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Chapitre 12 PARALLÉLOGRAMMES
PARTICULIERS
1°/ Le rectangle
Définition : Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont
perpendiculaires.
Remarque : Un rectangle est un parallélogramme
Démonstration : Soit ABCD un rectangle.
 On sait que : (AB)  (BC) et (CD)  (BC)
 Si deux droites sont perpendiculaires à une
même troisième alors elles sont parallèles
entre elles.
 Donc (AB) // (CD)
 De même : (AB)  (BC) et (AD)  (AB) donc (AD) // (BC).
 ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont
parallèles. C’est donc un parallélogramme. ■
Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle,
alors : - ses côtés opposés sont parallèles
- ses côtés opposés ont la même longueur
- ses diagonales ont le même milieu
- ses diagonales ont la même longueur
- ses angles sont droits
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle on utilise les propriétés suivantes :
Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales de
même longueur et qu’elles se coupent
en leur milieu, alors c’est un rectangle.
Propriété : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur,
alors c’est un rectangle.

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C
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Propriété : Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Démonstration :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O tel que ;ABC = 90°.
 Deux angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure
donc : ;ABC = ;CDA = 90°.
 Montrons que : ;BCD = 90°
 ;ABD et ;CDB sont symétriques par rapport à O donc ils ont la même
mesure donc : ;ABD = ;CDB.
 ;DBC et ;BDA sont symétriques par rapport à O donc ils ont la même
mesure donc : ;DBC + ;BDA.
 Donc ;DBC + ;CDB = ;BDA + ;CDB or ;BDA
+ ;CDB = ;CDA = 90° donc : ;DBC + ;CDB = 90°.
 Dans le triangle BDC, la somme des mesures des angles est égale à 180°
donc : ;DBC + ;CDB + ;BCD = 180°
;BCD = 180° - ( ;DBC + ;CDB )
;BCD = 180° - 90°
;BCD = 90°.
 Deux angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure donc :
;DAB = ;BCD = 90°.
 les 4 angles sont droits donc ABCD est un rectangle. ■
2°/ Le losange
Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Remarque : Comme ses côtés opposés sont de même longueur le losange est un
parallélogramme.
Propriété : Si un quadrilatère est un losange,
alors :- ses côtés opposés sont parallèles
- ses diagonales ont le même milieu
- ses diagonales sont perpendiculaires
- ses côtés sont tous de même longueur

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A
B
C
O
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A B
C
O
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un losange on utilise les propriétés suivantes :
Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui
se coupent perpendiculairement en
leur milieu
alors c’est un losange.
Démonstration :
 Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales se coupent
perpendiculairement en leur milieu
 (AC) coupe [BD] perpendiculairement en son milieu. (AC) est donc la
médiatrice de [BD].
Donc AB = AD et CB = CD
 De même (BD) est la médiatrice de [AC]
Donc BA = BC et DA = DC
 D’où AB = BC = CD = DA ABCD est donc un losange. ■
Propriété : Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires, alors c’est un losange
Propriété : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur,
alors c’est un losange.
3°/ Le carré
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré il faut montrer que c’est à la fois un rectangle
et un losange.

III/ RÉCAPITULATIF
qui a deux côtés consécutifs qui a deux côtés consécutifs
perpendiculaires est un de même longueur est un
RECTANGLE
qui a des diagonales de qui a de diagonales
même longueur est un perpendiculaires est un
PARALLÉLOGRAMME CARRÉ
qui a des diagonales qui a des diagonales de
perpendiculaires est un même longueur est un
LOSANGE
qui a deux côtés consécutifs qui a deux côtés consécutifs
de même longueur est un perpendiculaires est un