Suites

TS. Algorithmique 1- Suites et récurrence Suites
1Utiliser un algorithme pour générer les premiers termes d’une suite
1. Programmer l’algorithme 1 avec ALGOBOX
puis tester le pour afficher les cinq premiers termes
des suites (un) et (vn) avec u0=a=4, v0=b=9
et, pour tout entier naturel n:
un+1=un+vn
2et vn+1=su2
n+v2
n
2.
Compléter le tableau d’état des variables suivant :
n a b u v
0 4 9
1
2
2. Modifier cet algorithme pour afficher le plus petit en-
tier ntel que vn−un<10−12
Algorithme 1 : Asie 2012
ENTRÉE :
SAISIR un réel strictement positif non nul a
SAISIR un réel strictement positif non nul b(b>a)
SAISIR un entier naturel non nul N
INITIALISATION :
AFFECTER À uLA VALEUR a
AFFECTER À vLA VALEUR b
AFFECTER À nLA VALEUR 0
TRAITEMENT :
TANT QUE n<N
AFFECTER À nLA VALEUR n+1
AFFECTER À uLA VALEUR a+b
2
AFFECTER À vLA VALEUR qa2+b2
2
AFFECTER À aLA VALEUR u
AFFECTER À bLA VALEUR v
FIN TANT QUE
SORTIE : AFFICHER u, AFFICHER v
2Utiliser un algorithme pour déterminer un rang
On admet que la suite (un) est croissante et a pour limite
+∞.
Cela signifie que, quel que soit le nombre A choisi aussi
grand que l’on veut, tous les termes de la suite dépassent ce
nombre à partir d’un certain indice.
1. Programmer l’algorithme 2 avec ALGOBOX
pour la suite définie par un=n2pn
n+1.
2. Déterminer le plus petit indice ntel que
a. un>800
b. un>10 000
c. un>5×106
Algorithme 2 : Pour l’étude d’une suite croissante
de limite +∞
VARIABLES :
Aest un réel
nest un entier naturel
ENTRÉE : Demander à l’utilisateur la valeur de A
INITIALISATION : AFFECTER À nLA VALEUR 0
TRAITEMENT :
TANT QUE un6A
AFFECTER À nLA VALEUR n+1
FIN TANT QUE
SORTIE : AFFICHER « Le premier terme qui dépasse » A
« est le terme d’indice » n
3. On se propose d’adapter cet algorithme au cas d’une suite décroissante de limite −∞.
a. On considère la suite (vn) définie pour tout naturel npar vn=1−n3
2n+1.
Modifier l’algorithme précédent pour déterminer à partir de quel indice n,vn<B,
où Best un nombre négatif donné.
b. Tester votre algorithme avec la suite (vn) pour B= −800, B= −10 000, B=−5×106
4. On s’intéresse maintenant à l’étude d’une suite définie par récurrence.
(un) est définie par u0=2 et un+1=un+pun.
a. Écrire un algorithme permettant pour une telle suite croissante de limite +∞, d’obtenir l’indice à partir
duquel les termes de la suite dépassent le nombre 106.
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TS. Algorithmique 1- Suites et récurrence
3On considère (un) la suite définie par : u0=2
7et pour tout entier naturel n,un+1=1 3un+1 2.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 6un<3
4
2. Quel est le résultat de l’exécution de l’algorithme :
3. Programmer cet algorithme sur un logiciel ou sur
une calculatrice. Tester alors le programme avec dif-
férentes valeurs de M, de plus en plus proches de 3
4.
Que remarque-t-on ?
4. Compléter la conjecture suivante :
«3
4semble être le plus ... .. . .. . des majorants de la
suite (un). »
5. Montrer que, pour tout entier naturel n, :
3
4−un=13 28×3n
.
6. Pourquoi la conjecture est-elle vraie ?
Algorithme 3 : Le plus petit des majorants
ENTRÉE :
SAISIR un réel Mtel que 0 <M<3
4
INITIALISATION :
AFFECTER À uLA VALEUR 2
7
AFFECTER À nLA VALEUR 0
TRAITEMENT :
TANT QUE u<M
AFFECTER À nLA VALEUR n+1
AFFECTER À uLA VALEUR 1
3u+1 2
FIN TANT QUE
SORTIE : AFFICHER n
4On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier n≥1 par : un=1
n2et vn=1
pn.
1. Quel est le résultat de l’exécution de l’algorithme :
2. Modifier cet algorithme pour obtenir la plus petite
valeur Ntelle que pour tout entier n≥N, on a :
un<10−6.
3. Soit ²un réel strictement positif.
Démontrer qu’il existe un entier Ntel que pour tout
entier n≥N,ona:
0<un<²
.
On dit que la suite converge vers 0 ou que la limite
de la suite est 0, et on note : lim
n→+∞un=0
4. Démontrer de façon analogue que la suite (vn)
converge vers 0.
Algorithme 4 : Convergence vers 0
VARIABLES :
nest un entier naturel
uest un réel
INITIALISATION :
AFFECTER À nLA VALEUR 1
AFFECTER À uLA VALEUR 1
TRAITEMENT :
TANT QUE u>10−3
AFFECTER À nLA VALEUR n+1
AFFECTER À uLA VALEUR 1
n2
FIN TANT QUE
SORTIE : AFFICHER n
5On veut écrire un algorithme qui affiche le terme u500 de la suite définie par u1=10
et pour tout n>1,un+1=pun+1 .
1. On répète le calcul de un+1en fonction de unplusieurs fois. Connaît-on le nombre de répétitions ou un test d’ar-
rêt ? Quelle boucle va-t-on utiliser ?
2. De quelles variables aura-t-on besoin ?
3. Proposer un algorithme. Le programmer et donner une valeur approchée de u500 à 10−4près.
m2

TS. Algorithmique 1- Suites et récurrence
6Utiliser un algorithme pour étudier une suite monotone de limite finie
2Dire qu’une suite converge vers un nombre `signifie que tout intervalle ouvert contenant `contient tous les
termes de la suite à partir d’un certain indice.
2Dire qu’un nombre est, par exemple, « à moins » de 0,01 d’un nombre arevient à dire que ce nombre appartient
à l’intervalle ouvert ]a−0,01 ; a+0,01[.
2Pour une suite qui converge vers `, on peut se demander à partir de quel indice les termes de la suite sont aussi
proches de `que l’on veut, c’est-à-dire à une distance de `aussi petite que l’on veut.
1. Cas d’une suite définie de manière explicite un=f(n)
Lorsque la suite (un) est définie de manière explicite, on peut envisager une étude « à la main » .
Considérons par exemple la suite (un) définie pour tout entier naturel npar un=3n+1
n+2.
On démontre que la suite est décroissante et a pour limite 3 lorsque ntend vers +∞.
On souhaite déterminer à partir de quel indice les termes de la suite sont des valeurs approchées de 3 à 0,1 près,
c’est à dire dans l’intervalle ouvert ]2,9 ; 3,1[.
a. Résoudre la double inéquation 2,9 <3n+1
n+2<3,1 puis conclure.
b. Faire la même étude en remplaçant 0,1 par 0,001.
2. Cas d’une suite définie par récurrence un+1=f(un)
Lorsque la suite (un) est définie par récurrence, on doit souvent faire appel aux outils de calcul.
Considérons par exemple la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel npar un+1=un
2+3.
On démontre que la suite est croissante et a pour limite 6 lorsque ntend vers +∞.
L’algorithme suivant écrit avec ALGOBOX a pour objectif de déterminer à partir de quel indice les termes de la suite
sont dans l’intervalle ouvert ]6 −r; 6 +r[, où rest un nombre strictement positif choisi par l’utilisateur.
a. À quelles lignes précise-t-on :
– la valeur du premier terme u0?
– la fonction ftelle que un+1=f(un) ?
b. Les lignes 11 à 15 correspondent
à une boucle conditionnelle.
– préciser le test qui conditionne cette boucle.
– à quelle condition sort-on de cette boucle ?
c. Utiliser cet algorithme pour déterminer à partir de
quel indice n,unappartient :
– à ]5,99 ; 6,01[
– à ]6−10−5; 6 +10−5[
d. La suite (un) est définie par u0=1 et pour tout entier
naturel n>1, un+1=un
3+2
Conjecturer le sens de variation de la suite
et sa limite éventuelle L.
Déterminer à partir de quel indice n,
on obtient une valeur approchée de Là 0,001 près.
Algorithme 5 : Utilisation d’une fonction numérique
VARIABLES
nEST_DU_TYPE NOMBRE
rEST_DU_TYPE NOMBRE
uEST_DU_TYPE NOMBRE
LEST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
uPREND_LA_VALEUR 1
nPREND_LA_VALEUR 0
LIRE L
LIRE r
TANT_QUE (u<=L-r ou u>=L+r) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
uPREND_LA_VALEUR F1(u)
nPREND_LA_VALEUR n+1
FIN_TANT_QUE
AFFICHER "Le terme u"
AFFICHER n
AFFICHER " appartient à ]L−r;L+r[."
FIN_ALGORITHME
Fonction numérique utilisée : F1(x)=x
2+3
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TS. Algorithmique 1- Suites et récurrence
7Approximation du nombre π
Principe de la méthode d’encadrement
2On inscrit, dans un quart de disque de rayon 1, nrectangles de même largeur 1
n.
2On conçoit qu’en augmentant le nombre nde rectangles, l’aire totale de ces rectangles est de plus en plus proche
de l’aire π
4du quart de disque.
2On en déduit un algorithme pour obtenir une approximation du nombbre π.
A - Expression de l’aire des rectangles
Sur le dessin, on a représenté, dans un repère orthonormé,
le quart de disque de rayon 1 dont les point ont des coor-
données (x;y) positives.
On a partagé le rayon [O A] en 10 segments de même lon-
gueur, puis dessiné les rectangles comme indiqué sur la fi-
gure. On note S10 la somme des aires de ces rectangles.
On notera ainsi Sn(n≥2) la somme des aires des rectangles
associés à un partage du rayon [OA] en nsegments de
même longueur.
1. Justifier que l’équation y=p1−x2, avec x∈[0 ; 1],
caractérise l’appartenance d’un point M(x;y) à l’arc
de cercle
_
AB.
2. Exprimer alors S10 puis Sn
x
y
0 1
0
1
A
B
1
10 5 10
B - Utilisation d’un algorithme
Dans l’algorithme ci-contre écrit avec ALGOBOX :
– la ligne 7 correspond au choix du nombre nde segments
de même longueur utilisés dans le partage du segment
[OA] ;
– le calcul de Snest effectué dans la boucle (lignes 9 à 12).
1. a. Que reconnaissez-vous ligne 16 ?
b. Qu’obtient-on à l’affichage ?
2. a. Calculer Snpour des valeurs de nde plus en
plus grandes (jusqu’à 100 000)
b. Donner la précision obtenue pour n=1 000.
c. Pour obtenir une approximation du nombre π,
Archimède (IIIesiècle avant J.-C.) a utilisé deux
polygones réguliers de 96 côtés : l’un inscrit
dans le cercle, l’autre circonscrit au cercle, ce
qui lui a permis d’obtenir l’encadrement
3+1
7<π<3+10 71
3. Comparer votre résultat avec la précision obtenue
par Archimède.
Algorithme 6 : Approximation du nombre π
VARIABLES
nEST_DU_TYPE NOMBRE
sEST_DU_TYPE NOMBRE
iEST_DU_TYPE NOMBRE
AEST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
SPREND_LA_VALEUR 0
POUR iALLANT_DE 1An−1
DEBUT_POUR
SPREND_LA_VALEUR S+(1/n)∗F1(i/n)
FIN_POUR
APREND_LA_VALEUR 4∗S
AFFICHER A
FIN_ALGORITHME
Fonction numérique utilisée : F1(x)=p1−x∗x
m4