Les suites

- 1 - Chapitre 4 : BTS 2 électrotechnique
Chapitre 4
Les suites
I Notion de suite
A] Définition d’une suite
Faire des exemples
Définition :
Une suite u ou (un) est une fonction qui à tout entier n associe un nombre u(n), noté un.
Remarque :
u0 ou up est le terme initial de la suite suivant que la suite commence à 0 ou p.
Vocabulaire :
On dit que un est le terme général de la suite (un).
n est l’indice de un.
un+1 est le terme qui suit un.
un–1 est le terme qui précède un.
Exemples :
u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, …
v0 = – 1 , v1 = 1, v2 = – 1, v3 = 1,….
B] Mode de génération d’une suite et représentation graphique
1) Génération d’une suite
Une suite est une liste de nombres, mais on peut parfois la définir à l’aide d’une formule.
Voyons deux modes de génération.
 Formule explicite : un = f(n) quand le terme est fonction de l’indice.
 Formule de récurrence : un+1 = f(un) lorsque le terme est fonction du terme précédent,
il faut alors aussi préciser le terme initial.
Exemples :
 f(x) = 2x² – 1 et un = f(n).
 vn + 1 = 2vn + 1
v0 = – 1
2) Représentation graphique
Exemples :
Représenter graphiquement les cinq premiers termes de (un) et (vn).
Exercices 1, 2, 3 et 5p62.
C] Sens de variation
Définition :
Soit (un) une suite.
On dit que :
 (un) est croissante lorsque pour tout n, on a un+1 un ( ou un+1 – un 0).

- 2 - Chapitre 4 : BTS 2 électrotechnique
 (un) est décroissante lorsque pour tout n, on a un+1 un ( ou un+1 – un 0).
Exemples :
 un = n², n IN.
 vn =
Error!
, n IN.
Méthodes :
 Etudier le signe de un+1 – un.
 Pour un suite du type un = f(n), on étudie les variations de f sur IR*,
 Si f est croissante sur IR+*, alors (un) est croissante.
 Si f est décroissante sur IR+*, alors (un) est décroissante.
 Pour une suite dont tous les termes sont tous strictement positifs, on peut comparer
Error!
à 1 :  Si
Error!
1, alors la suite est croissante.
 Si
Error!
1, alors la suite est décroissante.
Théorème :
Si f est une fonction croissante (respectivement décroissante) sur IR+, alors la suite de terme
général f(n) est croissante (respectivement décroissante).
D] Suite majorée, minorée, bornée
Définition :
 La suite ( ) un est majorée, s’il existe un réel M tel que, pour tout n, un M.
 La suite ( ) un est minorée, s’il existe un réel m tel que, pour tout n, un m.
 La suite ( ) un est bornée, si elle est majorée et minorée.
Exemple :
* La suite définie par un =
Error!
est minorée par 0.
* La suite définie par vn = 1 +
Error!
est majorée par 2.
II Suite arithmétique
A] Définition
Faire des exemples.
u0 u1 u2 u3 u4 un un+1
Définition :
Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même
nombre r appelé la raison. Donc pour tout n entier naturel on a un+1 = un + r
Exemple :
r = – 2 et u0 = 5
Méthode :
Si la différence un+1 – un est une constante, alors la suite est arithmétique de raison cette
constante.
B] Formule explicite en fonction de n
Explication :
Traiter u0, u1, u2, u3, u4, pour faire deviner un = u0 + nr
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
Alors un = u0 + n r
Exemple :

- 3 - Chapitre 4 : BTS 2 électrotechnique
Donner le terme général de la suite de l’exemple précédent.
C] Sens de variation
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
 Si r 0, alors (un) est croissante.
 Si r 0, alors (un) est décroissante.
Démonstration :
Soit n un entier naturel.
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
On sait que un+1 = un + r
Donc un+1 – un = r ; C’est pourquoi si r 0 on a un+1 – un 0, donc (un) est croissante.
C’est pourquoi si r 0 on a un+1 – un 0 donc (un) est décroissante.
D] Somme des premiers termes d’une suite arithmétique
1) Calcul de 1 + 2 + 3 + …+ n
Propriété :
S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n =
Error!
.
Démonstration :
A faire comme Gauss.
Exemples :
Calculer :
 S = 1 + 2 + 3 +…+ 500.
 S’ = 1 + 2 + 3 +…+ 1 000.
2) Somme des premiers termes d’une suite arithmétique
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
S = u0 + u1 + u2 + …+ un =
Error!
.
=
Error!
.
Démonstration :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
Pour tout k entier naturel on a : uk = u0 + kr.
Donc S = u0 + ( u0 + r) + (u0 + 2r) + … + (u0 + nr).
D’où S = (n+1)u0 + r ( 1 + 2 + 3 + …+ n).
Donc S = (n+1)u0 + r
Error!
.
Ainsi S = (n+1) ( u0 +
Error!
).
D’où S =
Error!
.
Or 2u0 + nr = u0 + u0 + nr = u0 + un car un = u0 + nr.
Ainsi S =
Error!
.
Exercice 7p62.
III Suite géométrique
A] Définition
Faire des exemples.
u0 u1 u2 u3 u4 un un+1

- 4 - Chapitre 4 : BTS 2 électrotechnique
Définition :
Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le
même nombre non nul q appelé raison de la suite.
Exemple :
u0 = 2 et q = 3.
B] Formule explicite
Explication :
Traiter avec u0, u1, u2, u3, u4, .
Propriété :
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.
Pour tout n entier naturel on a : un = u0 qn.
Exemples :
Exprimer le terme général des suites suivantes :
 u0 = 2 et q = 5.
 v0 = – 1 et q = 2.
 w0 = 3 et q = 2.
C Sens de variations
Propriété :
Soit une suite géométrique de raison q.
 Si q > 1, alors la suite est croissante.
 Si 0< q < 1, alors la suite est décroissante.
 Sinon la suite n’est pas monotone.
D] Calcul de la somme des premiers termes d’une suite géométrique
1) Calcul de 1 + q + q² + …+ qn
Propriété :
S = 1 + q + q² + …+ qn
Si q = 1, alors S = n+1.
Si q 1, alors S =
Error!
=
Error!
.
Démonstration :
Si q = 1, alors S = 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n+1.
Si q 1 :
Calculons S – qS = 1 – qn+1 = ( 1 – q ) S.
Donc S =
Error!
.
Exemple :
Calculer S = 1 + 2 + 2² + …+ 263.
2) Somme des premiers termes d’une suite géométrique
Propriété :
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.
Si q 1, alors S = u0 + u1 + u2 + …+ un = u0
Error!
= 1er terme
Error!
.
Si q = 1, alors S = u0 (n+1).
Démonstration :

- 5 - Chapitre 4 : BTS 2 électrotechnique
Si q 1 :
S = u0 + u1 + u2 + .. + un.
D’où S = u0 + u0 q + u0 q² + … + u0 qn.
Donc S = u0 ( 1 + q + q² + … + qn ).
Ainsi S = u0
Error!
.
Si q = 1 :
S = u0 + u0 + u0 +… + u0 = (n+1) u0.
Exercices 8 et 9p62.
Exercice 11p63.
IV Limite de suites
A] Limite des suites de terme générale n, n2, n3 et n
Propriété :
Error!
n =
Error!
n2 =
Error!
n3 =
Error!Error!
= + .
Exemples :
Donner la limite des suites suivantes :
un = n2 + n + 1.
vn = n3 + n.
Propriété :
Les théorèmes vus dans le chapitre sur les limites de fonctions sont aussi valables pour les
suites.
B] Limite des suites de terme général
Error!
,
Error!
,
Error!
et
Error!
Propriété :
Error!Error!
=
Error!Error!
=
Error!Error!
=
Error!Error!
= 0.
Exemples :
Donner les limites des suites suivantes :
un =
Error!
+
Error!
+ 1 pour n
Error!
*.
vn =
Error!
+
Error!
pour n
Error!
*.
Propriété :
Les théorèmes vus dans le chapitre sur les limites de fonctions sont aussi valables pour les
suites.
C] Limite des suites définies par un = f(n) où f est une fonction définie
sur IR+
Théorème :
Si f admet L comme limite en + , alors
Error!
un =
Error!
f(n) = L. On dit que un converge
vers L.
Exemples :
Donner les limites des suites suivantes :
un =
Error!
.
vn = n3 – n + 2.