1 Méthode de Runge

INSA de Rennes, Ann´ee Universitaire 2013-2014
CONROLE TP de METHODES NUMERIQUES
4e ann´ee Electronique et Informatique Industrielle
Mardi 14 janvier 2014 Dur´ee : 2 h
Nombre de pages : 3
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1 M´ethode de Runge-Kutta d’ordre 3
Soit fune fonction d´efinie et continue de [a, b]×R2−→ R2et soit Y: [a, b]−→ R2,Y(t) =
Y1(t)
Y2(t), la solution du probl`eme de Cauchy suivant :
Y′(t) = f(t, Y(t)),
Y(a) = η, o`u η∈R2.(1)
Soit n∈N∗On pose h=b−a
net ti=a+ (i−1)h, pour i= 1,...,n + 1, une subdivision
´equidistante de [a, b]. Pour r´esoudre le probl`eme (1), nous consid´erons le sch´ema de Runge-Kutta
suivant 
u1=η
ui+1 =ui+h
6(k1+ 4k2+k3), i = 1,...,n,
o`u
k1=f(ti,ui),
k2=f(ti+h
2,ui+h 2k1),
k3=f(ti+h, ui−hk1+ 2hk2),
ui∈R2est la valeur approch´ee de Y(ti)). Pour ´etudier cette m´ethode num´erique, on consid`ere
le probl`eme suivant
y′′(t) = −y(t), t ∈[0, π]
y(0) = 0, y′(0) = 1,(2)
qui se re´ecrit en un syst`eme d’ordre 1, en posant Y(t) = y(t)
y′(t)
Y′(t) = F1(t, Y(t)), t ∈[0, π]
Y(0) = 0
1(3)
o`u F1est une fonction calculer.
1. Ecrire un fichier F1·mqui calcule la fonction F1. Test F1(1,[1 2]).
>> F1 ( 1 , [ 1 ; 2 ] )
ans =
2
−1
2. Ecrire une fonction RK3·mqui prend en param`etres d’entr´ee fichier le nom du fichier con-
tenant f,interv un vecteur deux composantes, les deux bornes de l’intervalle d’int´egration,
eta la condition initiale et nle nombre de subdivision et en sortie le vecteur tet Uun
tableau deux lignes et n+ 1 colonnes repr´esentant les vecteurs ui,i= 1,...,n+ 1. Test
[t,U]=RK3(’F1’,[0 pi],[0;1],5).
1

>> [ t ,U]=RK3( ’ F1 ’ , [ 0 pi ] , [ 0 ; 1 ] , 5 ) }
t =
0 0.6283 1.2566 1.8850 2.5133 3.1416
U =
0 0.5870 0.9422 0.9321 0.5647 −0.0152
1.0000 0.8026 0.2996 −0.3126 −0.7980 −0.9719
3. Cr´eer un fichier qui, pour ndonn´e, calcule err1= max
i=1...n+1 |u1
i−sin(ti)|o`u u1
id´esigne la
premi`ere composante de ui. Sauvegarder sous VI1·mo`u VI sont vos initiales. Test avec
n=5.
>> VI1
n =
5
e r r 1 =
0.0231
4. Etudier l’erreur quand nvarie. On partira du tableau de valeurs de n,tabn= 20 : 10 : 100
et on construira un tableau des erreurs taberr puis on tracera log(taberr) en fonction de
log(tabn). Sauvegarder sous VI2·m. Calculer l’aide de l’instruction polyfit la pente de
la droite de r´egression et d´eduire l’ordre de la m´ethode ( indiquer en commentaire en fin
du fichier).
2 Application `a la trajectoire d’un chien
Un chien poursuit son maˆıtre. La trajectoire du maˆıtre est donn´ee par une courbe du plan
→
OM (t) et la trajectoire du chien par une courbe
→
OC (t). Le chien court `a une vitesse constante
en module et dirig´ee `a chaque instant vers son maˆıtre: d
→
OC
dt (t) = vc
→
OM (t)−
→
OC (t)
k
→
OM (t)−
→
OC (t)k
sauf
lorsque qu’il rejoint son maˆıtre auquel cas la vitesse est nulle.
1. Construire une fonction trajmaitre1.m qui donne la position du maˆıtre pour un tableau
de valeurs du temps. Exemple
→
OM (t) = 10 + 20 cos t
20 + 15 sin t.
>> t r a j m a i t r e 1 ( 0 : 0 . 5 : 1 )
ans =
30.0000 27.5517 20.8060
20.0000 27.1914 32.6221
2. Construire une fonction vitessechien1.m qui ´etant donn´es un instant tet une position
U=
→
OC d´etermine la vitesse Vdu chien. On utilisera la fonction pr´ec´edente et on prendra
vc= 15. La condition, le chien rejoint le maˆıtre sera remplac´ee par k
→
OM (t)−Uk ≤ 10−3.
>> V=v i t e s s e c h i e n ( 1 , [ 1 ; 2 ] )
V =
8.1464
12.5951
>> V=v i t e s s e c h i e n ( 0 , [ 3 0 . 0 0 0 1 ; 2 0 . 0 0 0 2 ] )
V =
0
0
2

3. Cr´eer un programme trajchien.m qui calcule la trajectoire approch´ee du chien en util-
isant la m´ethode de Runge-Kutta pr´ec´edente ; on cherche donc une valeur appproch´ee
de Y(t) =
→
OC (t). Test t∈[0,10], n= 50,
→
OC (0) = 1
2. Afficher la derni`ere valeur
approch´ee: ≃
→
OC (10).
4. Cr´eer un programme VI3.m qui calcule et trace les trajectoires du maˆıtre et du chien. Test
pr´ec´edent.
5. Cette fois le maˆıtre est ivre et sa trajectoire est
→
OM (t) = 10 + 20 cos t+ 3 sin(2000 ∗t)
20 + 15 sin t.
Modifier trajmaitre1.m en trajectmaitre2.m et vitessechien1.m en vitessechien2.m
puis cr´eer VI4.m pour dessiner les trajectoires. Test t∈[0,10], n= 50,
→
OC (0) = 1
2.
3 Application `a la trajectoire de trois chats
Trois chats sont positionn´es aux trois sommets d’un triangle ABC `a l’instant 0. A chaque
instant, ils se poursuivent avec une vitesse constante et ´egale `a 1 en module ; le premier chat va
dans la direction du second qui, lui, va dans la direction du troisi`eme, ce dernier allant dans la
direction du premier. D´eterminer et tracer les trajectoires (approch´ees) sur l’intervalle de temps
[0,8]. Sauvegarde sous VI4.m et fonctions annexes. Test A(0,0), B(0,10), C(9,10), n= 30.
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