les cartes topologiques

LES CARTES TOPOLOGIQUES

Quantification vectorielle
D espace des données
A ensemble d’apprentissage
Réduire l’information de D:
• En la résumant par un ensemble de p référents
• En réalisant une partition de Den p
sous-ensembles par l ’intermédiaire d ’une
fonction d’affectation χ :
χ : χ :
χ :
A
⊂
D
⊂
ℜ
n
χ
:
D
→
1
,
2
,
...,
p
{
}
P=P
1
,P
2
,..,P
p
{
}
P
c
=z∈D/ χ (z)=c
{
}
A =
z
i
,i
=
1,..,N
{
}
W =
w
c
,c =1,.., p
{
}

Différentes Méthode de Quantification Vectorielle
Différentes détermination de Wet χ
χχ
χ
•Algorithme des k-moyennes
•Cartes topologiques, algorithme de Kohonen (SOM)
•Cartes topologiques probabiliste (PRSOM)
Chaque méthode correspond à la minimisation d’une fonction de
coût spécifique

Méthode des k-moyennes
• Minimiser la somme des inerties locales par rapport à χ
χχ
χet W
• L’inertie I
c
représente l’erreur de quantification obtenue si l’on remplace
chaque observations de P
c
par son référent w
c
•Minimisation itérative qui fixe alternativement la partition ( χ
χχ
χ )puis
minimise l’inertie (W)
I(W, χ )=z
i
−w
χ (z
i
)
z
i
∑
2
=z
i
−w
c
zi∈P
c∩A
∑
c
∑
2
I
c
c
∑
=z
i
−w
c
z
i
∈A
χ (z
i
)=c
∑
c
∑
2

Phase d’affectation:
Pour un ensemble Wde référents fixe, la minimisation de Ipar
rapport à χ
χχ
χs’obtient en affectant chaque observation zau référent
w
c
selon la nouvelle fonction d’affectation χ
χχ
χ
(1)
(1) (1)
(1)
Phase de minimisation:
La partition χ
χ χ
χ est fixée. La fonction I(W, χ
χχ
χ)est quadratique et
convexe par rapport à W. Le minimum global est atteint pour
(2)
(2) (2)
(2)
∀
c
z
i
−
w
c
(
)
z
i
∈P
c
∑
=
0
∂ I
∂ W=
∂ I
∂ w
1
,
∂ I
∂ w
2
,...,
∂ I
∂ w
p
p
=0
χ (z)=arg min
r
z−w
r2
w
c
=z
i
z
i
∈P
c
∩A
∑
n
c