Rayonnement dipolaire électrique

I Dipôle électrique oscillant
A) Moment dipolaire
y
z
x
P +q
-q
On suppose la charge –q fixe en O, et +q en P ayant une côte
).exp().cos( 00 tiztzz
On a donc un moment dipolaire
zz utiputiqzP
)..exp()..exp( 00
Remarques :
- Il existe un autre modèle de production de rayonnement électromagnétique :
Le dipôle magnétique :
On prend un boucle de courant parcourue par un courant
).cos(
0tii
, qui aura
ainsi un moment magnétique
SiM 
. (Tous les résultats sont alors inversé, et en
particulier
E
et
B
)
- La charge –q crée un champ
E
électrostatique et pas de champ
B
La charge +q crée un champ
E
et un champ
B
.
Donc tout le champ magnétique est créé par la charge en mouvement, ainsi que le
champ
E
rayonné.
Ainsi, seule la charge en mouvement est utile (on ajoute l’autre pour annuler le
champ électrostatique).
B) Hypothèses de travail
Champ électromagnétique en M :
On se place à une distance
0
zOMr
On suppose le mouvement de +q non relativiste ; ainsi,
cz 
0
II Champ électromagnétique du dipôle
A) Potentiel vecteur
On a
Nd
MN cMNtMj
tMA
)/,(
4
),( 0
Mais
vrrqvj PN
).(. 
Donc
PM cPMtPv
qd
MN cMNtMj
N
)/,()/,( 
On a
rOMPM 
Et
zz
c
r
c
rutrkiziutizitPv  ))...(exp(.)).(exp(.),( 00
où
c
k
.
Ainsi,
z
utrkip
r
i
tMA 
))..(exp(
4
),( 0
0
Remarque :
On est en régime harmonique, donc dériver par rapport à t revient à multiplier par
i
, mais on n’a pas une onde plane, donc
ki
.
B) Le champ
B
.
Rayonnement dipolaire électrique

On a
AB 
.
Mais
zz urfurfB 
  )())((
Donc
zr uutrki
r
ik
r
piB  ))..(exp(
1
42
0
0
Et
uuu rz
 .sin.cos 
Donc
utrkiikr
r
p
iB 
))..(exp(1
sin
42
00 
Si
0
, on retrouve
0
B
.
C) Le champ
E
.
On a pour le champ
E
:
))..(exp())1(sin)1(cos2(
4122
3
0
0
2
trkiurkikruikr
r
p
B
ic
E
r
Si
0
, alors
0 c k
et on retrouve le champ
E
électrostatique.
III Le champ électromagnétique « à grande distance »
A) Champ « de rayonnement »
C’est le champ créé par le dipôle « à grande distance ».
C'est-à-dire lorsque
1kr
ou
r
B) Expression du champ
1) Champ
E
.
utrki
r
p
E
))..(exp(
sin
40
2
0
(On néglige tous les termes en kr ou 1 devant
22rk
)
2) Champ
B
.
utrki
r
p
c
B
))..(exp(
sin
40
2
0
C) Structure du champ
1) Propagation
En posant
r
ukk 
, le terme
))..(exp( trki
devient
)).(exp( trki
On a donc une propagation radiale.
2) Transversalité
E
est dirigé selon
u
et
B
selon
u
.
On a donc une onde transverse électromagnétique.

O
k
E
B
3) Structure locale d’onde plane
On a
r
uBcE 
et
EuBc r
. Donc
),,( r uBcE 
forme un trièdre direct.
Et, en norme,
cBE
.
z
OPlusieurs
mais
r
Sur le domaine, le terme
u
r
p sin
0
varie peu, mais
)).(exp( trki
varie
beaucoup plus. Ainsi, comme
utrki
r
p
c
E
)).(exp(
sin
40
2
0
, l’onde a
localement une structure d’onde plane de direction de propagation
r
u
.
4) Anisotropie
 On a un terme en
sin
dans l’expression, donc on n’a pas de symétrie
sphérique.
Il n’y a pas de champ rayonné à la verticale du dipôle, mais il est maximal
dans le plan médiateur.
 Diagramme polaire de rayonnement (indicatrice de rayonnement) :
- Principe général :
On veut représenter une fonction
),,( rf
selon la direction
),(
pour
visualiser l’anisotropie.
On trace dans l’espace une surface
),,( 0 rf
où
0
r
est fixé :
r0
On obtient ainsi une transformée de la sphère de rayon
0
r
telle que la forme
de la surface indique la direction où f est plus importante/plus faible selon que le
point dans cette direction est plus éloigné/plus proche du centre.
C’est ce qu’on appelle le diagramme polaire de f.
- Application :
Dans ce cas, on a une relation de la forme
sin.
.
Dans un plan contenant Oz, on obtient :
z
sin/
Puis par symétrie de révolution, on obtient un tore de rayon intérieur nul.
5) Polarisation rectiligne
L’onde est polarisée rectilignement

6) Amplitude
 L’amplitude décroît en
r
1
On a ainsi une décroissance moins rapide que pour un dipôle électrostatique.
 On verra que c’est en fait la conservation de l’énergie qui impose cette
décroissance en
r
1
.
IV Propagation de l’énergie
A) Puissance rayonnée par le dipôle
1) Vecteur de Poynting
On a
r
uE
c
BE 
2
00
11
Et
2
0
2
0
2
021
2
1EBEuem
2) Intensité
 Définition :
On pose
 r uI 
, flux surfacique moyen d’énergie.
 Expression :
2
22
0
4
2
0
2
22
0
4
2
2
0
00
2
0
sin
32
sin
162 1
*.
211
r
p
c
r
p
c
EE
c
E
c
I
 Anisotropie :
 On a une décroissance en
2
/1 r
 Et une variation en
4
.
3) Puissance rayonnée à travers une sphère de rayon r.
 Expression :
3
4
.16
sin
32 2
0
4
0
32
2
2
0
4
2
0
p
c
ddr
rp c
IdSdSuSdP r
Soit
2
0
4
0.12 p
c
P
 Analyse :
- On obtient bien une puissance indépendante de r (conservation de
l’énergie entre deux sphères de rayons voisins).
Ceci impose alors que I décroisse en
2
/1 r
(puisqu’on intègre sur une
surface), puis que E et B décroissent en
r/1
.

- Les hautes fréquences sont mieux rayonnées que les basses fréquences.
(1) C’est pratique pour les antennes, où on utilise des hautes fréquences.
(2) Pour le transport du courant, il faut une puissance rayonnée la plus faible
possible et donc des basses fréquences.
- Energétiquement :
(1) L’opérateur qui fait bouger la charge doit sentir une force résistante.
(Ainsi, la charge interagit avec son propre rayonnement, donc elle ne
peut pas être ponctuelle)
(2) Le mouvement cyclotron dans un champ
B
uniforme est nécessairement
amorti.
B) Rayonnement d’accélération
1) Formule de Larmor
2
0
4
0.12 p
c
P
On a
tzz .cos
0
, donc
tzz .cos
0
2
On note
42
0
22 2
1
zza  
. a : accélération quadratique moyenne.
Ainsi,
22
0
.6 aq c
P
2) Généralisation (sans démonstration)
 Toute particule chargée en mouvement non uniformément accéléré
rayonne de l’énergie :
- Elle doit être accélérée.
a
- Mais non uniformément accélérée (
ctea
)
 Pour un mouvement périodique :
La formule de Larmor s’applique aussi (pour un mouvement non relativiste)
 Mécaniquement, la particule perd de l’énergie.
3) Manifestation du rayonnement d’accélération
 Emission dipolaire : antennes
 Le rayonnement thermique est un rayonnement d’accélération (dû au
mouvement des noyaux et des électrons)
 Rayonnement synchrotron :
v
q
Pas d’énergie
rayonnée
B
énergie rayonnée
- Au voisinage des accélérateurs de particule
- Dans les pulsars (
T10~10 B
!)
 Rayonnement de freinage :
- Lorsqu’on envoie une particule sur une plaque de plomb, elle sera
freinée et émettra un rayonnement (« Bremsstrahlung »)
- Rayonnement cosmique :