Feuille de TD n 3

IUT Info 1A
Ann´ee 2007-08
P´eriode 1 Graphes et Automates
B. Gugger
F. Madelaine
C. Simon
D. Richard
Feuille de TD n◦3
Les polycopi´es du cours, les feuilles de TD et quelques corrig´es sont disponibles `a
l’url suivante.
http ://laic.u-clermont1.fr/~fmadelaine/teaching/graphe1.html
1 Pr´eliminaires
Un peu de vocabulaire
Un graphe est un couple G= (S, A) o`u :
–Sest un ensemble fini non vide dont les ´el´ements sont appel´es sommets
–Aest un ensemble de paires de sommets appel´ees arˆetes.
Si a={x, y}est une arˆete, on dit alors que xet ysont voisins ou adjacents dans le
graphe G.
L’ordre d’un graphe G= (S, A) est le nombre de sommets ; la taille de Gest le nombre
d’arˆetes.
Quelques graphes usuels
Si n≥1, on d´efinit le graphe complet Kncomme ´etant un graphe d’ordre ndont tous
les sommets sont adjacents. Ainsi, Knest de taille n
2.
Si pet qsont des entiers de N∗, le graphe biparti complet Kp,q est un graphe d’ordre
p+q, dont l’ensemble Sdes sommets est de la forme S=S0∪S00 avec S0et S00 disjoints de
cardinaux respectifs pet qet dont les arˆetes sont exactement les paires x0x00 o`u x0∈S0et
x00 ∈S00. Ainsi, Kp,q est de taille pq.
Si n≥2, la chaˆıne Pn(Pcomme (( path ))) est un graphe d’ordre ndont les sommets
peuvent ˆetre ordonn´es en une suite (x1, . . . , xn) telle que les arˆetes de ce graphe sont les paires
xixi+1 pour 1 ≤i≤n−1. Ainsi, Pnest de taille n−1. On dit aussi que Pnest de longueur
n−1. Par abus, on admet qu’un sommet seul forme une chaˆıne (de longueur nulle).
Si n≥2, le cycle Cn(Ccomme (( cycle ))) est un graphe d’ordre ndont les sommets
peuvent ˆetre ordonn´es en une suite (x1, . . . , xn) telle que les arˆetes de ce graphe sont les
paires xixi+1 pour 1 ≤i≤n−1 et xnx1. Ainsi, Cnest de taille n.
Si n≥2, l’´etoile Sn(Scomme (( star ))) est un graphe d’ordre npour lequel il existe un
sommet adjacent `a tous les autres et ce sont les seules adjacences. Ainsi, Snest de taille n−1.
Si n≥3, la roue Wn(Wcomme (( wheel ))) est un graphe d’ordre nconstitu´e d’un cycle
d’ordre n−1 et d’un sommet suppl´ementaire adjacent `a tous les sommets du cycle. Ainsi,
Wnest de taille 2n−2.
2 Isomorphismes de graphes
On s’int´eresse souvent `a des propri´et´es sur les graphes pour lesquelles seule la forme g´en´erale
du graphe compte, c’est-`a-dire pour lesquelles le nom des sommets est sans importance. On
1

feuille de TD n◦3Graphe et Automates
dit que deux graphes sont isomorphes (du grec qui signifie litt´eralement de mˆeme forme) si
au nom des sommets pr`es les graphes sont les mˆemes. Formellement, deux graphes G= (S, A)
et G0= (S0, A0) sont dits isomorphes s’il existe une bijection f:S−→ S0telle que :
∀x, y ∈Sxy ∈A↔f(x)f(y)∈A0
Un telle fonction est appell´ee un isomorphisme.
Remarque. En pratique pour montrer que deux graphes sont isomorphes on exhibera un iso-
morphisme qui montrera pr´ecis´ement comment on peut renommer les sommets. Pour montrer
que deux graphes ne sont pas isomorphes, on trouvera une propri´et´ee qui s´epare les deux
graphes. Par exemple : l’un a un sommet de degr´e 1, l’autre n’en a pas, ou encore l’un a un
cycle de taille 3 et l’autre n’en a pas.
3 Les degr´es d’un graphe
Le degr´e d’un sommet xde Gest le nombre de ses voisins. En particulier, le degr´e de xvaut
0 si le sommet xest isol´e. On note le degr´e de xpar deg(x).
Proposition 1. Dans un graphe,
(i) la somme des degr´es des sommets est double de la taille du graphe ; et,
(ii) le nombre de sommets de degr´es impairs est pair.
Soit n∈N∗et soit s= (d1, d2, . . . , dn) une suite croissante d’entiers naturels. On dit que s
est une s´equence de degr´es s’il existe un graphe G= (S, A) d’ordre navec S={x1, . . . , xn)
et deg(xi) = dipour 1 ≤i≤n.
Remarque. Deux graphes isomorphes ont mˆeme s´equence de degr´es car si deux sommets xet
x0se correspondent par l’isomorphisme, xet x0ont mˆeme degr´e. Par contre, la r´eciproque est
fausse : deux graphes ayant mˆeme s´equence de degr´es ne sont pas n´ecessairement isomorphes
(voir l’exercice 2)
Nous allons maintenant caract´eriser de fa¸con r´ecursive, les suites croissantes d’entiers
naturels finies qui sont des s´equences de degr´es.
Proposition 2 (Caract´erisation des s´equences de degr´es).Soit nentier naturel sup´e-
rieur ou ´egal `a 1et soit s= (d1, . . . , dn)une suite croissante d’entiers naturels avec dn≤n−1.
Soit s0= (d0
1, . . . , d0 n−1)la suite obtenue `a partir de s:
– en supprimant le terme dn
– en soustrayant 1aux dnderniers termes restants (c’est-`a-dire `a chaque dkpour n−dn≤
k≤n−1)
– en r´eordonnant la suite obtenue en une suite croissante.
Alors, sest une s´equence de degr´es si et seulement si s0est une s´equence de degr´es.
Remarque. La condition dn≤n−1 est n´ecessaire si l’on veut que ssoit une s´equence de
degr´es (dans un graphe d’ordre n, le degr´e maximum d’un sommet est n−1).
2

feuille de TD n◦3Graphe et Automates
Exercice 1. a - Dessiner les graphes suivants : K3, S4, P5, C3, C6, W7, K1,3.
b - Donner l’ordre et la taille de ces graphes.
c - Donner leur s´equence de degr´es.
d - Lesquels d’entres eux sont isomorphes ?
Exercice 2. Parmi les trois graphes suivants, dont on donnera les s´equences de degr´es,
montrer que deux sont isomorphes, et que le troisi`eme n’est pas isomorphe aux deux autres.
Fig. 1 – Graphes de Petersen et un intrus
Exercice 3. a - Existe-t-il un graphe de s´equence de degr´es (0,0,1,2,2,2,6,7) ?
b - Montrer que (0,0,1,3,3,3,4,4,5,5) est une s´equence de degr´es.
c - En d´eduire un graphe de s´equence de degr´es (0,0,1,3,3,3,4,4,5,5).
Exercice 4. En consid´erant la s´equence des degr´es, montrer que dans un graphe d’ordre n
avec n≥2, deux sommets au moins ont mˆeme degr´e.
4 Chemin et connexit´e
D´efinitions
Soit G= (S, A) un graphe. Un chemin dans Gest une liste finie de sommets de Gtelle que
deux sommets cons´ecutifs de la liste soient adjacents. Le premier et le dernier ´el´ement de la
liste sont appel´es d´epart et arriv´ee ou simplement extr´emit´es du chemin. La longueur
d’un chemin est le nombre d’arˆetes le constituant. Par exemple, un chemin de longueur nulle
est constitu´e d’un sommet seulement.
On veut d´efinir formellement la notion pour un graphe d’ˆetre (( en un seul morceau )), ou
bien lorsque le graphe n’est pas en un seul tenant, des parties du graphe qui le sont. Soient
xet ydeux sommets de G. Le sommet xest dit en relation avec ys’il existe un chemin dans
Gde d´epart xet d’arriv´ee y. On note alors xRy.
Proposition 3. La relation Rest une relation d’´equivalence sur G.
Les classes d’´equivalence modulo la relation Rsont appel´ees classes de connexit´e de G.
La classe de connexit´e d’un sommet xde Gest la classe de connexit´e de Gcontenant x.
Un graphe Gest dit connexe s’il poss`ede une seule classe de connexit´e.
3

feuille de TD n◦3Graphe et Automates
On propose un algorithme de recherche de la classe de connexit´e d’un sommet. On se donne
donc un graphe Get un sommet xde G. Voici l’algorithme :
Algorithme de calcul de la classe de connexit´e de x
Marquer xen gris.
Tant qu’il reste des sommets marqu´es gris faire
choisir un sommet yen gris ;
marquer ses voisins non marqu´es en gris ;
marquer yen noir ;
fin tant que.
Renvoyer les sommets marqu´es (en noir).
Proposition 4. L’algorithme termine et renvoie la classe de connexit´e de x.
Lemme 1 (Lemme de la chaˆıne extraite).Soit Gun graphe et soient xet ydeux sommets de
G. S’il existe un chemin d’extr´emit´es xet ydans G, alors il existe une chaˆıne d’extr´emit´es x
et ydans G.
5 Probl`emes de distances
Soit Gun graphe connexe valu´e aux arˆetes (`a chaque arˆete xy de G, on associe une valuation
v(x, y)). La valuation d’une chaˆıne est la somme des valuations de ses arˆetes. La distance
d(x, y) entre deux sommets xet yde G, est la valuation minimale d’une chaˆıne les reliant.
L’algorithme de Dijkstra calcule, pour un sommet ade Gfix´e, les diff´erentes distances
d(a, x) pour xdans G.
Remarque. L’algorithme de Dijkstra s’applique aussi `a un graphe non connexe, mais dans
ce cas, les sommets non reli´es `a apar une chaˆıne, resteront `a une distance infinie de a.
On suppose que G= (S, A) est un graphe connexe d’ordre net que aest un sommet de
G. On construit la fonction δd´efinie par δ(x) = d(a, x).
Algorithme de Dijkstra
Pour tout sommet xde G, faire δ(x)← ∞ ; fin pour.
Faire δ(a)←0.
Faire x0←a.
Faire E← {x0}et E←S\E.
Pour ivariant de 0`a n−2faire
Pour tout sommet yde Etel que xiy∈Afaire
si δ(y)> δ(xi) + v(xi, y)faire δ(y)←δ(xi) + v(xi, y); fin si ;
fin pour.
Choisir un sommet yde Equi minimise δ.
Faire xi+1 ←y.
Faire E←E∪ {xi+1}et E←E\ {xi+1}.
Fin pour.
Retourner δ.
Proposition 5. L’algorithme renvoie la fonction distance `a a.
4

feuille de TD n◦3Graphe et Automates
Exercice 5. Soit Hle graphe qui consiste en une copie de la roue W6dont le centre x
(c’est-`a-dire l’unique sommet de degr´e 5) est adjacent `a l’extr´emit´e d’une copie de la chaˆıne
P4.
a - Dessiner le graphe H, donner sa taille, son ordre et sa s´equence de degr´es.
b - Appliquer l’algorithme de classe de connexit´e `a Het x.
c - En d´eduire que le graphe est connexe.
Exercice 6 (Exercice pour (( matheux ))).a - D´emontrer le lemme de la chaˆıne extraite. (in-
dication, faire une r´ecurrence sur le nombre d’arˆetes, ou encore sur le nombre de fois ou
un sommet est r´ep´et´e dans le chemin).
b - Montrer la transitivit´e de la relation dont les classes d’´equivalence sont les classes de
connexit´e d’un graphe.
c - Montrer que dans un graphe, si x,yet zsont des sommets, d(x, y)≤d(x, z) + d(z, y).
Exercice 7. Pour le graphe Gde la figure 2 utiliser l’algorithme de Dijkstra pour trouver
les distances d(x, a) o`u a∈G. En particulier, d´eterminer un chemin de poids minimum reliant
x`a y.
1
1
1
3
2
2
3
3
5
4
2
6
4
2
5
x
y
Fig. 2 – Graphe G
6 Arbres
Proposition 6. Soit Gun graphe d’ordre n. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Gest connexe et sans cycle.
(ii) Pour tous sommets xet yde G, il existe une unique chaˆıne d’extr´emit´es xet y.
(iii) Gest connexe minimum au sens des arˆetes : supprimer une arˆete le d´econnecte.
(iv) Gest connexe et poss`ede exactement n−1arˆetes.
Un graphe qui v´erifie l’une des propri´et´es ´equivalentes pr´ec´edentes est appel´e un arbre. Dans
un arbre, tout sommet de degr´e 1 est appel´e une feuille.
On donne maintenant une caract´erisation constructive r´ecursive des arbres.
Proposition 7. Un graphe d’ordre n≥2est un arbre si et seulement si il est obtenu `a partir
d’un arbre d’ordre n−1par ajout d’une feuille.
On construit ainsi tous les arbres (`a isomorphisme pr`es) `a partir d’un graphe d’ordre 1 (qui
est un arbre !), par ajout successif de feuilles.
5