Analyse par Intervalles pour la Détection Garantie de - Ibex-lib

Contexte robotique : Classification de robots
Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Analyse par Intervalles pour la Détection Garantie
de Points Singuliers Spécifiques de Robots
Romain BENOIT
23 juin 2014
Encadrement de ma thèse et co-auteurs :
Directeur de thèse : Philippe WENGER
Co-encadrants : Nicolas DELANOUE, Sébastien LAGRANGE
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I. A. pour la Détection Garantie de Points Singuliers Spécifiques
Contexte robotique : Classification de robots
Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
1
Classification de Robots par leurs fonctions cinématiques
Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Contexte robotique : Classification de robots
Classification de Robots par leurs fonctions cinématiques
Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
2
Analyse par intervalles
3
Cadre mathématique
4
Implémentation
5
Conclusions – Perspectives
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Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Classification de Robots par leurs fonctions cinématiques
Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Robot série ↔ fonction cinématique
Définition (Robot série)
Robot avec une seule chaine cinématique : S0 ↔ · · · ↔ Sn
Sn−1
S0
S1
Sn
Figure: Chaine cinématique d’un robot série
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Classification de Robots par leurs fonctions cinématiques
Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Définition (fonction cinématique d’un robot)
Une application f telle que f : A 3 ρ 7→ p ∈ T où :
A est l’espace articulaire du robot
T est l’espace de travail du robot
f (ρ) = coordonnées induites de l’organe terminal
⇒ fonction cinématique ↔ comportement du robot
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Invariants d’applications équivalentes
Définition (Equivalence considérée)
f ∈ C ∞ (X , Y ) et g ∈ C ∞ (V , W ) sont équivalentes (noté f ∼ g )
si ∃(h : V → X , k : Y → W ), difféomorphismes tels que
g =k ◦f ◦h
Remarque
Les comportements cinématiques de deux robots série, dont les
fonctions cinématiques associées sont équivalentes pour ∼, sont
reliés par des changements de variables difféomorphes.
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Conclusions – Perspectives
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Définition (invariant)
I (f ) est invariant pour l’équivalence ∼ si f ∼ g ⇒ I (f ) = I (g )
Définition (Lieu singulier)
Soit f : X → Y Alors Sf = {x ∈ X |det(Jf (x)) = 0}
Proposition
f ∼g ⇒
– Sg et Sf sont homéomorphes ⇒ Topologie invariante
– g (Sg ) et f (Sf ) sont homéomorphes ⇒ Topologie invariante
– Ces homéomorphismes sont compatibles avec f et g
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Notion de posture
Soit un robot R de fonction cinématique f : A → T
Définition (Posture)
L’ensemble des postures possibles, de p ∈ T est {ρ ∈ A|f (ρ) = p}.
Définition (Trajectoire)
Tr : R ⊃ [a, b] 3 t 7→ (ρt , pt ), continue, ∀t ∈ [a, b], pt = f (ρt )
Définition (Changement de posture)
A lieu lorsqu’une trajectoire (ρt , pt )t∈[a,b] vérifie :
∃(t1 , t2 ) ∈ [a, b]2 tel que t1 6= t2 , pt1 = pt2 et ρt1 6= ρt2
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Inversion de fonction cinématique
Proposition
Isoler A0 ⊆ A tel que ∀p ∈ T , #{ρ ∈ A0 |f (ρ) = p} ≤ 1 est
nécessaire pour définir, localement, sur A0 un inverse à f et
concevoir directement des trajectoires de R dans T .
Assertion fausse
Un changement de posture ne peut se produire que si la trajectoire
traverse le lieu singulier du robot.
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Modèles robotiques étudiés : Robots 3R
z
d2
z3
O
y
x
β3
z2
r2
β2
θ2
d4
θ3
θ1
d3
P
r3
Figure: Schéma cinématique d’un robot 3R général avec θ1 = 0.
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Une 1ère Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
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Classification de Robots par leurs fonctions cinématiques
Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Une 1ère Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinématique du robot,
f : (θ1 , θ2 , θ3 ) 7→ (x(θ1 , θ2 , θ3 ), y (θ1 , θ2 , θ3 ), z(θ1 , θ2 , θ3 ))
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L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Une 1ère Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinématique du robot,
f : (θ1 , θ2 , θ3 ) 7→ (x(θ1 , θ2 , θ3 ), y (θ1 , θ2 , θ3 ), z(θ1 , θ2 , θ3 ))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : indépendante de θ1
⇒ les singularités de f sont indépendantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2 , θ3 ), z(θ2 , θ3 )) en posant :
ρ(θ2 , θ3 ) = x(0, θ2 , θ3 )2 + y (0, θ2 , θ3 )2 ; z(θ2 , θ3 ) = z(0, θ2 , θ3 )
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Une 1ère Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinématique du robot,
f : (θ1 , θ2 , θ3 ) 7→ (x(θ1 , θ2 , θ3 ), y (θ1 , θ2 , θ3 ), z(θ1 , θ2 , θ3 ))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : indépendante de θ1
⇒ les singularités de f sont indépendantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2 , θ3 ), z(θ2 , θ3 )) en posant :
ρ(θ2 , θ3 ) = x(0, θ2 , θ3 )2 + y (0, θ2 , θ3 )2 ; z(θ2 , θ3 ) = z(0, θ2 , θ3 )
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x, y } node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y )) = 0 et F (x) = F (y )
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Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modèles robotiques étudiés
Une 1ère Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinématique du robot,
f : (θ1 , θ2 , θ3 ) 7→ (x(θ1 , θ2 , θ3 ), y (θ1 , θ2 , θ3 ), z(θ1 , θ2 , θ3 ))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : indépendante de θ1
⇒ les singularités de f sont indépendantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2 , θ3 ), z(θ2 , θ3 )) en posant :
ρ(θ2 , θ3 ) = x(0, θ2 , θ3 )2 + y (0, θ2 , θ3 )2 ; z(θ2 , θ3 ) = z(0, θ2 , θ3 )
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x, y } node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y )) = 0 et F (x) = F (y )
– Robots classifiés selon leur nombre de cusps et de nodes.
Présence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture du
robot sans traverser de singularité.
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
1
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Définition
Boite : vecteur d’intervalles
IE : Ensemble des boites dans E
B
d
a
b
c
Figure: Une boite B = ([a, b], [c, d]) dans R2
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Définition
[f ] : IE → IF est une fonction d’inclusion pour f : E → F si :
∀B ∈ IE , f (B) ⊆ [f ](B)
[f ](B1 )
f
[f ](B2 )
B1
B2
Figure: Fonction f : R → R et [f ] minimale
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Cadre mathématique
Implémentation
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Principe
Analyse par intervalles substitue :
- Des boites les encadrant aux vecteurs de valeurs
- Des fonctions d’inclusion aux fonctions
Utilité : Garantir des encadrements de valeurs, même pour des
valeurs non représentables. Exemple : Calcul par ordinateur.
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
SIVIA : inversion, par intervalles, d’applications
Entrée : une fonction f : D → E , une boite T ⊆ E
Sortie : 3 listes de boites : I , O et U, telles que
∪{B ∈ I } ⊆ f −1 (T ) ⊆ ∪{B ∈ (I ∪ U)}
Algorithme :
Diviser D, en boites B, jusqu’à précision Construire listes :
I = {B construits|[f ](B) ⊆ T }
O = {B construits|[f ](B) ∩ T = ∅}
U = {B construits|[f ](B) ∩ T 6= ∅ et [f ](B) * T }
SIVIA avec T = {0} : I ∪ U encadre les racines de f .
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Algorithme de Newton par intervalles
Objectif : Extraire (Bi )i∈I ⊃ {x|f (x) = 0} où f : U ⊂ Rn → Rn .
Si les racines sont isolées, chaque boite Bi en encadre une seule.
Définition (Opérateur de Newton Intervalle Nf )
Nf : IRn 3 B 7→ x − [(Jf )−1 (B)] × f (x) où x ∈ B est un élément
quelconque de B et [(Jf )−1 (B)] encadre {(Jf )−1 (x)|x ∈ B}
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Conclusions – Perspectives
Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Proposition
1
(x ∈ B et f (x) = 0) ⇒ x ∈ Nf (B)
2
Nf (B) ⊆ B ⇒ (∃!x ∈ B|f (x) = 0)
Corollaire
1 N (B) ∩ B = ∅ ⇒ (@x ∈ B|f (x) = 0)
f
2
Nf (B) ∩ B 6= ∅ ⇒ (Si ∃x ∈ B|f (x) = 0 Alors x ∈ Nf (B) ∩ B)
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Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrées : Liste de boites L = (Bj )j∈J ; une précision > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
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Conclusions – Perspectives
Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrées : Liste de boites L = (Bj )j∈J ; une précision > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
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Conclusions – Perspectives
Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrées : Liste de boites L = (Bj )j∈J ; une précision > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B), B ∈ L et retrait de B à L
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrées : Liste de boites L = (Bj )j∈J ; une précision > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B), B ∈ L et retrait de B à L
· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) à R
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Conclusions – Perspectives
Définitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrées : Liste de boites L = (Bj )j∈J ; une précision > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B), B ∈ L et retrait de B à L
· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) à R
· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅
- Si (taille de B < ) ajouter B à U
- Sinon :
Construire B 0 = Nf (B) ∩ B et diviser B 0 en B1 , B2
Ajouter B1 et B2 à L
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Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
1
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2
Analyse par intervalles
3
Cadre mathématique
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
4
Implémentation
5
Conclusions – Perspectives
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Applications et points singuliers génériques
Objectif : Définir une classe d’applications et de points singuliers à
rechercher qui soit assez générale, dans l’espace des fonctions C ∞ .
Définition
Soit G ⊆ C ∞ (X , Y ). G est un ensemble d’applications générique
si G contient un sous ensemble, intersection dénombrable
d’ouverts denses (=résiduel), dans C ∞ (X , Y ), pour la topologie
C ∞ de Whitney.
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Applications génériques de C ∞ (X ⊆ R2 , R2 ) considérées
· S = {p ∈ X | det(Jfp ) = 0}, est une courbe
· S contient seulement des points plis (de multiplicité 2 pour f )
et un nombre discret de points cusps (de multiplicité 3) isolés.
· 3 points singuliers différents n’ont pas la même image par f .
· 2 points singuliers différents ayant la même image par f sont
des points plis et leurs images s’intersectent sans tangence.
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Applications génériques de C ∞ (X ⊆ R2 , R2 ) considérées
· S = {p ∈ X | det(Jfp ) = 0}, est une courbe
· S contient seulement des points plis (de multiplicité 2 pour f )
et un nombre discret de points cusps (de multiplicité 3) isolés.
· 3 points singuliers différents n’ont pas la même image par f .
· 2 points singuliers différents ayant la même image par f sont
des points plis et leurs images s’intersectent sans tangence.
· le bord de X , δX doit vérifier, par f :
† 3 points différents de S ∪ δX n’ont pas la même image.
† les images égales, par f , de 2 points différents de δX
s’intersectent sans tangence.
† S n’intersecte pas tangentiellement δX et S intersecte
δX uniquement en des point plis de S.
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Applications génériques de X ∈ R2 dans R2
f différentiable et δX différentiable(s)
⇒ Les topologies de S ∪ δX et de f (S) ∪ f (δX ) sont invariantes
par difféomorphismes sur l’espace source et/ou image.
f
X
δX
f
Figure: Exemple de topologies de S ∪ δX −
→ f (S) ∪ f (δX )
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Fonctions cinématiques génériques
Les points singuliers d’une fonction cinématique générique
(R2 → R2 ) sont, exhaustivement, dans l’espace articulaire :
- des points cusps (isolés)
- des points plis simples
- des paires de points plis avec la même image (des nodes)
Remarque (Cas des robots 3R orthogonaux étudiés)
f : T 2 → R2 ↔ fR2 : R2 → R2 , 2π-périodique
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Soit la fonction cinématique f = (ρ1 , ρ2 ) 7→ (f1 (ρ1 , ρ2 ), f2 (ρ1 , ρ2 ))
Théorème
Les points cusp et les paires de points nodes sont racines de
systèmes carrés d’équations.
Proposition
C = (ρ1 , ρ2 ) est un point cusp ⇔

∂f1
∂ det(Jf )


(C ) +
 ∂ρ (C ) · − ∂ρ
1
2

∂f
∂ det(Jf )

 2 (C ) · −
(P) +
∂ρ1
∂ρ2
∂f1
∂ det(Jf )
(C ) ·
(C ) = 0
∂ρ2
∂ρ1
∂f2
∂ det(Jf )
(C ) ·
(C ) = 0
∂ρ2
∂ρ1
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers génériques
Applications génériques de X ⊆ R2 dans R2
Caractériser les cusps et les nodes
Proposition

f1 (ρ) = f1 (ρ0 )



 f (ρ) = f (ρ0 )
2
2
0
0
{ρ, ρ } est un node ⇔ ρ 6= ρ et
 det(Jf (ρ)) = 0



det(Jf (ρ0 )) = 0
Remarque
Sur la diagonale (ρ = ρ0 ) le système précédent devient l’équation :
det(Jf (ρ)) = 0
Trouver les nodes ⇔ trouver les racines en dehors de la diagonale.
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Algorithme implémenté
Algorithme de Recherche garantie des cusps et nodes
Recherche des cusp et nodes : méthode de Newton par intervalles
- Entrée : une boite de recherche (dans l’espace articulaire)
- Sortie : 4 listes de boites : (C , UC , N, UN) :
C : encadrements de points cusps
UC : boites contenant peut être un cusp
N : encadrements de nodes (paires de points)
UN : paires de boites contenant peut être un node
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Algorithme implémenté
L’algorithme se décompose en 3 phases :
1
Recherche des points cusps (espace articulaire)
2
Construction d’un recouvrement R de la courbe singulière
(espace articulaire) tel que f injective sur boites engendrés par
deux boites non disjointes de R.
3
Recherche des nodes, en parcourant R.
La 2ème étape permet de pré-gérer le voisinage de la diagonale
pour simplifier la 3ème étape.
La 2ème étape utilise un test spécifique d’injectivité près des cusps.
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Algorithme implémenté
Performances :
† Cusps rapidement isolés.
† Construction relativement rapide d’un recouvrement, injectif,
de la courbe singulière (dans l’espace articulaire)
† Détection rapide des nodes
† Vérification longue de l’absence de node près des cusps
Figure: Présence incertaine de node près d’un cusp (espace image)
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Contexte robotique : Classification de robots
Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Analyse par intervalles et robotique :
Usuellement : Utilisée pour isoler lieux singuliers des robots :
permet de définir des sous espaces sans singularités
Approche complémentaire : Déterminer la topologie des lieux
singuliers des robots, caractéristiques de leurs comportements.
Propriétés de l’approche :
Légère incertitude autorisée sur les paramètres géométriques.
Applicable à des robots généraux complexes : le temps de
calcul et la précision peuvent augmenter toutefois.
L’aspect garanti des résultats
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Utiliser les méthodes propagation de contraintes
Vérifier l’absence de node nécessite beaucoup de calculs et de
découpages, pour les boites près des cusps.
La propagation de contrainte pourrait permettre de :
- Compenser le pessimisme sur l’évaluation de l’opérateur de
Newton.
- Vérifier l’injectivité de la courbe singulière sur un plus grand
voisinage des cusps.
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Pistes de recherche
Travaux envisagés
- Prise en compte limites sur l’espace articulaire ⇒
Classification utilisant les ”bords” de l’espace articulaire.
- Gérer des robots parallèles en rendant l’algorithme capable de
traiter les relations sur R2 × R2 (en considérant les mêmes
difféomorphismes pour définir l’équivalence)
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Espace articulaire accessible
Encadrer postures sans auto collisions (modèle volumique simple)
Modèle volumique
Figure: Modèle volumique simple utilisé
Modèle : Segment 7→ Points distant, au plus, de r ≥ 0 du segment
Distance entre 2 segment ≤ somme des 2 rayons ⇔ Collision entre
les 2 pièces du robot.
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Procédure détectant les auto-collisions déjà implémentée pour
robots 3R orthogonaux.
Figure: vue isométrique du modèle appliqué à un robot 3R orthogonal
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Analyse par intervalles
Cadre mathématique
Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Extension aux relations sur R2 × R2
On souhaite étendre l’étude réalisée aux robots parallèles décrits
par des équations F (ρ, p) = 0 en plus des équations p = f (ρ).
⇒ Etude de systèmes F1 (ρ, p) = 0 = F2 (ρ, p)
(x, y )
θ1
θ2
Figure: Robot 5 barres : exemple de robot plan parallèle
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Implémentation
Conclusions – Perspectives
Conclusions
Perspectives
Procédure similaire aux robots
! série
On pose JFA =
∂F1
∂ρ1
∂F2
∂ρ1
∂F1
∂ρ2
∂F2
∂ρ2
et JFT =
∂F1
∂p1
∂F2
∂p1
∂F1
∂p2
∂F2
∂p2
!
Les difféomorphismes sur A ou T sont compatibles avec F (ce sont
les composantes sur A et T d’un difféomorphisme sur A × T )
Définition de généricité sur les relations
⇒ Définition et recherche des points singuliers spécifiques parmi
{(ρ, p)|det(JFA (ρ, p)) = 0} et {(ρ, p)|det(JFT (ρ, p)) = 0}.
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