Maintenir la viabilité ou la résilience d`un système : les machines à

Nod’ordre : 1774 382
THÈSE
présentée devant
l’Université Blaise Pascal - Clermont II
pour obtenir le grade de
DOCTEUR D’UNIVERSITÉ
Spécialité INFORMATIQUE
par
Laetitia CHAPEL
Équipe d’accueil : LISC - Cemagref
École Doctorale : Sciences Pour l’Ingénieur
Titre de la thèse :
Maintenir la viabilité ou la résilience d’un système :
les machines à vecteurs de support pour rompre la
malédiction de la dimensionnalité ?
Soutenue le 19 octobre 2007 devant le jury composé de :
M. Guillaume DEFFUANT Directeur de recherche Directeur de thèse
M. Luc DOYEN Chargé de recherche Examinateur
M. Philippe MAHEY Professeur Examinateur
M. Christian MULLON Directeur de recherche Examinateur
M. Rémi MUNOS Directeur de recherche Rapporteur
M. Patrick SAINT-PIERRE Directeur de recherche Rapporteur

Remerciements
De nombreuses personnes ont apporté une contribution particulière à ces trois années de thèse et à
ce manuscrit, et je tiens à les remercier ici.
Je tiens tout d’abord à remercier Guillaume Deffuant pour avoir dirigé cette thèse et m’avoir fait
découvrir un domaine passionnant. Remplissant pleinement son rôle, il a su me guider, me conseiller et
m’encourager tout en respectant mon autonomie et mes limites. Ses intuitions, son enthousiasme, ses
qualités scientifiques et humaines ont été déterminants dans l’aboutissement de ce travail.
Je remercie très vivement Rémi Munos et Patrick Saint-Pierre d’avoir accepté de rapporter cette
thèse. L’attention qu’ils ont portée à ce document et leurs suggestions m’ont permis d’améliorer gran-
dement ce manuscrit.
Je tiens également à remercier les membres du jury Luc Doyen, Philippe Mahey et Christian Mullon
pour l’intérêt qu’ils portent à ce travail.
Un grand merci à Maria-Hélèna Ramos et Éric Sauquet pour m’avoir initiée à la recherche durant
mon stage de DEA. Leur enthousiasme et encouragements m’ont donné envie de faire une thèse et je
n’aurai sans doute pas fait ce choix sans eux.
Au cours de ces trois années, j’ai fait mes premiers pas dans l’enseignement. Je tiens à remercier
Stéphane Lallich pour m’avoir donné l’opportunité de vivre cette expérience particulièrement instructive
et enrichissante. J’ai également eu la chance de suivre les stages de Frédéric Coursol et Frédéric Verrier ;
ils m’ont fait découvrir plusieurs facettes de l’encadrement et ont une part dans ce travail de thèse.
Cette thèse a été réalisée au sein du laboratoire d’ingénierie des systèmes complexes. Je tiens à
remercier tous ses membres pour les moments de bonne humeur, qui ont fait que ces trois années ont
été si agréables à vivre : Clarisse, François, Isabelle, Nabil, Nicolas, Sophie, Sylvie et Thierry. Un merci
tout particulier à Marie-Ange, ma « jumelle » de thèse, pour le quotidien et les discussions sur tout et
n’importe quoi. Je remercie Nicolas pour l’aide très précieuse qu’il m’a apportée pour la conception du
logiciel.
Je terminerai ces remerciements en évoquant des personnes qui ont contribué moins directement à
cette thèse, mais de façon essentielle. Un grand merci à ceux qui ont dû relire ce mémoire dans l’urgence,
avec sérieux et bonne humeur : Cédric, Céline, Charlène, Colas, Françoise, Florian, Lila et Nico, Nelly,
Nolwenn. Enfin, je remercie Romaric et ma famille pour m’avoir supportée et encouragée tout au long
de ces trois années.
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Résumé
La théorie de la viabilité propose des concepts et méthodes pour contrôler un système dynamique
afin de le maintenir dans un ensemble de contraintes de viabilité. Les applications sont nombreuses en
écologie, économie ou robotique, lorsqu’un système meurt ou se détériore lorsqu’il quitte une certaine
zone de son espace d’état. A partir du calcul du noyau de viabilité ou du bassin de capture d’un système,
elle permet de définir des politiques d’action qui maintiennent le système dans l’ensemble de contraintes
choisi. Cependant, les algorithmes actuels d’approximation de noyau de viabilité ou de bassins de cap-
ture présentent certaines limitations ; notamment, ils souffrent de la malédiction de la dimensionnalité et
leur application est réservée à des problèmes en petite dimension (dans l’espace d’état et des contrôles).
L’objectif de cette thèse est de développer et évaluer de nouveaux algorithmes d’approximation de noyau
de viabilité et de bassins de capture, en utilisant une méthode d’apprentissage statistique particulière :
les machines à vecteur de support (SVMs).
Nous proposons un nouvel algorithme d’approximation de noyau de viabilité, basé sur l’algorithme
de Patrick Saint-Pierre, qui utilise une méthode d’apprentissage pour définir la frontière du noyau. Après
avoir déterminé les conditions mathématiques que la procédure doit respecter, nous considérons les
SVMs dans ce contexte. La définition de l’approximation avec des SVMs permet d’utiliser des mé-
thodes d’optimisation pour trouver un contrôle viable, et ainsi de travailler dans des espaces de contrôle
plus importants. Cette fonction permet également de dériver des politiques de contrôle plus ou moins
prudentes. Nous appliquons la procédure à un problème de gestion des pêches, en examinant quelles
politiques de pêche permettent de garantir la viabilité d’un écosystème. Cet exemple illustre les perfor-
mances de la méthode proposée : le système comporte six variables d’états et 17 variables de contrôle.
Nous dérivons un algorithme d’approximation de bassins de capture et de résolution de problèmes
d’atteinte d’une cible en un temps minimal. Approcher la fonction de temps minimal revient à rechercher
le noyau de viabilité d’un système étendu. Nous présentons une procédure qui permet de rester dans
l’espace d’état initial, et ainsi d’éviter le coût (en temps de calcul et espace mémoire) de l’addition
d’une dimension supplémentaire. Nous décrivons deux variantes de l’algorithme : la première procédure
donne une approximation qui converge par l’extérieur et la deuxième par l’intérieur. L’approximation
par l’intérieur permet de définir un contrôleur qui garantit d’atteindre la cible en un temps minimal.
La procédure peut être étendue au problème de calcul de valeurs de résilience. Nous appliquons la
procédure sur un problème de calcul de valeurs de résilience sur un modèle d’eutrophication des lacs.
Les algorithmes proposés permettent de résoudre le problème de l’augmentation exponentielle du
temps de calcul avec la dimension de l’espace des contrôles mais souffrent toujours de la malédiction de
la dimensionnalité pour l’espace d’état : la taille du vecteur d’apprentissage augmente exponentiellement
avec la dimension de l’espace. Nous introduisons des techniques d’apprentissage actif pour sélectionner
les états les plus « informatifs » pour définir la fonction SVM, et ainsi gagner en espace mémoire, tout en
gardant une approximation précise du noyau. Nous illustrons la procédure sur un problème de conduite
d’un vélo sur un circuit, système défini par six variables d’état.
Mots-clés : système dynamique, théorie de la viabilité, machines à vecteur de support, contrôleur
lourd de viabilité, contrôle optimal, malédiction de la dimensionnalité, apprentissage actif.
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