1 - le spectre du corps noir - loi de planck

La couleur est influencée par la lumière qui l’éclaire. Il est indispensable de définir précisément les
sources lumineuses.
Max Planck a démontré que le spectre lumineux d’un corps noir ne dépend que de sa température.
On appelle corps noir un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit. C’est pratiquement le
cas des corps incandescents.par la température du corps qui donne un rayonnement équivalent. La
température TC du corps noir est appelée la température de couleur de la source lumineuse
Le corps noir est un modèle physique utilisé pour représenter les émissions électromagnétiques
(infrarouge, lumière) d'un objet en fonction de sa température. En effet, lorsque l'on chauffe un objet
au delà de plusieurs centaines de degrés Celsius, celui-ci devient rouge, puis blanc, émettant lui-même
de la lumière (c'est d'ailleurs le principe des ampoules à filament de tungstène).
Le corps noir est un objet solide qui absorbe toutes l'énergie électromagnétique qu'il reçoit, sans en
réfléchir - la lumière étant une onde électromagnétique, elle est absorbée totalement donc l'objet
apparaît noir, d'où son nom. Il n'est fait aucune hypothèse sur la matière dont est fait l'objet. L'objet
qui se rapproche le plus de ce modèle est l'intérieur d'un four ; en effet, on observe la surface de
l'objet, peu importe que celle-ci soit à l'extérieur ou bien soit une cavité intérieure. C'est d'ailleurs un
four qui fut utilisé par Wien pour déterminer les lois d'émission électromagnétique en fonction de la
température.
Car en effet, le corps noir rayonne de l'énergie : puisqu'il absorbe toute l'énergie électromagnétique
qu'il reçoit, il doit nécessairement en céder, sinon, sa température augmenterait sans cesse. La
caractéristique principale est que le spectre de l'énergie rayonnée (c'est-à-dire la répartition de la
quantité d'énergie en fonction de la longueur d'onde) ne dépend que de la température et de rien
d'autre.
Cette émission est due à l'agitation des atomes. En effet, la température mesure l'agitation des atomes
(ceux-ci "oscillent" autour de leur position). Ce faisant, chaque atome se comporte comme un dipôle
vibrant (dipôle formé par le noyau et le nuage électronique), qui rayonne donc de l'énergie.
La CIE a défini 3 références des sources lumineuses pour les besoins des mesures colorimétriques à
partir d’une lampe à filament de tungstène à laquelle on ajoute différents filtres bien définis :
 2850K
 4800K
 6500K
Nous savons bien que la température a une certaine relation avec le rayonnement : plus un feu est
chaud, plus il émet une lumière intense. Ce que nous entendons par température est en fait
l'importance de l'agitation des molécules qui constituent le liquide contenu dans le thermomètre qui la
mesure, cette agitation étant transmise par le milieu dans lequel on a plongé le thermomètre. La
température d'un milieu décrit donc l'énergie d'agitation des particules qui constituent ce milieu : plus
un gaz est chaud, plus les atomes ou les molécules de ce gaz sont animés de vitesses élevées. On
qualifie parfois la température ainsi définie de "température cinétique", car elle est une mesure de
l'énergie cinétique des particules du gaz supposé parfait.
Nous nous limiterons dans la suite à l’étude d’un corps noir gazeux.
La matière est capable d'émettre ou d'absorber de la lumière. Les caractéristiques du rayonnement
émis ou absorbé, telles que par exemple sa longueur d'onde ou son intensité, dépendent en général de
nombreux facteurs liés à l'état physico-chimique de la matière. L'un de ces facteurs est la température,
mais la composition chimique ou la pression du gaz jouent également un rôle important.
1 - LE SPECTRE DU CORPS NOIR - LOI DE PLANCK
Dans le cas d'un corps opaque, totalement isolé et maintenu à température constante, la
distribution spectrale de la lumière qu'il émet, ou absorbe, ne dépend que de la température du corps.
Un tel corps est connu sous le nom de "corps noir". Les lois caractérisant l'état de la lumière dans un
corps noir ont été établies à la fois expérimentalement et théoriquement. Elles caractérisent la
luminance spectrale énergétique de la source en fonction de la longueur d'onde, la longueur d'onde
pour laquelle cette luminance est maximale et la puissance totale rayonnée dans toutes les longueurs
d'onde. Chacune de ces grandeurs fait intervenir un seul paramètre physique qui est la température du
corps noir.
On définit la luminance spectrale énergétique  d'un champ de rayonnement, dans une direction
donnée, à partir de l'énergie dE transportée dans cette direction par le rayonnement de longueur
d'onde compris entre  et  + d, dans l'intervalle de temps dt, à travers un élément de surface dS
perpendiculaire à la direction et dans un angle solide d, en écrivant :
dE = I() dS dt d d
La luminance spectrale l() ainsi définie ne dépend plus, pour un rayonnement de corps noir, que de
la température T et de la longueur d'onde selon une loi établie par Planck et qui porte son nom :
I() = (2hc2/5)/[ehc/kT-1]
où h, k et c sont des constantes universelles, respectivement la constante de Planck (h = 6,62 x 10-34 J
s), la constante de Boltzmann (k = 1,38 x10-23 J K-1) et la vitesse de la lumière dans le vide. Il s'agit
donc d'un spectre continu.
Ce qu'il convient essentiellement de retenir dans cette loi, c'est que les courbes décrivant la lumière
spectrale de corps noirs à différentes températures (en fonction de la longueur d'onde) ont toutes la
même forme et sont "emboîtées" les unes dans les autres
La luminance spectrale énergétique I
est donnée en fonction de la longueur d'onde
pour trois corps noirs de températures 4000K, 5000K et 6000K
On notera que la luminance d'un corps noir est d'autant plus grande que la température est plus élevée.
La loi de Planck montre également que le rayonnement du corps noir est le même dans toutes les
directions : il est isotrope.
On voit d'après la loi de Planck que lorsque la température est basse, la plupart du spectre se trouve
dans les infrarouges, l'objet n'émet pas de lumière visible. Lorsque la température s'élève, la couleur
commence par devenir rouge (le spectre d'émission "pénètre" dans la partie visible par les grandes
longueurs d'onde), puis devient blanc (le spectre s'étale sur tout le spectre visible). C'est pour cela que
le Soleil émet une lumière blanche (il est à 5 800 K) - il nous paraît jaune car la partie bleue de son
spectre est diffusée par le ciel.
L'analyse du spectre émis par un objet permet d'ailleurs de calculer sa température, ceci est utilisé
comme mode de contrôle industriel, ou bien pour déterminer la température des étoiles.
Notons qu'un objet se comporte rarement comme un corps noir, car il réfléchit une partie de l'énergie
électromagnétique et en transmet une autre partie , il n'absorbe pas tout. Par ailleurs, les atomes ont
aussi un mode d'émission propre de photons, les raies caractéristiques (ce phénomène est utilisé pour
l'analyse chimique en spectrométrie d'émission, de fluorescence et d'absorption) ; la couleur dépend là
de la nature chimique de l'objet.
2 - RELATION TEMPÉRATURE - COULEUR : LOI DE WIEN
La courbe représentative de la loi de Planck, I (), en fonction de  à température constante passe par
un maximum, ce qui veut dire qu'un corps noir, bien qu'il rayonne dans toutes les longueurs d'onde,
émet préférentiellement dans un domaine particulier. La longueur d'onde m qui correspond au
maximum de rayonnement, est inversement proportionnelle à la température Kelvin T :
m T = 2,9 x 10-3 m . K.
Cette relation s'écrit souvent sous une forme plus commode, en exprimant la longueur d'onde en
microns :
m T = 2900 m. K.
Elle porte le nom de loi de Wien, du nom du physicien qui l'avait mise en évidence
expérimentalement, avant que la loi de Planck soit établie.
On peut comprendre qualitativement son origine : dans un milieu en équilibre, par le jeu des
absorptions et des émissions successives de lumière par la matière, les photons, dans leur majorité, ont
la même énergie que celle qui caractérise les particules matérielles ; cela montre que
h = hc/
est de l'ordre de kT, ce qui entraîne que  varie comme l'inverse de T.
Ainsi, à faible température, le maximum de rayonnement se produit pour de grandes longueurs d'onde
; à plus haute température, il se déplace vers des longueurs d'onde plus courtes. A la température
ambiante d'une pièce, le rayonnement thermique, qui provient des murs ou des objets disposés dans la
pièce, se produit essentiellement dans l'infrarouge lointain : pour une température de l'ordre de 300 K,
on voit que le maximum du rayonnement est émis vers 10 m. Ce n'est qu'à des températures
beaucoup plus élevées qu'un corps rayonne à des longueurs d'onde assez courtes pour que le
rayonnement soit visible.
3 - RELATION ENTRE LA PUISSANCE TOTALE RAYONNÉE, LA
TEMPÉRATURE ET LA SURFACE : LOI DE STEFAN
La puissance totale L rayonnée par un corps noir dans toutes les longueurs d'onde et dans toutes les
directions est proportionnelle à sa surface S et à la quatrième puissance de sa température :
L =  S T4
Cette loi porte le nom de loi de Stefan. Si deux étoiles ont la même température superficielle, c'est la
plus grosse qui rayonne la plus grande puissance. Si deux étoiles ont même rayon et si l'une a une
température deux fois plus élevée, elle rayonne un puissance 16 fois plus grande. C'est cette
dépendance importante en fonction de la température qui explique la grande luminosité des étoiles en
dépit de leurs dimensions relativement modestes : elles sont aussi brillantes parce qu'elles sont
chaudes. Par exemple, le Soleil a un rayon cent fois plus grand environ que celui de la Terre et une
température superficielle à peu près 20 fois plus élevée. Il rayonne donc 1,6 x 109 fois plus que la
Terre ; s'il était à la même température, sa puissance rayonnée ne serait plus que 10 000 fois celle de la
Terre, compte tenu de la valeur plus grande de son rayon.
La loi de Stefan est un outil précieux pour l'astronome, car elle permet d'évaluer le rayon des étoiles.
En effet, si l'on sait mesurer l'énergie totale rayonnée chaque seconde par l'étoile (que les astronomes
appellent sa luminosité) et déduire sa température de la loi de Wien (par l'observation de son spectre et
la détermination de lm), on peut en déduire sa surface S, donc son rayon. Il faut cependant remarquer
que la loi de Stefan fait intervenir la puissance globale rayonnée par l'étoile dans tous les domaines de
longueur d'onde, y compris ceux situés en dehors du domaine visible. Il ne suffit donc pas de mesurer
la puissance rayonnée par une étoile dans le visible. Si l'étoile rayonne comme un corps noir, on peut
évaluer la proportion d'énergie qu'elle rayonne en dehors du domaine visible, en fonction de sa
température. La puissance totale rayonnée par l'étoile est proportionnelle à l'aire comprise entre la
courbe des variations de I() et l'axe des longueurs d'onde. Cette proportion varie beaucoup avec la
température. Une étoile très bleue, donc très chaude, rayonne surtout dans l'ultraviolet ; au contraire,
une étoile rouge, donc relativement froide, rayonne surtout dans l'infrarouge. Il est donc important de
disposer d'observations dans toutes les gammes du spectre.
En résumé,
La plupart des sources de lumière sont chaudes ; elles émettent de la lumière par
incandescence. La lumière émise est composée d'une plage étendue de longueurs d'onde. La
répartition énergétique des ondes émises selon leur longueur d'onde ne dépend que de la
température de la source.


La quantité d'énergie émise par une source est passe par un maximum pour une
longueur d'onde particulière  max. Celle-ci ne dépend que de la température absolue T
de la source et ne dépend pas de la matière avec laquelle elle est constituée..
C'est loi de Wien :  max = 2,9 .10-3 /T
Une source à température double émet à une longueur d'onde deux fois plus petite. Les
sources chaudes émettent plus de bleu que les sources froides.
Une source à 20 °C (293 K) émet surtout des infrarouge (maximum aux environ de 10
µm =10 .10-6m = 2,9 .10-3/293), une source à 5450 °C (5723 K) émet de la lumière
visible avec un maximum à 0,5 µm = 0,5 .10-6m = 2,9 .10-3/5273 (lumière verte).
Plus la source est à température élevée, plus la densité d'énergie lumineuse (la quantité
d'énergie par m 3 )est importante.
C'est la loi de Stephan-Boltzmann u(T) = 5,69 10 -8.T4.
Une source 1 à température double d'une source 2 a une densité d'énergie 16 fois plus
grande.
 La lumière émise par le Soleil (température de surface de 5700°C) est principalement
constituée de lumière visible et de proche infrarouge ( plus petit que 4 µm ) alors que la
Terre (température de surface 20°C) émet plutôt des infra rouge "thermiques" ( plus
grand que 4 µm )
 Une photo satellite en lumière visible montre ce qui est réfléchie et diffusé par la Terre et
les nuages de l'éclairage du Soleil ; une photo en infra rouge thermique, elle montre ce qui
est émis par la surface de la Terre.
 Le corps humain, de surface 0,33 m2 à 37°C soit 310 K émet une puissance de
0,33*5,69.10-8*(310)4 = 173 watts soit plus qu'une lampe à incandescence !... mais en
infrarouge  vers 10µm de longueur d'onde.
Aspect historique
Au début des travaux sur le corps noir, les calculs de l'énergie totale émise donnait un résultat
surprenant : l'objet émettait une quantité infinie d'énergie ! Comme l'énergie calculée croissait
lors de l'intégration du spectre pour les longueurs d'ondes courtes, on a appelé cela la
"catastrophe ultraviolette". Max Planck en a conclu que le modèle utilisé pour calculer
l'énergie totale était erroné, et proposa un autre modèle en 1900 : l'énergie n'est pas émise de
manière continue, mais par paquets dont la taille E dépend de la longueur d'onde :
E = h.c/λ
cela lui valu le prix Nobel de physique en 1918. La découverte de cette quantification des
échanges d'énergie fut un des fondements de la physique quantique ; notamment, mis en
corrélation avec les travaux de Hertz sur l'effet photoélectrique, cela permis à Einstein
d'inventer le concept de photon en 1905, qui lui valu son prix Nobel de physique en 1921.