Arbre couvrant de poids minimum

MOCA – CO9
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Arbre couvrant de poids minimum
G = (S, A) Graphe connexe et  une arête a / c a  
Arbre couvrant
T c a / T est un arbre,  x  S ,  (x , y)  T. Ainsi le poids de T =  c a.
Le problème est de chercher un graphe T / le poids de T soit minimum.
Cycle et co-cycle
Cycle : chaîne dont le 2 extrémités coïncident ( est un cycle).
Co-cylce : ensemble des arêtes ayant une extrémité dans le
cycle et une autre hors du cycle ( est un co-cycle).
Propriétés
Z : a  T (ensembles des arêtes n’appartenant pas à T).
Propriété 1 : Z     si faux alors   T (impossible car un arbre est sans cycle)
Propriété 2 :   T   Si faux toutes arêtes de  n’est pas une arête de T (impossible)
Définition
(x , y) est un approximant / X  A , Y  A si et seulement si il existe T un arbre couvrant de poids minimum / X 
T, Y  T.  approximant (x,y) / X  A , Y  A ssi  T arbre couvrant de poids minimum / X  T, Y  T.
On note Z est l’ensemble des arêtes – (ensemble des arêtes X  ensemble des arêtes Y). Z = A \ {X  Y}
Règles
Règles 1 :   /   X =  ,   Y  
Soit une arête de poids minimal a    Y
(X  {a} , Y) est un approximant
1 - si X  {a}  T => T est de poids minimal
T c’est un approximant
2 - si a  T
c e  c a
On supprime e de T
On ajoute a à T
=> T’ est un arbre couvrant de poids minimum
Règles 2 :   /   Y =  ,   Z  
si   X  T alors impossibilité
Soit une arête de poids maximal a    Z
(X , Y  {a}) est un approximant
1 - si a  T => T est de poids minimal
T c’est un approximant
2 - si a  T
c a  c e
On supprime a de T
On ajoute e à T
=> T’ est un arbre couvrant de poids minimum
S
X
T
a  T
e
a
T
e  T
a

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Algorithme générique et démonstration
Algorithme Générique
X <- 
Y <- 
Z <- A
Tant que Règle 1 ou Règle 2 applicable faire
Selon choix Règle 1 ou Règle 2
A est uniedans X ou Y
Fin selon
Fin tant que
Fin Algorithme Générique
( , ) est un approximant. Après chaque passage on a (X , Y) est un approximant.
Supposons qu’à la fin de l’algorithme tout sommet de s a une arête (s , t)  X.
X couvre tous les sommets et est connexe, X est un approximant
=> X acyclique
=> X est un arbre couvrant de poids minimum.
Résolution
Algorithme KRUSKAL
Trier les arêtes par poids croissant (a1, a2, …, an)
Pour i de 1 à n faire
Si T  { ai} ne créer pas de cycle alors
T = T { ai}
Fin si
Fin pour
Fin Algorithme KRUSKAL
2
3
4
3
1
2
2
3
4
3
1
2
2
3
4
3
1
2
2
3
4
3
1
2
2
3
4
3
1
2
impossible
car cycle

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Algorithme PRIM
Marquer arbitrairement un sommet
Tant qu‘il existe un sommet faire
Choisir a de poids minimum dans (T) a = (x , y) / x  T , y  T
Ajouter a à T T = T  {a}
Fin Tant que
Algorithme PRIM
2
3
4
3
1
2
2
3
4
3
1
2
2
3
4
3
1
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2
3
4
3
1
2
2
3
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3
1
2
a