Ondes électromagnétiques

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 7 : ONDES ELECTROMAGNETIQUES
I) Notion d’onde électromagnétique :
1) Introduction :
Dans la leçon précédente, nous avons considéré des ondes mécaniques comme, par
exemple, les vagues à la surface de l'eau. Il était assez facile de "visualiser" l'aspect
ondulatoire de ces ondes : surface d'onde, longueur d'onde.
Dans le cas des ondes électromagnétique et en particulier de la lumière, il est plus facile de
comprendre son aspect géométrique : direction de propagation, notion de rayon lumineux …
L'aspect ondulatoire de la lumière apparaît à travers l'interprétation des expériences.
2) Description ondulatoire :
a) Représentation schématique :
Une onde ou radiation
électromagnétique constitue
la propagation de la vibration d'un
→
→
champ électrique E et d'un champ magnétique B .
A un instant donné, on peut représenter schématiquement un état
d'une onde électromagnétique (polarisée et monochromatique)
en différents points de l’axe de propagation
(direction le long de laquelle
l'onde se propage) :
champ électrique
champ magnétique
propagation
vers
l'observateur
axe de propagation
Sur le schéma très simplifié, ci-dessus :
→
→
- le champ électrique E (ou le champ magnétique B ) varie de façon sinusoïdale le long
de l'axe de propagation : on a donc affaire à une onde monochromatique (une seule
fréquence, une seule couleur) : Ey(t) = Em.
→
→
- le champ électrique E (ou le champ magnétique B ) "vibre" dans un seul plan : on a
donc affaire à une onde polarisée (verticalement, ici, pour le champ électrique).
Remarque : Il existe d'autres modes de polarisation de la lumière dont
nous ne parlerons pas dans ce cours
Remarque : Les cellules visuelles de la rétine (cônes et bâtonnets)
ne sont sensibles qu'à la vibration du champ électrique.
Dans la suite lors de l'étude d'une onde électromagnétique, nous ne
considèrerons que la propagation du champ électrique.
La lumière naturelle est formée d'ondes dont les vibrations du champ propagation vers
électrique ont lieu dans tous les plans passant par l'axe de propagation. l'observateur
Nous admettrons que l'intensité lumineuse L d'une onde est proportionnelle au carré de
l'amplitude Em du champ électrique : L = α.Em2.
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Remarque : Attention : il ne faut pas confondre la lumière polarisée rectilignement, dont le
plan de vibration est unique, avec la lumière monochromatique, dont la
vibration est sinusoïdale et ne contient donc qu'une seule radiation.
Remarque : Attention : il ne faut pas confondre la lumière naturelle dont les vibrations ont
lieu dans tous les plans, avec la lumière blanche dont les vibrations sont la
superposition de toutes les radiations visibles (contenant toutes les couleurs,
toutes les fréquences du spectre visible).
Remarque : Une lumière peut donc être, soit naturelle et blanche, soit naturelle et
monochromatique, ou polarisée rectilignement et blanche, ou polarisée
rectilignement et monochromatique (cas de la figure ci-dessus).
b) Célérité (ou vitesse) de propagation :
Par convention la célérité d’une radiation dans le vide est : c0 = 299792458 m.s−1.
Nous utiliserons la valeur approchée c0 ≈ 3,00.108 m.s−1.
Dans les milieux transparents, la célérité de la lumière est plus faible que dans le vide.
c) Fréquence et longueur d’onde :
- La fréquence ν d'une radiation est indépendante du milieu de propagation.
La fréquence ν ou la période T d'une radiation caractérise cette radiation ("couleur").
On a la relation :
T = 1/ν et ν = 1/T T en s et ν en Hz
Une radiation monochromatique est une onde électromagnétique "pure" dont la vibration
du champ électrique (ou magnétique) en un point, est sinusoïdale à une fréquence ν.
La lumière blanche est une onde électromagnétique dont les vibrations du champ
électrique (ou magnétique) sont la superposition de toutes les radiations du spectre
visibles (contenant toutes les couleurs, toutes les fréquences du spectre visible).
- La longueur d'onde λ d'une radiation dépend du milieu dans lequel l'onde se propage.
Nous noterons λ0 la longueur d'onde d'une radiation lumineuse dans le vide et λ sa
longueur d'onde dans un milieu transparent.
Dans le vide on a la relation :
λ0 = c0.T ou λ0 = c0/ν.
Dans un milieu transparent on a : λ = c.T ou λ = c/ν.
λ0 ou λ en m, T en s et ν en Hz
La fréquence des ondes visibles est comprise entre 3,75.1014 Hz = 375 THz pour le rouge
et 7,50.1014 Hz = 750 THz pour le violet.
Dans le vide ou dans l'air, pour les radiations visibles on a :
4.10−7 m = 400 nm (violet) < λ0 < 8.10-7 m = 800 nm (rouge)
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II) Aspect géométrique de la propagation de la lumière :
1) Propagation rectiligne de la lumière :
Notre expérience quotidienne des ombres portées nous montre la propagation rectiligne de
la lumière émise par une source quasi-ponctuelle ou par le Soleil.
Nous admettrons que :
Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite.
Remarque : La propagation rectiligne de la lumière du Soleil dans l'espace a permis à
Aristote (384 - 322 av. J.-C.) de concevoir la rotondité de la Terre : il a observé
que "lors des éclipses de Lune, l'ombre portée de la Terre a toujours pour limite
une ligne courbe, comme l'éclipse est due à l'interposition de la Terre, c'est la
forme de la surface de la Terre qui est cause de la forme de cette ligne".
La propagation rectiligne de des rayons solaires explique les différents aspects, lors d'une
éclipse de Soleil :
éclipse totale
éclipse partielle
terminateur
zone d'ombre
Schématisation d'un faisceau lumineux :
(ondes sphériques
(ondes planes)
(ondes sphériques
divergentes)
convergentes)
Remarque : Si r est petit on parle de pinceau lumineux.
un faisceau lumineux est constitué d'un ensemble de rayons lumineux.
Il est impossible, expérimentalement, d'isoler un rayon lumineux (à cause du
phénomène de diffraction).
Remarque : Un rayon laser pourra modéliser un rayon lumineux.
2) indice de réfraction :
On a vu que la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide était :
c0 = 299792458 m.s−1 ≈ 3,00.108 m.s−1.
Dans un milieu transparent, la célérité c de la lumière est inférieure à c0.
L'indice de réfraction n d'un milieu transparent par rapport au vide est défini par :
n = c0
c
Exemple : Le tableau ci-dessous donne l'indice de réfraction de quelques substances :
air
eau
huile
verre Crown verre Flint carbone
1,0002
1,333
1,5
1,517
2,417
2,76
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3) Les lois de Descartes :
On considère un rayon lumineux incident
SI qui passe d'un milieu (1), d'indice de
réfraction n1, à un milieu (2), d'indice de
réfraction n2, en traversant un dioptre plan.
Le plan d'incidence est défini par le
rayon d'incidence SI et la normale au
dioptre N'N' passant par le point
d'incidence I.
IR1 est le rayon réfléchi; IR2 le rayon
réfracté, i1 est l'angle d'incidence, r1
l'angle de réflexion et i2 l'angle de
réfraction. N'N' est la normale.
Remarque : si n1 < n2 le milieu 2 est plus
réfringent que le milieu 1 : le rayon
réfracté s'approche de la normale.
L'expérience montre que ;
- Le rayon incident, le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans un même plan : le plan
d'incidence.
- Le rayon incident et le réfléchi sont tels que : r1 = i1
- Le rayon incident et le rayon réfracté sont tels que : n1.sini1 = n2.sini2
Dans le cas où n1 > n2 le milieu 2 est moins réfringent que le milieu 1 : le rayon réfracté
s'éloigne de la normale.
Si n1 > n2, il existe un angle d'incidence lime i1lim au-delà duquel un rayon incident est
totalement réfléchi : aucun rayon n'est transmis dans le milieu 2.
Si rayon arrive sous l'incidence limite i1lim, le rayon réfracté forme avec la normale un angle
i2lim = π/2 : on dit que l'onde réfractée est évanescente (elle se propage sur le dioptre).
incidence sous un angle i1 < i1lim
incidence limite I1 = i1lim
i1 > i1lim
réflexion totale
onde évanescente
onde réfractée avec i2 > i1
Exemple : La propriété d'incidence limite est utilisée dans les "prismes à réflexion totale"
utilisés dans les jumelles de vision.
La transmission d'informations par les fibres optiques utilise également cette
propriété de réflexion totale (voir exercice "pour s'entraîner").
Remarque : Nous avons vu dans la leçon précédente qu'il était possible de retrouver les lois
de la réflexion et de la réfraction (lois de Descartes) en faisant appel aux
caractères ondulatoires (longueur d'onde, surface d'onde).
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4) Dispersion de la lumière :
a) Définition :
Nous avons vu dans la leçon précédente qu'un milieu de propagation est dispersif quand
la célérité c de propagation d’une onde dépend de sa fréquence.
En optique, on s'intéresse à l'indice de réfraction d'un milieu transparent.
Un milieu transparent est dispersif quand son indice de réfraction dépend de la fréquence
ν de l'onde qui le traverse :
n = f(ν)
b) Etude de la dispersion par un prisme :
En optique, un prisme est un milieu transparent limité par deux faces planes non
parallèles, se coupant suivant une droite appelée arête du prisme.
Un plan perpendiculaire à l'arête est appelé plan de section principale. La face opposée
de l'arête est la base du prisme.
L'angle A opposé à la base est l'angle du prisme.
- En lumière monochromatique :
On éclaire une face du prisme à l'aide d'un faisceau laser (radiation monochromatique) :
* Le faisceau est dévié par le prisme.
* Quand on fait tourner le prisme autour d'un axe
parallèle à son arête, on constate que la déviation D
du faisceau varie.
* Pour une certaine valeur de l'angle
d'incidence i du faisceau sur la face
d'entrée du prisme, la déviation D passe
par un minimum.
On considère un rayon de lumière
monochromatique arrivant avec l'incidence
i sur la face d'entrée du prisme.
A la traversée du dioptre le faisceau subit une réfraction. L'angle de réfraction est r.
D'après les lois de Descartes, sin(i) = n.sin(r), où n est l'indice du verre par rapport à l'air.
A l'arrivée sur la face de sortie, le pinceau fait un angle d'incidence r' et un angle de
réfraction i' tels que : sin(i') = n.sin(r')
On vérifie que, géométriquement :
r + r' = A
L'angle de déviation D est l'angle entre le pinceau incident et le pinceau émergent :
Or :
D = (I – r) + (I' – r')
donc :
D = (I + I') – (r + r')
soit :
D = (i + i') – A
- En lumière blanche :
En lumière blanche, sur un écran, on constate que le
faisceau donne une tache lumineuse large et irisée.
On obtient le spectre de la lumière blanche.
Le bleu est la couleur la plus déviée par le prisme.
L'angle d'émergence i' du pinceau dépend de
l'indice du prisme, la déviation du pinceau
dépend donc de l'indice du prisme.
Toutes les radiations n'étant pas déviées du
même angle, nous en déduisons que l'indice
de réfraction du verre n'est pas le même pour
toutes les radiations.
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Le verre du prisme, dont l'indice de réfraction nverre (ou la célérité des ondes cverre) dépend
de la fréquence ν est dispersif.
Remarque : L'expérience montre que l'indice du verre du prisme est plus grand pour le
bleu que pour le rouge.
III) Aspect ondulatoire de la propagation de la lumière :
1) Diffraction de la lumière :
a) Expérience :
Remarque : Lorsqu'on regarde une source de lumière ponctuelle (lampadaire éloigné ...) à
travers un voilage (rideau de tulle), la source occupe le centre d'une fine croix
lumineuse irisée.
On étudie le comportement d'un rayon laser (monochromatique) de longueur d'onde λ0
dans le vide (ou dans l'aire) lorsqu'on le fait
passer à travers une fente verticale de largeur
réglable e.
Le dispositif expérimental est
représenté vu de dessus.
Le phénomène est visualisé sur un écran placé à une distance D de la fente :
On observe des taches lumineuses.
Le maximum de luminosité, située dans l'axe
de symétrie du dispositif,
est plus large, et plus
lumineux que les autres maxima.
Soit d la "largeur" de la tache centrale mesurée entre les deux minima qui la limitent.
La largeur du maximum de luminosité est caractéristique du phénomène de diffraction.
b) Résultats :
En faisant varier les différents paramètres (largeur a de la fente, distance D de l'écran),
l'expérience montre que :
d = 2.λ 0 .D
e
Exemple : Avec un faisceau laser de longueur d'onde λ0 = 663 nm, un écran à D = 2 m
d'une fente micrométrique de largeur e = 0,05 mm, on obtient d = 5,3 mm.
c) Démonstration à partir du principe ondulatoire de Huygens :
On considère un faisceau laser
diffracté par la fente F et qui
atteint l'écran au point M.
Le rayon FM fait un angle θ
par rapport à l'axe de
symétrie FO du dispositif
expérimental.
Dans la leçon précédente, nous
avons vu comment le théorème
de Huygens permettait de
comprendre l'évolution des surfaces d'onde, au cours du temps.
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L'application du théorème de Huygens au phénomène de diffraction conduit, par des
calculs mathématiques hors programme, à un résultat que nous admettrons.
On démontre que l'amplitude A de l'onde qui arrive en un point M de l'écran, d'abscisse x,
sin(u)
est donné par :
A = K.
u
Où K est un coefficient que nous n'expliciterons pas et où u = π.e .sinθ
λ0
On voit sur la figure ci-dessus que sinθ = x/D
Dans les expériences de diffraction, l'angle θ est toujours très petit, on peut donc écrire :
sinθ ≈ θ à condition d'exprimer θ en radians. On a donc u = π.e .sinθ ≈ π.e .θ = π.e .x
λ 0 .D
λ0
λ0
En optique, on sait que l'intensité lumineuse L d'une radiation est proportionnelle au carré
de son amplitude : L = α.A2, α est le coefficient de proportionnalité. On a donc :
[sin( π.e .x )]2
2 sin(u) 2
λ 0 .D
L = α.K .[
] = L0.
π
u
[ .e .x ]2
λ 0 .D
En posant L0 = α.K
2
On peut représenter graphiquement
la relation qui lie L à x :
Et la juxtaposer à l'écran :
sin(u) 2
] est maximum, donc
u
lorsque u = (2.k + 1). π où k est un entier (relatif), soit π.e .x = (2.k + 1). π
λ 0 .D
2
2
Un maximum de luminosité a pour abscisse : x = (2.k + 1). λ 0 .D
2.e
sin(u) 2
- Les minima de l'intensité lumineuse s'observent lorsque [
] est minimum, donc
u
lorsque u = k'.π où k' est un entier (relatif), soit π.e .x = k'.π
λ 0 .D
Un minimum de luminosité a pour abscisse : x = k'. λ 0 .D
e
Pour k' = 1, on a l'abscisse x = λ 0 .D du premier minimum de luminosité, donc :
e
La largeur du maximum central de luminosité est : d = 2.x = 2.λ 0 .D
e
On retrouve l'expression de la relation expérimentale.
- Les maxima de l'intensité lumineuse s'observent lorsque [
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La diffraction d'un faisceau de lumière monochromatique de
longueur d'onde λ0, par un trou circulaire de rayon r, ou de
diamètre e = 2.r, donne une figure formée de tâches
circulaire concentriques :
L'expérience montre que sur un écran situé à une distance
D du trou de diffractant, la tâche circulaire correspondant au
maximum central de luminosité a un diamètre donné par :
d = 1,22. 2.λ 0 .D = 1,22. λ 0 .D
r
e
2) Interférences lumineuses :
a) Présentation :
Dans la leçon précédente, nous avons vu que pour obtenir des interférences d'ondes
provenant de deux sources différentes, il fallait que les deux sources soient synchrones.
La lumière émise par une source lumineuse ordinaire (lampe à incandescence, lampe à
vapeur sous basse pression …) est produite sous forme de très nombreux trains d'onde,
ou photons, de très courte durée (de l'ordre de 10−14 s) donc, de très faible longueur
spatiale (de l'ordre de 10−7 m).
Des photons émis par deux sources différentes donnent une figure d'interférence qui
n'apparaîtra que très peu de temps (de l'ordre de 10−14 s). Sur un écran les figures
d'interférences se succèderont très rapidement et l'œil n'observera qu'une valeur
moyenne uniforme. On dit que :
Deux sources lumineuses différentes sont non cohérentes et ne peuvent donner un
phénomène d'interférence observable.
Pour obtenir des interférences lumineuses, il faut donc utiliser deux sources cohérentes,
donc synchrones.
Dans la pratique, on utilise une source unique à partir de laquelle on produit deux sources
secondaires synchrones.
Il existe différents systèmes de production des interférences (fentes d'Young, miroirs de
Fresnel, biprismes de Fresnel, bilentilles de Billet, interféromètre de Michelson).
Nous utiliserons le dispositif des fentes d'Young, basé sur la diffraction pas une fente.
b) Expérience :
On utilise un laser avec, éventuellement, une
lentille divergente.
Le dispositif expérimental est
représenté vu de dessus.
Le faisceau laser monochromatique de longueur d'onde
λ0, arrive sur deux fentes parallèles distantes de a.
Chaque fente donne des phénomènes de diffraction
qui se recouvrent sur l'écran disposé à une distance D des deux fentes.
Sur l’écran, apparaît une figure d'interférence constituée de taches brillantes
régulièrement réparties.
On appelle "interfrange" i, la distance entre les centres de deux taches brillantes (ou de
deux minima de luminosité).
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c) Résultats :
En faisant varier les différents paramètres (distance a entre les axes des deux fentes,
distance D de l'écran), l'expérience montre que :
i = λ 0 .D
a
Exemple : Avec un faisceau laser de longueur d'onde λ0 = 663 nm, un écran à D = 2 m
deux fentes micrométrique parallèles distantes de a = 1,0 mm :i = 1,3 mm.
d) Démonstration géométrique :
Dans l'étude des interférences que nous avons faite dans la leçon précédente, les
distances d1 et d2 aux deux sources S1 et S2 étaient du même ordre de grandeur que la
distance entre les sources.
On voit qu'en optique, au
contraire, les distances d1 et d2
aux deux sources secondaires
S1 et S2 sont grandes par
rapport à la distance a entre
les sources.
On s'intéresse à l'abscisse x d'un point M de l'écran, mesurée à partir du point O placé sur
l'axe de symétrie du dispositif.
On voit sur la figure ci-dessus que tanθ = x ≈ θ (θ << 1 rad)
D
Les deux sources étant synchrones (les rayons arrivant sur S1 et S2 sont issus d'une
même source S) et en phase (on suppose que S1 et S2 sont disposés symétriquement par
rapport à S), on considère la "différence de marche δ" de deux rayons issus de S1 et S2
arrivant en un point M de l'écran.
Pour cela, faisons un "zoom" sur le dispositif
expérimental, au voisinage des deux sources
secondaires S1 et S2 :
On voit que la différence de marche peut
s'écrire : δ = d1 – d2  = a.sinθ = a.x ≈ a.θ
D
Or, on sait que l'ensemble des points M tels que : δ = d1 – d2  = k.λ0 ont une amplitude
maximum et correspondent à un maximum de luminosité.
a.x = k.λ0 ou x = k. λ 0 .D
Soit
D
a
On appelle ordre d'interférence la valeur entière du nombre k.
La tache brillante centrale correspond à l'ordre 0 d'interférence.
On appelle interfrange la distance i entre deux taches brillantes consécutives :
i = xk + 1 -- xk  = k. λ 0 .D -- (k + 1). λ 0 .D  = λ 0 .D
a
a
a
e) Principe ondulatoire de Huygens :
En appliquant le principe de Huygens, on démontre que l'amplitude A de l'onde qui a
traversé les deux fentes et arrive en un point M de l'écran, d'abscisse x, est donné par :
[sin( π.e .x )]
λ 0 .D
A = K.
.cos( π.a .x)
π
.
e
λ 0 .D
.x ]
[
λ 0 .D
Où K est un coefficient lié à la nature électromagnétique de l'onde étudiée.
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L'intensité lumineuse I est donc de la forme :
[sin( π.e .x )]2
λ 0 .D
L = L0.
.[cos( π.a .x)]2
λ 0 .D
[ π.e .x ]2
λ 0 .D
L'intensité lumineuse L varie d'un point à un autre comme le cosinus au carré modulé par
la fonction sin2u/u2 que nous avons déjà rencontrée dans le cas de la diffraction.
En général, en optique, la distance a entre les fentes, qui constituent les sources
secondaires, est beaucoup plus grande que la largeur e d'une fente : a >> e.
On néglige, dans ce cas, les effets de la diffraction qui joue pourtant un rôle essentiel
dans l'expérience des fentes d'Young.
Comme dans la démonstration géométrique, on trouve que l'intensité est maximale pour :
cos( π.a ) = 1 donc π.a .x = k.π soit x = k. λ 0 .D
λ 0 .D
λ 0 .D
a
On peut représenter graphiquement la relation qui lie I à x :
Et la juxtaposer à l'écran :
- La luminosité varie périodiquement avec un interfrange i : phénomène d'interférence
- La luminosité des maxima est modulée par le phénomène de diffraction.
3) Diffraction par un réseau :
a) Réseau :
Un réseau est une surface sur laquelle sont creusés un très grand
nombre de traits fins parallèles et équidistants. Un réseau est donc une
succession de fentes parallèles de largeur a.
Un réseau peut comporter n = 1000 traits/mm.
La distance e, entre deux traits, ou entre deux fentes successives, est le
pas du réseau. Le motif étant régulier, la distance a entre deux fentes est
double de la largeur e d'une fente : a = 2.e
Petite partie
Remarque : On peut utiliser un réseau en réflexion ou en transmission.
d'un réseau
Dans la pratique, on peut utiliser une diapositive sur laquelle sont gravés
vu de face
des traits noirs sur un fond transparent.
Exemple : Au laboratoire de l'école, on utilise des réseaux dont le nombre de traits est de
l'ordre de n = 500 traits/mm, soit a = 3 µm.
Nous nous restreindrons à une étude géométrique de la diffraction d'un faisceau lumineux
par un réseau. L'application du principe ondulatoire de Huygens conduit à une expression
trop lourde à exploiter en 7ème année.
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Un faisceau laser de longueur d'onde λ0 est
envoyé sur un réseau par transmission sous
un angle d'incidence θ.
Le dispositif expérimental est
représenté vu de dessus :
Nous observons une série de taches très
espacées, équidistantes de part et d'autre de la
tache centrale située en O sur l'écran.
b) Etude géométrique :
Ici encore, deux phénomènes se superposent : la diffraction de la lumière par chaque
fente et l'interférence des rayons provenant des différentes fentes.
Chaque fente du réseau se comporte comme un diaphragme et diffracte la lumière, jouant
le rôle de source secondaire.
Nous allons étudier le cas général où le plan du réseau n'est pas orthogonal au faisceau
incident.
Les rayons moyens issus des différentes
fentes (sources secondaires) vont se
combiner à "l'infini" (sur l'écran) pour donner
des interférences.
Soit θ' l'angle d'incidence (par rapport à la
normale au réseau) et θ l'angle de déviation
(par rapport au rayon incident), on a :
α = 90 -- β et β = 90 -- θ -- θ’ donc α = θ + θ’
La différence de marche δ entre deux
rayons moyens issus de deux fentes
consécutives est :
δ = CD -- BA = a.[sin(θ + θ’) -- sinθ']
On aura des interférences constructives (maximum d'intensité) lorsque la différence de
marche δ entre les trajets des rayons sera un nombre entier de longueurs d'onde :
δ = k.λ0 soit a.[sin(θk + θ'k) -- sinθ'k] = k.λ0
k, entier, est appelé ordre d'interférence. Dans le cas général θ peut être assez grand
Dans le cas particulier où le réseau est orthogonal au faisceau incident, on a θ' = 0.
On a alors : a.sinθ = k.λ0, d'autre part, d'après le dispositif expérimental, on a : tanθ = x/D
tanθ = x et sinθ = k. λ 0 , dans le cas général θ peut être assez grand et tanθ =/= sinθ.
D
a
On a :
θk = arcsin(k. λ 0 ) et xk = D.tan[arcsin(k. λ 0 )]
a
a
On trouve un résultat semblable de celui obtenu avec deux fentes, mais :
Le grand nombre de fentes très fines permet d'obtenir une figure très lumineuse avec des
taches très petites et très séparée (θ grand).
Exemple : Avec un faisceau laser de longueur d'onde λ0 = 663 nm, un écran à D = 2 m,
un réseau de n = 500 traits/mm donc a = 2 µm, la première tache (k = 1) à coté
de la tache centrale (k = 0) est à une distance x1 ≈ 70,2 cm !
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c) Dispersion par un réseau :
L'abscisse x d'une tache dépend de la longueur d'onde.
On éclaire le réseau avec de la lumière blanche, les différentes "couleurs" donnent
des taches à des abscisses différentes : on obtient des taches irisées.
Remarque : Comme λbleu < λrouge, on voit que la lumière bleue
est moins déviée que la lumière rouge,
contrairement au cas du prisme
On utilise les réseaux pour disperser les
radiations dans les expériences
de spectrométrie.
xk = D.tan[arcsin(k. λ )]
a
θk = arcsin(k. λ )
a
Exemple : Avec un réseau de n = 500 traits/mm donc a = 2 µm,
pour la première tache irisée (k = 1) : le bleu (λbleu ≈ 400 nm)
correspond à θbleu ≈ 0,201 rad = 11,5 °, le rouge (λrouge ≈ 800 nm)
correspond à θrouge = 0,411 rad = 23,6 ° : ∆θ = θrouge -- θbleu ≈ 12,1 °.
Cet écart angulaire produirait un "étalement" du spectre visible d'environ 42 cm
sur un écran placé à D = 2 m !!
IV) Mouvement relatif de la source et de l'observateur :
1) Ondes mécaniques :
Dans le chapitre précédent nous avons montré que lorsque la source d'un son (se
propageant à la célérité c) se déplace à la vitesse de mesure v par rapport à un observateur,
la fréquence fO du son reçu par l'observateur est différente de celle fS émise par la source :
c'est l'effet Doppler.
- Si la source S s'approche de l'observateur M :
TO = TS.(1 − v ) ou fO = fS.( 1 )
c
1− v
c
TO < TS ou fO > fS, le son perçu par l'observateur
est plus aigu que celui émis pas la source.
- Si la source S s'éloigne de l'observateur N :
TO = TS.(1 + v ) ou fO = fS.( 1 )
c
1+ v
c
TO > TS ou fO < fS, le son perçu par l'observateur
est plus grave que celui émis pas la source.
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2) Effet Doppler-Fizeau :
a) Mécanique classique :
Si la vitesse de la source est faible par rapport à la célérité c0 de la lumière, la période TS'
d'émission des signaux dans le référentiel (RObservateur) est la même que celle mesurée
dans le référentiel (RSource) (principe de relativité galiléenne) et TS' = TS.
L'effet Doppler-Fizeau en mécanique classique s'écrit simplement : TO = TS.(1 ± v )
c0
Ou, puisque f = 1
fO = fS.( 1 )
T
1± v
c0
b) Mécanique relativiste :
Dans le cas des ondes électromagnétiques, on doit tenir compte des effets relativistes.
Si la vitesse v de la source représente une portion non négligeable de la célérité c0 de la
lumière, la période TS' d'émission des signaux dans le référentiel (RObservateur) n'est pas la
même que celle TS mesurée dans le référentiel (RSource) (principe de relativité d'Einstein).
TS
TS , en mécanique relativiste, on doit donc écrire : T =
T S' =
.(1 ± v )
O
2
2
c0
1− v 2
1− v2
c
c0
2
1− v 2
1± v
c0
c0
Soit
T O = T S.
ou fO = fS.
2
1± v
. 1− v 2
c0
c0
- Avec un signe (--), si la source s'approche de l'observateur : fO > fS, décalage vers le bleu
- Avec un signe (+), si la source s'éloigne : fO < fS, décalage vers le rouge.
c) Ordres de grandeur :
On définit le décalage spectral par : z = λ O − λ S = fS
λS
fO − fS
avec z < 0 si la source s'approche et z > 0 si elle s'éloigne.
1± v
1+ v
c
c0 − 1
0
On a donc :
z=
− 1 ou │z│ =
2
2
. 1− v 2
. 1− v 2
c0
c0
2
(1 + z ) − 1
Inversement, on a :
v = c0.
(1 + z )2 + 1
Exemple : Mouvement orbital de la Terre :
La Terre se déplace à la vitesse de 30 km.s−1 = 3.104 m.s−1 sur son orbite. Ce
mouvement engendre un décalage spectral de z = 0,01 % des étoiles placées
dans l'axe du mouvement. Ce décalage est très faible.
On détecte l'effet du mouvement de la Terre par le déplacement apparent des
étoiles placées dans une direction perpendiculaire au mouvement (aberration).
Exemple : Mouvement orbital des étoiles doubles :
Pour un système d'étoiles doubles dont l'une est un trou noir, la rotation très
rapide de la deuxième étoile, seule visible, entraîne un décalage spectral lors
son mouvement orbital. Pour une vitesse de l'ordre de 300 km.s−1 = 3.105 m.s−1
on obtient un décalage z = 0,1 % mesurable.
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Ondes électromagnétiques
Exemple : Expansion de l'Univers :
Pour une valeur de z voisine de 1, on obtient une vitesse d'éloignement de
8
v = 1,80.10 m.s−1, qui représentent 60 % de la vitesse de la lumière.
Pour une valeur de z voisine de 100, on obtient une vitesse d'éloignement de
v = 2,999.108 m.s−1, qui représentent 99,99 % de la vitesse de la lumière !!
Ces valeurs correspondent à des galaxies très éloignées, situées au confin de
l'Univers observable …
3) Largeur des raies spectrales :
Nous verrons, dans un prochain chapitre, que lorsqu'on excite des atomes (par décharges
électriques par exemple) ils émettent des ondes électromagnétiques de fréquence ν0 (ou de
longueur d'onde λ0) bien définie (ou presque …).
Les atomes émetteurs de rayonnement
ne sont pas au repos : dans un gaz, les
atomes ont une vitesse d'agitation de
plusieurs centaines de m.s--1.
Pour un observateur dans le repère du
laboratoire, on doit considérer que
l'émission est issue d'une source en
mouvement, et il est nécessaire de tenir
compte de l'effet Doppler.
L'observateur, au lieu de voir une raie
fine, verra une raie spectrale élargie
comme le montre la figure.
On montre que :
∆ν = 2.ν 0 . 2. ln 2.R.T
M
c0
2 --2
--1 --1
Où R = 8,32 kg.m .s .mol .K est la constante des gaz parfaits, T la température absolue
et M la masse molaire moléculaire du gaz considéré.
L'élargissement Doppler est proportionnel à la fréquence ν0, proportionnel à la racine carrée
de la température et inversement proportionnel à la masse molaire moléculaire du gaz.
Exemple : Pour la double raie jaune (λ1 = 589,6 nm et λ2 = 589,0 nm ou ν1 = 5,088.1014 Hz
et ν2 = 5,093.1014 Hz) de la vapeur de sodium (MNa = 23,0.10--3 kg.mol--1) portée à
une température absolue de T = 500 K (227 °C), on obtient pour la largeur
Doppler des deux raies :
∆ν = 1,700.109 Hz
11
Or ν2 -- ν1 = 5.10 Hz >> ∆ν : l'écart entre les deux raies jaunes du sodium est
près de 300 fois supérieur à la largeur Doppler : on peut facilement les discerner !
Exemple : Pour contrôler la vitesse des véhicules sur route, on utilise (entre autres) un radar
qui émet une onde électromagnétique de fréquence ν0 = 24,15 GHz. Cette onde
est réfléchie sur le véhicule et renvoyée vers l'émetteur qui détecte et mesure la
fréquence ν reçue. Le véhicule joue le rôle d'émetteur et suivant sa vitesse v la
fréquence de l'onde subit un décalage Doppler : ν0 -- ν = ν0.( 1 − c 0 )
c0 ± v
Avec un signe + si le véhicule s'éloigne du radar (vu de dos) et avec un signe – si
le véhicule s'approche du radar (vu de face).
Pour un véhicule se déplaçant à une vitesse v = 108 km.h--1 = 30 m.s--1, le
décalage Doppler n'est que  ν0 -- ν  = 2415 Hz !!
Ce décalage, très petit, nécessite d'utiliser un système d'émission d'onde
électromagnétique avec une largeur de raie Doppler excessivement faible (Laser).
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
A RETENIR
I) Notion d’onde électromagnétique :
Attention : il ne faut pas confondre la lumière polarisée rectilignement, dont le plan de vibration
est unique, avec la lumière monochromatique, dont la vibration est sinusoïdale et ne contient
donc qu'une seule radiation.
Attention : il ne faut pas confondre la lumière naturelle dont les vibrations ont lieu dans tous les
plans, avec la lumière blanche dont les vibrations sont la superposition de toutes les radiations
visibles (contenant toutes les couleurs, toutes les fréquences du spectre visible).
Une lumière peut donc être, soit naturelle et blanche, soit naturelle et monochromatique, ou
polarisée rectilignement et blanche, ou polarisée rectilignement et monochromatique (cas de la
figure ci-dessus).
Par convention la célérité d’une radiation dans le vide est : c0 = 299792458 m.s−1.
Nous utiliserons la valeur approchée c0 ≈ 3,00.108 m.s−1.
Dans les milieux transparents, la célérité de la lumière est plus faible que dans le vide.
- La fréquence ν d'une radiation est indépendante du milieu de propagation.
La fréquence ν ou la période T d'une radiation caractérise cette radiation ("couleur").
On a la relation :
T = 1/ν et ν = 1/T T en s et ν en Hz
Une radiation monochromatique est une onde électromagnétique "pure" dont la vibration du
champ électrique (ou magnétique) en un point, est sinusoïdale à une fréquence ν.
La lumière blanche est une onde électromagnétique dont les vibrations du champ électrique
(ou magnétique) sont la superposition de toutes les radiations du spectre visibles (contenant
toutes les couleurs, toutes les fréquences du spectre visible).
- La longueur d'onde λ d'une radiation dépend du milieu dans lequel l'onde se propage.
Nous noterons λ0 la longueur d'onde d'une radiation lumineuse dans le vide et λ sa longueur
d'onde dans un milieu transparent.
Dans le vide on a la relation :
λ0 = c0.T ou λ0 = c0/ν.
Dans un milieu transparent on a :
λ = c.T ou λ = c/ν.
λ0 ou λ en m, T en s et ν en Hz
La fréquence des ondes visibles est comprise entre 3,75.1014 Hz = 375 THz pour le rouge et
7,50.1014 Hz = 750 THz pour le violet.
Dans le vide ou dans l'air, pour les radiations visibles on a :
4.10−7 m = 400 nm (violet) < λ0 < 8.10-7 m = 800 nm (rouge)
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Ondes électromagnétiques
II) Aspect géométrique de la propagation de la lumière :
Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite.
L'indice de réfraction n d'un milieu transparent par rapport au vide est défini par :
n = c0
c
- Le rayon incident, le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans un même plan : le plan
d'incidence.
- Le rayon incident et le réfléchi sont tels que : r1 = i1
- Le rayon incident et le rayon réfracté sont tels que : n1.sini1 = n2.sini2
Dans le cas où n1 > n2 le milieu 2 est moins réfringent que le milieu 1 : le rayon réfracté
s'éloigne de la normale.
Si n1 > n2, il existe un angle d'incidence lime i1lim au-delà duquel un rayon incident est
totalement réfléchi : aucun rayon n'est transmis dans le milieu 2.
Si rayon arrive sous l'incidence limite i1lim, le rayon réfracté forme avec la normale un angle
i2lim = π/2 : on dit que l'onde réfractée est évanescente (elle se propage sur le dioptre).
Un milieu transparent est dispersif quand son indice de réfraction dépend de la fréquence ν
de l'onde qui le traverse :
n = f(ν)
Remarque : L'indice du verre du prisme est plus grand pour le bleu que pour le rouge.
III) Aspect ondulatoire de la propagation de la lumière :
1) Diffraction de la lumière :
Soit d la "largeur" de la tache centrale mesurée entre les deux minima qui la limitent.
En faisant varier les différents paramètres (largeur a de la fente, distance D de l'écran),
l'expérience montre que :
d = 2. λ0.D/e
L'application du théorème de Huygens au phénomène de diffraction conduit, par des calculs
mathématiques hors programme, à un résultat que nous admettrons.
On peut représenter graphiquement la
relation qui lie L à x :
Et la juxtaposer à l'écran :
- Un maximum de luminosité a pour abscisse : x = (2.k + 1).λ0.D/2.e
- Un minimum de luminosité a pour abscisse : x = k'.λ0.D/e
La largeur le maximum central de luminosité est : d = 2.x = 2.λ0.D/e
La diffraction d'un faisceau de lumière monochromatique de longueur d'onde λ0, par un trou
circulaire de rayon r, ou de diamètre e = 2.r, donne une figure formée de tâches circulaire
concentriques :
d = 1,22. 2.λ 0 .D = 1,22. λ 0 .D
r
e
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
2) Interférences lumineuses :
Deux sources lumineuses différentes sont non cohérentes et ne peuvent donner un
phénomène d'interférence observable.
Pour obtenir des interférences lumineuses, il faut utiliser deux sources cohérentes.
En faisant varier la distance a entre les axes des deux fentes, la distance D de l'écran,
l'expérience montre que :
i = λ0.D/a
Les points M tels que : δ = d1 – d2  = k.λ0 correspondent à un maximum de luminosité.
Soit
a.x/D = k.λ0 ou x = k.λ0.D/a
On appelle ordre d'interférence la valeur entière du nombre k.
La tache brillante centrale correspond à l'ordre 0 d'interférence.
On appelle interfrange la distance i entre deux taches brillantes consécutives :
i = xk + 1 -- xk  = k.λ0.D/a -- (k + 1).λ0.D/a  = λ0.D/a
On peut représenter graphiquement la relation qui lie I à x :
Et la juxtaposer à l'écran :
- La luminosité varie périodiquement avec un interfrange i : phénomène d'interférence
- La luminosité des maxima est modulée par le phénomène de diffraction.
3) Diffraction par un réseau :
Taches espacées, équidistantes de part et d'autre de la tache centrale située en O.
Les rayons moyens issus des différentes fentes
(sources secondaires) vont se combiner à
"l'infini" (écran) pour donner des interférences.
La différence de marche δ entre deux rayons
issus de deux fentes consécutives est :
δ = CD -- BA = a.[sin(θ + θ’) -- sinθ']
On aura des interférences constructives
(maximum d'intensité) lorsque la différence de
marche δ entre les trajets des rayons sera un
nombre entier de longueurs d'onde :
δ = k.λ0 soit a.[sin(θk + θ'k) -- sinθ'k] = k.λ0
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Ondes électromagnétiques
k, entier, est appelé ordre d'interférence. Dans le cas général θ peut être assez grand
Dans le cas particulier où le réseau est orthogonal au faisceau incident, on a θ' = 0.
Le grand nombre de fentes très fines permet d'obtenir une figure très lumineuse avec des
taches très séparée (θ grand).
L'abscisse x d'une tache dépend de la longueur d'onde.
On éclaire le réseau avec de la lumière blanche, les différentes "couleurs" donnent des
taches à des abscisses différentes : on obtient des taches irisées.
IV) Mouvement relatif de la source et de l'observateur :
1) Effet Doppler-Fizeau :
a) Mécanique classique :
L'effet Doppler-Fizeau en mécanique classique s'écrit simplement : TO = TS.(1 ± v )
c0
Ou, puisque f = 1
fO = fS.( 1 )
T
1± v
c0
b) Mécanique relativiste :
2
1− v 2
1± v
c0
c0
On a
T O = T S.
ou fO = fS.
2
1± v
. 1− v 2
c0
c0
- Avec un signe (--), si la source s'approche de l'observateur : fO > fS, décalage vers le bleu
- Avec un signe (+), si la source s'éloigne : fO < fS, décalage vers le rouge.
c) Ordres de grandeur :
2) Largeur des raies spectrales :
∆ν = 2.ν 0 . 2. ln 2.R.T
c0
M
Où R = 8,32 kg.m2.s--2.mol--1.K--1 est la constante des gaz parfaits, T la température absolue
et M la masse molaire moléculaire du gaz considéré.
L'élargissement Doppler est proportionnel à la fréquence ν0, proportionnel à la racine carrée
de la température et inversement proportionnel à la masse molaire moléculaire du gaz.
On montre que :
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POUR S'ENTRAÎNER
I) Aplatissement du Soleil au couchant.
Lorsque le Soleil est haut dans le ciel (vers midi) ces rayons ne sont pas déviés par
l’atmosphère. Un observateur au sol voit alors le Soleil sous un angle θ = 32 ’ (60 ’ = 1 °), θ est
appelé diamètre apparent du Soleil. Le Soleil apparaît sous la forme d’un disque.
Au couchant, les rayons du Soleil sont réfractés par l’atmosphère et le Soleil apparaît aplati.
Pour rendre compte de ce phénomène, l’atmosphère est assimilée à une couche plane,
homogène d’indice de réfraction n = 1,0003 et séparée du vide par un dioptre plan (l'indice de
réfraction du vide est n0 = 1,0000).
Au moment du couché du Soleil un rayon issu d'un point B à la base du Soleil, atteint le dioptre
vide-atmosphère sous une incidence rasante. Un rayon issu d'un point A au sommet du Soleil,
fait, dans le vide, un angle θ avec le rayon issu de B.
a) Quel le diamètre apparent vertical θ’ du Soleil au couchant.
b) Quelle est la forme apparente du Soleil au couchant.
c) On montre, en astronomie, que le diamètre apparent vertical du Soleil au couchant est
θ" = 28 ’, quelles hypothèses permettent de comprendre cet écart.
II) Réfraction, angle limite.
a) Un rayon lumineux passe de l'air, d'indice relatif n ≈ 1, dans un milieu d'indice relatif n = 1,5
sous une incidence i = 60 °.
i. Quel est l'angle de réfraction r ?
ii. Quel est l'angle de déviation D entre le rayon incident et le rayon réfracté ?
b) L'étude de la transmission de la lumière du verre dans l'eau permet de mesurer l'angle
d'incidence limite ilim = 58 ° du verre sur l'eau.
Quel est l'indice de ce verre nverre sachant que l'indice de l'eau est neau = 1,33 ?
III) Dispersion par un prisme.
a) L'indice n d'un milieu transparent varie en fonction de la longueur d'onde λ de la vibration qui
s'y propage selon la relation : n = a + b2 , a et b sont des constantes et λ est la longueur
λ
d'onde dans le vide et sera exprimé en nm (10−9 m).
i. Calculer a et b sachant que, pour un certain type de verre.
pour le violet : λv = 434 nm et nv = 1,533
pour le rouge : λr = 768 nm et nr = 1,514
ii. Vérifier que l'indice pour le jaune de longueur d'onde λj = 589 nm est nj = 1,520.
b) Lorsqu'on fait arriver un pinceau lumineux sur la face
plane d'un prisme, il subit deux réfractions. Soient i
l'angle d'incidence sur la première face, r l'angle de
réfraction dans le verre, r' l'angle d'incidence sur la
deuxième face dans le verre, i' l'angle de réfraction
sur la seconde face dans l'air, n l'indice relatif de
réfraction du verre par rapport à l'air pour la longueur
d'onde considérée.
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Ondes électromagnétiques
i. Rappeler les lois de la réfraction (lois de Descartes).
ii. Si A est l'angle au sommet du prisme et D la déviation du pinceau lumineux, vérifier par
des considérations géométriques que l'on a les relations : A = r + r' et D = i + i' - A.
iii. La déviation D est minimale lorsque i = i' et r = r'.
Que deviennent les relations précédentes ?
c) Avec de la lumière jaune (λj = 589 nm), on éclaire un prisme d'angle au sommet A = 60 ° et
on l'utilise à son minimum de déviation.
i. Sous quelle incidence faut-il faire arriver le pinceau ?
ii. Quelle est la déviation D du pinceau lumineux ?
d) Sous cette même incidence, on éclaire le prisme avec de la lumière blanche dont les
radiations sont telles que 434 nm < λ < 768 nm. Quel angle font les radiations extrêmes à la
sortie du prisme ?
IV) Pouvoir de résolution.
On montre que le diamètre d de la tache de diffraction obtenue par une ouverture circulaire de
diamètre φ, à la distance D de cette ouverture pour une lumière monochromatique de longueur
d'onde λ est :
d = 1,22. 2.λ.D
φ
Deux objets, situés à l'infini (étoiles), vus sous un angle α, forment, à la distance D (distance
focale) d'une lentille, deux taches de diamètre d dont les centres sont distants de l.
On peut différencier ces deux taches (et donc les images des étoiles), si elles ne se recouvrent
pas trop, c'est-à-dire si l > d/2.
a) Déterminer littéralement, pour une lentille de diamètre φ, l'angle limite minimum αlim sous
lequel on peut distinguer les deux objets (étoiles).
b) Calculer la valeur de cet angle limite αlim, appelé pouvoir de résolution, dans le cas de
l'utilisation d'une lunette astronomique dont le diamètre de l'objectif est φ = 5,0 cm et dont la
distance focale est D = 50,0 cm.
On prendra une longueur d'onde visible moyenne λ = 550 nm.
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