 2-1’. Il n’y a pas d’autre
possibilité de désexcitation pour un atome dans le niveau 2.
Donner l’expression du temps de vie dans le niveau 2.

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Problème : Laser en anneau pompé longitudinalement
On considère un milieu amplificateur pompé optiquement de façon longitudinale et inséré dans une
cavité en anneau (fig.1). Le but est de regarder l'effet de la longueur du cristal sur l'oscillateur laser.
On considère 2 cas : un milieu à 4 niveaux et un milieu à 3 niveaux (les parties 1 et 2 sont
indépendantes).
Les grandeurs mises en jeu sont les suivantes, ce sont les mêmes pour les deux milieux :
- p : longueur d’onde de pompe, p = 800 nm,
- p : section efficace d’absorption du milieu à la longueur d’onde de pompe p : p = 10-20 cm2,
- Ip : intensité de pompage (qui dépend de z), en nombre de photons/s/m2,
-  : longueur d’onde du laser,  = 1000 nm,
-  : section efficace à la longueur d’onde laser :  = 2.10-19cm2,
-  : intensité laser à la longueur d’onde  en nombre de photons/s/m2,
- Is : intensité de saturation sur la transition laser, en nombre de photons/s/m2,
-  : temps de vie du niveau du haut : 100 µs,
- nt : densité de population totale : nt = 1020 atomes/cm3,
- T : transmission du miroir de sortie, T=0,3,
- l : longueur du milieu,
On rappelle que h= 6,62 10-34 Js.
La cavité a les propriétés suivantes :
- Le faisceau de pompe et le faisceau laser ont la même taille en tout point du cristal.
- Le faisceau de pompe n’est pas réfléchi pas les miroirs de la cavité.
- L’oscillateur est un anneau avec un seul sens de propagation.
- Il n’y a pas de pertes réparties dans le milieu.
- Les seules pertes de cet oscillateur sont dues à la transmission du miroir de sortie (T). On
note que celle-ci est trop importante pour appliquer l'approximation faibles pertes.
Figure 1 : schéma du milieu amplificateur et de la cavité.
Partie 1 : système à 4 niveaux
On utilise les notations et les hypothèses classiques pour un système à 4 niveaux. Les 4 niveaux
sont notés 0, 1, 2, 3. La transition laser est entre les niveaux 1 et 2. Les transitions entre les
niveaux 3 et 2 puis 1 et 0 ont des débits très grands par rapport à tous les autres débits.
On suppose que le produit pIp reste très inférieur à 1/.
1) En utilisant les résultats du cours et des TD :
1.1) Traduire l'approximation "pIp reste très inférieur à 1/" sur la population du niveau
fondamental n0 par rapport à nt à l'état stationnaire (sans calcul).
1.2) Donner l'expression de l’intensité de pompe Ip(z).
2) En utilisant l'expression du gain linéique pour un système à 4 niveaux et l’équation d’évolution de
l’intensité laser (dI/dz), donner une expression implicite reliant I(0) et I(l).

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3) En déduire l’expression de l’intensité laser en sortie lorsque le laser oscille à l’état stationnaire.
4) La puissance de pompe est fixée à l'entrée du cristal telle qu'on puisse atteindre le seuil.
4.1) Tracer l'allure de l’intensité laser en sortie en fonction de la longueur du cristal (sans
calcul).
4.2) Donner l'expression de la longueur minimale de cristal nécessaire pour atteindre
l'oscillation laser : lseuil.
4.3) On donne :
Pp la puissance de pompe incidente, en z=0 : Pp=30 W,
r, le rayon du faisceau de pompe r = 200 µm,
Calculer la valeur de I p(z=0) en photons par seconde et par m2.
4.4) Calculer la valeur numérique de lseuil.
Partie 2 : système à 3 niveaux
Le milieu utilise les mêmes grandeurs avec les mêmes valeurs numériques, sur la transition laser
et la transition de pompe.
La transition laser se situe entre le niveau fondamental (niveau 1) et le niveau 2.
La transition de pompe se situe entre le niveau fondamental (niveau 1) et le niveau 3.
Le débit du niveau 3 vers le niveau 2 est très grand par rapport à tous les autres débits.
5) Rappeler l’expression du gain linéique à l’abscisse z dans le milieu amplificateur pour un
système à 3 niveaux en fonction des grandeurs , p Ip, Is et A(=1/).
6) On définit l’intensité de pompe de transparence Iptr comme étant la valeur de l’intensité de
pompe telle que le gain linéique est égal à 0.
6.1) Donner l’expression de l’intensité de transparence Iptr.
6.2) Calculer sa valeur (en nombre de photons/s/m2).
7) On s'intéresse au pompage lors que le laser ne fonctionne pas (I=0).
A l'entrée du cristal (en z=0), l'intensité de pompe est supérieure à l'intensité de pompe de
transparence. On note ltr la longueur de cristal traversée par la pompe telle que l'intensité de
pompe soit égale à l'intensité de transparence : Ip(ltr) = Iptr.
7.1) Donner l'évolution de l'intensité de pompe dans le cristal selon z : dIp/dz.
7.2) Donner l'expression de ltr en utilisant une équation implicite sur Ip issue du 7.1)
7.3) On focalise le faisceau de pompe sur le cristal de telle sorte que Ip(0) = 2.Iptr. On
suppose que le faisceau de pompe garde une section constante dans le cristal. Donner la valeur
numérique de ltr.
8) On s'intéresse à l'allure du gain G. On rappelle que G est défini comme le rapport entre les
intensités laser en entrée et en sortie du cristal.
8.1) Donner le signe du gain linéique pour une abscisse z telle que z<ltr et pour une
abscisse z telle que z> ltr
8.2) Rappeler la relation entre le gain linéique et le gain G.
8.3) Déduire des questions précédentes l'allure de G en fonction de la longueur du cristal.
9) Montrer que le laser pourra osciller pour une longueur de cristal comprise entre deux valeurs
finies.
10) Comparer l'influence de la longueur du cristal pour atteindre le seuil d'oscillation du laser dans
le cas d'un système à 4 niveaux et dans le cas d'un système à 3 niveaux (donner des explications
physiques).