Série S question 4

Exercice 4 (S)
Dans tout l’exercice, ABC est un triangle équilatéral dont le cercle circonscrit
1
de centre O
est de rayon 1.
On appelle corde de
1
tout segment dont les extrémités sont deux points de
1
.
Le but de l'exercice est de comparer différentes façons de calculer, lorsqu’on trace au hasard une
corde de
1
, la probabilité que sa longueur soit supérieure ou égale à BC.
1. Déterminer la longueur BC.
2.
a. Montrer que pour tout point M, distinct de O, situé à l'intérieur du cercle
1
, il existe une
unique corde de
1
ayant M pour milieu.
b. Soit
2
le cercle inscrit dans le triangle ABC. M1, M2 et M3 sont trois points à l’intérieur de
1
tels que : M1 est un point situé sur
2
, M2 et M3 sont respectivement à l'intérieur et à
l'extérieur de
2
Sur la figure donnée en annexe, construire les cordes de
1
ayant pour milieux respectifs M1,
M2 et M3.
Comparer la longueur de chacune de ces trois cordes avec la longueur BC.
c. On choisit au hasard un point M distinct de O et à l'intérieur du cercle
1
. Quelle est la
probabilité que la corde de milieu M ait une longueur supérieure ou égale à la longueur BC ?
3. Cordes et un premier algorithme.
Soit D le symétrique de A par rapport au centre O de
1
.
On considère l'algorithme (1) ci-dessous:
Figure 1
Algorithme (1)
Initialisation
Traitement
Pour  allant de 1 à 
Tracer la corde  passant par  et
perpendiculaire à 
Calculer la distance 
Si  alors  prend pour valeur   
Fin Pour
Sortie
Figure 1

a. Quel nombre affichera cet algorithme ?
b. On modifie l’algorithme en remplaçant l’instruction « n = 10 » par : « n = 100 », puis par
« n = 1000 », puis par « n = 1 000 000 ». Quel nombre affichera cet algorithme dans chacun
de ces cas ?
c. On place au hasard un point M sur [AD] et on trace la corde de
1
de milieu M et
perpendiculaire à (AD).
Quelle est la probabilité p que cette corde soit de longueur supérieure ou égale à BC ?
4. Cordes et un second algorithme.
Dans cette question la droite (AT) est tangente au cercle
1
.
On considère l'algorithme (2) ci-dessous :
a. Quel nombre affichera cet algorithme ?
b. On choisit au hasard un point M sur le cercle
1
. Quelle est la probabilité que la longueur
AM soit supérieure ou égale à BC ?
5. Conclusion:
Peut-on définir la probabilité de choisir, parmi toutes les cordes d’un cercle, une corde de longueur
supérieure ou égale à celle du côté du triangle inscrit dans ce cercle ?
Figure 2
Algorithme (2).
Initialisation
Traitement
Pour  allant de 1 à 
Calculer la distance 
Si  alors  prend pour valeur   
Fin Pour
Sortie
Figure 2

Annexe de l’exercice 4, à rendre avec la copie.
Figure 3