Série S question 4

Exercice 4 (S)
Dans tout l’exercice, ABC est un triangle équilatéral dont le cercle circonscrit 1 de centre O
est de rayon 1.
On appelle corde de 1 tout segment dont les extrémités sont deux points de 1 .
Le but de l'exercice est de comparer différentes façons de calculer, lorsqu’on trace au hasard une
corde de 1 , la probabilité que sa longueur soit supérieure ou égale à BC.
1. Déterminer la longueur BC.
2.
a. Montrer que pour tout point M, distinct de O, situé à l'intérieur du cercle 1 , il existe une
unique corde de 1 ayant M pour milieu.
b. Soit  2 le cercle inscrit dans le triangle ABC. M1, M2 et M3 sont trois points à l’intérieur de
1 tels que : M1 est un point situé sur  2 , M2 et M3 sont respectivement à l'intérieur et à
l'extérieur de  2
Sur la figure donnée en annexe, construire les cordes de 1 ayant pour milieux respectifs M1,
M2 et M3.
Comparer la longueur de chacune de ces trois cordes avec la longueur BC.
c. On choisit au hasard un point M distinct de O et à l'intérieur du cercle 1 . Quelle est la
probabilité que la corde de milieu M ait une longueur supérieure ou égale à la longueur BC ?
3. Cordes et un premier algorithme.
Soit D le symétrique de A par rapport au centre O de 1 .
On considère l'algorithme (1) ci-dessous:
Algorithme (1)
Initialisation
𝑘 = 0 ; 𝑛 = 10
Traitement
Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛
𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷
𝑛
Tracer la corde [𝑁𝑖 𝑃𝑖 ] passant par 𝑀𝑖 et
perpendiculaire à (𝐴𝐷)
Calculer la distance 𝑁𝑖 𝑃𝑖
Si 𝑁𝑖 𝑃𝑖 ≥ 𝐵𝐶 alors 𝑘 prend pour valeur 𝑘 + 1
Fin Pour
Placer le point 𝑀𝑖 tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀𝑖 =
Sortie
Afficher
𝑘
𝑛
Figure 1
a. Quel nombre affichera cet algorithme ?
b. On modifie l’algorithme en remplaçant l’instruction « n = 10 » par : « n = 100 », puis par
« n = 1000 », puis par « n = 1 000 000 ». Quel nombre affichera cet algorithme dans chacun
de ces cas ?
c. On place au hasard un point M sur [AD] et on trace la corde de 1 de milieu M et
perpendiculaire à (AD).
Quelle est la probabilité p que cette corde soit de longueur supérieure ou égale à BC ?
4. Cordes et un second algorithme.
Dans cette question la droite (AT) est tangente au cercle 1 .
On considère l'algorithme (2) ci-dessous :
Algorithme (2).
Initialisation
𝑘=0
Traitement
Pour 𝑖 allant de 1 à 99
̂𝑖 =
Placer le point 𝑀𝑖 de Γ1 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇𝐴𝑀
𝑖
× 180°
100
Calculer la distance 𝐴𝑀𝑖
Si 𝐴𝑀𝑖 ≥ 𝐵𝐶 alors 𝑘 prend pour valeur 𝑘 + 1
Fin Pour
Sortie
Afficher
𝑘
99
Figure 2
a. Quel nombre affichera cet algorithme ?
b. On choisit au hasard un point M sur le cercle 1 . Quelle est la probabilité que la longueur
AM soit supérieure ou égale à BC ?
5. Conclusion:
Peut-on définir la probabilité de choisir, parmi toutes les cordes d’un cercle, une corde de longueur
supérieure ou égale à celle du côté du triangle inscrit dans ce cercle ?
Annexe de l’exercice 4, à rendre avec la copie.
Figure 3