Devoir surveillé N°6.

PCSI. 98/99. Physique
Devoir surveillé N°6.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur
AB
sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Planète extrasolaire. Modèle du Soleil.
La partie D est indépendante des trois autres.
Les données numériques sont à la fin du problème.
Soit un système, quelque part dans la galaxie, constitué de deux éléments de masses m1 et m2 que
l’on suppose concentrées en deux points M1 et M2. Chacun des deux éléments n’est soumis qu’à la
force de gravitation exercée par l’autre (le champ de gravitation du reste la galaxie est négligeable).
1. Rappeler l’expression de la force d’interaction gravitationnelle entre le point M1 et M2. On
posera M1M2= r er.
Quelle est l’énergie potentielle Ep(r) correspondante ?
2. Définir le référentiel barycentrique R* du système. Montrer que ce référentiel est, dans le
cadre de notre étude, galiléen.
A. Etude des mouvements de M1 et M2 dans R*.
3. Ecrire les quantités de mouvement p1* = m1v1* et p2* = m2v2* des deux éléments en
fonction de la vitesse relative v = v2* – v1* de M2 par rapport à M1 et de la masse
réduite  de l’étoile double définie par 1
 = 1
m1 + 1 m2 .
4. Ecrire le moment cinétique LG* au point G du système. Constater son équivalence avec
celui d’un objet de masse , de vitesse v et situé en un point M tel que GM=M1M2.
5. Ecrire l’énergie cinétique Ec* du système. Faire un commentaire à la lumière du constat de
la question précédente.
6. Montrer que le mouvement du point M est celui d’une masse ponctuelle  soumise à une
force égale à celle qu’exerce m1 sur m2.
7. Indiquer comment on déduit les trajectoires de M1 et de M2 de celle de M.
B. Etude du mouvement de M.
8. Montrer que la trajectoire de M est plane.
On choisit alors le repère R* de sorte que la trajectoire de M soit située dans le plan z = 0. On
repère enfin le point M par ses coordonnées (r, ) dans la base orthonormée (er, e) avec  = (i, er)
et
GM = rer . On prendra à t = 0,  = 0.
9. Déterminer l’expression de la constante C de la loi des aires.
Déterminer l’expression de l’énergie mécanique Em* du système en fonction de m1, m2, C,
G, u = 1
r et du
d.
10. Montrer que la trajectoire de M est une conique de foyer G d’équation :
r = p
1 + e cos
Exprimer p en fonction de C, m1, m2 et G constante de la gravitation universelle.
C. Caractéristiques orbitales d’un système étoile-planète.

On s’intéresse maintenant au cas de l’étoile 51 Peg ( dans la constellation de Pégase ),
vraisemblablement accompagné d’une planète orbitant en 4 jours. Cette étoile est du type solaire.
Par ailleurs, une planète est dite tellurique si elle est analogue en masse et en composition à la
Terre ; elle est dite géante si elle est comparable à Jupiter. Ce système est considéré comme isolé.
Dans un premier temps, on néglige la masse m2 de la planète devant celle de son étoile de masse
m1.
11. Quelles sont les conséquences de cette dernière hypothèse ?
12. Dans le cas où le mouvement de la planète est circulaire de rayon a et de période T,
déterminer le rapport R = T2
a3 et commenter le résultat.
13. Que vaut R lorsque l’on choisit le système d’unités où les durées sont comptées en
années, les distances en unités astronomiques et les masses en masses solaires ?
Quel est le rayon de la trajectoire circulaire d’une planète orbitant en 4 jours autour de
l’étoile 51 Peg dont on supposera les caractéristiques physiques identiques à celles du
Soleil ?
Toujours en négligeant la masse de la planète devant celle de l’étoile, on s’intéresse à une orbite
elliptique, de demi-grand axe a et d’excentricité e, on rappelle que l’excentricité d’une ellipse est le
rapport c/a où c représente dans cette question la distance d’un des foyers au centre.
14. Soient vm et vM les valeurs minimale et maximale de la vitesse de la planète sur son orbite.
Pour quels points caractéristiques de cette orbite sont-elles obtenues ? En préciser les
distances respectives rm et rM à l’étoile en fonction de e et de a.
15. Déterminer le rapport vm/vM en fonction de e.
16. Obtenir indépendamment de ce qui précède une expression reliant vm à vM en fonction de
a, e, G et m1. Déterminer alors vM en fonction de a, e, m1 et G.
17. Soit vo la vitesse qu’aurait la planète sur une orbite circulaire de rayon a. Déterminer vM/vo
en fonction de e. Calculer ce rapport pour e = 0.67 (cas du candidat exoplanète 16 CygB).
On tient compte maintenant du rapport des masses de la planète et de l’étoile tout en supposant
m2<<m1.
18. Exprimer pour une orbite circulaire v1* en fonction de m1, m2, G et de la période T du
mouvement, en se limitant au premier ordre en m2/m1.
19. D’après les observations, les plus courtes périodes mesurées sont de l’ordre de 4 jours.
Calculer pour une vitesse v1 de. 10 m/s la masse m2 de la planète. Peut-il s’agir d’une
planète de type tellurique ?
D. Pression et température à l’intérieur du Soleil.
Dans cette question, on utilisera un modèle de l’intérieur du Soleil qui est le suivant:
 Le Soleil est sphérique, de centre S, de rayon R1 et de masse m1.
On suppose qu’il n’est pas en rotation dans le référentiel de Képler et qu’il constitue un
système thermodynamique en équilibre mécanique macroscopique.
 On suppose qu’il est composé uniquement d’hydrogène entièrement ionisé en protons et
électrons. Leurs densités particulaires sont uniformes dans tout le Soleil et égales, et on
note n* leur valeur commune. Cette matière sera assimilée à un gaz parfait.
 Les distributions de pression, température et masse volumique sont à symétrie sphérique :
en un point de l’intérieur du Soleil situé à une distance r (r < R1) de son centre S, on les
note respectivement P(r), T(r) et µ(r).
D’autre part, on affirme que le champ de gravitation en un point M intérieur au Soleil et situé à la
distance r du centre est identique à celui d’un objet ponctuel placée au centre du Soleil et de masse
égale à celle contenue à l’intérieur de la sphère de rayon r.

20. Justifier que le modèle choisi impose que la masse volumique µ est uniforme, la relier à la
densité particulaire n* et à la masse mp du proton, en remarquant que la masse de
l’électron me est très inférieure à mp. En déduire n* en fonction de m1, R1 et mp.
21. Donner l’expression du champ de gravitation G(M) en un point M à l’intérieur du Soleil tel
que M1M= rer (r < R1) en fonction de G, r, m1, R1 et er.
Le gaz composant le Soleil est supposé en équilibre hydrostatique. On rappelle que la résultante dfp
des forces de pression s’exerçant sur un volume élémentaire d de fluide se trouvant autour d’un
point M s’écrit: dfp = - gradp.d.
22. Montrer alors qu’en un point M intérieur du Soleil : grad p = µ G(M), relation fondamentale
de l’hydrostatique.
23. En déduire P(r) en fonction de G, m1, r et R1 en posant qu’à la surface du Soleil P(R1)=0.
24. Justifier que P(r) = 2nkT(r), où k est la constante de Boltzmann.
En déduire la loi T(r) en fonction de G, m1, mp, k, r et R1.
Quelle critique peut-on faire au modèle utilisé ?
25. Calculer numériquement la pression Po et la température To au centre du Soleil dans le
cadre de ce modèle.
Données numériques :
Constante de la gravitation G = 6,67.10 –11 kg-1.m3.s-2
Masse du Soleil m1 = 2,0.1030 kg
Rayon du Soleil R1 = 7,0.108 m
Masse de la Terre mT = 6,0.1024 kg
Rayon de la Terre RT = 6,4.106 m
Distance Terre-Soleil 1 UA = 1,5.1011m.
Masse de Jupiter mJ = 2,0.1027 kg
Rayon de Jupiter RJ = 7,1.107 m
Constante de Boltzmann k = 1,38.10-23 J.K-1
Nombre d’Avogadro N = 6,02.1023 mol-1
Masse du proton mp = 1,67.10-27 kg
Masse de l’électron me = 9,11.10-31 kg
L’unité astronomique (UA) est égale par définition au demi-grand axe de l’orbite terrestre.

Problème 2. Structure de filtre dite à « variable d’état ».
Dans tout le problème les amplificateurs opérationnels sont idéaux.
1. Pour chaque montage proposé ci-dessous donner la relation entre la tension d’entrée et la
tension de sortie
 en régime variable (s(t), e(t)) ou (s(t), e1(t), e2(t), e3(t))
 en régime sinusoïdal forcé
e
s
)j(H 
ou
)e,e,e(fs 321
. On posera o = 1
RC.
Remarque : on supposera que les amplificateurs opérationnels fonctionnent en régime
linéaire.
2. On considère maintenant le montage suivant:
Donner l’équation différentielle reliant s(t) et e(t).
Donner l’expression de la fonction de transfert
e
s
)j(H4
Tracer le diagramme de Bode du gain GdB en fonction de log 
o pour a = 2.
Quelle est la nature de ce filtre ?
Pour changer aisément la fréquence propre fo = o/2, on peut utiliser une méthode qui consiste à
simuler une résistance variable en fonction d’une fréquence de commande fh : c’est la commutation
capacitive. On pose fh = 1
Th .
On considère le dispositif de la figure suivante
Un commutateur électronique K, commandé au moyen d’une horloge de fréquence fh , permet de
connecter le condensateur de capacité Co alternativement aux tensions V1 et V2.

On suppose que la résistance r du commutateur est suffisamment faible pour que l’on puisse poser
Th >> r Co : c’est à dire que la charge ou décharge de Co est quasi instantanée.
3. Calculer la charge q1 du condensateur en position A1 et q2 en position A2.
Calculer la charge transférée de A1 vers A2 à chaque période Th de commutation.
En déduire le courant moyen qui passe de A1 vers A2.
4. En déduire que le dispositif simule une résistance Re dont on donnera l’expression.
On considère le dispositif de la figure suivante :
On suppose e(t) = Eo, constante.
A l’instant initial t = 0, le condensateur C étant supposé non chargé, l’interrupteur électronique
commence les séquences suivantes :
p Th < t < (p +1
2) Th : K en position A1.
(p+1
2)Th < t <(p+1)Th : K en position A2.
p est un entier.
5. Calculer la tension s(t) pour t = Th, et pour t = pTh. Donner la valeur extrémale de s(t).