LOI DU CHI-DEUX

IREM DE STRASBOURG
GROUPE STATISTIQUES
LOI DU CHI-DEUX
Définition :
Soit  X i i 1,...,n une suite de variables aléatoires indépendantes normales centrées réduites
(c’est à dire telles que L  Xi   N  0,1 ). La somme des carrés des X i , S 
n
X
2
i
est une
i1
variable aléatoire qui suit une loi du chi-deux à n degrés de liberté.
On note L S  Xn2
Propriétés : Si L S  Xn2 alors E S  n et Var S  2n
Si L  K1   Xn21 et L  K 2   Xn22 et si K1  K2 alors L  K1  K 2   Xn21n 2
Fonctions densité de probabilité de la loi du X n2 pour quelques valeurs de n.
Une situation ou intervient la loi du chi-deux :
Soit  X i i 1,...,n un n-échantillon tel que L  Xi   N  ,   avec  et  inconnus.
Dans ce cas  est estimé par : X 
2
1 n
1 n
2
X
S

Xi  X 
et
par




i
c
n  1 i 1
n i 1
  n  1n Sc 2 
2
 n S2 
1 n
2
2
2
S

X

X
On a alors : L 
ou
encore
avec

X
L

X




i
n

1


n

1
2


n i 1
2
 


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Version du 18/04/17
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GROUPE STATISTIQUES
TEST D’ADEQUATION A UNE LOI
On considère une variable X à r modalités pour laquelle on a une série statistique d’effectifs
 n1, n2 ,..., nr  . On note n  n1  n2  ...  nr l’effectif total.
On se demande si ces observations correspondent à la loi de probabilité définie sur les
mêmes r modalités par les probabilités  p1 , p2 ,..., pr  .
On veut tester H0 : L  X    p1 , p2 ,..., pr  contre H1 : L  X    p1 , p2 ,..., pr 
On définit la statistique du X 2 d’adéquation par :
r
kh  
 ni  npi 
2
npi
Les ni sont les effectifs observés, n  n1  n2  ...  nr est l’effectif total et les npi sont les
i 1
effectifs « théoriques » de chaque modalité.
Propriété : Si l’hypothèse H 0 est vraie alors la statistique kh est la réalisation lorsque
n   et ni   pour i  1,...r d’une variable aléatoire KH telle que L  KH   Xr2 1 .
En pratique , nous utilisons cette loi asymptotique dés que n  50 et npi  5 pour i  1,...r .
Si la condition npi  5 n’est pas remplie on regroupera les modalités voisines pour qu’elle
soit remplie.
Règle de décision :
Pour un seuil  donné, les tables du X 2 nous donnent une constante c0 telle que :
P  X r21  c0    .
Si kh  c0 j’accepte l’hypothèse H 0 au niveau 1  
Si kh  c0 je rejette l’hypothèse H 0 au seuil  .
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Version du 18/04/17
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GROUPE STATISTIQUES
Exemple : souris des villes et souris des champs.
Dans une étude portant sur l’orientation spatiale chez les souris, les animaux de l’expérience
ont été placés un par un au centre d’un labyrinthe radiaire comportant 8 allées orientées
dans les huit directions de la rose des vents. Chaque animal s’est échappé par l’une de ces
allées. Les expériences ont porté d’une part sur des souris de laboratoire et d’autre part sur
des souris sauvages récemment capturées en un lieu situé au nord-est du laboratoire. Les
répartitions des directions de fuite sont données dans le tableau ci-dessous.
Directions
Souris de
laboratoire
17
25
13
28
19
20
22
16
N
NO
O
SO
S
SE
E
NE
Souris
sauvages
26
17
9
2
3
16
33
54
On désire tester, dans le cas des souris de laboratoire d’une part puis dans le cas des souris
sauvages l’hypothèse que le choix de la direction de fuite se fait au hasard.
L’effectif total (160) ainsi que les effectifs théoriques des 8 modalités (20) vérifient les
conditions d’application du test d’adéquation du X 2 .
Directions
N
NO
O
SO
S
SE
E
NE
Souris de
laboratoire
ni
17
25
13
28
19
20
22
16
160
npi
(ni-npi)²/npi
20
0,45
20
20
20
20
20
20
1,25
2,45
3,20
0,05
0,00
0,20
20
0,80
8,40
Souris
sauvages
ni
26
17
9
2
3
16
33
54
npi
(ni-npi)²/npi
20
1,80
20
20
20
20
20
20
0,45
6,05
16,20
14,45
0,80
8,45
20
57,80
106,00
160
Choisissons le seuil de 0.05. Le nombre de degrés de liberté est 8-1=7.
La lecture dans la table du X 2 donne c0  14.07 .
Dans le cas des souris de laboratoire : kh  8.4 est inférieur à c0  14.07 . Les écarts entre
les valeurs observés et les valeurs théoriques ne sont pas significatifs et on accepte
l’hypothèse H 0 au niveau 1   .
Dans le cas des souris sauvages : kh  104 est largement supérieur à c0  14.07 . les écarts
entre les valeurs observés et les valeurs théoriques sont significatifs et on rejette
l’hypothèse H 0 au seuil  .
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TABLE DE LA FONCTION DE REPARTITION DU X 2
Degré Probabilité
0,005
liberté
1
0,00
2
0,01
3
0,07
4
0,21
5
0,41
6
0,68
7
0,99
8
1,34
9
1,73
10
2,16
11
2,60
12
3,07
13
3,57
14
4,07
15
4,60
16
5,14
17
5,70
18
6,26
19
6,84
20
7,43
21
8,03
22
8,64
23
9,26
24
9,89
25
10,52
26
11,16
27
11,81
28
12,46
29
13,12
30
13,79
31
14,46
32
15,13
33
15,82
34
16,50
35
17,19
36
17,89
37
18,59
38
19,29
39
20,00
40
20,71
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0,010
0,00
0,02
0,11
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,20
10,86
11,52
12,20
12,88
13,56
14,26
14,95
15,66
16,36
17,07
17,79
18,51
19,23
19,96
20,69
21,43
22,16
0,025
0,00
0,05
0,22
0,48
0,83
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,28
10,98
11,69
12,40
13,12
13,84
14,57
15,31
16,05
16,79
17,54
18,29
19,05
19,81
20,57
21,34
22,11
22,88
23,65
24,43
0,050
0,00
0,10
0,35
0,71
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,12
10,85
11,59
12,34
13,09
13,85
14,61
15,38
16,15
16,93
17,71
18,49
19,28
20,07
20,87
21,66
22,47
23,27
24,07
24,88
25,70
26,51
0,100
0,02
0,21
0,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,09
10,86
11,65
12,44
13,24
14,04
14,85
15,66
16,47
17,29
18,11
18,94
19,77
20,60
21,43
22,27
23,11
23,95
24,80
25,64
26,49
27,34
28,20
29,05
4/4
0,900
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
10,64
12,02
13,36
14,68
15,99
17,28
18,55
19,81
21,06
22,31
23,54
24,77
25,99
27,20
28,41
29,62
30,81
32,01
33,20
34,38
35,56
36,74
37,92
39,09
40,26
41,42
42,58
43,75
44,90
46,06
47,21
48,36
49,51
50,66
51,81
0,950
3,84
5,99
7,81
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
22,36
23,68
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
38,89
40,11
41,34
42,56
43,77
44,99
46,19
47,40
48,60
49,80
51,00
52,19
53,38
54,57
55,76
0,975
5,02
7,38
9,35
11,14
12,83
14,45
16,01
17,53
19,02
20,48
21,92
23,34
24,74
26,12
27,49
28,85
30,19
31,53
32,85
34,17
35,48
36,78
38,08
39,36
40,65
41,92
43,19
44,46
45,72
46,98
48,23
49,48
50,73
51,97
53,20
54,44
55,67
56,90
58,12
59,34
0,990
6,63
9,21
11,34
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,73
26,22
27,69
29,14
30,58
32,00
33,41
34,81
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
42,98
44,31
45,64
46,96
48,28
49,59
50,89
52,19
53,49
54,78
56,06
57,34
58,62
59,89
61,16
62,43
63,69
Version du 18/04/17
0,995
7,88
10,60
12,84
14,86
16,75
18,55
20,28
21,95
23,59
25,19
26,76
28,30
29,82
31,32
32,80
34,27
35,72
37,16
38,58
40,00
41,40
42,80
44,18
45,56
46,93
48,29
49,65
50,99
52,34
53,67
55,00
56,33
57,65
58,96
60,27
61,58
62,88
64,18
65,48
66,77