Oscillations électriques libres

Oscillations électriques libres
(Sources :photos :P BAUDOUX, lycée Calvin Noyon ; schémas :Fabrice GELY ,Lycée international de Luynes,
Aix en Provence [e-mail])
Un récepteur radio comporte un circuit d’accord constitué d’une bobine et d’un condensateur
de capacité réglable. Quel est l’intérêt d’associer ces deux composants pour ce type
d’appareil?
I-Expérience fondamentale :
Rappel : lors de la décharge d’un condensateur dans une résistance (circuit RC), toute
l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur initialement chargé se dissipe dans la
résistance par « effet Joule ». Cette énergie est perdue pour le circuit !
Mais une bobine est capable d’emmagasiner de l’énergie sous forme magnétique lorsqu’elle
est traversée par un courant .On peut s’attendre à un transfert énergie électrique  énergie
magnétique entre les deux composants.
Réalisons le circuit ci-dessous en réglant R=0 au départ (la seule résistance est celle de la
bobine). Fermons l’interrupteur sur 1 pour charger le condensateur puis rapidement fermons
le sur 2 et observons la tension uC avec un oscilloscope.

La tension uc aux bornes du condensateur à l’allure suivante : elle est sinusoïdale ici de
période T=10ms! Son amplitude diminue faiblement au cours du temps
Dans un tableur, nous pouvons aussi tracer les graphes de l’intensité i(t), des énergies
électriques dans le condensateur et magnétiques dans la bobine en utilisant les formules
suivantes:
dt
duc
C
dt
dq
i.
;
2
..
2
1ucCEélec 
;
2
.
2
1
.iLEmagn 
;
magnélectot EEE 
On obtient les courbes suivantes qui vont permettent d’interpréter le phénomène:

Remarquons que i(t) est aussi sinusoïdale de même période que uc mais elle est déphasée par
rapport à uc.
Interprétation :
A la date t=0(instant de fermeture sur 2), uc=+E, le condensateur est chargé au maximum
L’énergie électrique est maximum. L’intensité est nulle ainsi que l’énergie magnétique.
0<t<2,5s : la tension uc décroît, le condensateur se décharge et son énergie diminue (courbe
bleue).
Au contraire le courant de décharge augmente et la bobine emmagasine de plus en plus
d’énergie magnétique (courbe rouge) .L’énergie du condensateur est transférée dans la
bobine comme on pouvait s’y attendre.
t=2,5s : soit un quart de période du signal, la tension uc s’annule, le condensateur est
complètement déchargé et donc son énergie est nulle .Par contre l’intensité passe par un
maximum dans le circuit et donc l’énergie magnétique dans la bobine est à son maximum.
t=5s : soit une demi-période du signal, le condensateur a récupéré presque toute son énergie.
Celle-ci résulte d’un transfert d’énergie en sens inverse de la bobine vers le condensateur.
La bobine a donc récupéré l’énergie lors de la décharge et se comportant cette fois en
générateur à recharger le condensateur !.
5<t<10s :l’intensité est négative, le courant a changé de sens ce qui permet au condensateur
de se décharger de nouveau puis de se recharger dans l’état où il se trouvait à t=0 !….
Et le cycle recommence…
Les oscillations s’amortissent légèrement, cela résulte bien entendu de pertes d’énergie
inévitables « par effet Joule » dans les conducteurs mais aussi par rayonnement. Le circuit
cède progressivement son énergie totale au milieu extèrieur. Les oscillations cessent lorsque
ETotal=0.

II. Etude théorique du circuit LC (sans résistance):
1-modélisation du circuit et conventions:
Il comprend la bobine considérée sans résistance et d’inductance L en parallèle avec le
condensateur de capacité C.
Le condensateur est supposé initialement chargé. A t=0,il commence a se décharger.
Orientons le circuit et les flèches tension suivant la convention récepteur (flèches tension
opposées au sens d’orientation du circuit)
2-équation différentielle du circuit :
Soit q la charge portée par la 1ère armature rencontrée en décrivant le circuit dans le sens +
Compte tenu de ce choix, on a les relations à la date t :
C
q
uC
;
dt
dq
i
;
2
2
.dtqd L
dt
di
LuL
Et comme : uc+uL=0 alors
0. 2
2
 dtqd L
C
q
ou
0
. CLq
q
Equation différentielle du type :
0.)( 2 qq o
qui est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre :
CL
o.
1
.
La solution de cette équation est : q=Qm.cos(o.t+)
La tension uc =(Qm/C). cos(o.t+).= Um. cos(o.t+). est une fonction sinusoïdale de
période :
CLT
o
..2
2
La phase à l’origine est déterminée suivant les conditions initiales.
A t=0, q=Qm et cos(+)=1 ce qui donne : 
Finalement , la solution en tension s’écrit :u= Um. cos(o.t).
3-vérification du modèle :

Avec les valeurs numériques C=2,5.10-6F et L=1H , la formule théorique de la période donne
T=10ms comme dans l’expérience.
Cette formule indique que si la capacité est divisée par quatre, l’inductance restant constante,
la période T doit être divisée par deux.
De même si l’inductance L est divisée par quatre, la capacité ne variant pas, alors T est aussi
divisé par deux. C’est bien ce que l’on observe expérimentalement.
Pour faire cette vérification avec une simulation, cliquer sur le lien suivant :
Oscillations libres dans un circuit LC:simulation
III- Le circuit LC d’un récepteur radio :
Ce circuit est relié à une antenne qui capte les ondes hertziennes émises par l’émetteur.
Ces ondes génèrent des oscillations dans le circuit. Pour capter les émissions d’un émetteur
particulier il faut « accorder » le circuit LC à l’émetteur, c'est-à-dire lui donner une fréquence
propre d’oscillation égale à la fréquence de l’émetteur.
Cet accord est réalisé en modifiant la capacité du condensateur. Le bouton sélecteur de
stations modifie donc la capacité du condensateur variable (comme celui représenté sur la
photo au début de ce document).