Introduction : Dans cette leçon nous allons étudier les

PHYSIQUE TS
EVOLUTION DES SYSTEMES ELECTRIQUES
LE DIPOLE RC
Introduction : Dans cette leçon nous allons étudier un nouveau dipôle électrique qui permet
d’emmagasiner de l’énergie sous forme de charge électrique. Ce dipôle s’appelle un
condensateur. Il permet de restituer une importante quantité d’énergie dans un court laps de
temps. (Flash d’appareil photographique, Laser à très haute puissance …)
I] Le condensateur :
1) Définition
Un condensateur comporte deux armatures conductrices (plaques métalliques planes et
parallèles) séparées par un isolant appelé diélectrique. Représentation symbolique :
2) Relation charge et intensité pour un condensateur.
L’intensité est un débit de charges électriques. Si pendant la durée dt, une armature reçoit une
quantité d'électricité dq, l'intensité i du courant est :
i
dq
dt
Conclusion : l’intensité du courant qui arrive sur une armature d’un condensateur est la
dérivée par rapport au temps de la charge électrique portée par cette armature.
3) Charge d’un condensateur.
Si l’on réalise le montage suivant associant un générateur de courant constant avec un
condensateur :
Quelles sont les charges des armatures A et B ?
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A chaque instant les charges négatives viennent s'accumuler sur l'armature B (comme
de l'eau dans un réservoir), alors ces électrons négatifs repoussent, à distance, les
électrons libres de l'armature métallique A, laquelle se charge positivement. La
charge globale du condensateur reste toujours nulle. Par conséquent, les charges des
armatures A et B sont constamment égales mais de signe opposé :
qA = - qB (en Coulomb)
Cette différence de charge produit une tension électrique entre les bornes du condensateur. En
représentant la courbe uAB = f ( t ), nous obtenons une droite :
Exploitation des mesures :
Le graphe obtenu montre que la tension est une fonction linéaire du temps. On peut
écrire :
uAB = K . t
Ici, le générateur est un générateur de courant constant. Ce générateur possède un
débit constant de charges électriques (des électrons négatifs s'accumulent sur
l'armature B, des charges positives s'accumulent sur l'armature A). On peut donc écrire
:
qA = i . t
Les relations précédentes permettent d'écrire, en éliminant le temps t :
qA / uAB = i . t / K . t = i / K = Constante. Posons i / K = qA / uAB = C
qA = C . uAB
Le coefficient C, positif, est appelé capacité du condensateur. Il dépend de la
géométrie du condensateur et de la nature de l'isolant. On l'exprime en Farad (F)
lorsque qA est en coulomb (C) et uAB en volt (V).
Application numérique : Dans l'exemple ci-dessus, nous trouvons comme coefficient
directeur de la droite uAB = K . t
K = 3 / 0,06 = 50 V / s
Avec i = 2,0 mA = 0,002 A, il vient :
C = i / K = 0,002 / 50 = 0,000040 F
C = 4,0  10 - 5 F = 40 F
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4) Energie stockée dans un condensateur.
Un condensateur emmagasine de l'énergie lorsqu'on le charge. Cette énergie
est restituée lors de la décharge de ce condensateur. En classe terminale, nous
admettrons que l'énergie d'un condensateur chargé est :
W AB = ½ C u²AB D'après la relation qA = C . uAB , on peut aussi écrire :
WAB =1/2q² / C = ½ qA . uAB
(avec qA > 0 )
Démonstration a l’aide de la relation P= U*I et P 
dW
:
dt
- relation charge intensité du courant :
i.dt = dq
- on multiplie les deux membres par u :
u.i.dt = u.dq
- définition du travail électrique :
u.i.dt = p.dt = dWe = u.dq
- relation charge tension pour un condensateur :
dWe = u.dq = u.d (C.u) =
1
.C.d (u²)
2
- la tension aux bornes du condensateur croit de 0 à u durant la charge :
u
1
1
We   . C. d (u²)  . C. u²
2
2
0
5) Tableau récapitulatif :
Armature A
Armature B
Relation A et B
qA = C uAB
qB = C uBA
qB = - qA
iAB = dqA / dt = C duAB / dt
iBA = dqB / dt = C duBA / dt
iBA = - iAB
W AB =
W BA =
C u²AB
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C u²BA
W BA = W AB
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II] Le dipôle RC :
1) Charge d’un condensateur par échelon de tension.
On associe en série un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance R.
L’ensemble constitue un dipôle RC. On étudie la charge du condensateur lorsque la tension
augmente brusquement de 0 à E (en Volt). On dit que le dipôle est soumis à un échelon de
tension.
Lorsque l’on relie l’interrupteur au
générateur le dipôle RC ne se charge pas
instantanément : la charge du condensateur
est un phénomène transitoire.
Durant le régime transitoire la tension UAB
croit. Le régime permanent est atteint
lorsque la tension UAB est constante et
l’intensité est nulle.
2) Constante de temps
La constante de temps τ d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à l’origine
coupe l’asymptote horizontale. Elle caractérise la rapidité de la charge.
On montre que τ=RC .
L’analyse dimensionnelle du produit de R et C montre que celui-ci est homogène à une
durée : [RC]=[U] [I]-1 [I] [T] [U]-1 => [RC]=[T] ou bien
u

R.C   R . q    q    i.dt   [t]
 i uC   i   i 
Remarque :
 Plus R est grande, plus UAB met de temps pour tendre vers E.
 Plus C est grande, plus UAB met de temps pour tendre vers E.
  peut être déterminé graphiquement par 2 méthodes différentes:
Méthode de la tangente à l'origine
Méthode des 63% :  temps correspondant à UAB = 0,63 E
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3) Etude théorique de la charge.
Si le générateur possède une f.e.m. de valeur E . Lorsque l’on place l’interrupteur dans la
position 1, le condensateur se charge.
Loi d'additivité des tensions du circuit :
uR + uC = E
Loi d'Ohm pour la résistance : uR = R . i
Relation charge intensité : i = dq / dt
Relation charge tension q = C.uC 
dq/dt = C.duC/dt
et
uR = R.C.duC/dt.
Equation différentielle :
R.C.duC/dt + uC = E
En posant τ=RC nous obtenons : E  Uc   
dUc
dt
Vérifions que uC(t) = E.( 1- e-t/RC) est solution de l’équation différentielle en remplaçant
l’expression de uc(t) dans l’équation différentielle :
Remarque :
Après une durée de 5τ le condensateur est chargé à 99%.
Le temps de demi-chage est : t1 / 2    ln 2
Expression de l’intensité i(t) :
Comme i = dq / dt et q=cu alors :
du
iC C 
dt
Donc
i (t ) 
E
 t
.exp   
R
 
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4) Décharge d’un condensateur.
Lorsque l’on relie l’interrupteur à la position 2 , le condensateur se décharge dans la
résistance :
Interprétation des observations :
Durant le régime transitoire la tension UAB décroît. Le condensateur se décharge dans la
résistance. Quand le régime permanent est atteint UAB=0 et i est quasi nulle (au bout de 5τ).
Loi d'additivité des tensions du circuit :
uR + uC = 0
Loi d'Ohm pour la résistance : uR = R . i
Relation charge intensité : i =dq / dt
Relation charge tension q = C.uC  dq/dt = C.duC/dt
 . duc / dt + uc = 0
admet comme solution :
Expression de l’intensité i(t) :
Comme i =dq / dt et q=cu alors :
Donc :
i(t )  
E
R

 t
exp   





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
 t
u (t )  E exp  
 




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Résumons nous :
Echelon de tension :
Evolution de la tension aux bornes du
condensateur :
Evolution de l’intensité dans le circuit :
Réponse du condensateur :
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ACTIVITE : CHARGE ET DECHARGE D’UN CONDENSATEUR
1) Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance
R.
Le générateur placé entre PM possède une f.e.m. E. Sa résistance interne est négligeable.
a) A la date t = 0 s, on relie K à P. Montrer que l’équation différentielle reliant uAB à t s'écrit :
RC duAB / dt + uAB = E
ou encore :
τ. duAB / dt + uAB = E
en posant τ=RC
Montrer que, dans le système international d'unités, la constante τ s'exprime en seconde.
b) Vérifier que la solution de l'équation différentielle ci-dessus est
uAB = E 1 - exp ( - t /  ) .
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c) Tracer l'allure de la courbe représentant uAB = E 1 - exp ( - t /  )  Déterminer
littéralement les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine et de
l'asymptote à la courbe.
d) Calculer la constante de temps du circuit  = RC avec R = 10 k et C = 0,5 F.
Calculer la tension uAB aux dates t1 = , t2 = 5  et lorsque t devient très grand. On donne E
= 100 V.



2) Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.
Le condensateur étant chargé, on relie K à D à la date t = 0 lue sur un nouveau chronomètre.
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a) Etablir la nouvelle équation différentielle reliant uAB à t.
b) Vérifier que la solution est uAB = Uo exp ( – t /  ).
Calculer la tension si t1 = o, si t2 = 5 , si t tend vers l'infini.
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